材料力學(xué)第9章-壓桿穩(wěn)定

第九章壓桿穩(wěn)定9.1引言9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷9.3中、小柔度壓桿的臨界應(yīng)力9.4壓桿的穩(wěn)定條件9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)9.6用能量法求壓桿的臨界載荷材料力學(xué)1編輯ppt9.1引言FFQF<FcrFFF>=Fcr當(dāng)軸向壓力超過一定數(shù)值時(shí)，壓桿的平衡由穩(wěn)定向不穩(wěn)定轉(zhuǎn)變，這個(gè)載荷稱為臨界載荷FcrF小于Fcr時(shí)，穩(wěn)定平衡。給桿件一個(gè)橫向擾動(dòng)，桿件仍能恢復(fù)原來的平衡狀態(tài)。（軸向平衡）F大于等于Fcr時(shí)，不穩(wěn)定平衡。桿件既能在軸線上達(dá)到平衡，又能在彎曲狀態(tài)下達(dá)到平衡（F=Fcr)。給桿件一個(gè)橫向擾動(dòng)，桿件由軸向平衡轉(zhuǎn)向彎曲狀態(tài)，從而造成失穩(wěn)。穩(wěn)定性——結(jié)構(gòu)或者物體保持或者恢復(fù)原有平衡狀態(tài)的能力。2編輯ppt9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷AByCyxlFxImin=b3h/12(h>b)一、兩端球鉸細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉臨界載荷如圖兩端為球鉸的細(xì)長(zhǎng)壓桿承受軸力F的作用。假設(shè)力F已經(jīng)達(dá)到臨界值Fcr，且壓桿處于彎曲平衡狀態(tài)，現(xiàn)在看此時(shí)桿的撓曲線滿足什么條件?？疾霤點(diǎn)有：因?yàn)槭乔蜚q，桿在抗彎能力最弱的縱向平面內(nèi)彎曲。即上式中的I應(yīng)取最小值Imin。如對(duì)于矩形截面梁有：令：3編輯ppt9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷則壓桿的平衡微分方程可化為：齊次二階常微分方程上式通解為：A，B為待定常數(shù)。由球鉸的位移邊界條件有：代入通解：方程有非零解的條件是：即：4編輯ppt9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷上式的解為：又：所以有：最小值即為臨界載荷：兩端球鉸細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉臨界載荷對(duì)應(yīng)的壓桿的撓曲線為：屈曲模態(tài)Bucklingmode5編輯ppt9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷二、一端固定，一端球鉸細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷ACBxFFByyxy如圖一端固定一端球鉸的細(xì)長(zhǎng)壓桿，設(shè)在臨界載荷F作用下處于微彎平衡，考察點(diǎn)(x,y)有：代入撓曲線微分方程有：令：有：其通解為：6編輯ppt9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷所以有：由位移邊界條件有：分別代入上面兩式：ACBxFFByyxy7編輯ppt9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷A，B，F(xiàn)By有非零解的條件是：即：由圖解法有：代入：有：一端固定一端球鉸細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉臨界載荷8編輯ppt9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷三、其它桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷ACBxFFByyxyyx臨界載荷的拐點(diǎn)確定法如圖一端固定，一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿，其拐點(diǎn)位于離鉸支座0.7l處。拐點(diǎn)處彎矩為零，所以可一看成長(zhǎng)度為0.7l的兩端球鉸的情況。9編輯ppt9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷BB′CAFcrFcrCDFcr類似的，一端自由一端固定的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷為：一端滑動(dòng)固定一端固定的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷為：不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷可統(tǒng)一寫為：10編輯ppt9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷表示桿端約束情況，稱為長(zhǎng)度系數(shù)。稱為相當(dāng)長(zhǎng)度。固定端-自由端球鉸-球鉸滑動(dòng)固定端-固定端球鉸-固定端11編輯ppt各種支承約束條件下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界載荷的歐拉公式支承情況兩端鉸支一端固定另端鉸支兩端固定一端固定另端自由失穩(wěn)時(shí)撓曲線形狀臨界載荷Fcr的歐拉公式長(zhǎng)度系數(shù)

=1

0.7

=0.5

=29.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷12編輯ppt第九章壓桿穩(wěn)定9.1引言9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷9.3中、小柔度壓桿的臨界應(yīng)力9.4壓桿的穩(wěn)定條件9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)9.6用能量法求壓桿的臨界載荷材料力學(xué)13編輯ppt9.3中、小柔度壓桿的臨界應(yīng)力由歐拉臨界壓力公式,可得歐拉臨界應(yīng)力公式:其中A為壓桿的橫截面面積;i為橫截面的最小慣性半徑，即如矩形截面的最小慣性半徑為：令：則有歐拉臨界應(yīng)力為：壓桿的柔度或長(zhǎng)細(xì)比柔度是一個(gè)無量綱量，它綜合反映了壓桿長(zhǎng)度，約束條件，截面形狀尺寸對(duì)臨界應(yīng)力的影響。柔度越大，臨界應(yīng)力就越小桿件越容易失穩(wěn)。14編輯ppt歐拉臨界應(yīng)力公式適用于壓應(yīng)力小于比例極限的場(chǎng)合。9.3中、小柔度壓桿的臨界應(yīng)力一般來說，壓桿在不同縱向平面內(nèi)具有不同的柔度值，壓桿的臨界應(yīng)力應(yīng)該按最大柔度值來計(jì)算。即：令：當(dāng)：稱為大柔度桿（或者細(xì)長(zhǎng)桿）歐拉臨界應(yīng)力公式適用于大柔度桿!與材料性質(zhì)有關(guān)。對(duì)于Q235鋼：E=200GPa對(duì)于Q235鋼制成的壓桿，只有柔度大于100時(shí)，才能應(yīng)用歐拉臨界應(yīng)力公式。15編輯ppt9.3中、小柔度壓桿的臨界應(yīng)力時(shí)稱為中柔度壓桿或中長(zhǎng)壓桿。此時(shí)中長(zhǎng)壓桿的臨界應(yīng)力超過了比例極限，因此歐拉公式不適用。一般由直線或者拋物線經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算。中長(zhǎng)壓桿的臨界應(yīng)力的直線經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式：適用范圍：令：時(shí)稱為短粗桿。短粗桿只有強(qiáng)度問題，沒有穩(wěn)定性問題。則當(dāng)：時(shí)，壓桿稱為中柔度壓桿或中長(zhǎng)壓桿。16編輯pptABCD臨界應(yīng)力總圖中柔度桿的臨界應(yīng)力也可用拋物線公式計(jì)算：9.3中、小柔度壓桿的臨界應(yīng)力細(xì)長(zhǎng)桿中長(zhǎng)桿短粗桿17編輯pptabyxFFlFFxzl1例1：由Q235鋼制成的矩形截面壓桿，兩端用銷釘支承。求臨界壓力。解：先求壓桿的柔度。不同縱向面內(nèi)柔度不同，在xy平面內(nèi)：9.3中、小柔度壓桿的臨界應(yīng)力18編輯ppt9.3中、小柔度壓桿的臨界應(yīng)力在xz平面內(nèi)：壓桿的：所以：大柔度壓桿。用歐拉臨界應(yīng)力公式19編輯ppt第九章壓桿穩(wěn)定9.1引言9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷9.3中、小柔度壓桿的臨界應(yīng)力9.4壓桿的穩(wěn)定條件9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)9.6用能量法求壓桿的臨界載荷材料力學(xué)20編輯ppt9.4壓桿的穩(wěn)定條件一、穩(wěn)定條件或?yàn)榉€(wěn)定許用壓力;n為工作安全系數(shù);對(duì)壓桿進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算時(shí)，一般不考慮鉚釘孔或者螺栓孔對(duì)桿的局部削弱，但要校核此處的強(qiáng)度。規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)，一般高于強(qiáng)度安全系數(shù)。21編輯ppt9.4壓桿的穩(wěn)定條件二、折減系數(shù)法其中：為許用壓應(yīng)力。為折減系數(shù)，位于0和1之間。折減系數(shù)同時(shí)取決于材料性質(zhì)和壓桿的柔度（參考圖9.11)。根據(jù)折減系數(shù)法，壓桿的穩(wěn)定條件可寫為：穩(wěn)定計(jì)算的三類問題

1.穩(wěn)定校核

2.選擇截面

3.確定許用載荷22編輯pptFBACdl9.4壓桿的穩(wěn)定條件例2如圖所示立柱，下端固定，上端受軸向壓力F=200KN。立柱用工字鋼制成，柱長(zhǎng)l=2m,材料為Q235鋼,許用應(yīng)力。在立柱中點(diǎn)橫截面C處，因構(gòu)造需要開一直徑為d=70mm的圓孔。試選擇工字鋼號(hào)。解：因?yàn)闉槭軌毫⒅瑧?yīng)同時(shí)考慮立柱的強(qiáng)度和穩(wěn)定性根據(jù)穩(wěn)定性條件有：折減系數(shù)和截面面積（柔度）有關(guān)，而面積未知，因此需要進(jìn)行試算。（1）取則有：23編輯ppt9.4壓桿的穩(wěn)定條件查型鋼表，No16工字鋼的橫截面積如果選用該型號(hào)鋼，則有：對(duì)于的折減系數(shù)為：所以立柱的穩(wěn)定許用應(yīng)力為：工作應(yīng)力大于穩(wěn)定許用應(yīng)力很多，因此需要調(diào)整折減系數(shù)。24編輯ppt9.4壓桿的穩(wěn)定條件（2）取介于上述和之間，?。簞t有：查表選No22a號(hào)鋼：則立柱的柔度為：查表有折減系數(shù)為：則有：仍需調(diào)整折減系數(shù)。25編輯ppt9.4壓桿的穩(wěn)定條件（3）取值位于之間：則：選No25a鋼則有：查表：所以有：但超過量小于5%，所以可以選用No.25a工字鋼。26編輯ppt9.4壓桿的穩(wěn)定條件（4）強(qiáng)度校核對(duì)于No25a工字鋼，腹板厚度：則截面C的凈面積：截面應(yīng)力：所以強(qiáng)度條件也滿足。27編輯ppt2m1m30。ABCDG9.4壓桿的穩(wěn)定條件例3如圖所示的簡(jiǎn)易吊車，最大起吊重量G=50KN，CD為空心桿，其內(nèi)外徑分別為d=6cm,D=8cm,材料為Q235鋼，其，,E=200Gpa,穩(wěn)定安全系數(shù)，試校核CD壓桿的穩(wěn)定性。解：CD壓桿為兩端鉸支壓桿，空心圓桿的慣性半徑為桿長(zhǎng)中柔度桿，故采用直線型公式：（但大于）28編輯ppt9.4壓桿的穩(wěn)定條件則臨界壓力為：CD桿的工作壓力由靜力平衡方程求出：由穩(wěn)定條件有：CD壓桿的穩(wěn)定性不夠。29編輯ppt9.4壓桿的穩(wěn)定條件例4已知一端固定，一端球鉸的圓截面壓桿的最大工作壓力為4kN,其長(zhǎng)度l=1.25m，規(guī)定的，材料的，E=210Gpa,試確定其截面直徑d。解由于壓桿的直徑未定，所以不能求其柔度。先假定此壓桿為大柔度壓桿，又長(zhǎng)度系數(shù)0.7,則用歐拉公式計(jì)算有：又由穩(wěn)定性條件有：所以截面直徑：30編輯ppt9.4壓桿的穩(wěn)定條件得到截面直徑d后，可計(jì)算壓桿的柔度，即：又：故原假設(shè)為大柔度壓桿是正確的，壓桿的直徑應(yīng)取d=21mm。31編輯ppt9.4壓桿的穩(wěn)定條件

例5

圖a，b，c所示兩端球形鉸支的組合截面中心壓桿，由兩根110mm×70mm×7mm的角鋼用綴條和綴板聯(lián)成整體，材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力[s]=170MPa。試求該壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力。32編輯ppt9.4壓桿的穩(wěn)定條件

解：1.確定組合截面形心和形心主慣性軸圖c所示組合截面的形心離角鋼短肢的距離顯然就是

y0＝35.7mm，并落在對(duì)稱軸y軸上。根據(jù)y軸為對(duì)稱軸可知，圖c中所示通過組合截面形心的y軸和z軸就是該組合截面的形心主慣性軸。2.計(jì)算組合截面的形心主慣性矩33編輯ppt9.4壓桿的穩(wěn)定條件可見，在組合截面對(duì)于所有形心軸的慣性矩中，Imax=Iz，Imin=Iy,按通常的說法就是z軸為強(qiáng)軸，而y軸為弱軸。3.計(jì)算壓桿的柔度此壓桿兩端為球形鉸支座，在各個(gè)縱向平面內(nèi)對(duì)桿端的約束相同，故失穩(wěn)時(shí)橫截面將繞弱軸

y軸轉(zhuǎn)動(dòng)。壓桿的柔度應(yīng)據(jù)此計(jì)算。34編輯ppt9.4壓桿的穩(wěn)定條件4.計(jì)算壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力由圖9.11查得l＝97時(shí)j＝0.575，從而得35編輯ppt9.4壓桿的穩(wěn)定條件壓桿穩(wěn)定性計(jì)算步驟a、計(jì)算、與:b、由壓桿類型算，大柔度桿，，中柔度桿，根據(jù)有關(guān)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算。c、由穩(wěn)定性條件進(jìn)行穩(wěn)定校核或確定許用載荷：d、設(shè)計(jì)截面，這一類穩(wěn)定性計(jì)算一般用折減系數(shù)法通過試算來實(shí)現(xiàn)。36編輯ppt第九章壓桿穩(wěn)定9.1引言9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷9.3中、小柔度壓桿的臨界應(yīng)力9.4壓桿的穩(wěn)定條件9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)9.6用能量法求壓桿的臨界載荷材料力學(xué)37編輯ppt9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)影響壓桿穩(wěn)定性的因素有截面形狀，壓桿長(zhǎng)度，約束條件及材料性質(zhì)等。要提高壓桿穩(wěn)定性，也要從這幾方面著手。一、合理選擇材料細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力只與彈性模量有關(guān)。由于各種鋼材的E值大致相等，所以選用高強(qiáng)度鋼或低碳鋼并無差別。中柔度桿臨界應(yīng)力與材料的強(qiáng)度有關(guān)，選用高強(qiáng)度鋼在一定程度上可以提高壓桿的穩(wěn)定性。38編輯ppt9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)二、合理選擇截面柔度越小，臨界應(yīng)力越大。在面積不變的情況下，應(yīng)該選擇慣性矩比較大的截面。如空心桿等。同時(shí)要考慮失穩(wěn)的方向性，盡量做到各個(gè)可能失穩(wěn)方向的柔度大致相等。如壓桿兩端為銷鉸支承，由于兩個(gè)方向的

不同，則應(yīng)該選擇的截面，使得兩個(gè)方向上的柔度大致相等，即：39編輯ppt增大截面慣性矩I（合理選擇截面形狀）9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)40編輯ppt三、改變壓桿的約束條件9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力與相當(dāng)長(zhǎng)度的二次方成反比，所以增強(qiáng)對(duì)壓桿的約束可極大的提高其臨界壓力。如采用穩(wěn)定性比較好的約束方式，或者在壓桿中間增添支座，都可以有效的提高壓桿的穩(wěn)定性。41編輯ppt9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)

例6廠房的鋼柱由兩根槽鋼組成，并由綴板和綴條聯(lián)結(jié)成整體，承受軸向壓力F=270kN。根據(jù)桿端約束情況，該鋼柱的長(zhǎng)度系數(shù)取為m＝1.3。鋼柱長(zhǎng)7m，材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力[s]=170MPa。該柱屬于b類截面中心壓桿。由于桿端連接的需要，其同一橫截面上有4個(gè)直徑為d0=30mm的螺釘孔。試為該鋼柱選擇槽鋼型號(hào)。42編輯ppt9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)解：1.按穩(wěn)定條件選擇槽鋼號(hào)碼為保證此槽鋼組合截面壓桿在xz平面內(nèi)和xy平面內(nèi)具有同樣的穩(wěn)定性，應(yīng)根據(jù)ly=lz確定兩槽鋼的合理間距h?，F(xiàn)先按壓桿在xy平面內(nèi)的穩(wěn)定條件通過試算選擇槽鋼號(hào)碼。假設(shè)j＝0.50，得到壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力為因而按穩(wěn)定條件算得每根槽鋼所需橫截面面積為43編輯ppt9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)由型鋼表查得，14a號(hào)槽鋼的橫截面面積為A=18.51cm2＝18.51×10-4m2，而它對(duì)z軸的慣性半徑為iz=5.52cm=55.2mm。下面來檢查采用兩根14a號(hào)槽鋼的組合截面柱其穩(wěn)定因數(shù)j是否不小于假設(shè)的j＝0.5。注意到此組合截面對(duì)于z軸的慣性矩

Iz和面積

A都是單根槽鋼的兩倍，故組合截面的iz值就等于單根槽鋼的iz值。于是有該組合截面壓桿的柔度：44編輯ppt9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)由圖9.11查得，Q235鋼壓桿相應(yīng)的穩(wěn)定因數(shù)為j＝0.262。顯然，前面假設(shè)的j＝0.5這個(gè)值過大，需重新假設(shè)j值再來試算；重新假設(shè)的j值大致上取以前面假設(shè)的j＝0.5和所得的j＝0.262的平均值為基礎(chǔ)稍偏于所得j的值。重新假設(shè)j＝0.35，于是有45編輯ppt9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)試選16號(hào)槽鋼，其

A=25.15×10-4m2，iz=61mm，從而有組合截面壓桿的柔度：由表9-3得j=0.311，它略小于假設(shè)的j＝0.35?，F(xiàn)按采用2根16號(hào)槽鋼的組合截面柱而j＝0.311進(jìn)行穩(wěn)定性校核。此時(shí)穩(wěn)定許用應(yīng)力為按橫截面毛面積(不計(jì)螺孔)算得的工作應(yīng)力為46編輯ppt9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)雖然工作應(yīng)力超過了穩(wěn)定許用應(yīng)力，但僅超過1.5％，這是允許的。2.計(jì)算鋼柱兩槽鋼的合理間距由于認(rèn)為此鋼柱的桿端約束在各縱向平面內(nèi)相同，故要求組合截面的柔度ly=lz。根據(jù)可知，也就是要求組合截面的慣性矩Iy=Iz。47編輯ppt9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)如果z0，Iy0，Iz0，A0分別代表單根槽鋼的形心位置和自身的形心主慣性矩以及橫截面面積則Iy＝Iz的條件可表達(dá)為亦即消去公因子2A0后有在選用16號(hào)槽鋼的情況下，上式為48編輯ppt9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)由此求得h＝81.4mm。實(shí)際采用的間距h不應(yīng)小于此值。3.按鋼柱的凈橫截面積校核強(qiáng)度鋼柱的凈橫截面積為按凈面積算得的用于強(qiáng)度計(jì)算的工作應(yīng)力為它小于強(qiáng)度許用應(yīng)力[s]=170MPa，滿足強(qiáng)度條件。49編輯ppt第九章壓桿穩(wěn)定9.1引言9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷9.3中、小柔度壓桿的臨界應(yīng)力9.4壓桿的穩(wěn)定條件9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)9.6用能量法求壓桿的臨界載荷材料力學(xué)50編輯ppt9.6用能量法求壓桿的臨界載荷前面對(duì)幾種典型情況的歐拉臨界壓力公式，是用求解壓桿微彎時(shí)的撓曲線平衡方程的方法求壓桿的臨界載荷。但對(duì)于比較復(fù)雜的載荷，支承方式或截面變化，采用能量法比較簡(jiǎn)潔。能量法的基本思路：1、在臨界載荷作用下，壓桿可在微彎狀態(tài)平衡。2、壓力沿軸線方向所做的功轉(zhuǎn)化為壓桿微彎狀態(tài)下的應(yīng)變能。3、假設(shè)出符合位移邊界條件的撓曲線方程，則根據(jù)第2條，可以求出臨界載荷