9.2.2總體百分位數(shù)的估計高一數(shù)學(xué)下學(xué)期人教A版2019

9.2.2總體百分位數(shù)的估計給出以下10個數(shù)據(jù):49，64，50，48，65，52，56，46，54，51.（1）請將上述10個數(shù)據(jù)按從小到大排序；解：46，48，49，50，51，52，54，56，64，65．（2）上述數(shù)據(jù)的中位數(shù)是多少?解：

51.5（3）在上述數(shù)據(jù)中，有多少個數(shù)據(jù)不超過51.5，所占的百分比是多少?解：5個，所占的百分比是50%．復(fù)習(xí)引入前面我們用頻率分布表、頻率分布直方圖描述了居民用戶月均用水量的樣本數(shù)據(jù)，通過對圖表的觀察與分析，得出了一些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布規(guī)律，并由此推測了該市全體居民用戶月均用水量的分布情況，得出了“大部分居民用戶的月均用水量集中在一個較低值區(qū)域”等推斷．接下來的問題是，如何利用這些信息，為政府決策服務(wù)呢？下面我們對此進(jìn)行討論．探究：總體百分位數(shù)的估計思考１：如果該市政府希望使80%的居民用戶生活用水費(fèi)支出不受影響，根據(jù)9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)，你能給市政府提出確定居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)的建議嗎?9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.622.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.69.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.622.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6首先要明確一下問題：根據(jù)市政府的要求確定居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn)，就是要尋找一個數(shù)a，使全市居民用戶月均用水量中不超過a的占80%，大于a的占20%.80%20%1.31.31.82.02.02.02.02.12.22.32.32.42.62.63.03.23.23.63.63.73.84.04.14.34.44.64.74.94.94.95.15.15.15.25.35.45.45.55.55.55.55.65.75.75.96.06.06.46.46.86.87.07.17.17.17.57.77.87.87.98.18.68.89.09.59.910.010.110.210.210.510.811.111.212.012.012.413.313.613.613.813.814.014.915.716.016.716.817.017.918.319.420.521.622.222.424.324.525.628.0將100個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列如下：先將80%換成50%50%50%6.8.因?yàn)?0%×100=50，所以得到第50個和第51個數(shù)據(jù)分別為6.8和6.8.我們?nèi)∵@兩個數(shù)的平均數(shù)這個平均數(shù)能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分1.31.31.82.02.02.02.02.12.22.32.32.42.62.63.03.23.23.63.63.73.84.04.14.34.44.64.74.94.94.95.15.15.15.25.35.45.45.55.55.55.55.65.75.75.96.06.06.46.46.86.87.07.17.17.17.57.77.87.87.98.18.68.89.09.59.910.010.110.210.210.510.811.111.212.012.012.413.313.613.613.813.814.014.915.716.016.716.817.017.918.319.420.521.622.222.424.324.525.628.0將100個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列如下：80%13.7.80%20%因?yàn)?0%×100=80，所以得到第80個和第81個數(shù)據(jù)分別為13.6和13.8.區(qū)間(13.6,

13.8)內(nèi)的任意一個數(shù)，都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分.我們一般取這兩個數(shù)的平均數(shù)我們稱13.7為這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù),或80%分位數(shù).根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，我們可以估計總體數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為13.7左右．由于樣本的取值規(guī)律與總體的取值規(guī)律之間會存在偏差，而在決策問題中，只要臨界值近似為第80百分位數(shù)即可．因此為了實(shí)際中操作的方便，可以建議市政府把月均用水量標(biāo)準(zhǔn)定為14t，或者把年用水量標(biāo)準(zhǔn)定為168t．不一定,盡管這組數(shù)據(jù)中80%的居民用戶用水不超過14t，但因?yàn)樗鼇碜詷颖居^測數(shù)據(jù)，只是總體80%分位數(shù)的一個估計值，抽樣方法和樣本的隨機(jī)性都可能導(dǎo)致樣本百分位數(shù)估計總體百分位數(shù)的誤差．思考２：你認(rèn)為14t這個標(biāo)準(zhǔn)一定能夠保證80%的居民用水不超標(biāo)嗎?如果不一定，那么哪些環(huán)節(jié)可能會導(dǎo)致結(jié)論的差別？一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．第一步:按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第二步:計算i=n×p%；第三步:若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).直觀來說，一組數(shù)據(jù)的第p位百分位數(shù)指的是把這組數(shù)按照從小到大的順序排列后，處于p％位置的數(shù)．歸納總結(jié)1.第p百分位數(shù)的概念：2.計算一組n個數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟：p%(100-p)%第p百分位數(shù)1.在居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)制定的問題中，根據(jù)教科書中的調(diào)查數(shù)據(jù)，如果要讓60%的居民不超出標(biāo)準(zhǔn)，居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)定為多少合適?9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.622.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6練習(xí)課本203頁1.31.31.82.02.02.02.02.12.22.32.32.42.62.63.03.23.23.63.63.73.84.04.14.34.44.64.74.94.94.95.15.15.15.25.35.45.45.55.55.55.55.65.75.75.96.06.06.46.46.86.87.07.17.17.17.57.77.87.87.98.18.68.89.09.59.910.010.110.210.210.510.811.111.212.012.012.413.313.613.613.813.814.014.915.716.016.716.817.017.918.319.420.521.622.222.424.324.525.628.0解：將100個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列如下：因此居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)定為8.0t.2.一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1，2，2，2，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，14，17，17，18，18，則該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為_______；第50百分位數(shù)為_______；第75百分位數(shù)為_______.解：因?yàn)閿?shù)據(jù)個數(shù)為20，而且20×25%＝5，20×50%＝10，20×75%＝15.第86百分位數(shù)為_______.四分位數(shù)

25%第一四分位數(shù)（下四分位數(shù)）50%75%中位數(shù)第三四分位數(shù)（上四分位數(shù)）歸納總結(jié)中位數(shù)相當(dāng)于是第50百分位數(shù)，常用的分位數(shù)還有第25百分位數(shù)，第75百分位數(shù)，這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等．另外，像第1百分位數(shù)，第5百分位數(shù)，第95百分位數(shù)，第99百分位數(shù)也常用．百分位數(shù)的特點(diǎn)：(1)第0百分位數(shù)為數(shù)據(jù)組中的最小數(shù)，第100百分位數(shù)為數(shù)據(jù)組中的最大數(shù)；(2)一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)既可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)，也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)；(3)一組數(shù)據(jù)的某些百分位數(shù)可能是同一個數(shù)．例題例1：根據(jù)節(jié)問題3中27名女生的樣本數(shù)據(jù),估計樹人中學(xué)高一年級女生的第25,50,75百分位數(shù).解:把27名女生的樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序,可得據(jù)此估計樹人中學(xué)高一年級女生的第25,50,75百分位數(shù)155.5，161，164.

163.0

164.0

161.0

157.0

162.0

165.0

158.0

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162.5

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154.0

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170.0

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148.0149.0154.0154.0155.0155.0155.5157.0157.0

158.0158.0159.0161.0161.0

162.0162.5162.5163.0

163.0164.0164.0164.0165.0170.0171.0172.0172.0課本202頁練習(xí)根據(jù)節(jié)問題3中男生的樣本數(shù)據(jù),請你估計樹人中學(xué)高一年級男生的第25,50,75百分位數(shù).如果要減少估計的誤差，你覺得應(yīng)該怎么做？173.0174.0166.0172.0

170.0165.0165.0

168.0164.0173.0172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0175.0168.0173.0167.0170.0175.0解:把23名男生的樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序,可得據(jù)此估計樹人中學(xué)高一年級男生的第25,50,75百分位數(shù)168.0，172.0，173.0.164.0164.0165.0166.0167.0168.0168.0168.0170.0170.0170.0172.0172.0172.0173.0173.0173.0173.0174.0175.0175.0175.0176.0通過增加樣本量，可以減少估計的誤差.課本203頁例２：根據(jù)課本表9.2-1或圖9.2-1，估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%和95%分位數(shù).分析：在某些情況下,我們只能獲得整理好的統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖,與原始數(shù)據(jù)相比，它們損失了一些信息.例如由表9.2-1，我們知道[16.2,19.2)內(nèi)有5個數(shù)據(jù)，但不知道這5個數(shù)據(jù)具體是多少.此時，我們通常把它們看成均勻地分布在此區(qū)間上.課本202頁解：由表可知，月均用水量在13.2t以下的居民用戶所占比例為23%+32%+13%+9%=77%.在16.2t以下的居民用戶所占的比例為77%+9%=86%.因此,80%分位數(shù)一定位[13.2,16.2)內(nèi).可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為14.2.由表9.2-1可知，月均用水量在22.2t以下的居民用戶所占比例為23%＋32%＋13%＋9%＋5%＋3%=94%，在25.2t以下的居民用戶所占的比例為94%+4%=98%．因此，95%分位數(shù)一定位于[22.2，25.2)內(nèi)．可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的95%分位數(shù)約為22.95．0.320.130.090.090.050.030.040.020.23解:由頻率分布直方圖依次算出各小組的頻率為：0.23，0.32，0.13，0.09，0.09，0.05，0.03，0.04，0.02.所以月均用水量在13.2t以下的居民所占比例為：0.23+0.32+0.13+0.09=0.77，月均用水量在16.2t以下的居民所占比例為：0.77+0.09=0.86.

所以，第80百分位數(shù)一定位于[13.2，16.2）內(nèi).

設(shè)第80百分位數(shù)為m,則

0.77+（m-13.2）×0.030=0.80，

解得m=14.2.所以，可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為14.2.原始數(shù)據(jù)：13.7頻率分布表：14.2頻率分布直方圖：14.20.320.130.090.090.050.030.040.020.23由頻率分布直方圖依次算出各小組的頻率為：0.23，0.32，0.13，0.09，0.09，0.05，0.03，0.04，0.02.所以月均用水量在22.2