第1節(jié) 隨機抽樣

1.理解隨機抽樣的必要性和重要性．2．會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本．3．了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法．

1．簡單隨機抽樣

(1)定義：設(shè)一個總體含有N個個體，從中

抽

取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個

個體被抽到的機會

，就把這種抽樣方法叫做簡單隨

機抽樣．

(2)最常用的簡單隨機抽樣的方法：

和

．逐個不放回地都相等抽簽法隨機數(shù)法2．系統(tǒng)抽樣的步驟假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．3．分層抽樣

(1)定義：在抽樣時，將總體

的層，然后

按照

，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，

將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法

是一種分層抽樣．

(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍：

當(dāng)總體是由

組成時，往往選用分

層抽樣．分成互不交叉一定的比例差異明顯的幾個部分提示：(1)抽樣過程中每個個體被抽取的機會均等．(2)系統(tǒng)抽樣中在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣；分層抽樣中各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣．

[思考探究]三種抽樣方法有什么共同點和聯(lián)系？1．在簡單隨機抽樣中，某一個個體被抽到的可能性是 (

)A．與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽到的可能性最大B．與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽到的可能性最小C．與第幾次抽樣無關(guān)，每一次抽到的可能性相等D．與第幾次抽樣無關(guān)，與抽取幾個樣本有關(guān)解析：在簡單隨機抽樣中，每一個個體被抽到的機會是均等的．答案：C2．對某校高中學(xué)生做專項調(diào)查，該校高一年級320人，高

二年級280人，高三年級360人，若采用分層抽樣的方

法抽取一個容量為120的樣本，則從高二年級學(xué)生中抽

取的人數(shù)為 (

)A．35

B．40C．25D．45

解析：

×120＝35.答案：A3．要從已經(jīng)編號(1～60)的60枚最新研制的某型號導(dǎo)彈中隨

機抽取6枚來進行發(fā)射試驗，用每部分選取的號碼間隔一

樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的6枚導(dǎo)彈的編號可能是

(

)A．5,10,15,20,25,30 B．3,13,23,33,43,53C．1,2,3,4,5,6D．2,4,8,16,32,48解析：分6組，每組10個編號，每個被抽取的編號之間相差10.答案：B4．為了解1200名學(xué)生對學(xué)校某項教改實驗的意見，打算

從中抽取一個容量為30的樣本，考慮采取系統(tǒng)抽樣，

則分段的間隔k為________．解析：在系統(tǒng)抽樣中，確定分段間隔k，對編號進行分段，k＝(N為總體的容量，n為樣本的容量)，∴k＝＝40.答案：405．北京某中學(xué)高一、高二、高三三個年級的學(xué)生數(shù)分別

為1500人，1200人，1000人，現(xiàn)采用按年級分層抽

樣的方法參加2008年奧運會的宣傳活動，已知在高一

年級抽取了75人，則這次活動共抽取了________人．解析：設(shè)共抽取了x人，則有：

×1500＝75.∴x＝185.答案：185簡單隨機抽樣的特點1．簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)N是有限的．2．簡單隨機抽樣樣本數(shù)n小于等于樣本總體的個數(shù)N.3．簡單隨機抽樣樣本是從總體中逐個抽取的．4．簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣．5．簡單隨機抽樣的每個個體被選中的可能性均為.[特別警示]

當(dāng)總體中個體數(shù)較少時適用抽簽法；當(dāng)總體中個體數(shù)較多時適用隨機數(shù)法．某大學(xué)為了支援我國西部教育事業(yè)，決定從2009年應(yīng)屆畢業(yè)生報名的18名志愿者中，選取6人組成志愿小組，請用抽簽法和隨機數(shù)法設(shè)計抽樣方案．[思路點撥][課堂筆記]抽簽法：第一步：將18名志愿者編號，編號為1,2,3，…，18.第二步：將18個號碼分別寫在18張外形完全相同的紙條上，并揉成團，制成號簽．第三步：將18個號簽放入一個不透明的盒子，充分?jǐn)噭颍谒牟剑簭暮凶又兄饌€抽取6個號簽，并記錄上面的編號．第五步：所得號碼對應(yīng)的志愿者，就是志愿小組的成員．隨機數(shù)法：第一步：將18名志愿者編號，編號為01,02,03，…，18.第二步：在隨機數(shù)表中任選一數(shù)作為開始，按某一確定的方向讀數(shù)，例如選出第8行第7列的數(shù)7.第三步：從數(shù)7開始，向右讀，每次取兩位，凡不在01～18中的數(shù)，或已讀過的數(shù)，都跳過去不作記錄，依次可得16,10,12,07,15,13.第四步：找出以上號碼對應(yīng)的志愿者就是志愿小組的成員．若把本例中的“18名志愿者”改為“1800名志愿者”，又應(yīng)該如何進行抽樣？解：因為總體數(shù)較大，若選用抽簽法制號簽太麻煩，故應(yīng)選用隨機數(shù)表法.第一步：先將1800名學(xué)生編號，可以編為0001,0002,0003，…，1800.第二步：在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始，按某一確定的方向讀數(shù)，例如選出第2行第5列的數(shù)2.第三步：從選定的數(shù)開始向右讀，依次可得0736,0751,0732,1355,1410,1256為樣本的6個號碼，這樣我們就得到一個容量為6的樣本.系統(tǒng)抽樣的特點1．適用于元素個數(shù)很多且均衡的總體．2．各個個體被抽到的機會均等．3．總體分組后，在起始部分抽樣時采用的是簡單隨機

抽樣．4．如果總體容量N能被樣本容量n整除，則抽樣間隔為k

＝，如果總體容量N不能被樣本容量n整除，可隨

機地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣．[特別警示]

系統(tǒng)抽樣的四個步驟可簡記為：編號—分段—確定起始的個體號—抽取樣本．某校高中三年級的295名學(xué)生已經(jīng)編號為1,2，…，295，為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，要按1∶5的比例抽取一個樣本，用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽取，并寫出過程．[思路點撥][課堂筆記]按1∶5分組，每組5人，共分59組，每組抽取一人，關(guān)鍵是確定第1組的編號．按照1∶5的比例，應(yīng)該抽取的樣本容量為＝59，我們把295名同學(xué)分成59組，每組5人．第1組是編號為1～5的5名學(xué)生，第2組是編號為6～10的5名學(xué)生，依次下去，第59組是編號為291～295的5名學(xué)生．采用簡單隨機抽樣的方法，從第1組5名學(xué)生中抽出一名學(xué)生，不妨設(shè)編號為l(1≤l≤5)，那么抽取的學(xué)生編號為l＋5k(k＝0,1,2，…，58)，得到59個個體作為樣本，如當(dāng)l＝3時的樣本編號為3,8,13，…，288,293.分層抽樣是當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時采用的抽樣方法，進行分層抽樣時應(yīng)注意幾點：①分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是，層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊；②為了保證每個個體等可能入樣，所有層中每個個體被抽到的可能性相同；③在每層抽樣時，應(yīng)采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣．某單位有職工550人，現(xiàn)為調(diào)查職工的健康狀況，先決定將職工分成三類：青年人、中年人、老年人，經(jīng)統(tǒng)計后知青年人的人數(shù)恰是中年人的人數(shù)的兩倍，而中年人的人數(shù)比老年人的人數(shù)多50人．若采用分層抽樣，從中抽取22人的樣本，則青年人、中年人、老年人應(yīng)該分別抽取多少人？[思路點撥][課堂筆記]

設(shè)該單位職工中老年人的人數(shù)為x，則中年人的人數(shù)為x＋50，青年人的人數(shù)為2(x＋50)．∴x＋x＋50＋2(x＋50)＝550，∴x＝100，x＋50＝150,2(x＋50)＝300.所以該單位有青年人300人、中年人150人、老年人100人．由題意知抽樣比例為，所以青年人、中年人、老年人應(yīng)分別抽取12人、6人、4人．以選擇題或填空題的形式考查分層抽樣的應(yīng)用，主要涉及抽取個體的數(shù)量及總體容量的計算等問題，是高考對本講內(nèi)容常規(guī)考法.09年山東高考將上述問題與概率問題相結(jié)合考查，并出現(xiàn)在解答題中，是高考對該部分內(nèi)容考查的一個新方向．[考題印證](2009·山東高考)(12分)一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．

(1)求z的值；

(2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；(3)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率．【解】

(1)設(shè)該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得，所以n＝2000，則z＝2000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(3分)(2)設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意，得a＝2.因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車．用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個，故P(E)＝，即所求概率為.┄┄┄┄┄┄(8分)(3)樣本平均數(shù)(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.設(shè)D表示事件“從樣本中任取一數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”，則基本事件空間中有8個基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4,8.6，9.2，8.7,9.3,9.0，共6個，所以P(D)＝，即所求概率為.┄┄┄┄(12分)[自主體驗]某初級中學(xué)共有學(xué)生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表：初一年級初二年級初三年級女生373Xy男生377370z已知在全校學(xué)生中隨機抽取1名，抽到初二年級女生的概率是0.19.(1)求x的值；

(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問應(yīng)在初三年級抽取多少名？

(3)已知y≥245，z≥245，求初三年級中女生比男生多的概率．解：(1)x＝2000×0.19＝380(名)；

(2)由題意和(1)可知，初一、初二年級各有學(xué)生750名，初三年級學(xué)生為2000－750－750＝500(名)，故采用分層抽樣方法在全校抽取48名學(xué)生，應(yīng)在初三年級抽取×48＝12(名)．(3)當(dāng)y≥245，z≥245時，初三年級中男、女生人數(shù)的所有可能組合為：男生245246247248249250251252253254255女生255254253252251250249248247246245所有可能組合有11種，其中女生比男生多的組合有5種，故初三年級中女生比男生多的概率為.1．要完成下列兩項調(diào)查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、

95戶低收入家庭中選出100戶調(diào)查社會購買力的某項

指標(biāo)；②某中學(xué)的15名藝術(shù)特長生中選出3人調(diào)查學(xué)

習(xí)負(fù)擔(dān)情況．宜采用的抽樣方法依次為 (

)A．①簡單隨機抽樣法，②系統(tǒng)抽樣法B．①分層抽樣法，②簡單隨機抽樣法C．①系統(tǒng)抽樣法，②分層抽樣法D．①②都用分層抽樣法解析：①中總體由差異明顯的幾部分構(gòu)成，宜采用分層抽樣法，②中總體中的個體數(shù)較少，宜采用簡單隨機抽樣法．答案：B2．有20位同學(xué)，編號從1～20，現(xiàn)在從中抽取4人的作文

卷進行調(diào)查，用系統(tǒng)抽樣方法確定所抽的編號為(

)A．5,10,15,20

B．2,6,10,14C．2,4,6,8 D．5,8,11,14解析：將20分成4個組，每組5個號，間隔等距離為5.答案：A3．某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食

品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中

抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測．若采用分

層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食

品種數(shù)之和是 (

)A．4 B．5C．6 D．7

解析：共有食品100種，抽取容量為20，所以各抽取，故抽取植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和為10×＋20×＝6.答案：C4．(2010·長春模擬)用系統(tǒng)抽樣法從160名學(xué)生中抽取容量

為20的樣本，將160名學(xué)生隨機地從1～160編號，按編

號順序平均分成20組(1～8號，9～16號，…，153～160

號)，若第16組抽出的號碼為126，則第1組中用抽簽的方

法確定的號碼是________．解析：設(shè)第1組抽出的號碼為x，則第16組應(yīng)抽出的號碼是8×15＋x＝126，∴x＝6.答案：65．(2009·廣東高考)某單位200名職工的年齡分布情況如圖，

現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本．用系統(tǒng)抽樣法，將全

體職工隨機按1～200編號，并按編號順序平均分為40

組(1～5號，6～10號，…，196～200號)．若第5組抽出

的號碼為22，則第8組抽出的號碼應(yīng)是________．若用

分層抽樣方法，則40