醫(yī)科高等數(shù)學(xué) 第四節(jié) 多元函數(shù)微分法

第四節(jié)多元函數(shù)微分法一、復(fù)合函數(shù)微分法二、隱函數(shù)微分法

這一法則稱為一元復(fù)合函數(shù)的鎖鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法.現(xiàn)在,我們將這一法則推廣到多元復(fù)合函數(shù).一、復(fù)合函數(shù)微分法1.中間變量是二元函數(shù)的情形其中

定理4-4

設(shè)函數(shù)、在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)都存在,函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)可微，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處存在對、的偏導(dǎo)數(shù),且鎖鏈?zhǔn)椒▌t如圖示(1)單鏈?zhǔn)菍?dǎo)數(shù)關(guān)系,多鏈?zhǔn)瞧珜?dǎo)關(guān)系;(2)一條鏈之間,依次求導(dǎo)相乘;(3)各條鏈之間,求導(dǎo)后逐漸相加.

注意上述運(yùn)算法則對中間變量或自變量多于或少于兩個的情形仍然適用.解

例4-21

設(shè),而，，求、.

例4-22

設(shè),求、.

解令則推論

其中

例4-23設(shè),其中,求、.解設(shè),則由鎖鏈法則同理即兩者的區(qū)別2.中間變量既有一元函數(shù)又有二元函數(shù)的情形其中

例4-23

設(shè)求、.

解全導(dǎo)數(shù)3.中間變量均為一元函數(shù)

為的一元函數(shù),對

求導(dǎo),得

設(shè)可微,且,則復(fù)合函數(shù)

例4-24

設(shè),而，,求

.解解

例4-25

設(shè)而求

.

注意上式中與的區(qū)別!是全導(dǎo)數(shù),是將z作為x的一元復(fù)合函數(shù)時的全部變化率;而是z

對x的偏導(dǎo)數(shù),是將z作為x、y的二元函數(shù)時

z

的變化率.4、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為可見無論

u,v是自變量還是中間變量,

則復(fù)合函數(shù)可微,其全微分表達(dá)形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.例4-26.利用全微分形式不變性，解:所以設(shè)一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,

方程C<0時,能確定隱函數(shù)C>0時,不能確定隱函數(shù)2)方程能確定隱函數(shù)時,研究其連續(xù)性,可微性及求導(dǎo)方法問題.本節(jié)討論:二、隱函數(shù)微分法1、一元隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理*.

設(shè)函數(shù)則方程連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)導(dǎo)數(shù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);且的某鄰域內(nèi)恒能唯一確定一在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足條件兩邊對x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則例1.驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個連續(xù)可導(dǎo)隱函數(shù)解:

令連續(xù);由定理*可知,①導(dǎo)的隱函數(shù)則②③在x=0

的某鄰域內(nèi)方程存在連續(xù)可且并求兩邊對x求導(dǎo)兩邊再對x求導(dǎo)令x=0,注意此時導(dǎo)數(shù)的另一求法—利用隱函數(shù)求導(dǎo)定理4-5.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足①在點(diǎn)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確2.二元隱函數(shù)的求導(dǎo)方法兩邊對x求偏導(dǎo)同樣可得則解令則所以

例4-27求由方程所確定的函數(shù)z的偏導(dǎo)數(shù).

例4-28.設(shè)解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對x

求導(dǎo)解法2

利用公式設(shè)則兩邊對x求偏導(dǎo)例2.設(shè)F(x,y)具