現(xiàn)代控制理論試題

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現(xiàn)代控制理論試題

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2008現(xiàn)代控制理論試題B卷及答案

一、1系統(tǒng)X=：oX+]M,y=[0l]x能控的狀態(tài)變量個(gè)數(shù)是，能觀測(cè)的狀態(tài)變量個(gè)數(shù)是

2試從高階微分方程>+3>+8>=5〃求得系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程（4分/個(gè)）

解1.能控的狀態(tài)變量個(gè)數(shù)是2,能觀測(cè)的狀態(tài)變量個(gè)數(shù)是工。狀態(tài)變量個(gè)數(shù)是2。.…（4分）

2.選取狀態(tài)變量七=>,々=y，%=y，可得........（1分）

x3=-8%i-3X3+5M

y=[100]x..........（i分）

二、1給出線性定常系統(tǒng)x（k+1）=Ax（k）+Bu（k\y（k）=Cx{k}能控的定義。（3分）

'210-

2已知系統(tǒng)X=020x,y=[01l]x，判定該系統(tǒng)是否完全能觀（5分）

00-3_

解1.答：若存在控制向量序列u（k）,u（k+1）,,u（k+N-l）,時(shí)系統(tǒng)從第k步的狀態(tài)x（k）開始,在第N步達(dá)到

零狀態(tài)，即尤（N）=0,其中N是大于o的有限數(shù)，那么就稱此系統(tǒng)在第k步上是能控的。若對(duì)每一個(gè)k,系統(tǒng)的所有狀態(tài)

都是能控的，就稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡(jiǎn)稱能控。........（3分）

2.

210

CA=[011]020=[02-3]..............（1分）

00-3

210

2

CA=[023]020=[049]（1分）

00-3

C011

CA02-3（i分）

CA2049

rank。。=2<n,所以該系統(tǒng)不完全能觀.........（2分）

三、已知系統(tǒng)L2的傳遞函數(shù)分別為

求兩系統(tǒng)串聯(lián)后系統(tǒng)的最小實(shí)現(xiàn)。（8分）

解

（S-l）（S+l）s+1s+1

g（s）=gi（s）gi（s）=.............（5分）

（s+1）（5+2）S2-4

最小實(shí)現(xiàn)為

Xy=[l0]x（3分）

四、將下列狀態(tài)方程、二%（8分）

解（1分）

71

88

（分）

（UJ=111

_88

11

（1分）

4=88

13-

P2=（1分）

44

31

尸一二848

111（1分）

48_

01

1

4=PAP=（1分）

-105

1

1-

8

b=Pb=,3分

c-

4

_4

-12

五、利用李亞普諾夫第一方法判定系統(tǒng)x=X的穩(wěn)定性。（8分）

-1-1

2+1

解|2-/-A|==力+22+3（3分）

12+1

特征根2=-1±（3分）

均具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)在原點(diǎn)附近一致漸近穩(wěn)定.（2分）

-11

六、利用李雅普諾夫第二方法判斷系統(tǒng)X二X是否為大范圍漸近穩(wěn)定：（8分）

2-3

解

r

AP+PA=-I（1分）

_2211+4°12=-1

Bl"/?。??=°（1分）

2pn-6p22=-1

Pn

，22=（1分）

Pn=

AiPn

P=（1分）

PnP22

AiPn

0det=det吟〉。（1分）

PnP22

P正定，因此系統(tǒng)在原點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的.....（1分）

2s+l1

(s-DG+2)s

七、已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣為G（s）=試判斷該系統(tǒng)能否用狀態(tài)反饋和輸入變換

25-13

s(s+l)(s—2)7+1

實(shí)現(xiàn)解耦控制。（6分）

解：

4=0d2=Q（2分）

4=[10],耳=[01]（2分）

10

E=非奇異，可實(shí)現(xiàn)解耦控制。（2分）

01

-1一2一3]m

八、給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為1=0-11x+0%y=[01o]X,設(shè)計(jì)一個(gè)具有特征值

10-11

為-1,-1,-1的全維狀態(tài)觀測(cè)器。（8分）

解：方法1

A+12+g3

|2-/-A+EC|=02+l+E2-1i分

2+1

-iE3

—(/I?+2X+1)石2++3幾2+32+1+32+3+3E?+2+E1+區(qū)丸+石3八

32

=2+(E2+3)2+(2E2+E3+6)2+6+E3+4E2+E1一2分

又因?yàn)?*(2)=23+322+32+1---1分

列方程

6+E3+4E2+E、—1

2E?+區(qū)+6=3—2分

馬+3=3

與7k2—0,￡3=—31分

觀測(cè)器為

-10-31-2

x=0-11%+00y1分

10-11-3

方法2

2+123

32

|2-/-A|=02+1-1=2+32+62+61分

-102+1

/*(2)=23+322+32+1-----------2分

-----------1分

4=-5,E2=—3,2=0

a2ax1

Trrr2r

Q=[CAC(A)C]%10----------2分

100

E]=—2,k2—0,4二—31分

觀測(cè)器為

x=1分

(10

(10、

九解A二01（1分）

2,

、J

017

0、

（1分）

IC7

1

0

J-10、一15-1

(sf)T（1分）

、-15-2111

Vs—2s—1s-2J

/

0、

1￡

=r（1分）

‘一￡

00、

0￡0（2分）

0e2t

00、(1、

0d000（2分）

0e2t-efe1r,1

773

《現(xiàn)代控制理論》復(fù)習(xí)題1

一、（10分，每小題2分）試判斷以下結(jié)論的正確性，若結(jié)論是正確的，則在其左邊的括號(hào)

里打V,反之打x。

（V）1.由一個(gè)狀態(tài)空間模型可以確定惟一一個(gè)傳遞函數(shù)。

（X）2.若一個(gè)對(duì)象的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間模型是能控的，則其離散化狀態(tài)空間模型也一

定是能控的。

（x）3.對(duì)一個(gè)給定的狀態(tài)空間模型，若它是狀態(tài)能控的，則也一定是輸出能控的。

（V）4.對(duì)系統(tǒng)尤=心，其Ly叩unov意義下的漸近穩(wěn)定性和矩陣Z的特征值都具有負(fù)實(shí)

部是一致的。

(V)5.根據(jù)線性二次型最優(yōu)控制問題設(shè)計(jì)的最優(yōu)控制系統(tǒng)一定是漸近穩(wěn)定的。

二、(15分)考慮由下式確定的系統(tǒng)：G(s)=產(chǎn)3試求其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)的

能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型和對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型，并畫出能控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)變量圖。

解：能控標(biāo)準(zhǔn)形為

能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形為

對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形為

三、(10分)在線性控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣起著很重要的作用。

對(duì)系統(tǒng)

求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

解：解法L

容易得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣/的兩個(gè)特征值是4=~1,4=-2,它們是不相同的，故系統(tǒng)的

矩陣4可以對(duì)角化。矩陣/對(duì)應(yīng)于特征值4=-1，4=-2的特征向量是

「21]「11一

取變換矩陣T=\y,,,貝UTT=,°

x-1-1-1-2

因此，D=TAT

0-2

從而，

解法2。拉普拉斯方法

由于

故①⑺=*=L[(S/_A)T]=

-2e~f+2e~2>-e~'+2e~2t

解法3。凱萊-哈密爾頓方法

將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫成*=a0⑺/+/⑺A

系統(tǒng)矩陣的特征值是-1和-2,故”'=aQ(0-色⑺U=/⑺—4⑺

解以上線性方程組，可得%（0=2e~t-e-2t%⑺=鎮(zhèn)—e-2t

因此，①⑺=/=〃o?）/+〃i（/）A=_2t-tc-2t

-2e+2e-e+2e

四、（15分）已知對(duì)象的狀態(tài)空間模型比=Ax+5",y=Cr,是完全能觀的，請(qǐng)畫出觀

測(cè)器設(shè)計(jì)的框圖，并據(jù)此給出觀測(cè)器方程，觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法。

解觀測(cè)器設(shè)計(jì)的框圖：

觀測(cè)器方程：

其中：X是觀測(cè)器的維狀態(tài)，，是一個(gè)〃x灌的待定觀測(cè)器增益矩陣。

觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法：

由于det[2/-（A-￡C）]=det[2/-（A-LC）7"]=det皿—（A，-CTlT）]

因此，可以利用極點(diǎn)配置的方法來確定矩陣/，使得A?-C，A具有給定的觀測(cè)器極點(diǎn)。具

體的方法有：直接法、變換法、爰克曼公式。

五、（15分）對(duì)于一個(gè)連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)，試敘述Lyapunov穩(wěn)定性定理，并舉一個(gè)二

階系統(tǒng)例子說明該定理的應(yīng)用。

解連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理：

線性時(shí)不變系統(tǒng)戈=4在平衡點(diǎn)4=0處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對(duì)任意給定的對(duì)稱

正定矩陣Q,李雅普諾夫矩陣方程ArP+PA=-Q有惟一的對(duì)稱正定解P。

在具體問題分析中，可以選取Q=L

XQ1X

考慮二階線性時(shí)不變系統(tǒng)：'

%2—1—1%2

原點(diǎn)是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解以下的李雅普諾夫矩陣方程ArP+PA=-I

其中的未知對(duì)稱矩陣P=PuPl2

_P12P12_

將矩陣/和用勺表示式代入李雅普諾夫方程中，可得

進(jìn)一步可得聯(lián)立方程組

AlP123/21/2

從上式解出Qu、P"和必2，從而可得矩陣P=

P12。221/21

根據(jù)塞爾維斯特方法，可得A,=detP=->0

24

故矩陣^正定的。因此，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。

六、（10分）已知被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是

試設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制律，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為-1±jo

解系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是

將控制器M=TX）左1卜代入到所考慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程中，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程

該閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程是det（2Z—4）=7+（3+勺）4+（2+左0）

期望的閉環(huán)特征方程是（2+l-j）（2+l+j）=22+22+2

通過22+（3+自）2+（2+左0）=矛+22+2

可得3+及=22+左o=2

從上式可解出k、=—1左0+0

因此，要設(shè)計(jì)的極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器是w=[o1

七、（10分）證明：等價(jià)的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。

證明對(duì)狀態(tài)空間模型

它的等價(jià)狀態(tài)空間模型具有形式

其中：

德任意的非奇異變換矩陣。利用以上的關(guān)系式，等價(jià)狀態(tài)空間模型的能控性矩陣是

由于矩陣雋非奇異的，故矩陣即，和a具有相同的秩，從而等價(jià)的狀態(tài)空間

模型具有相同的能控性。

八、(15分)在極點(diǎn)配置是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的一種有效方法，請(qǐng)問這種方法能改善控制系

統(tǒng)的哪些性能對(duì)系統(tǒng)性能是否也可能產(chǎn)生不利影響如何解決

解：極點(diǎn)配置可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，如調(diào)節(jié)時(shí)間、峰值時(shí)間、振蕩幅度。

極點(diǎn)配置也有一些負(fù)面的影響，特別的，可能使得一個(gè)開環(huán)無靜差的系統(tǒng)通過極點(diǎn)配置后,

其閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，從而使得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能變差。

改善的方法：針對(duì)階躍輸入的系統(tǒng)，通過引進(jìn)一個(gè)積分器來消除跟蹤誤差，其結(jié)構(gòu)圖是

構(gòu)建增廣系統(tǒng)，通過極點(diǎn)配置方法來設(shè)計(jì)增廣系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器，從而使得閉環(huán)系統(tǒng)不

僅保持期望的動(dòng)態(tài)性能，而且避免了穩(wěn)態(tài)誤差的出現(xiàn)。

《現(xiàn)代控制理論》復(fù)習(xí)題2

一、(10分，每小題2分)試判斷以下結(jié)論的正確性，若結(jié)論是正確的，則在其左邊的括號(hào)

里打V,反之打X。

(x)1.對(duì)一個(gè)系統(tǒng)，只能選取一組狀態(tài)變量；

(V)2.由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以決定系統(tǒng)狀態(tài)方程的狀態(tài)矩陣，進(jìn)而決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性；

(x)3.若傳遞函數(shù)G(s)=C(sl-A)-1B存在零極相消，則對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間模型描述的

系統(tǒng)是不能控不能觀的；

(x)4.若一個(gè)系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，則該系統(tǒng)在任意平衡狀態(tài)處都是穩(wěn)定

的；

(V)5.狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。

二、(20分)已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(1)采用串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖；

(2)采用并聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖。

答:(1)將G(s)寫成以下形式:

這相當(dāng)于兩個(gè)環(huán)節(jié)一二和至掌串連，它們的狀態(tài)空間模型分別為：

s+3s+5

兌]=-3%]+u=—5x,+%

〈和《

%[y=-5X2+?,

由于必=%,故可得給定傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)是：

將其寫成矩陣向量的形式，可得：

對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖為：

串連分解所得狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)變量圖

(2)將G(s)寫成以下形式：

它可以看成是兩個(gè)環(huán)節(jié)-工三和三的并聯(lián)，每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：

和

由此可得原傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)：

進(jìn)一步寫成狀態(tài)向量的形式，可得：

對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖為：

并連分解所得狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)變量圖

三、(20分)試介紹求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法，并以一種方法和一個(gè)數(shù)值例

子為例，求解線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；

答：求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法有：

方法一直接計(jì)算法：

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義

來直接計(jì)算，只適合一些特殊矩陣4

方法二通過線性變換計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，設(shè)法通過線性變換，將矩陣Z變換成對(duì)角矩陣或

約當(dāng)矩陣，進(jìn)而利用方法得到要求的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

A,l

方法三拉普拉斯變換法：e=L7[(sI-A)-']o

方法四凱萊-哈密爾頓方法

根據(jù)凱萊-哈密爾頓定理和，可導(dǎo)出具有以下形式：

其中的%⑺，%（。，…%_i⑺均是時(shí)間1的標(biāo)量函數(shù)。根據(jù)矩陣/有心不同特征值

和有重特征值的情況，可以分別確定這些系數(shù)。

舉例：利用拉普拉斯變換法計(jì)算由狀態(tài)矩陣

所確定的自治系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。由于

故

四、（10分）解釋狀態(tài)能觀性的含義，給出能觀性的判別條件，并舉例說明之。

答：狀態(tài)能觀性的含義：狀態(tài)能觀性反映了通過系統(tǒng)的輸出對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的識(shí)別能力，對(duì)一個(gè)

零輸入的系統(tǒng)，若它是能觀的，則可以通過一段時(shí)間內(nèi)的測(cè)量輸出來估計(jì)之前某個(gè)時(shí)刻的系

統(tǒng)狀態(tài)。

狀態(tài)能觀的判別方法：

對(duì)于小介系統(tǒng)

-c-

CA

1.若其能觀性矩陣「°=列滿秩，則系統(tǒng)完全能觀

GA"）

2.若系統(tǒng)的能觀格拉姆矩陣

非奇異，則系統(tǒng)完全能觀。

舉例：

對(duì)于系統(tǒng)

其能觀性矩陣

的秩為2,即是列滿秩的，故系統(tǒng)是能觀的。

五、（20分）對(duì)一個(gè)由狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)，試回答:

(1)能夠通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件是什么

(2)簡(jiǎn)單敘述兩種極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法；

(3)試通過數(shù)值例子說明極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)。

答：(1)能夠通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件：系統(tǒng)是能控的。

(2)極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法有直接法、變換法、爰克曼公式法。

①直接法

驗(yàn)證系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)能控，則進(jìn)行以下設(shè)計(jì)。

設(shè)狀態(tài)反饋控制器”=依，相應(yīng)的閉環(huán)矩陣是/8K,閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為

由期望極點(diǎn)4,…,凡可得期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式

通過讓以上兩個(gè)特征多項(xiàng)式相等，可以列出一組以控制器參數(shù)為變量的線性方程組，由這組

線性方程可以求出極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋的增益矩陣(

②變換法

驗(yàn)證系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)能控，則進(jìn)行以下設(shè)計(jì)。

將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型，相應(yīng)的狀態(tài)變換矩陣

設(shè)期望的特征多項(xiàng)式為

而能控標(biāo)準(zhǔn)型的特征多項(xiàng)式為

所以，狀態(tài)反饋控制器增益矩陣是

(3)采用直接法來說明極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)

考慮以下系統(tǒng)

設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為2和3。

該狀態(tài)空間模型的能控性矩陣為

該能控性矩陣是行滿秩的，所以系統(tǒng)能控。

設(shè)狀態(tài)反饋控制器

將其代入系統(tǒng)狀態(tài)方程中，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程

其特征多項(xiàng)式為

由期望的閉環(huán)極點(diǎn)2和3,可得閉環(huán)特征多項(xiàng)式

通過

可得

由此方程組得到

因此，要設(shè)計(jì)的極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器

六、(20分)給定系統(tǒng)狀態(tài)空間模型尤=Ac

(1)試問如何判斷該系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性

(2)試通過一個(gè)例子說明您給出的方法；

(3)給出李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理解釋。

答：

(1)給定的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型戈=4是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定

性的李雅普諾夫定理，該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對(duì)任意給定的對(duì)稱正定矩陣Q,

矩陣方程ArP+PA=-。有一個(gè)對(duì)稱正定解矩陣尺因此，通過求解矩陣方程

ArP+PA=-Q,若能得到一個(gè)對(duì)稱正定解矩陣P,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若得不到對(duì)稱正定解

矩陣戶，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。一般的，可以選取Q=L

(2)舉例：考慮由以下狀態(tài)方程描述的二階線性時(shí)不變系統(tǒng)：

原點(diǎn)是該系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解李雅普諾夫方程：ArP+PA=-Q,其中的未知矩陣

將矩陣/和玲勺表示式代入李雅普諾夫方程中，可得

為了計(jì)算簡(jiǎn)單，選取Q=21,則從以上矩陣方程可得：

求解該線性方程組，可得：

即

判斷可得矩陣婚正定的。因此該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

(3)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理意義：針對(duì)一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)和確定的平衡狀態(tài)，通過分析

該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中能量的變化來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。具體地說，就是構(gòu)造一個(gè)反映系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)

過程中能量變化的虛擬能量函數(shù)，沿系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡，通過該能量函數(shù)關(guān)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)的取值

來判斷系統(tǒng)能量在運(yùn)動(dòng)過程中是否減少，若該導(dǎo)數(shù)值都是小于零的，則表明系統(tǒng)能量隨著時(shí)

間的增長是減少的，直至消耗殆盡，表明在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)上，就是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)逐步趨向平緩，直至

在平衡狀態(tài)處穩(wěn)定下來，這就是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性

《現(xiàn)代控制理論》復(fù)習(xí)題3

一、(10分，每小題2分)試判斷以下結(jié)論的正確性，若結(jié)論是正確的，則在其左邊的括號(hào)

里打V,反之打義。

(x)1.具有對(duì)角型狀態(tài)矩陣的狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)可以看成是由多個(gè)一階環(huán)節(jié)串

聯(lián)組成的系統(tǒng)；

(x)2.要使得觀測(cè)器估計(jì)的狀態(tài)盡可能快地逼近系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)，觀測(cè)器的極點(diǎn)應(yīng)該

比系統(tǒng)極點(diǎn)快10倍以上；

(x)3.若傳遞函數(shù)G(s)=C(sl-A)-1B存在零極相消，則對(duì)應(yīng)狀態(tài)空間模型描述的系

統(tǒng)是不能控的；

(V)4.若線性系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，則它是大范圍漸近穩(wěn)定的；

(V)5.若線性二次型最優(yōu)控制問題有解，則可以得到一個(gè)穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器。

二、(20分)(1)如何由一個(gè)傳遞函數(shù)來給出其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間模型，試簡(jiǎn)述其解決思路

2s+5

(2)給出一個(gè)二階傳遞函數(shù)G(s)=；——二的兩種狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。

(s+3)(s+5)

解：(1)單輸入單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式是

若2#0，則通過長除法，傳遞函數(shù)G(s)總可以轉(zhuǎn)化成

將

分解成等效的兩個(gè)特殊環(huán)節(jié)的串聯(lián)：

可得一個(gè)狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)

串聯(lián)法其思想是將一個(gè)〃階的傳遞函數(shù)分解成若干低階傳遞函數(shù)的乘積，然后寫出這些低

階傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)，最后利用串聯(lián)關(guān)系，寫出原來系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。

并聯(lián)法其的思路是把一個(gè)復(fù)雜的傳遞函數(shù)分解成若干低階傳遞函數(shù)的和，然后對(duì)每個(gè)低階

傳遞函數(shù)確定其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)，最后根據(jù)并聯(lián)關(guān)系給出原來傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。

(2)方法一：將G(s)重新寫成下述形式：

每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：

又因?yàn)楸?%,所以

因此，若采用串聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：

方法二：將G(s)重新寫成下述形式：

每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：

又由于

因此，若采用并聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：

方法三：將G(s)重新寫成下述形式：

則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：?jiǎn)栴}(1)10分，由一個(gè)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型思路清晰，方法正確10

分；問題(2)10分，兩種狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)方法各5分。

三、(20分)(1)試問狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義是什么

(2)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是否包含了對(duì)應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息

(3)介紹兩種求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法；

(4)計(jì)算系統(tǒng)兌=01的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

-2—3

解：(1)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義是決定狀態(tài)沿著軌線從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到下一個(gè)狀態(tài)的規(guī)律，

即初始狀態(tài)好狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中(力。的作用下，出寸刻的初始狀態(tài)逐過時(shí)間活后轉(zhuǎn)移到了時(shí)

刻珀勺狀態(tài)x(仇

(2)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了對(duì)應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息；對(duì)于自治系統(tǒng)

(3)拉普拉斯變換法、凱萊-哈密爾頓法、線性變換法、直接計(jì)算法。

方法一直接計(jì)算法

根據(jù)定義，

我們已經(jīng)知道上式中的矩陣級(jí)數(shù)總是收斂的，故可以通過計(jì)算該矩陣級(jí)數(shù)的和來得到所要求

的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

方法二線性變換法如果矩陣Z是一個(gè)可對(duì)角化的矩陣，即存在一個(gè)非奇異矩陣r,使得

則

方法三拉普拉斯變換法

方法四凱萊-哈密爾頓法

解一個(gè)線性方程組

其系數(shù)矩陣的行列式是著名的范德蒙行列式，當(dāng)人入，入互不相同時(shí)，行列式的值不為零，從

而從方程組可得惟一解a(0a，a(九由

可得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

(4)方法一：線性變換法，

容易得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣/的兩個(gè)特征值是4=-1，4=-2,它們是不相同的，故系

統(tǒng)的矩陣/可以對(duì)角化。矩陣/對(duì)應(yīng)與特征值4=-1,為=-2的特征向量是

取變換矩陣

因此，

從而，

方法二：拉普拉斯變換法，由于

故

方法二：凱萊-哈密爾頓法

將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫成

系統(tǒng)矩陣的特征值是-1和-2,故

解以上線性方程組，可得

因此，

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：每個(gè)問題5分。問題（1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義敘述完整5分；問題（2）判斷正

確5分；問題（3）給出兩種求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法5分；問題（3）方法和

結(jié)果正確5分。

四、（20分）（1）解釋系統(tǒng)狀態(tài)能控性的含義；

（2）給出能控性的判別條件，并通過一個(gè)例子來說明該判別條件的應(yīng)用；

（3）若一個(gè)系統(tǒng)是能控的，則可以在任意短時(shí)間內(nèi)將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意指定的狀態(tài)，這

一控制效果在實(shí)際中能實(shí)現(xiàn)嗎為什么

解：（1）對(duì)一個(gè)能控的狀態(tài)，總存在一個(gè)控制律，使得在該控制律作用下，系統(tǒng)從此狀態(tài)

出發(fā)，經(jīng)有限時(shí)間后轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。

（2）通過檢驗(yàn)?zāi)芸匦耘袆e矩陣由AB…A"%］是否行滿秩來判別線性時(shí)不變系統(tǒng)的

能控性。若能控性判別矩陣是行滿秩的，則系統(tǒng)是能控的。

試判別由以下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的能控性：

系統(tǒng)的能控性判別矩陣

由于

即矩陣「［4用不是滿秩的，該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的。

（3）若一個(gè)系統(tǒng)是能控的，則可以在任意短時(shí)間內(nèi)將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意指定的狀態(tài)，這

一控制效果在實(shí)際中難以實(shí)現(xiàn)，磁小，則控制律的參數(shù)越大，從而導(dǎo)致控制信號(hào)的幅值很

大，這要求執(zhí)行器的調(diào)節(jié)幅度要很大，從而使得在有限時(shí)間內(nèi)完成這一控制作用所需要消耗

的能量也很大。由于在實(shí)際過程中，執(zhí)行器的調(diào)節(jié)幅度總是有限的（如閥門的開度等），能

量供應(yīng)也是有限制的。

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：?jiǎn)栴}（1）系統(tǒng)狀態(tài)能控性的含義敘述完整6分；問題（2）能控性的判別條件4分,

舉例3分；問題（3）判斷正確3分，原因分析正確4分。

五、（20分）（1）能夠通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件是什么

（2）已知被控對(duì)象的狀態(tài)空間模型為

設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)極點(diǎn)為4和5。

（3）極點(diǎn)配置是否會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能若會(huì)的話，如何克服試簡(jiǎn)單敘述之

解：（1）能夠通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件是系統(tǒng)狀態(tài)能控。

（2）由于給出的狀態(tài)空間模型是能控標(biāo)準(zhǔn)形，因此，系統(tǒng)是能控的。根據(jù)所期望的閉環(huán)

極點(diǎn)是4和5,可得期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式是

因此，所要設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋增益矩陣是

相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣是

閉環(huán)傳遞函數(shù)是

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：?jiǎn)栴}（1）給出通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件6分；問題（2）狀態(tài)反饋

控制器設(shè)計(jì)方法正確7分；問題（3）判斷正確3分，敘述克服方法4分。

六、（10分）（1）敘述線性時(shí)不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理；

--11-

（2）利用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理判斷系統(tǒng)尤=%的穩(wěn)定性。

0—1

解：（1）連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理；線性時(shí)不變系統(tǒng)尤=心在

平衡點(diǎn)%=0處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對(duì)任意給定的對(duì)稱正定矩陣Q,存在一個(gè)對(duì)稱

正定矩陣。，使得矩陣方程ArP+PA=-Q成立。

離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理；線性時(shí)不變系統(tǒng)％（左+1）=A道外在平

衡點(diǎn)/=0處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對(duì)任意給定的對(duì)稱正定矩陣Q,矩陣方程

ArPA-P=-Q

存在對(duì)稱正定解矩陣2

（2）原點(diǎn)是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解以下的李雅普諾夫方程

其中的未知對(duì)稱矩陣

將矩陣力和冷勺表示式代入李雅普諾夫方程中，可得

進(jìn)一步將以上矩陣方程展開，可得聯(lián)立方程組

應(yīng)用線性方程組的求解方法，可從上式解出夕、成口夕，從而可得矩陣。：

根據(jù)矩陣正定性判別的塞爾維斯特方法，可得

故矩陣福正定的。因此，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：?jiǎn)栴}（1）完整敘述線性時(shí)不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理5分；問題（2）

穩(wěn)定性判斷方法和結(jié)果正確5分。

《現(xiàn)代控制理論》復(fù)習(xí)題4

一、（10分，每小題1分）試判斷以下結(jié)論的正確性，若結(jié)論是正確的，則在其左邊的括號(hào)

里打v,反之打X。

(v)1.相比于經(jīng)典控制理論，現(xiàn)代控制理論的一個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn)是可以用時(shí)域法直接進(jìn)行系

統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。

(V)2.傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)不唯一的一個(gè)主要原因是狀態(tài)變量選取不唯一。

(x)3.狀態(tài)變量是用于完全描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的一組變量，因此都是具有物理意義。

(x)4.輸出變量是狀態(tài)變量的部分信息，因此一個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)能控意味著系統(tǒng)輸出能控。

(V)5.等價(jià)的狀態(tài)空間模型具有相同的傳遞函數(shù)。

(x)6.互為對(duì)偶的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。

(x)7.一個(gè)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)可能有多個(gè)，因此系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性與系統(tǒng)受擾前

所處的平衡位置無關(guān)。

(V)8.若一線性定常系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則從系統(tǒng)的任意一個(gè)狀態(tài)出發(fā)的狀

態(tài)軌跡隨著時(shí)間的推移都將收斂到該平衡狀態(tài)。

(x)9.反饋控制可改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能，但不改變系統(tǒng)的能控性和能觀性。

(x)10.如果一個(gè)系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)確實(shí)不存在，那么我們就可以斷定該系統(tǒng)是不

穩(wěn)定的。

二、(15分)建立一個(gè)合理的系統(tǒng)模型是進(jìn)行系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。已知一單輸入單輸

出線性定常系統(tǒng)的微分方程為：

(1)采用串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖；(7分+3分)

(2)歸納總結(jié)上述的實(shí)現(xiàn)過程，試簡(jiǎn)述由一個(gè)系統(tǒng)的〃階微分方程建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

的思路。(5分)

解：(1)方法一：

由微分方程可得

令

每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：

又因?yàn)樾?U1,所以

因此，采用串聯(lián)分解方式可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：

對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖為：

方法二：

由微分方程可得

每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：

又因?yàn)?=5,所以

因此，采用串聯(lián)分解方式可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：

對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖為

(2)單輸入單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式是

若b0,則通過長除法，傳遞函數(shù)G(s)總可以轉(zhuǎn)化成

將傳遞函數(shù)49/式s)分解成若干低階(1階)傳遞函數(shù)的乘積，然后根據(jù)能控標(biāo)準(zhǔn)型或能觀標(biāo)準(zhǔn)

型寫出這些低階傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)，最后利用串聯(lián)關(guān)系，寫出原來系統(tǒng)的狀態(tài)空間模

型。

三、(10分)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣不僅包含了對(duì)應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息，而且在線性控制

系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)中具有重要的作用。已知系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如下：

(1)試給出對(duì)應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息；(5分)

(2)試列舉狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)，并簡(jiǎn)述其意義。(5分)

解：(1)一個(gè)自治系統(tǒng)的全部信息由其狀態(tài)矩陣力描述，可由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣0("角定一線

性定常系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣4

對(duì)任意的乙滿足d>?)=A①(/),而

對(duì)等式中⑺=4D⑺取t=0,并利用60)=/,則可得狀態(tài)矩陣/

(2)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)：

0(0)=1,0(0=A①(。，包含對(duì)應(yīng)系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的全部信息；

對(duì)任意的懷生，滿足0a+$)=叭?叭耳,即利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以從任意指定的初始

時(shí)刻％的狀態(tài)M“出發(fā)，以確定任意時(shí)刻處的狀態(tài);

對(duì)任意的上滿足收獷1=。(冶,即可以由當(dāng)前的狀態(tài)信息確定以前的狀態(tài)信息。

四、(20分)實(shí)際被控系統(tǒng)通常是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，但計(jì)算機(jī)控制卻是一種基于離散模型的

控制，因此一種方法是對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)做離散化。那么請(qǐng)問

(1)一個(gè)能控能觀的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，其離散化后的狀態(tài)空間模型是否仍然保持能控能觀性

(2分)

11

(2)以如下線性定常系統(tǒng)為例：上』0L+[Ly=[01k說明你的理由以支持你

-1ojL°J-

的觀點(diǎn)。(10分)

(3)令采樣周期KTT/2初始狀態(tài)卜叫』1]為，求雙同，使得(2)中離散化狀態(tài)空間模

X2(O)JL1J

型在第2個(gè)采樣時(shí)刻轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。(8分)

解：(1)不一定。

(2)連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是能控標(biāo)準(zhǔn)形，故系統(tǒng)是能控的。將狀態(tài)方程離散化，設(shè)采

樣周期為T,系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

根據(jù)，G(T)==①(T),H(T)=可得到離散化狀態(tài)方程，此時(shí)

J0

因此，離散化狀態(tài)空間模型為

則離散化系統(tǒng)的能控性矩陣為

所以，當(dāng)sin2心2sinT,即7=kn優(yōu)=0,1,2,…)時(shí)，離散化系統(tǒng)是不能控的；當(dāng)行如

(攵=0,1,2…)時(shí)，離散化系統(tǒng)是能控的。同理，離散化系統(tǒng)的能觀性矩陣為

所以，sin7=0，即7=如伙0=,1,2,...）時(shí),離散化系統(tǒng)是不能觀的；當(dāng)不如僅=0,1,2...）

時(shí)，離散化系統(tǒng)是能觀的。因此，一個(gè)能控能觀的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，其離散化后的狀態(tài)空間模

型不一定仍然是能控能觀的，主要取決與采樣周期用勺選擇。

（3）當(dāng)采樣周期K11/2時(shí)，離散化狀態(tài)空間模型為

可得

將式（a）代入式（b）得

即

整理可得

五、（10分）證明：狀態(tài)反饋不改變被控系統(tǒng)的能控性。

證明一：采用能控性定義證明，具體見教材P125.

證明二：考慮被控系統(tǒng)（45C。）,則狀態(tài)反饋后得到閉環(huán)系統(tǒng)叉,其狀態(tài)空間模型為

開環(huán)系統(tǒng)夕的能控性矩陣為

閉環(huán)系統(tǒng)Sg勺能控性矩陣為

由于

以此類推，（A—3K）'"5總可以寫成AmlB,AB,B的線性組合。因此，存在一個(gè)適當(dāng)

非奇異的矩陣〃，使得

由此可得：若rank（r；［A,B］）=〃,即有“線性無關(guān)的列向量，則幾［（4-3段,3］也有〃

個(gè)線性無關(guān)的列向量，故ranR「J（A—5&,5］）=",命題得證。

六、（20分）雙足直立機(jī)器人可以近似為一個(gè)倒立擺裝置，如圖所示。假設(shè)倒立擺系統(tǒng)的

一個(gè)平衡點(diǎn)線性化狀態(tài)空間模型如下：

其中，狀態(tài)變量尤=U?0團(tuán)「，虔小車的位移，婚擺桿的偏移角，礙作用在小車

上的動(dòng)力。試回答

（1）雙足直立機(jī)器人在行走過程中被人推了一把而偏離垂直面，那么根據(jù)倒立擺原理，請(qǐng)

問雙足直立機(jī)器人在該擾動(dòng)推力消失后還能回到垂直面位置嗎（2分）

（2）如果不能，那么請(qǐng)你從控制學(xué)的角度，給出兩種能夠使雙足直立機(jī)器人在擾動(dòng)推力消

失后回到垂直面位置的方法。（4分）

（3）請(qǐng)結(jié)合倒立擺模型，簡(jiǎn)單敘述雙足直立機(jī)器人能控性的含義。（4分）

（4）在狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)中，需要用到系統(tǒng)的所有狀態(tài)信息，但根據(jù)倒立擺原理，可測(cè)

量的狀態(tài)信息只有水平移動(dòng)的位移y,那么你有什么方法可以實(shí)現(xiàn)這個(gè)狀態(tài)反饋控制器的設(shè)

計(jì)你所用方法的條件是什么依據(jù)是什么請(qǐng)結(jié)合倒立擺模型，給出你使用方法的實(shí)現(xiàn)過程。

（10分）

答：（1）不能，因?yàn)榈沽[是一個(gè)開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)；

（2）對(duì)于給定的倒立擺模型，是一線性時(shí)不變系統(tǒng)，因此可以用如下方法使雙足直立機(jī)器

人在擾動(dòng)推力消失后回到垂直面位置（即穩(wěn)定化控制器設(shè)計(jì)）：極點(diǎn)配置方法；基于李雅普

諾夫穩(wěn)定性理論的直接設(shè)計(jì)法；線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)方法。

（3）當(dāng)雙足直立機(jī)器人由于受初始擾動(dòng)而稍稍偏離垂直面位置時(shí)，總可以通過對(duì)其施加一

個(gè)適當(dāng)?shù)耐饬Γ沟脤⑺苹氐酱怪泵嫖恢茫▽⒎橇愕某跏紶顟B(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)）。

（4）如果被控系統(tǒng)是狀態(tài)能觀的，那么通過設(shè)計(jì)（降維）狀態(tài)觀測(cè)器將不可測(cè)量狀態(tài)變量

觀測(cè)輸出，再應(yīng)用線性定常系統(tǒng)的分離性原理，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)。結(jié)合倒立擺模型,

則檢驗(yàn)上述狀態(tài)空間模型的能觀性；系統(tǒng)完全能觀，則對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器（或?qū)Σ豢蓽y(cè)

量子系統(tǒng)夕,。和&設(shè)計(jì)降維狀態(tài)觀測(cè)器）x;應(yīng)用線