2024年八年級數(shù)學下冊提練第9招特殊平行四邊形的性質和判定綜合應用的三種類型習題

第9招特殊平行四邊形的性質和判定綜合應用的三種類型典例剖析如圖，正方形ABCD的邊長為6.菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在正方形ABCD的邊AB，CD，DA上，且AH＝2，連結CF.

例解題秘方：特殊平行四邊形的性質和判定的綜合應用，就是從四邊形邊、角、對角線的特征進行判斷和應用．本題中(1)由于四邊形EFGH為菱形，只需再證有一個內角是直角即可；(2)解題的關鍵是作輔助線：過點F作FM⊥DC，交DC的延長線于點M，連結GE，構造全等三角形．典例剖析(1)當DG＝2時，求證：菱形EFGH為正方形；證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四邊形EFGH是菱形，∴HG＝EH.∵DG＝AH＝2，∴Rt△DGH≌Rt△AHE.∴∠DHG＝∠AEH.

∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°.∴菱形EFGH為正方形．典例剖析(2)設DG＝x，試用含x的代數(shù)式表示△FCG的面積．解：如圖，過點F作FM⊥DC，交DC的延長線于點M，連結GE.∵四邊形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴∠AEG＝∠MGE.∵四邊形EFGH為菱形，∴HE＝FG，HE∥FG，∴∠HEG＝∠FGE.∴∠AEH＝∠MGF.類型特殊平行四邊形中的操作型問題1分類訓練1.四邊形具有不穩(wěn)定性，對于四條邊長確定的四邊形，當內角度數(shù)發(fā)生變化時，其形狀也會隨之改變．如圖，改變正方形ABCD的內角，正方形ABCD變?yōu)榱庑蜛BC′D′.若∠D′AB＝45°，則菱形ABC′D′的面積與正方形ABCD的面積之比是(

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C分類訓練2.【點撥】∵四邊形EFGH為正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°.∴∠BGC＝90°.∵GO＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°.∵四邊形ABCD為正方形，∴∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC.分類訓練3.對于邊長均為a的兩個正方形ABCD和EFGH，按圖①所示的方式擺放，沿虛線BD，EG剪開后，可以按圖中所示的移動方式拼接為四邊形BNED.從拼接的過程容易得到結論：①四邊形BNED是正方形．②S正方形ABCD＋S正方形EFGH＝S正方形BNED.實踐與操作(1)對于邊長分別為a，b(a＞b)的兩個正方形ABCD和EFGH，按圖②所示的方式擺放，連結DE，過點D作DM⊥DE，交AB于點M，過點M作MN⊥DM，過點E作EN⊥DE，MN與EN相交于點N.①試說明四邊形MNED是正方形，并用含a，b的代數(shù)式表示正方形MNED的面積；∴△ADM≌△CDE.∴DM＝DE.∴矩形MNED是正方形．∵DE2＝CD2＋CE2＝a2＋b2，∴正方形MNED的面積為a2＋b2.②在圖②中，將正方形ABCD和正方形EFGH分別剪開后，能夠拼接成正方形MNED，請簡略說明你的拼接方法(類比圖①，用數(shù)字表示對應的圖形)．解：如圖，過點N作NP⊥BE，垂足為點P.將5放到6的位置，將4放到3的位置，將1放到2的位置，能夠拼接成正方形MNED.(2)對于n(n是大于2的自然數(shù))個任意的正方形，能否通過若干次拼接，將其拼接為一個正方形？請簡略說明你的理由．解：能．理由如下：從上述的拼接過程可以看出：任意的兩個正方形都可以拼接為一個正方形，而拼接出的這個正方形可以與第三個正方形再拼接為一個正方形，以此類推．由此可見，對于n(n是大于2的自然數(shù))個任意的正方形，能通過若干次拼接，將其拼接為一個正方形．類型特殊平行四邊形中的探究型問題2分類訓練4.如圖①，在正方形ABCD中，點E為對角線BD上一點，過點E作EF⊥BD交BC于點F，連結DF，點G為DF的中點，連結EG，CG.(1)求證：EG＝CG.

(2)將圖①中的△BEF繞點B逆時針旋轉45°，如圖②，取DF的中點G，連結EG，CG.(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．解：中的結論仍然成立．證明如下：如圖，連結AG，過點G作直線MN⊥AD交AD于點M，與EF的延長線交于點N.∵點G為DF的中點，∴DG＝FG.易知四邊形AENM為矩形．∴∠ENM＝90°，即∠FNG＝90°.(3)將圖①中的△BEF繞點B旋轉任意角度，如圖③，取DF的中點G，連結EG，CG.(1)中的結論是否仍然成立？通過觀察，寫出EG和CG之間的位置關系．(不要求說明理由)解：(1)中的結論仍然成立．EG⊥CG.分類訓練5.閱讀以下材料，然后解決問題：如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的類型特殊平行四邊形中的閱讀理解型問題3“友好矩形”，如圖①所示，矩形ABEF為△ABC的“友好矩形”，顯然，當△ABC是鈍角三角形時，其“友好矩形”只有一個．(1)仿照以上敘述，說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”；解：如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，且三角形的這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”．(2)如圖②，若△ABC為直角三角形，且∠C＝90°，在圖②中畫出△ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大??；解：如圖①，共有兩個“友好矩形”，分別為矩形BCAD、矩形ABEF.易知矩形BCAD、矩形ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍，∴△ABC的兩個“友好矩形”的面積相等．(3)若△ABC是銳角三角形，且BC＞AC＞AB，在圖③中畫出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長