福建省寧德市第五中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)測(cè)試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023級(jí)新高一學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)測(cè)試卷（數(shù)學(xué)）試卷說明：1.試卷分值：100分；建議時(shí)長(zhǎng)：120分鐘；2.請(qǐng)將答案正確填寫到相應(yīng)的答題區(qū)域.一、單選題（本題共8小題，共24分）1.下列既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】AD不滿足中心對(duì)稱，C不滿足軸對(duì)稱，B滿足要求.【詳解】AD選項(xiàng)，圖形為軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，AD錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，圖形是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，B正確；C選項(xiàng)，圖形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，C錯(cuò)誤.故選：B2.每年的4月23日是“世界讀書日”，某中學(xué)為了了解高一年級(jí)學(xué)生的讀書情況，隨機(jī)調(diào)查了60名學(xué)生的冊(cè)數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示，則這50名學(xué)生讀書冊(cè)數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)是（）冊(cè)數(shù)01234人數(shù)31316171A.3，3 B.3，2 C.2，3 D.2，2【答案】B【解析】【分析】利用眾數(shù)，中位數(shù)的定義，即可得出答案．【詳解】∵將這組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中處于中間的兩個(gè)數(shù)都是2，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2；∵這組樣本數(shù)據(jù)中，3出現(xiàn)了17次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3；故B符合題意，故選：B．3.某直播平臺(tái)帶貨銷售一種產(chǎn)品，4月份獲得利潤(rùn)15萬元，由于產(chǎn)品暢銷，利潤(rùn)逐月增加，二季度共獲利66.2萬元，已知5月份和6月份利潤(rùn)的月增長(zhǎng)率相同.設(shè)5，6月份利潤(rùn)的月增長(zhǎng)率為，那么滿足的關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意4，5，6月份利潤(rùn)和為66.2萬元，再根據(jù)增長(zhǎng)率相同列式即可.【詳解】由題意4月份獲得利潤(rùn)15萬元，5月份獲得利潤(rùn)萬元，6月份獲得利潤(rùn)萬元，又二季度共獲利66.2萬元，故.故選：D4.如圖，將邊長(zhǎng)為2cm的正方形沿其對(duì)角線剪開，再把沿著方向平移，得到，若兩個(gè)三角形重疊部分的面積為，則它移動(dòng)的距離等于（）A.0.5cm B.1cm C.1.5cm D.2cm【答案】B【解析】【分析】設(shè)與交于，設(shè)cm，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)與平行四邊形的面積公式求解即可.【詳解】設(shè)與交于，與交于，則由題意，，故，則，故為等腰直角三角形，同理等腰直角三角形，且，則陰影部分為平行四邊形.設(shè)cm，則cm，cm，故，即，解得.故選：B5.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線軸對(duì)稱，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的性質(zhì)求解即可.【詳解】若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線軸對(duì)稱，則，解得，故.故選：C6.已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，且，則的值是（）A. B.3 C. D.或3【答案】D【解析】【分析】由韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，從而得到方程，求出的值，檢驗(yàn)后得到答案.【詳解】由韋達(dá)定理得，故，解得或，當(dāng)或時(shí)，均滿足，故的值是或3.故選：D7.若，則關(guān)于的不等式組整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】解一元一次不等式組即可求解.【詳解】由，解得，即，因?yàn)椋?，所以包含的整?shù)有：共6個(gè).故選：C.8.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先計(jì)算出，進(jìn)而求出交集.【詳解】，故.故選：D二、多選題（本題共4小題，共20分.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的不得分）9.下列計(jì)算正確的是（）A B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)因式分解的方法求解.【詳解】對(duì)A，，A錯(cuò)誤；對(duì)B，，B錯(cuò)誤；對(duì)C，，C正確；對(duì)D，，D正確；故選：CD.10.由二次函數(shù)，可知（）A.其圖象的開口向上 B.其圖象的對(duì)稱軸為直線C.其最小值為1 D.當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)，所以圖象的開口向上，A正確；對(duì)稱軸為直線，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為1，C正確；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，D錯(cuò)誤；故選：AC.11.如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①；②若，，則；③若，則；④若，則與全等.其中正確的結(jié)論為（）A.① B.② C.③ D.④【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于①，證明出≌，故，從而結(jié)合得到；對(duì)于②，由直角三角形斜邊大于直角邊，得到，從而，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，先得到，又，故，從而得到答案；對(duì)于④，分兩種情況，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)和三角形全等得到結(jié)論.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，，所以，，又是中點(diǎn)，故，所以≌，故，所以，故，①正確；對(duì)于②，畫出圖形，如下：因，所以，因?yàn)?，故，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由①可知，≌，故，，故，若，則，故，又，故，所以，③正確；對(duì)于④，如圖1，，此時(shí)四邊形為平行四邊形，故滿足，故四邊形為平行四邊形，所以與全等；如圖2，此時(shí)，四邊形為等腰梯形，因?yàn)?，所以，故四邊形為等腰梯形，故，又，故≌，所以，又，則與全等，④正確.故選：ACD12.已知集合A=，B，下列說法正確的是（）A.不存在實(shí)數(shù)使得B.當(dāng)時(shí)，.C.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是D.當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】【分析】逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于A，若，則，解得，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)锳=，所以或，當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，或，解得，所以當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，所以C正確，對(duì)于D，由上面可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，成立，所以D正確，故選：BCD三、填空題（本題共4小題，共20分）13.在一個(gè)不透明的紙盒中裝有2個(gè)白球和若干個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同.每次從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回袋中，通過多次重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，則袋子中紅球約有______個(gè).【答案】【解析】【分析】利用頻率結(jié)合古典概型的計(jì)算公式代入即可得出答案.【詳解】因?yàn)槊郊t球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，估計(jì)袋中紅球個(gè)數(shù)是.故答案為：.14.代數(shù)式取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)x的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)基本不等式等號(hào)成立的條件即可求得答案.【詳解】由可知，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故答案為：15.若關(guān)于的分式方程無解，則的值為______.【答案】【解析】【分析】將分式方程化為整式方程，考慮整式方程無解以及分式方程增根兩種情況，求出的值.【詳解】，去分母得，即，若時(shí)，此時(shí)無解，故分式方程無解；若時(shí)，此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，為分式方程的增根，分式方程無解，解得或，綜上：的值為.故答案為：16.已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸是，且不等式的解集為，則的解析式是______．【答案】【解析】【分析】由不等式的解集得一元二次方程的兩根，由韋達(dá)定理得兩個(gè)關(guān)系式，又由對(duì)稱軸得一關(guān)系式，結(jié)合起來可求得，得函數(shù)解析式.【詳解】解：為，其解集為，則，，又函數(shù)的對(duì)稱軸是，則，兩者結(jié)合解得，所以.故答案為：.四、解答題（本題共4小題，共36分）17.計(jì)算.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值、指數(shù)與根式的運(yùn)算求解即可.【詳解】原式.18.化簡(jiǎn)求值：，其中是不等式組的整數(shù)解.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式性質(zhì)化簡(jiǎn)可得原式，再根據(jù)分母與0不能作為除數(shù)求解可得，再代入計(jì)算即可.【詳解】原式.即，故，即，又是不等式組的整數(shù)解，故.又因?yàn)?，故且，?故原式19.設(shè)全集，集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出集合A，根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可求得答案.（2）求出集合A的補(bǔ)集，根據(jù)，即可得答案.【小問1詳解】由題意可得集合，，故.【小問2詳解】，或，若，則，即a的取值范圍為.20.在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求同學(xué)們畫15°、30°和60°角，小強(qiáng)同學(xué)身旁沒有量角器，也沒有圓規(guī)、三角尺，他靈機(jī)一動(dòng)，想到了折紙的辦法：他拿出一張矩形紙片，先對(duì)折使與重合，如圖一，得到折痕，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上的處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)，得到折痕和線段.（1）請(qǐng)直接寫出的度數(shù)，并說明理由；（2）在圖一的線段上取一點(diǎn)，將沿著直線折疊，如圖二，使得點(diǎn)恰好落在線段上，求；（3）若為邊上一點(diǎn)，如圖三，將沿直線折疊，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，連接.①若，當(dāng)時(shí)，若存在唯一的點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，求的值；②在①的條件下，若為線段上一動(dòng)點(diǎn)，如圖四，連接，取線段的中點(diǎn)，連接，求的最小值.【答案】（1），理由見解析（2）（3）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得為直角三角形，并且進(jìn)而求解；（2）根據(jù)翻折前后關(guān)系，設(shè)，結(jié)合求解即可；（3）①設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合相似三角形性質(zhì)可得，進(jìn)而可得若存在唯一的點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，則，再代入求解即可；②取中點(diǎn)，連接，交于，再根據(jù)正方形與等腰直角三角形的性質(zhì)可得當(dāng)為線段上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，的軌跡為線段，進(jìn)而可得當(dāng)在點(diǎn)，在點(diǎn)時(shí)取最小值.【小問1詳解】由題意，且，分別為中點(diǎn)，故在中，，故.又翻折前后可知，故.【小問2詳解】由題意，且，設(shè)，則，則，，故.即【小問3詳解