2019年山東省濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2019年山東省濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)符合題目要求

1.（3分）（2019?濟(jì)寧）下列四個實(shí)數(shù)中，最小的是（）

A.-近B.-5C.1D.4

【考點(diǎn)】22：算術(shù)平方根；2A：實(shí)數(shù)大小比較.

【專題】511：實(shí)數(shù).

【分析】正實(shí)數(shù)都大于0,負(fù)實(shí)數(shù)都小于0,正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個負(fù)實(shí)數(shù)絕對值

大的反而小，據(jù)此判斷即可.

【解答】解：根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較的方法，可得

-5<-A/2<1<4,

所以四個實(shí)數(shù)中，最小的數(shù)是-5.

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確:

正實(shí)數(shù)>0>負(fù)實(shí)數(shù)，兩個負(fù)實(shí)數(shù)絕對值大的反而小.

2.（3分）（2019?濟(jì)寧）如圖，直線°,6被直線c,1所截，若/1=/2,Z3=125°,則

【考點(diǎn)】JB：平行線的判定與性質(zhì).

【專題】551：線段、角、相交線與平行線；64：幾何直觀.

【分析】首先證明〃〃b,推出N4=N5,求出N5即可.

【解答】解：?.?N1=N2,

.\a//b,

：.Z4=Z5,

VZ5=180°-Z3=55

：.Z4=55°,

【點(diǎn)評】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常

考題型.

3.（3分）（2019?濟(jì)寧）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【考點(diǎn)】P3：軸對稱圖形；R5：中心對稱圖形.

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】直接利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)正確；

2、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；

。、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤.

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了中心對稱與軸對稱的概念：軸對稱的關(guān)鍵是尋找對稱軸，兩邊

圖象折疊后可重合，中心對稱是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合.

4.（3分）（2019?濟(jì)寧）以下調(diào)查中，適宜全面調(diào)查的是（）

A.調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力

B.調(diào)查某班學(xué)生的身高情況

C.調(diào)查春節(jié)聯(lián)歡晚會的收視率

D.調(diào)查濟(jì)寧市居民日平均用水量

【考點(diǎn)】V2：全面調(diào)查與抽樣調(diào)查.

【專題】542：統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；65：數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)

查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似解答.

【解答】解：4調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力，適合抽樣調(diào)查，故A選項(xiàng)錯誤；

8、調(diào)查某班學(xué)生的身高情況，適合全面調(diào)查，故8選項(xiàng)正確；

C、調(diào)查春節(jié)聯(lián)歡晚會的收視率，適合抽樣調(diào)查，故C選項(xiàng)錯誤；

。、調(diào)查濟(jì)寧市居民日平均用水量，適于抽樣調(diào)查，故。選項(xiàng)錯誤.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考

查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的

意義或價值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選

用普查.

5.（3分）（2019?濟(jì)寧）下列計(jì)算正確的是（）

A.,（-3）2==B.返=相C.V36=+6D.-VO.36=-0.6

【考點(diǎn)】22：算術(shù)平方根；24：立方根.

【專題】514：二次根式；61：數(shù)感；66：運(yùn)算能力.

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)分析得出答案.

【解答】解：A、斤=3,故此選項(xiàng)錯誤；

B、牛石=-我，故此選項(xiàng)錯誤；

C、倔=6,故此選項(xiàng)錯誤；

D、-Vo.36=-0.6,正確.

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

6.（3分）（2019?濟(jì)寧）世界文化遺產(chǎn)“三孔”景區(qū)已經(jīng)完成5G基站布設(shè)，“孔夫子家”自

此有了5G網(wǎng)絡(luò).5G網(wǎng)絡(luò)峰值速率為4G網(wǎng)絡(luò)峰值速率的10倍，在峰值速率下傳輸500

兆數(shù)據(jù)，5G網(wǎng)絡(luò)比4G網(wǎng)絡(luò)快45秒，求這兩種網(wǎng)絡(luò)的峰值速率.設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率

為每秒傳輸x兆數(shù)據(jù)，依題意，可列方程是（）

A500_500=《5B500_500=45

C5000_500=45D500_5000=45

xx

【考點(diǎn)】B6：由實(shí)際問題抽象出分式方程.

【專題】522：分式方程及應(yīng)用.

【分析】直接利用5G網(wǎng)絡(luò)比4G網(wǎng)絡(luò)快45秒得出等式進(jìn)而得出答案.

【解答】解：設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸無兆數(shù)據(jù)，依題意，可列方程是：

-5-0-0-.5.0.0-—4435.

X10x

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，正確得出等式是解題關(guān)鍵.

7.（3分）（2019?濟(jì)寧）如圖，一個幾何體上半部為正四棱錐，下半部為立方體，且有一個

面涂有顏色，該幾何體的表面展開圖是（）

【考點(diǎn)】16：幾何體的展開圖.

【專題】16：壓軸題.

【分析】由平面圖形的折疊及幾何體的展開圖解題，注意帶圖案的一個面不是底面.

【解答】解：選項(xiàng)A和C帶圖案的一個面是底面，不能折疊成原幾何體的形式；

選項(xiàng)B能折疊成原幾何體的形式；

選項(xiàng)。折疊后下面帶三角形的面與原幾何體中的位置不同.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了幾何體的展開圖.解題時勿忘記正四棱柱的特征及正方體展開

圖的各種情形.注意做題時可親自動手操作一下，增強(qiáng)空間想象能力.

8.（3分）（2019?濟(jì)寧）將拋物線y=/-6x+5向上平移兩個單位長度，再向右平移一個單

位長度后，得到的拋物線解析式是（）

A.y=（尤-4）2-6B.y=（x-1）2-3C.y=（x-2）2-2D.y=（x-4）2-2

【考點(diǎn)】H6：二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；67：推理能力；68：模型思想.

【分析】先把y=/-6x+5配成頂點(diǎn)式，得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-4）,再把點(diǎn)（3,

-4）向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,-2）,然

后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出平移后的拋物線解析式.

【解答】解：y=f-6x+5=（尤-3）2-4,即拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-4）,

把點(diǎn)（3,-4）向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,

-2）,

所以平移后得到的拋物線解析式為y=（x-4）2-2.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故。不

變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)

平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出

解析式.

9.（3分）（2019?濟(jì)寧）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2,0）,點(diǎn)8的坐標(biāo)是（0,6）,C為OB

的中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到B'C.若反比例函數(shù)y=K的

x

圖象恰好經(jīng)過A'2的中點(diǎn)。，則上的值是（）

【考點(diǎn)】G6：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；R7：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

【專題】534：反比例函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】作A'H_Ly軸于證明△AOBg△BttV（44S）,推出。4=8"，OB=A'

H,求出點(diǎn)A'坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)。坐標(biāo)即可解決問題.

【解答】解：作A'軸于X.

.0???

.*ZAOB=ZA'HB=ZABAr=90°,

??NA50+NA，BH=90°,ZABO+ZBAO=90°,

\ZBAO=ZA'BH,

：BA=BAr,

,?AAOB^ABHA'(A4s),

??OA=BH,OB=A'H,

??點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,0),點(diǎn)3的坐標(biāo)是(0,6),

\。4=2,05=6,

??BH=OA=2,ArH=OB=6,

??OH=4,

??A，(6,4),

：BD=ArD,

\D(3,5),

.?反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,

9.k=15.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)等知識,

解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓

軸題.

10.（3分）（2019?濟(jì)寧）已知有理數(shù)aWl,我們把」一稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)

是-^=-1,-1的差倒數(shù)是————=4-如果。1=-2,（12是ai的差倒數(shù)，。3是。2

1-(-1)2

的差倒數(shù)，44是〃3的差倒數(shù)...依此類推，那么G1+Q2+…+4100的值是（）

A.-7.5B.7.5C.5.5D.-5.5

【考點(diǎn)】17：倒數(shù)；37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

【專題】2A：規(guī)律型.

【分析】求出數(shù)列的前4個數(shù)，從而得出這個數(shù)列以-2,1,上依次循環(huán)，且-2+1+上

3232

=-1，再求出這100個數(shù)中有多少個周期，從而得出答案.

6

【解答】解：：m=-2,

??6E2=—--=--，43=\~=--，6f4=c~~-2,.........

1-（-2）32-

32

這個數(shù)列以-2,1,上依次循環(huán)，且-2+工+鄉(xiāng)=-1,

32326

V1004-3=33—l,

11K

；.。1+。2+…+aioo=33X（--）-2=--7.5,

62

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的

因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況.

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。

11.（3分）（2019?濟(jì)寧）己知x=l是方程尤2+法-2=0的一個根，則方程的另一個根是

2.

【考點(diǎn)】A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程-因式分解法.

【專題】11：計(jì)算題.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出XIX2=￡=-2,即可得出另一根的值.

a

【解答】解：〈xn是方程-2=0的一個根，

.*.X\X2=—=-2,

a

：.1XX2=-2,

則方程的另一個根是：-2,

故答案為-2.

【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出兩根之積求出另一根是解

決問題的關(guān)鍵.

12.（3分）（2019?濟(jì)寧）如圖，該硬幣邊緣鐫刻的正九邊形每個內(nèi)角的度數(shù)是」0：

【考點(diǎn)】L3：多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】555：多邊形與平行四邊形.

【分析】先根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：180°?（”-2）求出該多邊形的內(nèi)角和，再求出每一

個內(nèi)角的度數(shù).

【解答】解：該正九邊形內(nèi)角和=180°X（9-2）=1260°,

則每個內(nèi)角的度數(shù)=絲g—=140°.

9

故答案為：140°*

【點(diǎn)評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理：180°?（"-2）,比較簡單，解答本題的

關(guān)鍵是直接根據(jù)內(nèi)角和公式計(jì)算可得內(nèi)角和.

13.（3分）（2019?濟(jì)寧）已知點(diǎn)P（無，y）位于第四象限，并且xWy+4（x,y為整數(shù)），寫

出一個符合上述條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（1,-2）（答案不唯一）.

【考點(diǎn)】D1：點(diǎn)的坐標(biāo).

【專題】531：平面直角坐標(biāo)系.

【分析】直接利用第四象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得出無，y的取值范圍，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：:.點(diǎn)P（x,y）位于第四象限，并且xWy+4（x,y為整數(shù)），

.'.x>0,y<0,

工當(dāng)％=1時,lWy+4,

解得：0>y2-3,

.?.y可以為：-2,

故寫一個符合上述條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)可以為：（1，-2）（答案不唯一）.

故答案為：（1,-2）（答案不唯一）.

【點(diǎn)評】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，正確把握橫縱坐標(biāo)的符號是解題關(guān)鍵.

14.（3分）（2019?濟(jì)寧）如圖，。為直角邊AC上一點(diǎn)，以O(shè)C為半徑的。0與

斜邊相切于點(diǎn)￡?,交04于點(diǎn)E,已知BC=?,AC=3.則圖中陰影部分的面積是

2L

【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；MC：切線的性質(zhì)；MO：扇形面積的計(jì)算.

【專題】55C：與圓有關(guān)的計(jì)算.

【分析】首先利用勾股定理求出AB的長，再證明BD=BC,進(jìn)而由AD=AB-BD可求

出A。的長度；利用特殊角的銳角三角函數(shù)可求出/A的度數(shù)，則圓心角NOO4的度數(shù)

可求出，在直角三角形0D4中求出。。的長，最后利用扇形的面積公式即可求出陰影部

分的面積.

【解答】解：在RtZxABC中，AC=3.

???AB=hc2+BC2=2a'

-：BC±OC,

是圓的切線，

,/Q0與斜邊AB相切于點(diǎn)D,

：.BD=BC,

：.AD=AB-BD=2M-眄=如；

在RtaABC中，：sinA=T=』L=』

AB2V32

AZA=30°,

,/O。與斜邊AB相切于點(diǎn)D,

：.OD±AB,

：.ZAOD=90°-NA=60°,

-^5-=tanA=tan300,

AD

OP_V3

7F亍

：.OD=\,

60兀Xl2兀

陰影

360T

故答案是：2L.

6

【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)定理、切線長定理以及勾股定理的運(yùn)用，熟記和圓有關(guān)

的各種性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

15.（3分）（2019?濟(jì)寧）如圖，拋物線與直線>=如+〃交于A（-1,p）,B（3,

q）兩點(diǎn)，則不等式af+mx+c”的解集是-3或%>1.

【考點(diǎn)】HC：二次函數(shù)與不等式（組）.

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】觀察兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【解答】解：J?拋物線>=以2+。與直線丁=如汁〃交于A（-1,夕），B（3,q）兩點(diǎn)，

-m+n=p,3m+n=q,

「?拋物線與直線>=-如十"交于尸（1,〃），。（一3,q）兩點(diǎn)，

觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)工〈-3或%>1時，直線y=-加什幾在拋物線>=以2+法+。的下

方，

不等式aj?+mx+c>n的解集為x<-3或x>1.

故答案為：xV-3或x>l.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)與不等式，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系找出不等式的

解集是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：本大題共7小題，共55分，

16.（6分）（2019?濟(jì)寧）計(jì)算：6sin60°-V12+（―）°+“5-2018|

2

【考點(diǎn)】2C：實(shí)數(shù)的運(yùn)算；6E：零指數(shù)累；T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】11：計(jì)算題；511：實(shí)數(shù).

【分析】本題涉及零指數(shù)塞、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡4個考點(diǎn).在

計(jì)算時，需要針對每個考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果.

【指軍答】解：原式=6義苧_2?+l+2018~V5，

=2019.

【點(diǎn)評】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

17.（7分）（2019?濟(jì)寧）某校為了解學(xué)生課外閱讀情況，就學(xué)生每周閱讀時間隨機(jī)調(diào)查了

部分學(xué)生，調(diào)查結(jié)果按性別整理如下：

女生閱讀時間人數(shù)統(tǒng)計(jì)表

閱讀時間f（小時）人數(shù)占女生人數(shù)百分比

0^/<0.5420%

0.5W/V1m15%

525%

1.5W/V26n

2W/V2.5210%

根據(jù)圖表解答下列問題：

（1）在女生閱讀時間人數(shù)統(tǒng)計(jì)表中，m=3,n=30%；

（2）此次抽樣調(diào)查中，共抽取了50名學(xué)生，學(xué)生閱讀時間的中位數(shù)在1W/V1.5

時間段；

（3）從閱讀時間在2?2.5小時的5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加市級閱讀活動，恰好

抽到男女生各一名的概率是多少？

男生閱讀時間頻數(shù)分布直方圖

人數(shù)（人）

A

12■12

【考點(diǎn)】V2：全面調(diào)查與抽樣調(diào)查；V7：頻數(shù)（率）分布表；VB：扇形統(tǒng)計(jì)圖；W4：

中位數(shù)；X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應(yīng)用.

【分析】（1）由0Wf<0.5時間段的人數(shù)及其所占百分比可得女生人數(shù)，再根據(jù)百分比的

意義求解可得；

（2）將男女生人數(shù)相加可得總?cè)藬?shù)，再根據(jù)中位數(shù)的概念求解可得；

（3）利用列舉法求得所有結(jié)果的個數(shù)，然后利用概率公式即可求解.

【解答】解：（1）女生總?cè)藬?shù)為4?20%=20（人），

.,./77=2OX15%=3,X100%=30%,

20

故答案為：3,30%；

（2）學(xué)生總?cè)藬?shù)為20+6+5+12+4+3=50（人），

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第25、26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而第25、26個數(shù)據(jù)均落在范

圍內(nèi)，

學(xué)生閱讀時間的中位數(shù)在時間段，

故答案為:50,iwyi.5；

（3）學(xué)習(xí)時間在2?2.5小時的有女生2人，男生3人.

女女男勇男

/'/W/N/Z/Z

女男男男女男男男女女男男女女男男女女男男

共有20種可能情況，則恰好抽到男女各一名的概率是絲=3.

205

【點(diǎn)評】本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力；利用統(tǒng)計(jì)圖

獲取信息時，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問題.

18.（7分）（2019?濟(jì)寧）如圖，點(diǎn)M和點(diǎn)N在乙4。8內(nèi)部.

（1）請你作出點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離相等，且到ZAOB兩邊的距離也相等

（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）請說明作圖理由.

【考點(diǎn)】KF：角平分線的性質(zhì)；KG：線段垂直平分線的性質(zhì)；N3：作圖一復(fù)雜作圖.

【專題】13：作圖題.

【分析】（1）根據(jù)角平分線的作法、線段垂直平分線的作法作圖；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)解答.

【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)、P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離相等，且到NA03兩邊的距離也相

李；

（2）理由：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等、直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的

【點(diǎn)評】本題考查的是復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握基本

作圖的一般步驟、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.（8分）（2019?濟(jì)寧）小王騎車從甲地到乙地，小李騎車從乙地到甲地，小王的速度小

于小李的速度，兩人同時出發(fā)，沿同一條公路勻速前進(jìn).圖中的折線表示兩人之間的距

離y與小王的行駛時間無（力）之間的函數(shù)關(guān)系.

請你根據(jù)圖象進(jìn)行探究：

（1）小王和小李的速度分別是多少？

（2）求線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

【專題】533：一次函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】（1）根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以分別求得王和小李的速度；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和圖象中的數(shù)據(jù)可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而可以解答本題.

【解答】解：（1）由圖可得，

小王的速度為：304-3=10W/z,

小李的速度為：（30-10X1）+l=20km/h,

答：小王和小李的速度分別是10km/h,2Qkm/h；

（2）小李從乙地到甲地用的時間為：304-20=1.5//,

當(dāng)小李到達(dá)甲地時，兩人之間的距離為：10X1.5=15）tm,

.,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1.5,15）,

設(shè)線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)解析式為y=kx+b,

產(chǎn)0,得產(chǎn)。,

ll.5k+b=15lb=-30

即線段所表示的y與x之間的函數(shù)解析式是y=30x-30（lWxWL5）.

【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)

和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

20.（8分）（2019?濟(jì)寧）如圖，A2是O。的直徑，C是。。上一點(diǎn)，。是AC的中點(diǎn)，E為

。。延長線上一點(diǎn)，且NCAE=2NC,AC與BD交于點(diǎn)H,與OE交于點(diǎn)F.

(1)求證：AE是O。的切線;

(2)若。H=9,tanC=工，求直徑A3的長.

4

【考點(diǎn)】M2：垂徑定理；M5：圓周角定理；ME：切線的判定與性質(zhì)；T7：解直角三角

形.

【專題】55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系.

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理得到OE_LAC,求得/AFE=90°,求得/胡。=90°,于是

得到結(jié)論；

(2)連接AD,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1),??。是血的中點(diǎn),

OELAC,

：.ZAFE^90°,

：.ZE+ZEAF=90°,

VZAOE=2ZC,ZCAE=2ZC,

：.ZCAE=ZAOE,

：.ZE+ZAOE^90°,

：.ZEAO=90°,

是O。的切線；

(2)連接AO,在RfAOH中，

'：ZDAC^ZC,

tanZDAC=tanC=—,

4

,:DH=9,

:.AD=n,

在RtBDA中，*.*tanB=tanC=上,

sinB=—,

5

：.AB=20.

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和

性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

21.（8分）（2019?濟(jì)寧）閱讀下面的材料：

如果函數(shù)y=/（x）滿足：對于自變量x的取值范圍內(nèi)的任意xi,及，

（1）若Xl<%2,都有了（XI）</（X2）,則稱/（X）是增函數(shù)；

（2）若羽<%2,都有/（幻）>/（X2）,則稱/（%）是減函數(shù).

例題：證明函數(shù)/（x）=—（x>0）是減函數(shù).

證明：設(shè)0Vxi〈x2,

Sc6x-6x16（x-xi）

/（XI）-于（X2）=--2=—2------1=——2-?J—.

盯x2盯乂？X|x2

VO<X1<X2,

.*.X2-XI>0,XlX2>0.

6（x9-xi）

??--------------—>0.即/（xi）-f（X2）>0.

xlx2

（XI）>f（X2）.

...函數(shù)/（x）—g（x>0）是減函數(shù).

X

根據(jù)以上材料，解答下面的問題：

已知函數(shù)/（%）=」亍+%（xV。），

7

4

(1)計(jì)算：/(-3)①一，/（-4）63

16-

（2）猜想：函數(shù)/（尤）=A-+x（x<0）是增函數(shù)（填“增”或“減”）；

（3）請仿照例題證明你的猜想.

【考點(diǎn)】E4：函數(shù)自變量的取值范圍；G6：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【專題】534：反比例函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】（1）根據(jù)題目中函數(shù)解析式可以解答本題；

（2）由（1）結(jié)論可得；

（3）根據(jù)題目中例子的證明方法可以證明（1）中的猜想成立.

【解答】解：（1）,//（%）=得~+無（尤<°），

-3)=-3=-2/(-4)=—-4=-生

(-3)

故答案為：-空,63

16

(2)V-4<-3,/(-4)</(-3)

，函數(shù)/(無)=」亍+"(x<0)是增函數(shù)

X

故答案為：增

(3)設(shè)xiV%2V0,

11Xi+x2

V/(XI)-f(X2)=-----+xi-------X2=(XI-X2)(1------——

Y49..22..2

Vxi<x2<0,

.".XI-X2<0,Xl+X2<0,

.*./（XI）-f（X2）<0

（XI）<f（X2）

，函數(shù)/（x）（x<0）是增函數(shù)

X

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵

是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.

22.（H分）（2019?濟(jì)寧）如圖1,在矩形A3CD中，AB=8,AD=10,E是CD邊上一點(diǎn)，

連接AE,將矩形A8C0沿A石折疊，頂點(diǎn)。恰好落在8。邊上點(diǎn)尸處，延長AE交8C

的延長線于點(diǎn)G.

（1）求線段CE的長；

（2）如圖2,M,N分別是線段AG,OG上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且

設(shè)AM—x,DN—y.

①寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出y的最小值；

②是否存在這樣的點(diǎn)M，使是等腰三角形？若存在，請求出尤的值；若不存在,

請說明理由.

【考點(diǎn)】L0：四邊形綜合題.

【專題】152：幾何綜合題.

【分析】（1）由翻折可知：AD=AF=10.DE=EF,設(shè)EC=x,貝l|DE=EF=8-x.在

中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

（2）①證明可得旭1=幽，由此即可解決問題.

MGGN

②存在.有兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)MN=MD時.如圖3-2中，當(dāng)時，

作MHLDG于H.分別求解即可解決問題.

【解答】解：（1）如圖1中,

圖1

:四邊形A8C￡＞是矩形，

：.AD=BC^1Q,AB=CD=8,

：.ZB=ZBCD=90°,

由翻折可知：10.DE=EF,設(shè)EC=x,則。E=EP=8-x.

在中，8尸=4研2rB2=6,

：.CF=BC-BF=lQ-6=4,

在RtZXEFC中，則有：（8-x）2=?+42,

...x=3,

：.EC=3.

(2)①如圖2中,

'：AD//CG,

?AD=DE

,*CGCE"

.10_5

??一——?

CG3

；.CG=6,

：.BG=BC+CG=16,

在RtZkABG中，AG=Jg2+162=875,

在RtZXOCG中，DG=J62+g2=10,

:AO=OG=10,

：.ZDAG=ZAGD,

,：/DMG=ZDMN+ZNMG^ZDAM+ZADM,/DMN=ADAM,

：.ZADM=ZNMG,

：.AADMsAGMN,

.AD=AM

"MGGN'

-10_X

-x10-y

2

.?.y=A_x-i^x+lO.

,105

當(dāng)x=4旄時，y有最小值，最小值=2.

②存在.有兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)MN=M。時,

圖3-1

VZMDN=ZGMDfZDMN=ZDGM,

:?ADMNs叢DGM,

.DM=MN

**DGGM，

■:MN=DM,

：.DG=GM=10,

：.x=AM=Sy/s-10.

如圖3-2中，當(dāng)MN=OV時，作M"_LQG于H.

圖3?2

°：MN=DN,

：.ZMDN=ZDMNf

,：ZDMN=ZDGM,

：.NMDG=/MGD,

：.MD=MG,

9：MH±DG,

:?DH=GH=5,

由△G〃MS2^GR4,可得@1=螞

GBAG

.5—MG

"T?礪，

2_

；.x=AM=8泥-殳應(yīng)=I1'西.

22_

綜上所述，滿足條件的x的值為8泥-10或衛(wèi)位.

2

【點(diǎn)評】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，解直角三角形，相似

三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)

建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

考點(diǎn)卡片

1.倒數(shù)

(1)倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù).

一般地，??—=1QWO),就說a(aWO)的倒數(shù)是L.

aa

(2)方法指引:

①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”.正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一

樣，非常重要.倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的.

②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同.

【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法

求一個數(shù)的相反數(shù)求一個數(shù)的相反數(shù)時，只需在這個數(shù)前面加上“-”即可

求一個數(shù)的倒數(shù)求一個整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個整數(shù)分之一

求一個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置

注意：0沒有倒數(shù).

2.算術(shù)平方根

(1)算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于m即/=〃，那么這個正數(shù)

x叫做a的算術(shù)平方根.記為a.

(2)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根a有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)。是非負(fù)數(shù)；②算術(shù)平方根。本

身是非負(fù)數(shù).

(3)求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運(yùn)算，在求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平

方根時，可以借助乘方運(yùn)算來尋找.

3.立方根

(1)定義：如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做。的立方根或三次方根.這就是說,

如果尤3=°,那么x叫做a的立方根.記作：圾.

(2)正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0,負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).即任意數(shù)都有立方根.

(3)求一個數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫開立方，其中。叫做被開方數(shù).

注意：符號。3中的根指數(shù)“3”不能省略；對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負(fù)

數(shù)都有唯一一個立方根.

【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)

I.平方根的性質(zhì)：正數(shù)。有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；。的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方

根.

2.立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù),

0的立方根是0.

4.實(shí)數(shù)大小比較

實(shí)數(shù)大小比較

（1）任意兩個實(shí)數(shù)都可以比較大小.正實(shí)數(shù)都大于0,負(fù)實(shí)數(shù)都小于0,正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)

實(shí)數(shù)，兩個負(fù)實(shí)數(shù)絕對值大的反而小.

（2）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實(shí)數(shù)，右邊的總比

左邊的大，在原點(diǎn)左側(cè)，絕對值大的反而小.

5.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、

乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方.

（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到有的順序進(jìn)行.

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個關(guān)鍵”

1.運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、幕的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根

式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對值的化簡等.

2.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運(yùn)算中要從

左到右依次運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號后運(yùn)算.

3.運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.

6.規(guī)律型：數(shù)字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要

求在已有知識的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法.

（2）利用方程解決問題.當(dāng)問題中有多個未知數(shù)時，可先設(shè)出其中一個為無，再利用它們

之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程.

7.零指數(shù)嘉

零指數(shù)累：J=1QWO)

由a，“+a，”=l,可推出/=1(a#O)

注意：O°#l.

8.一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解?又因?yàn)橹缓幸粋€未知

數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實(shí)數(shù)解.這XI,X2是一元二次方程af+bx+c

=0QW0)的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

ax^+bxx+c—O(aWO),ax,^+bxi+c—O(aWO).

9.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形

式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因

式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程

的解.

10.由實(shí)際問題抽象出分式方程

由實(shí)際問題抽象出分式方程的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系.

(1)在確定相等關(guān)系時，一是要理解一些常用的數(shù)量關(guān)系和一些基本做法，如行程問題中

的相遇問題和追擊問題，最重要的是相遇的時間相等、追擊的時間相等.

(2)列分式方程解應(yīng)用題要多思、細(xì)想、深思，尋求多種解法思路.

11.點(diǎn)的坐標(biāo)

(1)我們把有順序的兩個數(shù)。和b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作(a,b).

（2）平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念

①建立平面直角坐標(biāo)系的方法：在同一平面內(nèi)畫；兩條有公共原點(diǎn)且垂直的數(shù)軸.

②各部分名稱：水平數(shù)軸叫x軸（橫軸），豎直數(shù)軸叫y軸（縱軸），尤軸一般取向右為正方

向，y軸一般取象上為正方向，兩軸交點(diǎn)叫坐標(biāo)系的原點(diǎn).它既屬于x軸，又屬于y軸.

（3）坐標(biāo)平面的劃分

建立了坐標(biāo)系的平面叫做坐標(biāo)平面，兩軸把此平面分成四部分，分別叫第一象限，第二象限,

第三象限，第四象限.坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何一個象限.

（4）坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的關(guān)系.

12.函數(shù)自變量的取值范圍

自變量的取值范圍必須使含有自變量的表達(dá)式都有意義.

①當(dāng)表達(dá)式的分母不含有自變量時，自變量取全體實(shí)數(shù).例如y=2x+13中的》.

②當(dāng)表達(dá)式的分母中含有自變量時，自變量取值要使分母不為零.例如y=x+2尤-1.

③當(dāng)函數(shù)的表達(dá)式是偶次根式時，自變量的取值范圍必須使被開方數(shù)不小于零.

④對于實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式，自變量的取值除必須使表達(dá)式有意義外，還要保證實(shí)際

問題有意義.

13.一次函數(shù)的應(yīng)用

1、分段函數(shù)問題

分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科

學(xué)合理，又要符合實(shí)際.

2、函數(shù)的多變量問題

解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個變量作為自變量，然后根

據(jù)問題的條件尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù).

3、概括整合

（1）簡單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用.

（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵.

14.反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

反比例函數(shù)y=左/無（左為常數(shù)，左力0）的圖象是雙曲線，

①圖象上的點(diǎn)（尤，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值上即孫=心

②雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，兩個分支上的點(diǎn)也是關(guān)于原點(diǎn)對稱；

③在y=klx圖象中任取一點(diǎn)，過這一個點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形

的面積是定值I川.

15.二次函數(shù)圖象與幾何變換

由于拋物線平移后的形狀不變，故。不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方

法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮

平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式.

16.二次函數(shù)與不等式（組）

二次函數(shù)＞="/+笈+。（a、b、c是常數(shù)，。=0）與不等式的關(guān)系

①函數(shù)值y與某個數(shù)值m之間的不等關(guān)系，一般要轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的不等式，解不等式求得

自變量尤的取值范圍.

②利用兩個函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交

點(diǎn)直觀求解，也可把兩個函數(shù)解析式列成不等式求解.

17.幾何體的展開圖

（1）多數(shù)立體圖形是由平面圖形圍成的.沿著棱剪開就得到平面圖形，這樣的平面圖形就

是相應(yīng)立體圖形的展開圖.同一個立體圖形按不同的方式展開，得到的平面展開圖是不一樣

的，同時也可看出，立體圖形的展開圖是平面圖形.

（2）常見幾何體的側(cè)面展開圖：

①圓柱的側(cè)面展開圖是長方形.②圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.③正方體的側(cè)面展開圖是長

方形.④三棱柱的側(cè)面展開圖是長方形.

（3）立體圖形的側(cè)面展開圖，體現(xiàn)了平面圖形與立體圖形的聯(lián)系.立體圖形問題可以轉(zhuǎn)化

為平面圖形問題解決.

從實(shí)物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化,

建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵.

18.平行線的判定與性質(zhì)

（1）平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系

來尋找角的數(shù)量關(guān)系.

（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆.

（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別

區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計(jì)算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行.

聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān).

（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角.

19.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段

相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角

平分線的性質(zhì)語言：如圖，：C在的平分線上，CD±OA,CELOB：.CD=CE

20.線段垂直平分線的性質(zhì)

（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平

分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”.

（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到

線段兩端點(diǎn)的距離相等.—③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心,

并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等.

21.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為C,那么。2+廬=02.

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式/+信=°2的變形有：a=Qc2f2,7c2-a2及c=“+b2?

（4）由于。2+必=。2>“2,所以c>°,同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形

中的每一條直角邊.

22.多邊形內(nèi)角與外角

（1）多邊形內(nèi)角和定理：（〃-2）780（"23）且w為整數(shù)）

此公式推導(dǎo)的基本方法是從〃邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)引出（w-3）條對角線，將"邊形分割為

（”-2）個三角形，這（”-2）個三角形的所有內(nèi)角之和正好是“邊形的內(nèi)角和.除此方法

之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的.即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也

是研究多邊形問題常用的方法.

（2）多邊形的外角和等于360度.

①多邊形的外角和指每個頂點(diǎn)處取一個外角，則〃邊形取一個外角，無論邊數(shù)是幾，其外

角和永遠(yuǎn)為360°.

②借助內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角概念共同推出以下結(jié)論:外角和=180°n-Cn-2）?180°=360。.

23.四邊形綜合題

四邊形綜合題.

24.垂徑定理

（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

25.圓周角定理

（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點(diǎn)在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不

可.

（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.

推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能

技巧一定要掌握.

（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形.利用等腰三角形

的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”——圓心角

轉(zhuǎn)化.③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運(yùn)用定理時不要忽略了這個條

件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角.

26.切線的性質(zhì)

（1）切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：

如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個,那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是:

①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直.

（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用

由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.簡記作：

見切點(diǎn)，連半徑，見垂直.

27.切線的判定與性質(zhì)

（1）切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

（3）常見的輔助線的：

①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”；

②有切線時，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”.

28.扇形面積的計(jì)算

（1）圓面積公式：S=iTr

（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.

（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是"，圓的半徑為R的扇形面積為S,則

S扇形=———RR?或S扇形=工/7?（其中/為扇形的弧長）

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（4）求陰影面積常用的方法：

①直接用公式法；

②和差法；

③割補(bǔ)法.

（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.

29.作圖一復(fù)雜作圖

復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方

法.

解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解

成基本作圖，逐步操作.

30.軸對稱圖形

(1)軸對稱圖形的概念：

如果一個圖形沿一條直線