2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)提練第9招特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用的三種類型習(xí)題

第9招特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用的三種類型典例剖析如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6.菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在正方形ABCD的邊AB，CD，DA上，且AH＝2，連結(jié)CF.

例解題秘方：特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，就是從四邊形邊、角、對(duì)角線的特征進(jìn)行判斷和應(yīng)用．本題中(1)由于四邊形EFGH為菱形，只需再證有一個(gè)內(nèi)角是直角即可；(2)解題的關(guān)鍵是作輔助線：過(guò)點(diǎn)F作FM⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連結(jié)GE，構(gòu)造全等三角形．典例剖析(1)當(dāng)DG＝2時(shí)，求證：菱形EFGH為正方形；證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四邊形EFGH是菱形，∴HG＝EH.∵DG＝AH＝2，∴Rt△DGH≌Rt△AHE.∴∠DHG＝∠AEH.

∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°.∴菱形EFGH為正方形．典例剖析(2)設(shè)DG＝x，試用含x的代數(shù)式表示△FCG的面積．解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連結(jié)GE.∵四邊形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴∠AEG＝∠MGE.∵四邊形EFGH為菱形，∴HE＝FG，HE∥FG，∴∠HEG＝∠FGE.∴∠AEH＝∠MGF.類型特殊平行四邊形中的操作型問(wèn)題1分類訓(xùn)練1.四邊形具有不穩(wěn)定性，對(duì)于四條邊長(zhǎng)確定的四邊形，當(dāng)內(nèi)角度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，其形狀也會(huì)隨之改變．如圖，改變正方形ABCD的內(nèi)角，正方形ABCD變?yōu)榱庑蜛BC′D′.若∠D′AB＝45°，則菱形ABC′D′的面積與正方形ABCD的面積之比是(

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C分類訓(xùn)練2.【點(diǎn)撥】∵四邊形EFGH為正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°.∴∠BGC＝90°.∵GO＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°.∵四邊形ABCD為正方形，∴∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC.分類訓(xùn)練3.對(duì)于邊長(zhǎng)均為a的兩個(gè)正方形ABCD和EFGH，按圖①所示的方式擺放，沿虛線BD，EG剪開(kāi)后，可以按圖中所示的移動(dòng)方式拼接為四邊形BNED.從拼接的過(guò)程容易得到結(jié)論：①四邊形BNED是正方形．②S正方形ABCD＋S正方形EFGH＝S正方形BNED.實(shí)踐與操作(1)對(duì)于邊長(zhǎng)分別為a，b(a＞b)的兩個(gè)正方形ABCD和EFGH，按圖②所示的方式擺放，連結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥DE，交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DM，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥DE，MN與EN相交于點(diǎn)N.①試說(shuō)明四邊形MNED是正方形，并用含a，b的代數(shù)式表示正方形MNED的面積；∴△ADM≌△CDE.∴DM＝DE.∴矩形MNED是正方形．∵DE2＝CD2＋CE2＝a2＋b2，∴正方形MNED的面積為a2＋b2.②在圖②中，將正方形ABCD和正方形EFGH分別剪開(kāi)后，能夠拼接成正方形MNED，請(qǐng)簡(jiǎn)略說(shuō)明你的拼接方法(類比圖①，用數(shù)字表示對(duì)應(yīng)的圖形)．解：如圖，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BE，垂足為點(diǎn)P.將5放到6的位置，將4放到3的位置，將1放到2的位置，能夠拼接成正方形MNED.(2)對(duì)于n(n是大于2的自然數(shù))個(gè)任意的正方形，能否通過(guò)若干次拼接，將其拼接為一個(gè)正方形？請(qǐng)簡(jiǎn)略說(shuō)明你的理由．解：能．理由如下：從上述的拼接過(guò)程可以看出：任意的兩個(gè)正方形都可以拼接為一個(gè)正方形，而拼接出的這個(gè)正方形可以與第三個(gè)正方形再拼接為一個(gè)正方形，以此類推．由此可見(jiàn)，對(duì)于n(n是大于2的自然數(shù))個(gè)任意的正方形，能通過(guò)若干次拼接，將其拼接為一個(gè)正方形．類型特殊平行四邊形中的探究型問(wèn)題2分類訓(xùn)練4.如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD交BC于點(diǎn)F，連結(jié)DF，點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，連結(jié)EG，CG.(1)求證：EG＝CG.

(2)將圖①中的△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②，取DF的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，CG.(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：中的結(jié)論仍然成立．證明如下：如圖，連結(jié)AG，過(guò)點(diǎn)G作直線MN⊥AD交AD于點(diǎn)M，與EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N.∵點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，∴DG＝FG.易知四邊形AENM為矩形．∴∠ENM＝90°，即∠FNG＝90°.(3)將圖①中的△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③，取DF的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，CG.(1)中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察，寫(xiě)出EG和CG之間的位置關(guān)系．(不要求說(shuō)明理由)解：(1)中的結(jié)論仍然成立．EG⊥CG.分類訓(xùn)練5.閱讀以下材料，然后解決問(wèn)題：如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的矩形為三角形的類型特殊平行四邊形中的閱讀理解型問(wèn)題3“友好矩形”，如圖①所示，矩形ABEF為△ABC的“友好矩形”，顯然，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè)．(1)仿照以上敘述，說(shuō)明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”；解：如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”．(2)如圖②，若△ABC為直角三角形，且∠C＝90°，在圖②中畫(huà)出△ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大??；解：如圖①，共有兩個(gè)“友好矩形”，分別為矩形BCAD、矩形ABEF.易知矩形BCAD、矩形ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍，∴△ABC的兩個(gè)“友好矩形”的面積相等．(3)若△ABC是銳角三角形，且BC＞AC＞AB，在圖③中畫(huà)出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長(zhǎng)