重慶市第一中學(xué)2024屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023年重慶一中高2024屆高三上期開學(xué)考試數(shù)學(xué)測試試題卷注意事項：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳索筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚.2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本卷或者草稿紙上無效.3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合的真子集個數(shù)為（）A.7 B.8 C.15 D.16【答案】A【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)定義域可求得，根據(jù)元素個數(shù)即可求出真子集個數(shù).【詳解】根據(jù)題意可知，解得；即，可知集合中含有3個元素，所以其真子集個數(shù)為個.故選：A2.已知符號函數(shù)則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充要條件的定義判斷可得答案.【詳解】若，則異號，所以，故“”是“”的充要條件.故選：A.3.已知函數(shù)，則（）A. B.0 C.4 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，可得答案.【詳解】由題意可知：，，.故選：A.4.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列如下：，經(jīng)計算，該組數(shù)據(jù)中位數(shù)是16，若分位數(shù)是20，則（）A.33 B.34 C.35 D.36【答案】D【解析】【分析】利用中位數(shù)和百分位數(shù)的定義得到，，求出答案.【詳解】一共有9個數(shù)，故從小到大的第5個數(shù)為中位數(shù)，即，，故選取第7個數(shù)為分位數(shù)，故，所以.故選：D5.已知是定義在上的奇函數(shù).，且當時，，則（）A.0 B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對稱性與奇偶性得到的周期為，再求出及，最后根據(jù)周期性計算可得.【詳解】由滿足，可得的對稱中心為，則，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以，即，所以函數(shù)的周期為，又，令，則，是定義在上的奇函數(shù)，則，又當時，，則，，所以．故選：C．6.已知為中不同數(shù)字的種類，如，記“”為事件，則事件發(fā)生的概率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意給的定義求出的排列有256種，當時，即排列中有2個不同的數(shù)字，結(jié)合排列組合的應(yīng)用計算即可求解.【詳解】由題意知，的排列共有種.當時，即排列中有2個不同的數(shù)字：若有3個數(shù)字相同，有種情況；若有2個數(shù)字相同，有種情況，此時共有種情況，所以事件A的概率為：.故選：B.7.設(shè)分別為橢圓的左右焦點，M為橢圓上一點，直線分別交橢圓于點A，B，若，則橢圓離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出，根據(jù)向量的定比分點，將兩點的坐標表示成含的式子，再代入橢圓方程聯(lián)立即可解得，即可求得離心率.【詳解】如下圖所示：易知，不妨設(shè)，，易知，由可得，即同理由可得；將兩點代入橢圓方程可得；即，又，整理得解得，所以離心率；故選：D8.已知實數(shù)滿足：，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造，，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，得到，從而；構(gòu)造，，求導(dǎo)后得到函數(shù)單調(diào)性，得到，設(shè)，則，從而得到，取得到，從而求出答案.【詳解】令，，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即，，所以，，令，，則在上恒成立，故，所以，設(shè)，則，故，所以，即，由于，，故，取得：.所以.故選：A二、選擇題：本題共4題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知實數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，可判斷A錯誤；構(gòu)造函數(shù)可知，當時，即B錯誤；利用函數(shù)在上為單調(diào)遞增可知C正確；利用作差法可判斷D正確.【詳解】對于A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，即，可得，所以A錯誤；對于B，構(gòu)造函數(shù),易知，當時，，所以在上單調(diào)遞增，當時，，所以在上單調(diào)遞減；所以可得時，，此時，即，所以B錯誤；對于C，令，則，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增，即，又，可得，即選項C正確；對于D，由可得，即，所以D正確；故選：CD10.某兒童樂園有甲，乙兩個游樂場，小王同學(xué)第一天去甲、乙兩家游樂場游玩的概率分別為0.3和0.7，如果他第一天去甲游樂場，那么第二天去甲游樂場的概率為0.7；如果第一天去乙游樂場，那么第二天去甲游樂場的概率為0.6，則王同學(xué)（）A.第二天去甲游樂場的概率為0.63B.第二天去乙游樂場概率為0.42C.第二天去了甲游樂場，則第一天去乙游樂場的概率為D.第二天去了乙游樂場，則第一天去甲游樂場的概率為【答案】AC【解析】【分析】利用條件概率公式、全概率公式以及對立事件的概率計算公式一一代入計算即可.【詳解】設(shè)：第一天去甲游樂場，：第二天去甲游樂場，：第一天去乙游樂場，：第二天去乙游樂場，依題意可得，，，，對A，，A正確；對B，，B錯誤；對C，，C正確；對D，，D錯誤，故選：AC.11.設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】運用消元法、平均值換元法，結(jié)合柯西不等式、基本不等式逐一判斷即可【詳解】A：因為，所以，即，，顯然該函數(shù)在時，單調(diào)遞增，因此該函數(shù)此時沒有最大值，因此本選項不正確；B：，因為，所以，當且僅當時取等號，所以，即的最大值為，因此本選項正確；C：因為，所以不妨設(shè)，設(shè)，，函數(shù)在時，單調(diào)遞增，故，因此本選項正確；D：因為，所以a5而a2+b即的最小值為，因此本選項正確，故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于運用柯西不等式和平均值換元法.12.已知函數(shù)（）A.若，則是增函數(shù)B.若，則C.若，則可能有兩個零點D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)即可判斷A；根據(jù)不等式的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B；易得函數(shù)在單調(diào)遞減，即可判斷C；由，得，則有兩個不同的正根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的具體關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進而可判斷D.【詳解】對于A選項，若，，則，令，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，所以在上是增函數(shù)，故A對；對于B選項，，則，故，從而，故B對；對于C選項，若，則，因為函數(shù)在都是減函數(shù)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，故函數(shù)最多只有一個零點，故C錯；對于D選項，，則，又，則有兩個不同的正根，由，得，令，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又當時，，當時，，作出函數(shù)的大致圖像，如圖所示，由圖可得，要使有兩個不同的正根，則，又，則，而，同理，構(gòu)造函數(shù)，則恒成立，故在單調(diào)遞減，，則，即，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，當且僅當時取等號，又，則，故，故，故D對.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若隨機變量，且，則________.【答案】0.2##【解析】【分析】利用正態(tài)分布的對稱性即可求出結(jié)果.【詳解】由隨機變量，，利用正態(tài)分布的對稱性計算可知，故答案為：0.214.二項式展開式的常數(shù)項是__________.【答案】【解析】【分析】先求出通項公式，再令的冪指數(shù)等于，求得的值，即可求得展開式中的常數(shù)項的值.【詳解】由于的展開式的通項公式為：，令，解得，則其展開式的常數(shù)項為.故答案為：15.已知函數(shù)滿足，若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則正實數(shù)m的取值范圍為_________.【答案】【解析】【分析】先求得解析式，然后根據(jù)的單調(diào)性，由分離參數(shù)，結(jié)合基本不等式求得的取值范圍.【詳解】依題意，，令，則，所以，所以.所以，的定義域是，依題意在上單調(diào)遞減，若，則在上單調(diào)遞增，不符合題意.當時，由于和在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，不符合題意.當時，，在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，由于，當且僅當時等號成立，所以，所以.故答案為：16.已知函數(shù)定義域為，，且滿足，其中為的導(dǎo)函數(shù)，若不等式恒成立，則正實數(shù)的最小值為_________.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，討論單調(diào)性可得，進而可得，再構(gòu)造函數(shù)討論單調(diào)性可得，從而構(gòu)造函數(shù)求最大值即可求解.【詳解】由可知單調(diào)遞增.不等式變形為，構(gòu)造，在定義域恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，即，進一步變形得：，構(gòu)造設(shè)，當時，，當時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故單調(diào)遞增（*）等價于，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，令解得，令解得，所以的最大值為，所以，即正實數(shù)的最小值為.故答案為:.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵是構(gòu)造兩個函數(shù)，，以及二次求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，是一道有難度的題.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知正方體的棱長為2，設(shè)分別為棱的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明；（2）利用空間向量的坐標運算求二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：連接交于點，連接，由中位線可知且，又因為且，所以且，所以平行四邊形，所以.結(jié)合平面平面可知，平面.【小問2詳解】以為原點，為坐標軸建立如圖坐標系.此時，設(shè)平面的法向量為，則由，可知：，設(shè)，所以平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角.所以.18.設(shè)等差數(shù)列的前項之和為，且滿足：.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的的基本量計算求解；（2）利用裂項相消法求和.【小問1詳解】設(shè)的公差為，則由已知，解得,所以.【小問2詳解】由于，所以.19.已知、分別為定義域為偶函數(shù)和奇函數(shù)，且.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意實數(shù)均有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）對于將換成結(jié)合奇偶性求出、的解析式，在利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為在時恒成立，參變分離可得，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出的取值范圍.【小問1詳解】因為①，、分別為定義域為的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，，所以，即②，①②解得，，所以，，所以（）在定義域上單調(diào)遞增，又，所以當時，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，即的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】設(shè)，因為，當且僅當時取等號，所以，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為在時恒成立，分離參數(shù)得在時恒成立，由均值不等式，當且僅當時取等號，故的最小值為，所以，故實數(shù)的取值范圍為.20.甲、乙兩人輪流投籃，約定甲先投，先投中者獲勝，直到有人獲勝或每人都已投球次時投籃結(jié)束，其中為給定正整數(shù).設(shè)甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，且各次投籃互不影響.（1）當時，求甲獲勝的概率；（2）設(shè)投籃結(jié)束時甲恰好投籃次，求的數(shù)學(xué)期望.（答案用含的最簡式子表示）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分甲投球1次獲勝、甲投球2次獲勝和甲投球3次獲勝三種情況，計算相應(yīng)的概率相加即可；（2）根據(jù)投籃次數(shù)的取值，計算相應(yīng)的概率，由公式求數(shù)學(xué)期望，借助數(shù)列求和的錯位相減法化簡.【小問1詳解】甲投球1次獲勝的概率，甲投球2次獲勝的概率，甲投球3次獲勝的概率，所以甲獲勝的概率.【小問2詳解】記“甲第次投中”為事件，“乙第次投中”為事件，其中，當時，投籃結(jié)束時甲恰好投籃次的概率為：，投籃結(jié)束時甲恰好投籃次的概率為：，所以，設(shè)，則，則，錯位相減得：，所以.21.已知橢圓的左頂點為，上頂點為，右焦點為，設(shè)為坐標原點，線段的中點為，且滿足.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)點，圓過且交直線于兩點，直線分別交于另一點（異于點）.證明：直線過定點，并求出該定點的坐標.【答案】（1）（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出即可得解；（2）設(shè)，先求出圓的方程，令，利用韋達定理求出，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，再根據(jù)三點共線得，求出，同理求出，整理可得出答案.【小問1詳解】由題意，由可知：，整理得，所以，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)，依題意，圓的方程為，令，則，，由韋達定理可得，由已知直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得：，由韋達定理可得，由三點共線得，所以，同理，所以，去分母整理得：，將韋達定理帶入得：，整理得或，當時，直線過點，不合題意，所以，所以直線的方程為，恒過定點.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.22.已知函數(shù).（1）設(shè)，經(jīng)過點作函數(shù)圖像的切線，求切線的方程；（2）若函數(shù)有極大值，無最大值，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，令，然后分與兩種情況，分別討論，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】時，設(shè)切點為，則切線斜率為，切線方程：，將點帶入得：，此時斜率，所以切