2019年高考文科數(shù)學(xué)試卷(全國卷Ⅰ真題)-(含答案和解析)

2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國I卷）

文科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫

在答題卡上，寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)2=---,則以|=（）

1+2/11

A.2B忑

C，V2D.1

2.已知集合{1,2,3,4,5,6,7},A={2,34,5},5={2,3,6,7},則8口加囚=()

A.{1,6}B.{1,7}

C.{6,7}D.{1,6,7)

3.已知a=log202,b=20-2.C=0.2°3,則()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.h<c<a

4.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是避二1

2

（止」。0.618稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂

2

至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是正二!■.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且

2

腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是（）

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

5.函數(shù)/(x)=2瑛上當(dāng)在［-肛加的圖像大致為()

cosx+x~

6.某學(xué)校為了解1(X)0名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1,2,3,…,100()，從這些新生中用

系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測驗(yàn)，若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被

抽到的是().

A.8號(hào)學(xué)生B.200號(hào)學(xué)生

C.616號(hào)學(xué)生D.815號(hào)學(xué)生

7.tan255°=()

A.-2-&B.-2+6

C.2-6D.2+V3

8.已知非零向量a,B滿足l，l=2|B|,且3-則五與B的夾角為（）

7C71

A.—B.—

63

27r57r

C.---D.—

36

]

9.右圖是求2+4的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入（

)

2+-

2

A.A=B.A=2+—

2+AA

1

C.A=1+—D.A=

2A\+2A

10.雙曲線C：「—A=1（?〉0,。＞0）的一條漸近線的傾斜角為130P，則C的離心率為（）

ab

A.2sin40°B.2cos40°

11

C.D.-------

sin50°cos50°

11.AABC的內(nèi)角AJB,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asinA-hsinB=4csinC,

cosA=--,則夕二()

4

A.6B.5

C.4D.3

12.已知橢圓。的焦點(diǎn)坐標(biāo)為6(-1,0),尸2(1，0)，過K的直線與。交于A，B兩點(diǎn),若

\AF2\=2\F2B\,\AB\=\BF{\,則C的方程為（）

222

A.—+y2=1B.三+工=1

232

2222

cJ匕=1D.2+J

4354

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線y=3(/+x)/在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為t

3

14.記S“為等比數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和，若4=1,53=1,貝”4=.

37r

15.函數(shù)/(x)=sin(2x+；)-3cosx的最小值為.

16.已知NAC3=90°,P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2,點(diǎn)P到NACB兩邊AC,BC的距

離均為百，那么尸到平面ABC的距離為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為

必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：

17.某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場的服

務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)滿意的概率；

(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？

n(ad-bc)2

(。+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PgNk)0.0500.0100.001

k

3.8416.63510.828

18.記S“為等差數(shù)列紅｝的前〃項(xiàng)和，已知S,=-a5；

(1)若％=4,求｛。,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)若q>0,求使得"的”的取值范圍.

19如圖直四棱柱ABC￡)-A4GA的底面是菱形，AA=4,A3=2,ZBAD=6Q.

E,M,N分別是BC,BB,,A。的中點(diǎn).

(1)證明：MN//平面CQE

(2)求點(diǎn)C到平面GOE的距離.

20.已知函數(shù)/(x)=2sinx-xcosx-x，/'(x)是/(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：/'(X)在區(qū)間(0,現(xiàn)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若xe[0,加時(shí)，f(x)>ax,求。的取值范圍.

21已知點(diǎn)A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對(duì)稱，|A@=4,eM過點(diǎn)A8且與直線x+2=0

相切.

（1）若A在直線x+y=O上，求e"的半徑；

（2）是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值？并說明理由.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所

做的第一題計(jì)分

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

,1—尸

尤=7

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線。的參數(shù)方程為《1+廠。為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，

4r

x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為2Pcos6+V3psin9+11=0.

（I）求C和/的直角坐標(biāo)方程；

（2）求C上的點(diǎn)到/距離的最小值.

選修4-5：不等式選講

23.已知。，b,c為正數(shù)，且滿足abc=l,證明:

(1)—+-+-<a2+Z72+c2；

abc

(2)(a+Z7)3+(/?+c)3+(c+?)3>24.

答案解析

2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國I卷）

文科數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

2.設(shè)z=則忖=()

1+2/11

A.2B.6

C，V2D.1

答案：

C

解析：

3-i(3-0(l-2i)l-7z

因?yàn)閦=----=------------=-----

1+2/(1+2z)(l-2z)5

所以慟=j(g)2+(一1)2=V2

3.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},A={2,34,5},B={2,3,6,7},則50限=()

A.{1,6}B.{1,7}

C.{6,7}D.{1,6,7}

答案：

C

解析：

U={12,3,4,5,6,7},A={23,4,5},則QA={1,6,7},又,:5={2,367},則

BnCyA={6,7},故選C.

3.已知a=log?0.2,b=2°-2,c=0.2°-3,則()

\.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

答案：

B

解答：

由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像可知：?=log20.2<0；再有指數(shù)函數(shù)的圖像可知：8=2°2>1,

0<c=0.2°3<1，于是可得到：a<c<b.

4.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是正二1

（吏二1°0.618稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如止匕.此外，最美人體的頭頂

至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是苴工.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且

2

腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是（）

-T

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

答案：

解析：

方法一：

設(shè)頭頂處為點(diǎn)A，咽喉處為點(diǎn)3,脖子下端處為點(diǎn)C,肚臍處為點(diǎn)腿根處為點(diǎn)E,足底

處為F，BD=t,吏二L=/l，

根據(jù)題意可知一=九，故A3=今；又AD=A8+8O=（/l+Df,——=2,故

所以身高/i=AO+OE=（A+1）-t,將，=?0.618代入可得h?4.24J

22

根據(jù)腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm可得AB<AC,DF>EF；

即加<26,但■f>105,將4=吏二1=0.618代入可得40<r<42

X2

所以169.6<7?<178.08,故選B.

方法二：

由于頭頂至咽喉的長度與頭頂至脖子下端的長度極為接近，故頭頂至脖子下端的長度26cm可

估值為頭頂至咽喉的長度；根據(jù)人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是

2

（止二1*0.618稱為黃金分割比例）可計(jì)算出咽喉至肚臍的長度約為42cm；將人體的頭頂

2

至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度相加可得頭頂至肚臍的長度為68cm,頭頂至肚臍的長度與

肚臍至足底的長度之比是叵」■可計(jì)算出肚臍至足底的長度約為110；將頭頂至肚臍的長度

2

與肚臍至足底的長度相加即可得到身高約為178cm,與答案175cm更為接近，故選B.

einX4-X

6.函數(shù)/*）=一:一^在［一肛4］的圖像大致為（）

cosx+x

D

解答:

sin(-x)-xsinx+x

?.?/(-x)=-------_L——>

-2=—/(X),

COS(-X)+(-%)'cosx+x

.?./（X）為奇函數(shù)，排除A.

排除C,

sin?+;r冗八

/（不）=內(nèi)＞0,排除B,故選D.

COS7T+⑺2

6.某學(xué)校為了解1（X）0名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1,2,3,…,1000,從這些新生中用

系統(tǒng)抽樣方法等距抽取1()()名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測驗(yàn)，若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被

抽到的是().

A.8號(hào)學(xué)生B.20()號(hào)學(xué)生

C.616號(hào)學(xué)生D.815號(hào)學(xué)生

答案：

C

解答：

從1000名學(xué)生中抽取100名，每10人抽一個(gè)，46號(hào)學(xué)生被抽到，則抽取的號(hào)數(shù)就為

10〃+6(0<〃W99,〃eN),可得出616號(hào)學(xué)生被抽到.

8.tan2550=()

A.-2-V3B.-2+V3

C.2-6D.2+百

答案:

解析：

tan45。-4-f分n20。

因?yàn)閠an255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=十皿-'，

1-tan450-tan30°

化簡可得tan2550=2+6

9.已知非零向量2,B滿足|初=20I，且3—?jiǎng)t方與B的夾角為()

答案:

解答:

"\a\=2\b\,且3-楊_LB,.,?伍-楊拓=0,有l(wèi)Z_|W=0,設(shè)「與B的夾角為6,

則有|GHB|COS6—出『=0,即2出「cos。一出F=0,|B『(2cos。-1)=0,???出快0,

八1八〃一71

?*-cos9=一,0=一,故。與。的夾角為選B.

10.右圖是求2+—^的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入(

2+-

2

1

CM=1+—D.A=

2A1+2A

答案：

A

解答：

把選項(xiàng)代入模擬運(yùn)行很容易得出結(jié)論

選項(xiàng)A代入運(yùn)算可得2+吟，滿足條件,

2+-

2

4—2+

選項(xiàng)B代入運(yùn)算可得1,不符合條件,

，十一

2

選項(xiàng)C代入運(yùn)算可得A=,，不符合條件，

2

選項(xiàng)D代入運(yùn)算可得A=1+!,不符合條件.

4

22

10.雙曲線=1(?>0,/?>0)的一條漸近線的傾斜角為130°,則C的離心率為()

ab

A.2sin40°B.2cos40°

C.---D.---

sin50°cos50°

答案：

D

解答：

bb

根據(jù)題意可知——=tan130°,所以一=tan50。=s必in530°-,

aacos50°

cos250°+sin250°_I11

離心率e

氏3+畸cos250°Vcos250°cos50°

12.AABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asinA—bsin6=4csinC,

，In//、

cos?l=——,則一二（）

4c

A.6B.5

C.4D.3

答案：

A

解答：

由正弦定理可得到:asinA—bsinB=4csinC=>cT—b2=4c2，即a2=4c2+Z?2，

又由余弦定理可得到：cosA="-+c'_q-于是可得到2=6

2bc4c

13.已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為耳工(1,0),過弱的直線與C交于A，B兩點(diǎn),若

|A閶=2國四，|AB|=|明則。的方程為()

X2

A.—+/=1B.----=1

232

答案：

B

解答：

*|A^|=2|^B|,\AB\=\BF{\,設(shè)內(nèi)同=x,則|傷|=2x,|%|=3x,根據(jù)橢圓的定義

區(qū)目+忸耳|=|你|+|明|=2,所以|朋|=2%,因此點(diǎn)4即為橢圓的下頂點(diǎn)，因?yàn)?/p>

\AFA=2\F,B\,c=l所以點(diǎn)3坐標(biāo)為(3,2),將坐標(biāo)代入橢圓方程得工+工=1,解得

1111224a24

a2=3,b2=2,故答案選B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線y=3(x2+x)e'在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為

答案:

y=3x

解答:

1.,y=3(2x+l)ex+3(x2+x)e'=3,+3x+l)ex，

；?結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線方程的斜率k=3,

.?.切線方程為y=3x.

3

15.記S“為等比數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和，若4=1,S3=j,則S4=

答案：

5

8

解析：

%=1,$3=4+4+%=；

設(shè)等比數(shù)列公比為4

???4+W+4/]

??q-2

所以=&

15.函數(shù)/(x)=5詛21+:)-3(：051的最小值為

答案:

—4

解答:

3冗

f(x)=sin(2x+弓-)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1,

因?yàn)閏osXW[-1,1],知當(dāng)cosX=1時(shí)因尤)取最小值,

貝/(x)=sin(2x+；_)-3cosX的最小值為-4.

16.已知NAC3=90°,尸為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2,點(diǎn)P到NAC8兩邊AC,8C的距

離均為G，那么P到平面ABC的距離為.

答案：

臟

解答：

如圖，過P點(diǎn)做平面A8C的垂線段，垂足為0,則PO的長度即為所求，再做

PEVCB,PFYCA,由線面的垂直判定及性質(zhì)定理可得出OE_LCB,OF_LCA,在

RMCF中,由PC=2,PF=JL可得出CE=1,同理在用APCE中可得出CE=1,結(jié)

合ZACB=90°,OELCB,OFLCA可得出OE=OF=1,OCf，

PO=y]PC2-OC2=V2

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為

必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：

17.某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場的服

務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

(3)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)滿意的概率；

(4)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？

〃(ad-be)"2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PgNk)0.0500.0100.001

k

3.8416.63510.828

答案：

(1)男顧客的的滿意概率為2=*404

女顧客的的滿意概率為P=30=|3

(2)有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

解答：

(1)男顧客的的滿意概率為P=40=]4

303

女顧客的的滿意概率為P==

2100(40x20—10x30)2…八

(2)K~=--------------------------------------------------=4.762

(40+10)(30+20)(40+30)(10+20)

4.762>3.841有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

18.記5?為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知S9=-%；

(1)若生=4,求｛/｝的通項(xiàng)公式；

(2)若q>0,求使得4的”的取值范圍.

答案：

(1)an=-In+10

(2)｛"1N｝

解答：

(1)由§9=一與結(jié)合$9=%1匈=9%可得%=。，聯(lián)立4=4得4=-2,所以

an=%+(〃-3)。=-2〃+10

n(n—9)d

(2)由S9=-。5可得4=-4d,故a“=(〃-5)d,Sn=——-——.

由q>0知d<0,故等價(jià)于〃2_ii〃+io〈o，解得

所以”的取值范圍是｛?|1<?<10,neN｝

19.如圖直四棱柱ABC。一A4G〃的底面是菱形，A4,=4,A6=2,ZBAD=601

E,M,N分別是BC,BB],A。的中點(diǎn).

(1)證明：MN//平面CQE

(2)求點(diǎn)C到平面GOE的距離.

見解析

解答：

(1)連結(jié)AG，相交于點(diǎn)G,再過點(diǎn)M作MH//C|E交耳G于點(diǎn)H，再連結(jié)GH,NG.

■：￡,”1分別是5。,陰，4。的中點(diǎn).

于是可得到NG//G。，GH//DE,

于是得到平面NGHM"平面QDE,

由「MNu平面NGHM,于是得到MN//平面GOE

(2)為BC中點(diǎn)，ABCD為菱形且/區(qū)4。=60

：.DE±BC,又為直四棱柱，：

DE±CjE,又A8=2,A4j=4,

:.DE=?C】E=ylii,設(shè)點(diǎn)C到平面G。七的距離為，2

由K,-CIDE=%-DCE得

—x—x^3x-s/l?xh=—x—xlx^3x4

3232

解得〃=巴舊

17

所以點(diǎn)c到平面GOE的距離為WJI7

21.已知函數(shù)/(幻=25m了一%85%一X，/'(x)是/(x)的導(dǎo)數(shù).

(3)證明：/'(x)在區(qū)間(0,%)存在唯一零點(diǎn)；

(4)若xw[0,加時(shí)，f(x)>ax,求〃的取值范圍.

答案：

略

解答：

(1)由題意得/'(X)=2cosX-[cosX+x(—sinX)]-1=COSx+xsinx-1

令g(x)=cosx+xsinx—1,/.g'(x)=xcosx

jr

當(dāng)X€(O,一]時(shí)，g'(x)>o,g(x)單調(diào)遞增，

2

當(dāng)x嗎㈤時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

,g(x)的最大值為gcjon'-l,又g(萬)=一2,g(0)=0

?"(乃)超(9<0,即r(乃)(今)<o,

；?/(%)在區(qū)間(0,乃)存在唯一零點(diǎn).

(2)令尸(%)=/(%)—ax=2sinx-xcosx-x-ar,

F(x)=cosx4-xsinx-l一。，

由(1)知/'(x)在(0,萬)上先增后減，存在加￡(工,萬)，使得/'(，%)=0,且/'(0)=0,

2

r(|)=|-i>o,rs)=—2,

jrTT

P(x)在(0,左)上先增后減，F(xiàn)(0)=—a,F(-)=--l-fl,F(萬)=-2—a,

22

TT

當(dāng)產(chǎn)(一)40時(shí)，F(xiàn)'(x)在(0,萬)上小于0,尸(幻單調(diào)遞減，

2

又戶(0)=0,則尸(x)?。(0)=0不合題意,

TT7T77"

當(dāng)廣(一)>0時(shí)，即一一1一。>0,a<J—1時(shí)、

222

若尸'(0)20,尸'(萬)<0,尸(x)在(0,〃?)上單調(diào)遞增，在(〃?,乃)上單調(diào)遞減,

F(0)>0

解得a<0,

F⑺>0

F'(0)=-a>0

而｛,解得—2<a<0,故—2<aW0,

F'^)=-2-a<0

若尸(0)20,尸(萬)20,尸(幻在(0,%)上單調(diào)遞增，且尸(0)=0,

F,(0)=-a>0

故只需，解得a<—2；

F'(TT)--2—a>0

77

若尸⑼WO,F(^-)<0,尸(x)在(0,二)上單調(diào)遞增，且"0)=0,

2

故存在xe(0,—)時(shí)，F(xiàn)(x)<F(0)=0,不合題意,

2

綜上所述，。的取值范圍為(，》,()].

21.已知點(diǎn)48關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對(duì)稱，|A?=4,eM過點(diǎn)4,8且與直線％+2=0

相切.

(3)若A在直線x+y=0上，求e"的半徑;

(4)是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，|M4|一|明為定值？并說明理由.

答案：

(1)2或6；

(2)見解析.

解答：

(1)；eV過點(diǎn)4,3,二圓心在A8的中垂線上即直線>=x上，設(shè)圓的方程為

(x-a)2+(y-a)2=r2,又|AB|=4,根據(jù)AO?+MO?=/得4+2/=/；

???eM與直線x+2=0相切，.[a+2|=r,聯(lián)解方程得a=0,r=2或a=4,r=6.

(2)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)條件4。2+知。2=八=1+2『即4+=+y2=卜+21

化簡得V=4x,即"的軌跡是以(1,0)為焦點(diǎn)，以x=—1為準(zhǔn)線的拋物線，所以存在定點(diǎn)

P(1,O),使|M4|_|MP|=(x+2)_(x+l)=l