陜西省2021-2023年中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編-03解答題（較難題）知識(shí)點(diǎn)分類(含答案)

陜西省2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（較難題）知識(shí)點(diǎn)分類一．二次函數(shù)綜合題（共3小題）1．（2022?陜西）已知拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），與y軸的交點(diǎn)為C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P是該拋物線上一點(diǎn)，且位于其對(duì)稱軸l的右側(cè)，過點(diǎn)P分別作l，x軸的垂線，垂足分別為M，N，連接MN．若△PMN和△OBC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．答案：（1）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣4；（2）P的坐標(biāo)為（+2，+1）或（，1﹣）．解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣4；（2）如圖：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴拋物線y＝x2﹣x﹣4的對(duì)稱軸是直線x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直線x＝1，PN⊥x軸，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，設(shè)P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵點(diǎn)P是該拋物線上一點(diǎn)，且位于其對(duì)稱軸直線x＝1的右側(cè)，∴P的坐標(biāo)為（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2021?陜西）已知拋物線y＝﹣x2+2x+8與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)C′與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCC′與△POB相似，且PC與PO是對(duì)應(yīng)邊？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案：（1）B（4，0），C（0，8）；（2）P（0，16）或P（0，）．解：（1）∵y＝﹣x2+2x+8，取x＝0，得y＝8，∴C（0，8），取y＝0，得﹣x2+2x+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴B（4，0）；（2）存在點(diǎn)P，設(shè)P（0，y），∵CC'∥OB，且PC與PO是對(duì)應(yīng)邊，∴，即：，解得：y1＝16，，∴P（0，16）或P（0，）．3．（2021?陜西）已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣5，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，5），它的對(duì)稱軸為直線l．（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P（m，2）在l上，點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱．在該拋物線上，是否存在點(diǎn)D、E、F，使四邊形P′DEF與四邊形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在，求點(diǎn)D、E、F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案：（1）y＝x2+6x+5，B（﹣1，0）；（2）拋物線上存在D（﹣4，﹣3），E（﹣3，﹣4），F(xiàn)（﹣2，﹣3），使四邊形P'FED與四邊形P′BPA位似，且位似中心是P′．解：（1）∵A（﹣5，0）、C（0，5）在拋物線y＝x2+bx+c上，∴，解得，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2+6x+5，令y＝0得x＝﹣1或x＝﹣5，∴B（﹣1，0）；（2）存在，理由如下：延長(zhǎng)AP'交拋物線于F，延長(zhǎng)BP'交拋物線于D，對(duì)稱軸交拋物線于E，如圖：由y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4知：E（﹣3，﹣4），拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣3，∵點(diǎn)P（m，2）在對(duì)稱軸直線l上，∴P（﹣3，2），∵點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，∴P'（﹣3，﹣2），∴PP'＝4，P'E＝2，由A（﹣5，0），P'（﹣3，﹣2）可得直線AP'為y＝﹣x﹣5，解得或，∴F（﹣2，﹣3），∴AP'＝＝2，P'F＝＝，由B（﹣1，0）、P'（﹣3，﹣2）可得直線BP'為y＝x+1，解得或，∴D（﹣4，﹣3），∴BP'＝＝2，P'D＝＝，∴＝＝＝2，由位似圖形定義知，四邊形P'FED與四邊形P′BPA位似，且位似中心是P′，∴拋物線上存在D（﹣4，﹣3），E（﹣3，﹣4），F(xiàn)（﹣2，﹣3），使四邊形P'FED與四邊形P′BPA位似，且位似中心是P′．二．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）4．（2023?陜西）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，延長(zhǎng)EA至點(diǎn)D．使AD＝AC．在邊AC上截取AF＝AB，連接DF．求證：DF＝CB．答案：見解析．證明：在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．∵AE⊥BC．∴∠AEC＝90°．∴∠DAF＝∠AEC+∠C＝110°，∴∠DAF＝∠CAB．在△DAF和△CAB中，，∴△DAF≌△CAB（SAS）．∴DF＝CB．三．三角形綜合題（共1小題）5．（2022?陜西）問題提出（1）如圖1，AD是等邊△ABC的中線，點(diǎn)P在AD的延長(zhǎng)線上，且AP＝AC，則∠APC的度數(shù)為75°．問題探究（2）如圖2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．過點(diǎn)A作AP∥BC，且AP＝BC，過點(diǎn)P作直線l⊥BC，分別交AB、BC于點(diǎn)O、E，求四邊形OECA的面積．問題解決（3）如圖3，現(xiàn)有一塊△ABC型板材，∠ACB為鈍角，∠BAC＝45°．工人師傅想用這塊板材裁出一個(gè)△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人師傅在這塊板材上的作法如下：①以點(diǎn)C為圓心，以CA長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD；②作CD的垂直平分線l，與CD交于點(diǎn)E；③以點(diǎn)A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)P，連接AP、BP，得△ABP．請(qǐng)問，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？請(qǐng)證明你的結(jié)論．答案：（1）75°；（2）；（3）符合要求，證明見解答過程．解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵AD是等邊△ABC的中線，∴∠PAC＝∠BAC＝30°，∵AP＝AC，∴∠APC＝×（180°﹣30°）＝75°，故答案為：75°；（2）如圖2，連接PB，∵AP∥BC，AP＝BC，∴四邊形PBCA為平行四邊形，∵CA＝CB，∴平行四邊形PBCA為菱形，∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°﹣∠C＝60°，∴BE＝PB?cos∠PBC＝3，PE＝PB?sin∠PBC＝3，∵CA＝CB，∠C＝120°，∴∠ABC＝30°，∴OE＝BE?tan∠ABC＝，∴S四邊形OECA＝S△ABC﹣S△OBE＝×6×3﹣×3×＝；（3）符合要求，理由如下：如圖3，過點(diǎn)A作CD的平行線，過點(diǎn)D作AC的平行線，兩條平行線交于點(diǎn)F，∵CA＝CD，∠DAC＝45°，∴∠ACD＝90°，∴四邊形FDCA為正方形，∵PE是CD的垂直平分線，∴PE是AF的垂直平分線，∴PF＝PA，∵AP＝AC，∴PF＝PA＝AF，∴△PAF為等邊三角形，∴∠PAF＝60°，∴∠BAP＝60°﹣45°＝15°，∴裁得的△ABP型部件符合要求．四．四邊形綜合題（共1小題）6．（2022?陜西）問題提出（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4．若點(diǎn)P是邊AC上一點(diǎn)，則BP的最小值為；問題探究（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．若點(diǎn)P是邊AC上一點(diǎn)，試求PB+PE的最小值；問題解決（3）某市一濕地公園內(nèi)有一條四邊形ABCD型環(huán)湖路，如圖③所示．已知AD＝2000米，CD＝1000米，∠A＝60°，∠B＝90°，∠C＝150°．為了進(jìn)一步提升服務(wù)休閑功能，滿足市民游園和健身需求，現(xiàn)要修一條由CE，EF，F(xiàn)C連接而成的步行景觀道，其中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上．為了節(jié)省成本，要使所修的這條步行景觀道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此時(shí)BE，DF的長(zhǎng)．（路面寬度忽略不計(jì)）答案：（1）；（2）PB+PE的最小值為；（3）BE的長(zhǎng)為500米，DF的長(zhǎng)為1000米．解：（1）過B作BP⊥AC于P，如圖：由垂線段最短可知，BP⊥AC時(shí)，BP的值最小，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵2S△ABC＝AB?BC＝AC?BP，∴BP＝＝＝，故答案為：；（2）作E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接CE'，EE'，BE'，BE'交AC于P，如圖：∵E，E'關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴PE＝PE'，∴PB+PE＝PB+PE'，∵B，P，E'共線，∴此時(shí)PB+PE最小，最小值為BE'的長(zhǎng)度，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴∠ACB＝45°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝1，∵E，E'關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴∠ACE'＝∠ACB＝45°，CE＝CE'＝1，∴∠BCE'＝90°，在Rt△BCE'中，BE'＝＝＝，∴PB+PE的最小值為；（3）作C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)M，連接DM，CM，CM交AD于H，作C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N，連接BN，延長(zhǎng)DC，AB交于G，連接NG，連接MN交AB于E，交AD于F，如圖：∵C，N關(guān)于AB對(duì)稱，C，M關(guān)于AD對(duì)稱，∴CE＝NE，CF＝MF，∴CE+EF+CF＝NE+EF+MF，∵N，E，F(xiàn)，M共線，∴此時(shí)CE+EF+CF最小，∵∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝150°，∴∠ADC＝60°，∵C，M關(guān)于AD對(duì)稱，∴∠MDH＝∠CDH＝60°，∠CHD＝∠MHD＝90°，CD＝MD＝1000米，∴∠MCD＝∠CMD＝30°，∴DH＝CD＝500米，CH＝MH＝DH＝500米，∴CM＝1000米，∵∠ADC＝60°，∠A＝60°，∴△ADG是等邊三角形，∴DG＝AD＝2000米，∴CG＝DG﹣CD＝1000米，∵∠BCD＝150°，∴∠BCG＝30°，∵C，N關(guān)于AB對(duì)稱，∠ABC＝90°，∴C，B，N共線，CG＝NG＝1000米，∠BNG＝∠BCG＝30°，∴BG＝CG＝500米，BC＝BN＝BG＝500米，∴CN＝1000米＝CM，∴∠CNM＝∠CMN，∵∠BCD＝150°，∠MCD＝30°，∴∠NCM＝120°，∴∠CNM＝∠CMN＝30°，在Rt△BNE中，BE＝＝＝500（米），在Rt△MHF中，F(xiàn)H＝＝＝500（米），∴DF＝FH+DH＝500+500＝1000（米），答：BE的長(zhǎng)為500米，DF的長(zhǎng)為1000米．五．圓的綜合題（共1小題）7．（2021?陜西）問題提出：（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝4．求BC+CD的值．問題解決：（2）有一個(gè)直徑為30cm的圓形配件⊙O，如圖2所示．現(xiàn)需在該配件上切割出一個(gè)四邊形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四邊形孔洞OABC的面積盡可能小，試問，是否存在符合要求的面積最小的四邊形OABC？若存在，請(qǐng)求出四邊形OABC面積的最小值，及此時(shí)OA的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案：（1）4；（2）cm2，OA＝5cm．解：（1）如圖1，∵∠BCD＝∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠B+∠ADC＝180°，∴可以將△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADE，∴∠ADE＝∠B，AE＝AC，∠CAE＝90°，∴∠ADE+∠ADC＝180°，∴C、D、E在同一條直線上，∴CD+DE＝CE＝＝4；（2）如圖2，連接OB，∵∠AOC＝60°，OA＝OC，∴將△AOB繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△COE，連接BE，∴∠BOE＝60°，OE＝OB，∴△BOE是等邊三角形，∴BE＝OB＝15，∠BEO＝60°，∠CBE＝∠ABO＝∠CEO，∴∠CBE+∠CEB＝60°，∴∠BCE＝120°，∵S四邊形OABC＝S△AOB+S△BCO＝S△COE+S△BCO＝S△BOE﹣S△BCE＝﹣S△BCE，∴要使四邊形OABC的面積最小，就要使△BCE的面積最大，作正△BEF，作它的外接圓⊙I，作直徑FC′，當(dāng)C與C′重合時(shí)，S△BCE最大，S△BCE最大＝×15×（）＝，∴S四邊形OABC最?。絚m2，此時(shí)OA＝OC＝＝＝5cm．六．作圖—復(fù)雜作圖（共1小題）8．（2023?陜西）如圖．已知銳角△ABC，∠B＝48°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在△ABC內(nèi)部求作一點(diǎn)P．使PB＝PC．且∠PBC＝24°．（保留作圖痕跡，不寫作法）答案：見解答．解：如圖，點(diǎn)P即為所求．七．列表法與樹狀圖法（共1小題）9．（2023?陜西）一個(gè)不透明的袋子中裝有四個(gè)小球，這四個(gè)小球上各標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，分別是1，1，2，3．這些小球除標(biāo)有的數(shù)字外