2020年初升高【數(shù)學】無憂銜接：數(shù)與式的運算（解析版）名師課堂

『初中升高中-無憂銜接」

『內(nèi)容遞進?循序漸進』

奮斗

專題01數(shù)與式的運算

本專題在初中、高中扮演的角色

初中階段“從分數(shù)到分式”，通過觀察、分析、類比，找出分式的本質(zhì)特征，及它們與分數(shù)的相同點和不同點，

進而歸納得出分式的概念及運算性質(zhì)，我們已經(jīng)運用的這些思想方法是高中繼續(xù)學習的法寶.

二次根式是在學習了平方根、立方根等內(nèi)容的基礎(chǔ)上進行的，是對“實數(shù)”、“整式”等內(nèi)容的延伸和補充，對

數(shù)與式的認識更加完善.二次根式的化簡對勾股定理的應用是很好的補充；二次根式的概念、性質(zhì)、化簡與

運算是高中學習解三角形、一元二次方程、數(shù)列和二次函數(shù)的基礎(chǔ).二次根式是初中階段學習數(shù)與式的最后

一章，是式的變形的終結(jié)章.

當兩個二次根式的被開方數(shù)互為相反數(shù)時，可用“夾逼”的方法推出，兩個被開方數(shù)同時為零.

本專題內(nèi)容蘊涵了許多重要的數(shù)學思想方法，如類比的思想（指數(shù)哥運算律的推廣）、逼近的思想（有理數(shù)

指數(shù)幕逼近無理數(shù)指數(shù)幕），掌握運算性質(zhì)，能夠區(qū)別而與（而）"的異同.

通過與初中所學的知識進行類比，理解分數(shù)指數(shù)募的概念，進而學習指數(shù)累的性質(zhì)，掌握分數(shù)指數(shù)累和根

式之間的互化，掌握分數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì).

高中必備知識點1:絕對值

絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是

零.即：

a,。>0,

\a\=<0,Q=0,

-a,a<0.

絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.

兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)3之間的距離.

典型考題

【典型例題】

閱讀下列材料：

我們知道N的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應的點與原點的距離，即w=|x-o|,也就是說，N表示在數(shù)軸

上數(shù)X與數(shù)0對應的點之間的距離；這個結(jié)論可以推廣為卜-芍|表示在數(shù)軸上數(shù)再與數(shù)9對應的點之間

的距離；

例1解方程1X1=2.因為在數(shù)軸上到原點的距離為2的點對應的數(shù)為±2,所以方程IX|=2的解為x=±2.

例2解不等式|x—1|>2.在數(shù)軸上找出|x—1|=2的解(如圖)，因為在數(shù)軸上到1對應的點的距離等于2

的點對應的數(shù)為一1或3,所以方程|x—1|=2的解為％=-1或x=3,因此不等式|x-l|>2的解集為x<一

1或x>3.

~~:~I-LI~~

-2—101234

例3解方程|x—1|+|x+2|=5.由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到1和一2對應的點的距離之

和等于5的點對應的x的值.因為在數(shù)軸上1和一2對應的點的距離為3(如圖)，滿足方程的x對應的點在

1的右邊或一2的左邊.若x對應的點在1的右邊，可得x=2；若x對應的點在一2的左邊，可得x=-3,

因此方程|%—1|+|%+2|=5的解是x=2或x=—3.

參考閱讀材料，解答下列問題：

(1)方程|%+2|=3的解為；

(2)解不等式：|X-2|<6；

(3)解不等式：|X一3|+|X+4R9；

(4)解方程:|%-2|+|%+2|+|%-5|=15.

「]4]—1二],

—2012

【答案】(1)或5；(2)—4<x<8；(3)正4或爛一5；(4)x=——.

33

【解析】

(1)由已知可得x+2=3或x+2=-3

解得x=1或5.

(2)在數(shù)軸上找出|工一2|=6的解.,??在數(shù)軸上到2對應的點的距離等于6的點對應的數(shù)為一4或8,

，方程|X—21=6的解為X=-4或x=8,.?.不等式IX—2|<6的解集為-4<x<8.

(3)在數(shù)軸上找出|%—3|+|%+4|=9的解.

由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到3和一4對應的點的距離之和等于15的點對應的尤的值.

?..在數(shù)軸上3和一4對應的點的距離為7,.?.滿足方程的無對應的點在3的右邊或一4的左邊.

若X對應的點在3的右邊，可得x=4；若X對應的點在一4的左邊，可得x=-5,

二方程I%—3|+|X+4|=9的解是x=4或x=—5,

不等式IX—3|+|X+4|>9的解集為止4或爛一5.

(4)在數(shù)軸上找出|%-2|+|X+2|+|%-5|=15的解.

由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到2和一2和5對應的點的距離之和等于9的點對應的x的

值.

?.?在數(shù)軸上-2和5對應的點的距離為7,.?.滿足方程的x對應的點在-2的左邊或5的右邊.

若X對應的點在5的右邊，可得x=型；若無對應的點在一2的左邊，可得x=-此，

33

、e口10?20

二?方程I%-2|+|x+2|+|x-5|=15的解是x=-----或x=—.

33

【變式訓練】

實數(shù)a、^在數(shù)軸上所對應的點的位置如圖所示：化簡丫帝+陽-川-田-可.

----------1----1----?

aob

【答案】a-2b

【解析】

解：由數(shù)軸知：a<0,b>0,|a|>|b|,

所以b-a>0,a-b<0

原式二|a|-(b-a)-(b-a)

=-a-b+a-b+a

=a-2b

【能力提升】

已知方程組卜；]：:的解式、的值的符號相同.

(1)求a的取值范圍；

(2)化簡:12a+2|-2|a—3].

【答案】(1)一1<。<3；(2)4a-4.

【解析】

x+y=5+a①

⑴、4犬-y=10-6a②，

①+②得：5x=15-5a,即x=3-a,

代入①得：y=2+2a,

根據(jù)題意得：孫=(3-〃)(2+2a)>0,

解得-1<〃<3；

(2)V-l<tz<3,

當-l<a<3時,12a+2|-21a—3|=2a+2—2(3—a)=2a+2—6+2a=4a—4.

高中必備知識點2：乘法公式

我們在初中已經(jīng)學習過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(。+歷(。一份=。2-廿；

(2)完全平方公式(。士為2=。2±2而+/.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(Q+/；

(2)立方差公式(加6)(/+而+加)=-一凡

(3)三數(shù)和平方公式(Q+3+C)2-cT+b2+C1+2(ab+bc+ac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(a+與3=/+3。力+3。廳+/?3；

(5)兩數(shù)差立方公式(a-與3=]-3a2方+3而2一次

典型考題

【典型例題】

(1)計算：1―g[+2016°+(—2)3+(—2)2

(2)化簡：(a+孫a24

【答案】⑴3

(2)4ab-8b2

【解析】

解：(1)原式=4+1+(-8)4-4

=5-2

=3

(2)JMS；=a2-4b2-(a2-4ab+4b2)

=a2-4b2-a2+4ab-4b2

=4ab-8b2

【變式訓練】

計算：

(1)(^-3.14)°+(-4)2-(1)-2

(2)(九-3)2-(九+2)(尤-2)

【答案】(1)8(2)-6x+13

【解析】

⑴原式=1+16-9=8；

(2)原式=X2-6X+9-(XN-4)

二x2-6X+9-X2+4

=-6x+13.

【能力提升】

已知10*=a,5x—b,求：

(1)50*的值；

(2)2*的值；

(3)20、的值.(結(jié)果用含服6的代數(shù)式表示)

2

【答案】(l)ab;(2)：;(3)幺.

bb

【解析】

解：(1)50x=10xx5x=ab；

I5J5Xb

xX

(3)20=f—xio^=121X1O=—.

L5J5Xb

高中必備知識點3：二次根式

一般地，形如&（。>0）的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子

稱為無理式.例如3a+，卜、+七+21b,//+匕2等是無理式，而yf2x2+x+1,%2+\^2xy+y2,

等是有理式.

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化.為了進行分母（子）有理化，需栗引入

有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就

說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如A/2與-x/2,3G與4a,#>+a>與#>-衣,2>/3-3A/2

與2后+3a,等等.一般地，與,。石+久內(nèi)與—久內(nèi)，a&+b與a&—b互

為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子

有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程

在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中栗運用公式

4a4b=4ab（a>Q,b>0'）；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有

理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同

類二次根式.

2.二次根式的意義

a,a>0,

-a,a<0.

典型考題

【典型例題】

計算下面各題.⑴（A/6-2V15）XV3-6^|;

（2）J'4%+212x—-4^/x

2

【答案】（1）—6君;（2）伍—2日

【解析】

⑴（屈2寸~）><V3-6^1

=30-675-372

=-6君；

（2）V4x+2^/2%~-4.TX

=2Vx+2>/2x->/2x-4?

=-26.

【變式訓練】

小穎計算岳一（力+'］時，想起分配律，于是她按分配律完成了下列計算:

解：原式=++

=A/15X^3+715x75

=3^/5+5y/3-

她的解法正確嗎？若不正確，請給出正確的解答過程.

【答案】不正確，見解析

【解析】

解：不正確，正確解答過程為：

原"考

15

&-43

15^5-15^

【能力提升】

先化簡’再求值：（黑一代"言’其中a—+5b="A

【答案】々；?2.

a-b3

【解析】

…2a-bba-2b

-

角牛：(------C----二)=------7T

a+ba-ba+b

(2a-b)(a-b)-b(a+b)a+b

(a+b)(a-b)a-2b

2a2-3ab+b2-ab-b21

ZZ--------------------------------------------------------------------------------------.-------------------------

a-ba-2b

_2a(a-2b)1

a-ba-2b

2a

a-b

當a二^^2+V3,b=^2"-V3時,

高中必備知識點4：分式

1.分式的意義

AA

形如—的式子，若5中含有字母，且BwO,則稱一為分式.當“#0時，分式二具有下列性質(zhì):

BB」

AAxM

加一BxM'

A

~B~B^M'

上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).

2.繁分式

a

像一0〃這樣,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

n+p

典型考題

【典型例題】

先化簡，再求值（區(qū)—金）+2廠+”,其中x滿足f+無一i=o.

xx-1x-2x+1

1—X

【答案】F，L

x

【解析】

-21(1)21-x

解:原式=

x(x-l)x(2x+l)

￡+%-1=0,

J.x2=l-X,

「?原式=1.

【變式訓練】

4x2-4xy+y2

化簡:一：(4x2—y2)

2x-y

1

【答案】

2x+y

【解析】

4"i+人(4x2y2)

2x-y

(2%-41

X

2尤一y(2x+y)(2x-y)

]

2x+y'

【能力提升】

,11「Ia-2ab-b…4f八、「

已知：一一7=2,則一—r7的值等于多少?

ab2a-2b+/ab

4

【答案】—

【解析】

解：V--y=2,

ab

a-b=-2ab,

—2ab—2ab4

則

—4ab+7ab3

專題驗收測試題

1.如圖，若實數(shù)根=-幣+1,則數(shù)軸上表示根的點應落在（

?41q。尸???匕

-4-3-2-1012345

A.線段上B.線段BC上C.線段C。上D.線段。E上

【答案】B

【解析】

?.?實數(shù)m=-近+1,2<A/7<3

-2Vm<-1,

???在數(shù)軸上，表示m的點應落在線段BC上.

故選：B.

2.觀察下列各式及其展開式：

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

(a+b)5=a5+5a4b+1Oa3b2+1Oa2b3+5ab4+b5

請你猜想（a+b）i°的展開式第三項的系數(shù)是（）

A.36B.45C.55D.66

【答案】B

【解析】

(a+b)2=a2+2ab+b2；

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；

(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+1Oa2b3+5ab4+b5；

(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；

(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；

第8個式子系數(shù)分別為：1,8,28,56,70,56,28,8,1；

第9個式子系數(shù)分別為：1,9,36,84,126,126,84,36,9,1；

第10個式子系數(shù)分別為：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1,

則(a+b)1°的展開式第三項的系數(shù)為45.

故選B.

11

3.已知％=1,則/9+=等于()

xx

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【解析】

即%2-2+p）=1，

X2--^-3.

X

故選A.

4.設(shè)邊長為3的正方形的對角線長為a,下列關(guān)于a的四種說法：①a是無理數(shù)；②a可以用數(shù)軸上的一

個點來表示；③3<a<4；④a是18的算術(shù)平方根.其中，所有正確說法的序號是

A.①④B.②③C.①②④D.①③④

【答案】C

【解析】

根據(jù)勾股定理，邊長為3的正方形的對角線長為a=3衣，是無理數(shù)，故說法①正確.

根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸上的一點一一對應的關(guān)系，a可以用數(shù)軸上的一個點來表示，故說法②正確.

V16<a2=18<25，A4<a=372<5>故說法③錯誤.

「a?=18，,根據(jù)算術(shù)平方根的定義，a是18的算術(shù)平方根，故說法④正確.

綜上所述，正確說法的序號是①②④.故選C.

5.定義一種關(guān)于整數(shù)n的“F”運算：一、當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n+5；二、當n為偶數(shù)時，結(jié)果為尹（其

中k是使尹為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復進行.例如：取n=58,第一次經(jīng)F運算是29,第二次經(jīng)F運算

是92,第三次經(jīng)F運算是23,第四次經(jīng)F運算是74……，若n=449,求第2020次運算結(jié)果是（）

A.1B.2C.7D.8

【答案】A

【解析】

設(shè)449經(jīng)過〃次運算結(jié)果為%,

貝1J%=1352,w=169,q=512,=1,=8,a6=1,

a2n=l,%什1=8（幾.2且〃為整數(shù)）.

???2020為偶數(shù),

=

..a202o1-

故選：A

6.如圖所示，將形狀、大小完全相同的“?”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1幅圖形中“?”的個數(shù)為

1111

%,第2幅圖形中“?”的個數(shù)為%，第3幅圖形中“?”的個數(shù)為名，…，以此類推，則一+—+—+~+——

dyCl?

的值為（）

第4幅圖

589431

C.-----D.

840760

【答案】C

【解析】

,第一幅圖中“?”有%=1x3=3個;

第二幅圖中“?”有4=2x4=8個；

第三幅圖中有g(shù)=3x5=15個;

，第〃幅圖中“?”有=〃（〃+2）（〃為正整數(shù)）個

an2\nn+2)

?,?當〃二19時

1111

一十一+一+???+一

1111

=一十—H-------FH---------

3815399

1

L+H-------------

1x32x43x519x21

1111111111

=-X1-14x+—x++—x

2322423521921

11111111

=-x1------1------------1------------F_1--------------

2324351921

1,111

=—x1T------------------

222021

589

"840-

故選：C

_,1

7.定義新運算，a*b=a(l-b),若a、b是方程-x+—機=0(m<0)的兩根，則。的值為

4

()

A.0B.1C.2D.與m有關(guān)

【答案】A

【解析】

根據(jù)題意可得6*=人(1—人)一Q)=人一/—〃+,又因為a,b是方程—%］加=0的兩

根，所以。加=0,化簡得。2一〃=一］_根，同理人2一匕+,加=0,。2一b=-Lm,代入上式可

4444

得b—b2—Q+/0,故選A.

8.已知再，入2，…，％2019均為正數(shù)，且滿足”=(玉+%2++%2018)(%2+%3++*2019)，

N=(石+%++A19)(%2+&++/oi8)，則"，N的大小關(guān)系是()

A.M〈NB.M>NC.M=ND.M>N

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意，設(shè)p=x+%2++%2oi8，+x,

q=x2+x32018

；?p-q=xi,

M—(%+9++%2018)(W+&+(4+%2019)="夕+P?尤2019

N=(西+當++%019)(尤2+七++x20l8)=(p+x20l9)?q^pq+q?x2019；

：?M-N=pq+p.Xzoig-lpq+q.Xzoig)

二%2019?（?！?）

二X2019?%>0；

故選：B.

9.下列運算正確的是（）

ab1

A.------------------=l

a-bb-aaba-b

b/?+lI2a+b_I

C.------------=—

aaaa—ba2—/72a—b

【答案】D

【解析】

根據(jù)分式的減法法則，可知：'：-/_=」：+一故A不正確；

a-bb-aa-ba-ba-b

,口八八……一，mnbmanbm—an,,?一八

由異分母的分式相加減，可知-=一;-----=----;，故B不正確；

abababab

b/7+1I

由同分母分式的加減，可知--------二—-,故C不正確；

aaa

r\7i

由分式的加減法法則，先因式分解通分，即可知一~—^v=-T，故D正確.

a-ba-ba-b

故選：D.

10.已知a,b為實數(shù)且滿足aw—1,bw—1,設(shè)M=--------1-----------,N-----------1-----------.①若ab=1時，M=N；

a+1Z?+la+1Z?+l

②若次?>1時，M>N；③若次?<1時，M<N；④若Q+Z?=0,則MNVO.則上述四個結(jié)論正確的

有（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

一a(b+1)+b(a+1)a+b+laba+b+2

對于①,可知----------------=------------,N-------------,若QZ?=1時，M=N,正確;

(a+1)3+1)(a+1)3+1)(a+1)3+1)

對于②，也可分析得到；對于③④同樣如此.

999nl+l7999222+l

11.---------------,L)——----------------,則。與b的大小關(guān)系為（

999222+l999333+l

A.a>bB.a=bC.a<bD.無法確定

【答案】A

【解析】

999in+l,999222+1

，b-

999?22+1------999333+1

.9993+1999222+1

"a~-999222+1999333+l

(999in+l)(999333+1)—(999222+1)2

(999222+l)(999222+l)

9991H+999333-2X999222

(999222+l)(999333+l)

999"1x(1+999222)一2*999222999111x999222_2x999222

(999222+1)(999333+1)->(999222+°(999333+°>0,

:?a>b.

故選A.

1117zxy

12.已知實數(shù)％,y,z滿足-----+-----+-----=—，且------1----------1--------=11,貝！Jx+y+z的值為()

x+yy+zz+x6x+yyzx+

72

A.12B.14C.—D.9

7

【答案】A

【解析】

---z--+---%--+^y—=n11,

x+yy+zz+x

.?」+----+l+-----+l+^—=14,

x+yy+zz+x

x+y+zx+y+zx+y+z-

即——-——+——-——+——-——二14,

x+yy+zz+x

11114

---------1----------1---------=-------------,

x+yy+zz+xx+y+z

1117

而------1--------1----------，

x+yy+zz+xo

147

/.------------------二-,

%+y+z6

.\x+y+z=12.

故選：A.

a+b

13.已知=6。入，且a>b>0,貝U-的值為()

a-b

A.叵B.+V2D.±2

【答案】A

【解析】

\'a2+b2=6ab,

/.(a+b)=8ab,(a-b)=4ab,

Va>b>0,

?\a+b=J&g，a-b=14ab，

a+b_yJSab_r-

a-bJ4ab

故選A.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

根據(jù)二次根式的概念，可知論0,ab>0,解得a>0,b>0,因此可知A(a,b)在第一象限.

故選A

15.已知。為實數(shù)，則代數(shù)式427—12a+2/的最小值為()

A.0B.3C.3百D.9

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意，由,27-12?+2a2=,2(/-6a+9)+9=/2(。一3了+9，可知當(a-3),即a=3時，代

數(shù)式，27—12a+2a之的值最小,為邪=3.

故選B.

16.已知m、n是正整數(shù)，若是整數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)對(m,n)為()

A.(2,5)B.(8,20)C.(2,5),(8,20)D.以上都不是

【答案】C

【解析】

?；J2+J5是整數(shù)，m、n是正整數(shù)，

/.m=2,n=5或m=8,n=20,

當m=2,n=5時，原式=2是整數(shù)；

當m=8,n=20時，原式=1是整數(shù)；

即滿足條件的有序數(shù)對(m,n)為(2,5)或(8,20),

故選：C.

17.已知313,32=9,33=27,34=81,3=243,36=729,37=2187.........貝U3+32+33+3’+…產(chǎn)19的末位數(shù)字

是—.

【答案】9.

【解析】

；31=3,3?=9,33=27,34=81,3工243,36-729,37=2187........,

...尾數(shù)四個一循環(huán)，

每四個的尾數(shù)和是0.

,--2019-4=504...3,

3+32+33+34+...+32019的末位數(shù)字是9.

故答案為：9.

18.如圖，將一個正方形分割成11個大小不同的正方形，記圖中最大正方形的周長是G，最小正方形的周

長是G，則?=

【答案】:43

2

【解析】

如圖，設(shè)=最大正方形標記為。號，被分割成的11個正方形標記為：1-11號，其中最小正

方形標記為11號，各個正方形的邊長求解過程如下：

。號：1號+2號得x+y

5號：1號-2號得y-x

3號：2號-5號得x-(y-x)=2x-y

4號：0號-2號-3號得x+y-尤—(2x-y)=2y-2x

7號：3號-4號得2x-y-(2y-2x)=4x-3y

6號：4號-7號得2y—2x-(4尤一3')=5丫-6尤

10號：0號-1號得X

9號：0號-4號-6號-10號得x+y-(2y—2x)—(5y—6x)—x=8x—6y

8號：10號-9號得尤-(8x-6y)=6y-7x

11v：6號-7號得5y—6x-(4x—3y)=8y—10x

或9號-6號得8x-6y-(5y-6x)=14x-lly

因止匕x和y滿足等式：8y-10x=14x-lly

19

整理得：x=—y

24'

43

所以最大正方形(0號)的周長G=4(x+y)=Ly

6

最小正方形(11號)的周長。2=4(14%—lly)=；y

_q_43

則心一萬

注：最小正方形標記為11號

ab1b

19.對于整數(shù)a,b,c,d,定義，=ac-bd,已知1<,,<3,貝Ub+d的值為

acd4

【答案】±3

【解析】

根據(jù)題意，得1＜4-切＜3,化簡，得1＜瓦”3,

a,b,c,d均為整數(shù)，二沏=2,

當4=1時b=2或當d=-l時b=—2,

b+d=3或b+d—3.

x=2[mx+ny=3

20.已知〈」是二元一次方程組"，的解，則m+3n的平方根為______

y=1[nx-my=1

【答案】±3

【解析】

x=22m+n-8①

把，代入方程組得:<

5=12n-m-1(2)

①x2-②得：5加=15,

解得：m=3,

把根=3代入①得：n=2,

貝IJ加+3〃=3+6=9,9的平方木艮是±3,

故答案為：±3

21.若加滿足關(guān)系式j3x+5y-2-/n+J2x+3y-m=J199-x-y?Jx-199+y,則加=

【答案】201

【解析】

由題意可得，199-x-y>0,x-199+y>0,

199-x-y=x-l99+y=0,x+y=199①.

d3x+5y—2—m+J2x+3y—m=0,

3x+5y-2-m=0(2),2x+3y-m=0③,

x+y=199①

聯(lián)立①②③得，<3x+5y-2-m=0@,

2x-\-3y-m-0③

②x2■③x3得，y=4-m,

將y=4-m代入③，解得x=2m-6,

將x=2m-6,y=4-m代入①得，2m-6+4-m=199,解得m=201.

故答案為：201.

22.若'+*+1=4,則/-I--+1=.

【答案】8

【解析】

...x+x+l=4可化為xT—=3,x2H—^+1化為1+，)—1

原式=1%+▲]-1=32-1=8

則工+工的值等于

23.已知加之+—H2=4加一3〃一13,

4mn

【答案】I

【解析】

m2+—H2=4根—3〃—13

4

(m—2)2+—(n+6)2=0,

則m—2=0,〃+6=0,

所以m=2,〃=一6,

故答案是：

24.已知函數(shù)/(x)=二里，那么/'(夜-1)=.

【答案】2+a

【解析】

X+]

因為函數(shù)/(%)=----，

X

所以當x=—1時，/(%)=1+1=2+42.

V2-1

2

25.先化簡，再求值：(1--4--k)--Y----?-x--+--1,其中x=6+l.

Ix+3J2x+6

【答案】72.

【解析】

=2.

U+3J2(尤+3)U+3J(x-1)x-1

將x=拒+1代入原式得弓=&

26.觀察下列等式：

2二2(姿—1)=2(G—1)=2(有—1)=6]

73+1+1)(73-1)-(^3)2-12-3-1--

2=2(一--)=2(若-百)=2(6-我_

/+省一(6+四)(心一人)一(后―(局-5^3-

回答下列問題：

（1）利用你觀察到的規(guī)律，化簡:幣+小;

2

(2)化簡:

<2TI+1+^2ri—1

2222

U)計算：E++忑邙+…+而+而，

【答案】⑴幣—下;(2)萬不一瘍口；(3)5百—1

【解析】

2嚴司

2

，2“+1+，2〃-1

2(j2〃+1-V2/Z-1)

(2n+1)-(2/z-1)

2“2”+1-yj2n-1)

2

=\j2n+1-《2n-1

2_________

(3)由(2)的運算可得：-^――f===回A/2^1

，2〃+1+72n-1

"A/3+1A/5+A/3幣+后厲+揚

=(A/3-1)+(A/5-招)+("-司+L+(A/75->/73)

="1+45-A/3+-S/7-有+LA/73-回+爐-揚

=-1+屎

=50-1

__,A/3?-Z?+|a2-49|

27.己知2_______I_一_____I=0

〃+7

（1）求實數(shù)。力的值;

（2）若揚的整數(shù)部分為無，小數(shù)部分為y

①求x+2y的值；

②已知10—代=履+加，其中人是一個整數(shù)，且0（根＜1,求左-機的值.

【答案】（1）。=7；6=21；（2）①2四—4；②6

【解析】

（1、..^3a-Z?+|?2-49|

（1）------------!---------L=0，

〃+7

73a—b+—49|=0且a+7wO,

*,?3〃-Z?—0,/—49=0旦a+7w。，

即a=1,b=21；

(2)V16<21<25,

???4<行<5,即揚的整數(shù)部分為4,小數(shù)部分為0L4-

①x+2y=4+2(夜1-4)=201-4；

?,?8<10-A/3<9.

X10—y/3=kx+m=4k+m<左是一個整數(shù)，且0<帆<1,

...左=2,加=10—6一2X4=2-A/5,

:.k-m=2-Q-也)=6

28.已知下面一列等式：

11111111111111

1X—=1--；—X—=-------；—X—=--------；—X—=--------

22232334344545

(1)請你按這些等式左邊的結(jié)構(gòu)特征寫出它的一般性等式：

(2)驗證一下你寫出的等式是否成立；

利用等式計算：-----;----------+---------+----------?

x(x+l)(