醫(yī)科高等數(shù)學(xué)-多元函數(shù)

第一&二節(jié)多元函數(shù)一、空間解析幾何簡介二、多元函數(shù)的概念三、二元函數(shù)的極限與連續(xù)第四章多元函數(shù)微積分橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系

過空間一點(diǎn)引三條兩兩相互垂直的數(shù)軸,就構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系.

三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.即當(dāng)右手的四個手指從軸正向轉(zhuǎn)過的角度指向軸正向時，大拇指所指的方向就是軸的正向.

這三個坐標(biāo)平面將空間分成八個部分,每一部分稱為一個卦限.每兩個坐標(biāo)軸所在的平面、、稱為坐標(biāo)平面.如下圖所示:Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)一一對應(yīng)空間兩點(diǎn)間距離空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為解設(shè)與二定點(diǎn)A和B等距離的點(diǎn)為

例1

求與二定點(diǎn)和等距離的點(diǎn)的軌跡方程.依題意所以化簡,得說明:動點(diǎn)軌跡為線段

AB的垂直平分面.顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.特殊情形?當(dāng)

D=0時,Ax+By+Cz=0表示

通過原點(diǎn)的平面;?By+Cz+D=0表示平面平行于

x

軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xOy

面的平面;平行于yOz

面的平面；平行于zOx

面的平面.（一）平面的一般方程：

球面方程

在空間與一定點(diǎn)的距離為一定值的點(diǎn)的軌跡稱為球面.設(shè)為球面上的任意一點(diǎn)，則因此球面方程為即特別,當(dāng)球心在原點(diǎn)時,球面方程為常見的曲面方程

一條平面曲線（二）旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:建立yOz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時,若點(diǎn)給定yOz

面上曲線

C:則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？例3.試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z

軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yOz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為兩邊平方例4.

求坐標(biāo)面xOz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為（三）柱面引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在

xOy面上，表示圓C,沿圓周C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點(diǎn)作柱面.對任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,平行定直線并沿定曲線C

移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.

表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準(zhǔn)線為xOy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.

z

軸的平面.

表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準(zhǔn)線xOz

面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線

xOy

面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線

yOz面上的曲線l2.母線（四）二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法和伸縮變形法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形統(tǒng)稱為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b

時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c

時為球面.(3)截痕:為正數(shù))2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號)(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）(p,q同號)特別,當(dāng)p=q時為繞

z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為(實(shí)軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:雙曲線:虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實(shí)軸平行于z

軸;相交直線:雙曲線:(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x

或y方向的伸縮變換得到)（五）空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線

C.C觀察兩個例子

例2

一定質(zhì)量的理想氣體,它的壓強(qiáng)P和體積V、絕對溫度T之間的關(guān)系是（其中R是比例常數(shù)）這兩個例子的實(shí)質(zhì)是依賴于多個變量的函數(shù)關(guān)系.二、多元函數(shù)的概念

例1

病人在進(jìn)行補(bǔ)液時,補(bǔ)液量N與正常血容量V、正常紅細(xì)胞比容(單位容積血液中紅細(xì)胞所占容積百分比)A及病人紅細(xì)胞比容B的關(guān)系為類似地可定義三元函數(shù)

其中、為自變量,為因變量,點(diǎn)集稱為函數(shù)的定義域.二元及二元以上的函數(shù)稱為多元函數(shù).元函數(shù)記為

定義4-1

設(shè)有三個變量、、,是平面上的一個點(diǎn)集.如果對于任意點(diǎn),變量按照一定的法則總有唯一確定的值和它對應(yīng),則稱變量是變量、的二元函數(shù),記作1.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的

鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點(diǎn)P0

的去心鄰域記為2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集

E

及一點(diǎn)

P:

若存在點(diǎn)P

的某鄰域U(P)

E,

若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,

若對點(diǎn)

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E

的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E

的外點(diǎn);則稱P為E

的邊界點(diǎn).的外點(diǎn),顯然,E

的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E

的外點(diǎn)必不屬于E,E

的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.PD(2)開區(qū)域及閉區(qū)域

若點(diǎn)集E

的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E

為開集；

若點(diǎn)集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域;。。

E

的邊界點(diǎn)的全體稱為E

的邊界,記作

E;例4

求的定義域.解所求定義域?yàn)樽宰兞康娜≈捣秶Q為函數(shù)的定義域.無界開區(qū)域解所求定義域?yàn)槔?

求的定義域.有界閉區(qū)域解要使函數(shù)有意義,必須同時滿足例6

求的定義域.所求定義域?yàn)橛薪玳]區(qū)域

二元函數(shù)的圖形

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，對于任意取定的，對?yīng)的函數(shù)值為，這樣，以為橫坐標(biāo)、為縱坐標(biāo)、為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)，當(dāng)取遍上一切點(diǎn)時,得到一個空間點(diǎn)集

這個點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形.注意：二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.三、二元函數(shù)的極限與連續(xù)

定義4-2

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義(點(diǎn)可以除外).如果當(dāng)沿任何路徑趨近于時，函數(shù)無限趨近于一個常數(shù),則稱當(dāng)時,以為極限，記作（2）定義中的方式是任意的.

注意(1)二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似;1.二元函數(shù)的極限或例7

求極限多元函數(shù)的極限可以應(yīng)用一元函數(shù)求極限的法則解例8

證明解因?yàn)橛忠驗(yàn)樗岳?

證明不存在．當(dāng)k取不同的值時,所得的值不同證明當(dāng)沿曲線趨于時所以不存在．2.二元函數(shù)的連續(xù)性

定義4-3

如果二元函數(shù)滿足則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).(1)在點(diǎn)及其鄰域內(nèi)有定義(2)極限存在(3)

如果在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù),則稱函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù).函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)叫做間斷點(diǎn).例10

討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．所以函數(shù)在(0,0)處間斷．因?yàn)椴淮嬖冢饫?1

求函數(shù)的間斷點(diǎn).

解函數(shù)在圓周