測(cè)試系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性

一階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)負(fù)值表示相角的滯后二階系統(tǒng)（Second-ordersystem)數(shù)學(xué)表述靜態(tài)靈敏度(Transductionconstant)系統(tǒng)固有頻率(Angularnaturalfrequency)阻尼比(Dampingratio)歸一化后頻率響應(yīng)函數(shù)：幅頻特性函數(shù)相頻特性函數(shù)二階系統(tǒng)（Second-ordersystem)如一正弦信號(hào)（單一頻率）輸入到一個(gè)一階系統(tǒng)，一階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為將

代入后可求解出微分方程

測(cè)試系統(tǒng)對(duì)正弦激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)若將此信號(hào)輸入到一個(gè)二階系統(tǒng)，此二階系統(tǒng)微分方程若為

將

代入求解得式中

衰減項(xiàng)一階和二階系統(tǒng)的

時(shí)域響應(yīng)均是由衰減項(xiàng)與不衰減項(xiàng)組成。衰減項(xiàng)稱為瞬態(tài)響應(yīng)分量，它將隨時(shí)間逐漸衰減到零，反映了系統(tǒng)的固有特性。不衰減項(xiàng)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，隨時(shí)間增長而趨于穩(wěn)定。測(cè)試系統(tǒng)對(duì)正弦激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)重要結(jié)論頻響函數(shù)是一系統(tǒng)對(duì)輸入與輸出皆為正弦信號(hào)傳遞關(guān)系的描述。它反映了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間的關(guān)系。傳遞函數(shù)是系統(tǒng)對(duì)輸入是正弦信號(hào)，而輸出是正弦疊加瞬態(tài)信號(hào)傳遞關(guān)系的描述。它反映了系統(tǒng)包括穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)輸出與輸入之間的關(guān)系。如只研究穩(wěn)態(tài)過程的信號(hào)，則用頻響函數(shù)來分析系統(tǒng)。如研究穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)全過程信號(hào)，則用傳遞函數(shù)來分析系統(tǒng)。如果輸入信號(hào)是單位脈沖信號(hào)，即:

經(jīng)拉氏變換,

h(t)常稱為脈沖響應(yīng)函數(shù).測(cè)量系統(tǒng)對(duì)瞬態(tài)激勵(lì)的響應(yīng)

瞬態(tài)過程，反映了系統(tǒng)的固有特性。評(píng)價(jià)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的一個(gè)重要方法就是分析系統(tǒng)對(duì)瞬態(tài)輸入信號(hào)的反應(yīng)。

系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)單位脈沖函數(shù)的定義：，

為單位脈沖響應(yīng)，它反映了系統(tǒng)在時(shí)域內(nèi)的傳輸特性。系統(tǒng)相對(duì)原點(diǎn)有一時(shí)移的單位脈沖信號(hào)的響應(yīng)為。既然面積為1的信號(hào)所引起的系統(tǒng)響應(yīng)為，那么位于原點(diǎn)上的面積為的窄條信號(hào)輸入后所引起的該系統(tǒng)響應(yīng)應(yīng)為，偏離原點(diǎn)的位置的窄條面積信號(hào)的響應(yīng)信號(hào)應(yīng)為。系統(tǒng)因此由很多窄條疊加而成的所引起的總的響應(yīng)應(yīng)為各窄條分別的響應(yīng)之和。當(dāng)Δt→0

，則從時(shí)域看測(cè)試系統(tǒng)的輸出是輸入與單位脈沖響應(yīng)的卷積。可通過拉氏變換描述測(cè)試系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)。

系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)的時(shí)頻域響應(yīng)信號(hào)通過系統(tǒng)在時(shí)域內(nèi)所得的響應(yīng)（輸出）是輸入信號(hào)與系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積；在頻域內(nèi)響應(yīng)信號(hào)的頻譜函數(shù)是輸入信號(hào)的頻譜函數(shù)與系統(tǒng)的頻響函數(shù)的乘積。一階測(cè)試系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

對(duì)于一階測(cè)試系統(tǒng)，傳遞函數(shù),則單位脈沖響應(yīng)為

二階測(cè)試系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

對(duì)于二階測(cè)試系統(tǒng)，傳遞函數(shù)，則不同阻尼度的單位脈沖響應(yīng)分別為：在欠阻尼0<ξ<1時(shí)

在臨界阻尼ξ=1時(shí)

在過阻尼ξ>1時(shí)

一階測(cè)試系統(tǒng)對(duì)階躍輸入響應(yīng)階躍輸入x(t)=1的拉氏變換x(S)=1/S,將它和一階測(cè)試系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相乘

對(duì)Y(S)求拉氏逆變換可得一階測(cè)試系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng):

測(cè)試系統(tǒng)的初始上升斜率為1/τ

。當(dāng)時(shí)間t=τ時(shí)，y(t)=0.632。當(dāng)t=4τ時(shí)，y(t)=0.982,其輸出相對(duì)于輸入的誤差已降到2%以下，因此通常稱t=4τ為調(diào)整時(shí)間。若要求誤差不大于5%，則可選用t=3τ。調(diào)整時(shí)間是指測(cè)試系統(tǒng)的輸出達(dá)到最終示值，在規(guī)定誤差范圍內(nèi)所需要的時(shí)間。

一階測(cè)試系統(tǒng)對(duì)階躍輸入響應(yīng)經(jīng)過10S后測(cè)得的溫度為

偏離最終示值的相對(duì)誤差為

說明調(diào)整時(shí)間過短，輸出值不能不失真地反映輸入情況，因此必須增加調(diào)整時(shí)間或選擇更小時(shí)間常數(shù)的測(cè)試系統(tǒng)。

例子:用熱電阻溫度計(jì)測(cè)量熱源的溫度，將該溫度計(jì)從20℃的室溫突然放入85℃的熱源時(shí),相當(dāng)于輸入一階躍信號(hào)x(t)，其響應(yīng)曲線如圖所示。已知一階測(cè)試系統(tǒng)熱電阻溫度計(jì)的時(shí)間常數(shù)τ=6S，求經(jīng)過10S后測(cè)得的溫度和最終示值的相對(duì)誤差？二階測(cè)試系統(tǒng)對(duì)階躍輸入響應(yīng)將單位階躍輸入的拉氏變換和二階測(cè)試系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相乘，得：在欠阻尼0<ξ<1時(shí)

在臨界阻尼ξ=1時(shí)

在過阻尼ξ>1時(shí)

測(cè)試系統(tǒng)頻率特性的確定測(cè)定頻響函數(shù)的方法：用標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)輸入，測(cè)出其輸出信號(hào)，從而求得需要的特性。輸入的標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)有正弦信號(hào)、脈沖信號(hào)和階躍信號(hào)。用頻率響應(yīng)法測(cè)定動(dòng)態(tài)特性參數(shù)

理論依據(jù)：方法：給被測(cè)系統(tǒng)輸入一定頻率的正弦信號(hào)，然后測(cè)出輸出與輸入的幅值比和相位差。不斷改變輸入信號(hào)的角頻率，就會(huì)對(duì)應(yīng)地得到相應(yīng)的幅值比和相位差，從而求得測(cè)試系統(tǒng)在一定頻率范圍內(nèi)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線，根據(jù)這些曲線就可確定動(dòng)態(tài)特性參數(shù)。是最為精確的方法。2.5典型系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)2.5典型系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)傳遞函數(shù)法0.707在阻尼度時(shí)，幅頻特性的共振點(diǎn)稍偏離固有角頻率，共振點(diǎn)幅頻特性的峰值為

由共振點(diǎn)估計(jì)固有角頻率和阻尼度的方法稱為共振法。

階躍信號(hào)激勵(lì)階躍信號(hào)激勵(lì)是用來測(cè)量系統(tǒng)頻響函數(shù)中的決定性參數(shù)，如固有頻率和阻尼率1.一階系統(tǒng)2.二階系統(tǒng)第二章、測(cè)試系統(tǒng)特性

一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)測(cè)量：階躍響應(yīng)0.63一階測(cè)試系統(tǒng)的階躍響應(yīng)函數(shù)

測(cè)得單位階躍響應(yīng)后，取若干組ti、yi(t)的值，計(jì)算出相應(yīng)的Zi并依次描點(diǎn)，如果所有各點(diǎn)均勻分布在一條直線上，說明該系統(tǒng)是一階測(cè)試系統(tǒng)，否則就不是一階測(cè)試系統(tǒng)。

二階測(cè)試系統(tǒng)的階躍響應(yīng)從測(cè)試不失真的角度講，二階測(cè)試系統(tǒng)均應(yīng)為欠阻尼系統(tǒng)。典型的欠阻尼二階測(cè)試系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是以角頻率

作自由衰減振蕩，阻尼比越大，超調(diào)量M就越小，振蕩波形衰減越快。其周期為

欠阻尼二階測(cè)試系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示。按照求極值方法，可以求出各振蕩峰值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間t=0,π/ωd,2π/ωd,……。t=π/ωd的最大過沖量由此式可得

設(shè)過沖量Mi對(duì)應(yīng)的時(shí)間為ti，過沖量Mi+n對(duì)應(yīng)的時(shí)間為ti+n，而且ti與ti+n之間的間隔為n個(gè)整數(shù)周期nTd,則ti+n可用ti表示成將它們分別代入式，即可求得過沖量Mi和Mi+n，由此可得

整理后可得

其中若測(cè)試系統(tǒng)是典型二階系統(tǒng)，則嚴(yán)格成立，此時(shí)用n=1、2、3……和對(duì)應(yīng)的過沖量Mi、Mi+n分別求出的阻尼度ξ值均應(yīng)相等。若分別求出的阻尼度ξ值都不相等，則說明該系統(tǒng)不是二階測(cè)試系統(tǒng)。阻尼度ξ值之間的差別越大，說明該系統(tǒng)與二階測(cè)試系統(tǒng)的差別也越大。固有角頻率為

計(jì)算固有角頻率ωn時(shí)，先在二階測(cè)試系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線上測(cè)取周期Td的值，然后根據(jù)Td及計(jì)算出的阻尼ξ值,即可求出固有角頻率ωn的值。

例如:給某加速度傳感器突然加載，得到的階躍響應(yīng)曲線如圖所示。由圖中實(shí)際測(cè)量得：M1=15mm,M3=4mm，在0.01s的標(biāo)線內(nèi)有4.1個(gè)衰減的波形，求加速度傳感器的阻尼比ξ及固有頻率。為了計(jì)算阻尼度ξ的數(shù)值，首先計(jì)算中選用了n=2，可得

由阻尼度ξ和周期Td，可得固有角頻率為

固有頻率為例如給某加速度傳感器突然加載，得到的階躍響應(yīng)曲線如圖所示。由圖中實(shí)際測(cè)量得：M1=15mm,M3=4mm，在0.01s的標(biāo)線內(nèi)有4.1個(gè)衰減的波形，則阻尼周期為2二階系統(tǒng)2.5典型系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)稱重(應(yīng)變片)F加速度第二章、測(cè)試系統(tǒng)特性

案例：音響系統(tǒng)性能評(píng)定y(t)=x(t)*h(t)Y(f)=X(f)H(f)

改進(jìn)：脈沖輸入/白噪聲輸入，測(cè)量輸出，再求輸出頻譜。實(shí)驗(yàn)：懸臂梁固有頻率測(cè)量2.3測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性2.3測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性案例:橋梁固頻測(cè)量原理：在橋中設(shè)置一三角形障礙物，利用汽車對(duì)障礙物的沖擊對(duì)橋梁進(jìn)行激勵(lì)，再通過應(yīng)變片測(cè)量橋梁動(dòng)態(tài)變形，得到橋梁固有頻率。2.3測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性階躍響應(yīng)函數(shù)測(cè)量

實(shí)驗(yàn)求階躍響應(yīng)函數(shù)簡單明了，產(chǎn)生一個(gè)階躍信號(hào)，再測(cè)量系統(tǒng)輸出就可以了。原理：在橋中懸掛重物，然后突然剪斷繩索，產(chǎn)生階躍激勵(lì)，再通過應(yīng)變片測(cè)量橋梁動(dòng)態(tài)變形，得到橋梁固有頻率。案例：橋梁固有頻率測(cè)量

設(shè)測(cè)試系統(tǒng)的輸出y(t)與輸入x(t)滿足關(guān)系

y(t)=A0x(t-t0)2.5系統(tǒng)不失真測(cè)量條件第二章、測(cè)試系統(tǒng)特性

該系統(tǒng)的輸出波形與輸入信號(hào)的波形精確地一致，只是幅值放大了A0倍，在時(shí)間上延遲了t0而已。這種情況下，認(rèn)為測(cè)試系統(tǒng)具有不失真的特性。tAx(t)y(t)=A0x(t-t0)時(shí)域條件y(t)=A0x(t-t0)

Y(ω)=A0e-jωt0X(ω)2.4系統(tǒng)不失真測(cè)量的條件

不失真測(cè)試系統(tǒng)條件的幅頻特性和相頻特性應(yīng)分別滿足

A(ω)=A0=常數(shù)φ(ω)=-t0ω做傅立葉變換

頻域條件信號(hào)無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有幅度大小和時(shí)間先后的不同，而沒有波形的變化。

實(shí)際測(cè)量工作中，測(cè)量系統(tǒng)和被測(cè)對(duì)象會(huì)產(chǎn)生相互作用。測(cè)量裝置構(gòu)成被測(cè)對(duì)象的負(fù)載。彼此間存在能量交換和相互影響，以致系統(tǒng)的傳遞函數(shù)不再是各組成環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的疊加或連乘。

2.6負(fù)載效應(yīng)

第二章、測(cè)試系統(tǒng)特性

ER1R2VRmV=ER2/(R2+R1)V=ER2Rm/[R1(Rm+R2)+RmR2]令R1=100K,R2=150K,Rm=150K,E=150V。得:V實(shí)=90V,

V測(cè)=64.3V，誤差達(dá)28.6%2.6負(fù)載效應(yīng)

1．用一階測(cè)量環(huán)節(jié)測(cè)量時(shí)引起的負(fù)載效應(yīng)圖為兩個(gè)低通濾波器串聯(lián)前后的電路系統(tǒng)。輸出電壓與輸入電壓之間關(guān)系分別為上述兩式求拉氏變換可得傳遞函數(shù)分別為2.6負(fù)載效應(yīng)

若將這兩個(gè)環(huán)節(jié)直接串聯(lián)，則連接點(diǎn)右側(cè)阻抗為

故兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)后的傳遞函數(shù)為

理想情況下兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)后的傳遞函數(shù)為

為了使測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確地反映被測(cè)環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性，而排除測(cè)量環(huán)節(jié)的負(fù)載影響，應(yīng)使H(S)≈H1(S)。因此在選擇測(cè)試系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)選用τ2《τ1，即