廣東省清遠(yuǎn)市光明實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

廣東省清遠(yuǎn)市光明實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)集合，，若，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.已知函數(shù)f（x）=sin（2）的部分圖象如圖所示，點B，C是該圖象與x軸的交點，過點C的直線與該圖象交于D，E兩點，則（）·的值為

A．

B．

C．1

D．2

參考答案：C3.已知是定義在上的奇函數(shù)，且恒成立，當(dāng)時，則的值為(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：B4.已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值………（

）．.恒為正數(shù)

恒為負(fù)數(shù)

.恒為0

.可正可負(fù)參考答案：ATTT同理，，，…，，又T，以上各式相加，得.選A.

5.可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足：①；②，記，，則的大小順序為

（）A、 B、 C、 D、參考答案：C略6.已知實數(shù)滿足其中是自然對數(shù)的底數(shù),則的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B7.已知函數(shù)，若函數(shù)g（x）=f（x）﹣k僅有一個零點，則k的取值范圍是（）A． B． C．（﹣∞，0） D．參考答案：D【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】計算題；規(guī)律型；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】轉(zhuǎn)化函數(shù)的零點為方程的根，利用數(shù)形結(jié)合求解即可．【解答】解：函數(shù)，若函數(shù)g（x）=f（x）﹣k僅有一個零點，即f（x）=k，只有一個解，在平面直角坐標(biāo)系中畫出，y=f（x）的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象可知，方程只有一個解時，k∈（﹣∞，0）∪（，2），答案為D，故選：D．【點評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象以及函數(shù)的零點的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用．8.設(shè)使直線與曲線有公共點的a的取值范圍為集合A，則（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】設(shè)公共點，可得，通過構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性可得，從而得.【詳解】設(shè)直線與曲線有公共點,則,設(shè),則,所以在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),所以,，又，所以，當(dāng)時，,所以,故選A.【點睛】本題是一道靈活處理方程問題求參的試題，用到了放縮的思想和構(gòu)造新函數(shù)的方法，方法較為巧妙，難度較大，屬于難題.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出結(jié)果為A.15 B.16C.25 D.36參考答案：C【知識點】算法與程序框圖.

L1

解析：循環(huán)過程執(zhí)行的結(jié)果依次是：（1）s=1,k=2;(2)s=4,k=3;(3)s=9,k=4;(4)s=16,k=5;(5)s=25,k=6.∵k=6>5,∴輸出S為25.故選C.【思路點撥】依次寫出循環(huán)過程執(zhí)行的結(jié)果即可.10.如下圖，矩形ABCD中，點E為邊CD上的任意一點，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個點Q，則點Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（1）=1，且對于任意的x∈R，都有f′（x）＜，則不等式f（log2x）＞的解集為．參考答案：（0，2）【考點】7E：其他不等式的解法；4O：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．【分析】設(shè)g（x）=f（x）﹣x，由f′（x）＜，得到g′（x）小于0，得到g（x）為減函數(shù)，將所求不等式變形后，利用g（x）為減函數(shù)求出x的范圍，即為所求不等式的解集．【解答】解：設(shè)g（x）=f（x）﹣x，∵f′（x）＜，∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）為減函數(shù)，又f（1）=1，∴f（log2x）＞=log2x+，即g（log2x）=f（log2x）﹣log2x＞=g（1）=f（1）﹣=g（log22），∴l(xiāng)og2x＜log22，又y=log2x為底數(shù)是2的增函數(shù)，∴0＜x＜2，則不等式f（log2x）＞的解集為（0，2）．故答案為：（0，2）12.某校為了解高一學(xué)生寒假期間的閱讀情況，抽查并統(tǒng)計了100名同學(xué)的某一周閱讀時間，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），那么這100名學(xué)生中閱讀時間在小時內(nèi)的人數(shù)為_____．參考答案：5413.已知，則=

▲．參考答案：214.若函數(shù)f（x）=ln（x2+ax+1）是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為

．參考答案：0【考點】對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】由題意函數(shù)是偶函數(shù)，由偶函數(shù)的定義可以得到ln（x2+ax+1）=ln（x2﹣ax+1），進(jìn)而得到ax=﹣ax在函數(shù)的定義域中總成立，即可判斷出a的取值得到答案【解答】解：函數(shù)f（x）=ln（x2+ax+1）是偶函數(shù)∴f（x）=f（﹣x），即ln（x2+ax+1）=ln（x2﹣ax+1）∴ax=﹣ax在函數(shù)的定義域中總成立∴a=0故答案為015.已知等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，其前n項和為Sn，若直線y=a1x+m與在y軸上的截距為1的直線x+2y﹣d=0垂直，則數(shù)列{}的前100項的和為．參考答案：【考點】8E：數(shù)列的求和．【分析】直線y=a1x+m與在y軸上的截距為1的直線x+2y﹣d=0垂直，可得=﹣1，=1，解得a1，d．再利用等差數(shù)列的前n項和公式與“裂項求和”方法即可得出．【解答】解：∵直線y=a1x+m與在y軸上的截距為1的直線x+2y﹣d=0垂直，∴=﹣1，=1，解得a1=2，d=2．∴Sn=2n+=n2+n．∴==．∴數(shù)列{}的前100項的和=+…+=1﹣=．故答案為：．【點評】本題考查了“裂項求和方法”、等差數(shù)列通項公式及其求和公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．16.已知向量滿足，且，則與的夾角為

.參考答案：17.在等比數(shù)列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，則a12+a22+…+an2=．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的前n項和．【分析】根據(jù)條件等比數(shù)列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，可知a1=1，公比為2，從而有{an2}是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，故可求．【解答】解：由等比數(shù)列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，可知a1=1，公比為2∴{an2}是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列∴a12+a22+…+an2==故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）討論導(dǎo)函數(shù)的零點個數(shù)；（2）當(dāng)時，證明：.參考答案：（1）見解析

（2）見解析【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后將原問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點個數(shù)的問題，分類討論即可確定零點個數(shù)；(2)結(jié)合(1)的結(jié)論首先確定函數(shù)的最大值，然后結(jié)合零點的性質(zhì)和均值不等式即可證得題中的不等式.【詳解】（1）的定義域為，（）．原問題等價于函數(shù)與函數(shù)交點個數(shù)，當(dāng)時，兩函數(shù)無交點，沒有零點；當(dāng)時，兩函數(shù)有一個交點，存在唯一零點．（2）由（1），設(shè)在唯一零點為，當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，取得最大值，且，滿足，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，導(dǎo)函數(shù)證明不等式的方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.19.（12分）在一個盒子中，放有標(biāo)號分別為，，的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號分別為、，設(shè)為坐標(biāo)原點，點的坐標(biāo)為，記．(Ⅰ)求隨機(jī)變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；(Ⅱ)求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：解析:(Ⅰ)、可能的取值為、、，，，，且當(dāng)或時，．因此，隨機(jī)變量的最大值為…………4分

有放回抽兩張卡片的所有情況有種，…6分

(Ⅱ)的所有取值為．時，只有這一種情況．

時，有或或或四種情況，時，有或兩種情況．，，…………8分

則隨機(jī)變量的分布列為：………………10分因此，數(shù)學(xué)期望…………12分20.在幾何體ABCDE中，∠BAC=90°，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F(xiàn)是BC的中點，AB=AC（1）求證：DC∥平面ABE；（2）求證：AF⊥平面BCDE．參考答案：【考點】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）要證明DC∥平面ABE，關(guān)鍵是要在平面ABE中找到可能與DC平行的直線，觀察發(fā)現(xiàn)BE滿足要求，根據(jù)已知證明BE∥DC，再根據(jù)線面平行的判定定理即可求解；（2）要證明AF⊥平面BCDE，由我們要證明AF與平面BCDE中兩條相交直線都垂直，由題意分析易證DC、BC均與AF垂直．【解答】證明：（1）∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC∴DC∥EB，又∵DC?平面ABE，EB?平面ABE，∴DC∥平面ABE．（2）DC⊥平面ABC，AF?平面ABC，∴DC⊥AF，又∵AB=AC，F(xiàn)為BC的中點，∴AF⊥BC，∵BC∩DC=C，∴AF⊥平面BCDE．21.(本小題滿分12分)某市對該市小微企業(yè)資金短缺情況統(tǒng)計如下表：小微企業(yè)短缺資金額(萬元)[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]頻率0.050.10.350.30.2

(I)試估計該市小微企業(yè)資金缺額的平均值；(II)某銀行為更好的支持小微企業(yè)健康發(fā)展，從其第一批注資的A行業(yè)3家小微企業(yè)和B行業(yè)的2家小微企業(yè)中隨機(jī)選取3家小微企業(yè)，進(jìn)行跟蹤調(diào)研．求選取的3家小微企業(yè)中A行業(yè)的小微企業(yè)至少有2家的概率．參考答案：（1）平均值為：；

.......................5分（2）設(shè)A行業(yè)3家小微企業(yè)為：，，；設(shè)B行業(yè)2家小微企業(yè)為：，.5家小微企業(yè)隨機(jī)選取3家有10種可能：，，，，，，，，，，................8分選取的3家小微企業(yè)中A行業(yè)的小微企業(yè)至少有