2024年北京市西城區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案

第1頁/共1頁2024北京西城高三二模數(shù)學(xué)2024.5本試卷共?6?頁，?150?分。考試時(shí)長(zhǎng)?120?分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共?40?分）選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（A）（B）（C）（D）（2）已知向量滿足，，則（A）（B）（C）（D）（3）已知集合，．若，則的最小值是（A）（B）（C）（D）（4）設(shè)，則（A）（B）（C）（D）（5）已知．則“”是“”的（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件（6）已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且的離心率為，則（A）（B）（C）（D）（7）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象再關(guān)于軸對(duì)稱，得到函數(shù)的圖象，則（A）（B）（C）（D）（8）楔體形構(gòu)件在建筑工程上有廣泛的應(yīng)用．如圖，某楔體形構(gòu)件可視為一個(gè)五面體，其中面為正方形．若，，且與面的距離為，則該楔體形構(gòu)件的體積為（A）（B）（C）（D）（9）已知是無窮等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，．若對(duì)任意正整數(shù)，都有，則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（10）的人中都至多有名男生，則這組學(xué)生人數(shù)的最大值是（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共?110?分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）函數(shù)的定義域是_______．（12）已知圓經(jīng)過點(diǎn)和，且與直線相切，則圓的方程為_______．（13）已知函數(shù)直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)如圖所示．若，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則_______；_______．（14）已知函數(shù)，其中．=1\*GB3①若函數(shù)無零點(diǎn)，則的一個(gè)取值為_______；=2\*GB3②若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則_______．（15）在數(shù)列中，，．給出下列三個(gè)結(jié)論：=1\*GB3①存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；=2\*GB3②存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；=3\*GB3③存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）已知函數(shù)．在中，，且．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．（17）（本小題14分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上．再?gòu)南铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，使點(diǎn)唯一確定，并解答問題．條件=1\*GB3①：；條件②：；條件=3\*GB3③：平面．（Ⅰ）求證：為的中點(diǎn)；（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小，及點(diǎn)到平面的距離．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅰ）問得分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

（18）（本小題13分）為研究中國(guó)工業(yè)機(jī)器人產(chǎn)量和銷量的變化規(guī)律，收集得到了年工業(yè)機(jī)器人的產(chǎn)量和銷量數(shù)據(jù)，如下表所示．年份產(chǎn)量（萬臺(tái)）銷量（萬臺(tái)）記年工業(yè)機(jī)器人產(chǎn)量的中位數(shù)為銷量的中位數(shù)為．定義產(chǎn)銷率為“”．（Ⅰ）從年中隨機(jī)取年，求工業(yè)機(jī)器人的產(chǎn)銷率大于的概率；（Ⅱ）有年工業(yè)機(jī)器人的銷量不小于記，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）從哪年開始的連續(xù)年中隨機(jī)取年，工業(yè)機(jī)器人的產(chǎn)銷率超過的概率最?。ńY(jié)論不要求證明）（19）（本小題15分）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）若在處取得極小值，求的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值；（Ⅲ）證明：有且只有一個(gè)極值點(diǎn)． （20）（本小題15分）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）點(diǎn)是第一象限內(nèi)橢圓上一點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為．求證：三點(diǎn)共線．

（21）（本小題15分）已知數(shù)列，從中選取第項(xiàng)、第項(xiàng)、…、第項(xiàng)（）構(gòu)成數(shù)列，稱為的項(xiàng)子列．記數(shù)列的所有項(xiàng)的和為．當(dāng)時(shí)，若滿足：對(duì)任意，，則稱具有性質(zhì)．規(guī)定：的任意一項(xiàng)都是的項(xiàng)子列，且具有性質(zhì)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，比較的具有性質(zhì)的子列個(gè)數(shù)與不具有性質(zhì)的子列個(gè)數(shù)的大小，并（Ⅱ）已知數(shù)列（?。┙o定正整數(shù)，對(duì)的項(xiàng)子列，求所有的算術(shù)平均值；（ⅱ）若有個(gè)不同的具有性質(zhì)的子列，滿足：，都有公共項(xiàng)，且公共項(xiàng)構(gòu)成的具有性質(zhì)的子列，求的最大值．（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分） （?1?）D （?2?）B （?3?）C （?4?）B （?5?）A （?6?）C （?7?）D （?8?）C （?9?）D （10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分） （11） （12）（13） （14）（答案不唯一）（15）②③三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）． ………2分由，得．在中，因?yàn)?，所以? ………4分又，所以．所以，即． ………5分所以． ………6分 （Ⅱ）因?yàn)榈拿娣e為， ………7分所以． ………8分在中，由余弦定理得， ………9分即． 整理得． ………10分所以．所以． ………12分故的周長(zhǎng)為． ………13分（17）（共14分）解：選條件②：．（Ⅰ）連接． ………1分在正方體中，因?yàn)槠矫?，所以? ………3分因?yàn)椋?，所以．所以?………4分因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)． ………5分選擇條件③：平面．（Ⅰ）連接． ………1分因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面．所以? ………4分因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)． ………5分（Ⅱ）在正方體中，兩兩互相垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系． ………6分則，，，．所以，，．設(shè)平面的法向量為，則即令，則．于是． ………9分設(shè)直線與平面所成的角為，則． ………11分所以直線與平面所成角的大小為． ………12分點(diǎn)到平面的距離為． ………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）記事件為“工業(yè)機(jī)器人的產(chǎn)銷率大于”．由表中數(shù)據(jù)，工業(yè)機(jī)器人的產(chǎn)銷率大于的年份為年，年，年，年，共年． ………2分所以． ………3分（Ⅱ）因?yàn)?，? ………4分所以的所有可能的取值為；的所有可能的取值為．所以的所有可能的取值為． ………5分，，． ………8分所以的分布列為：故的數(shù)學(xué)期望． ………10分（Ⅲ）2018年和年． ………13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）． ………2分由題設(shè)，，解得． ………3分當(dāng)時(shí)，．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，適合題意．所以． ………4分（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，．． ………6分因?yàn)椋?，．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增． ………8分所以的最大值為． ………9分（Ⅲ）．當(dāng)時(shí)，．此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以恰有一個(gè)極值點(diǎn)． ………10分當(dāng)時(shí)，設(shè)．則．因?yàn)?，且，所以，即在上單調(diào)遞增． ………12分因?yàn)?，，所以存在，使．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以恰有一個(gè)極值點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)極值點(diǎn)． ………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由題設(shè)， ………3分解得．所以橢圓的方程為． ………4分（Ⅱ）設(shè)，則，． ………5分其中，． ………6分直線的方程為，所以． ………7分直線的方程為．由得． ………8分設(shè)，所以． ………9分解得．由，得． ………10分由題意，點(diǎn)均不在軸上，所以直線的斜率均存在，且 ………11分． ………14分所以三點(diǎn)共線． ………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，共有個(gè)子列， ………1分其中具有性質(zhì)的子列有個(gè)， ………2分故不具有性質(zhì)的子列有個(gè)， ………3分所以的具有性質(zhì)的子列個(gè)數(shù)大于不具有性質(zhì)的子列個(gè)數(shù)． ………4分（Ⅱ）（ⅰ）若是的項(xiàng)子列，則也是的項(xiàng)子列． ………5分所以． ………7分因?yàn)榻o定正整數(shù)，有個(gè)項(xiàng)子列，所以所有的算術(shù)平均值為． ………9分