第八章 一元線性回歸模型及其應(yīng)用 高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)

一元線性回歸模型及其應(yīng)用第八章

成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.結(jié)合實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)

意義.2.了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)

方法.3.針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE稱

為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中Y稱為_______或

，x稱為

或

，

稱為截距參數(shù)，

稱為斜率參數(shù)；e是

與

之間的隨機(jī)誤差，如果e＝

，那么Y與x之間的關(guān)系就可以用一元線性函數(shù)模型來(lái)描述.知識(shí)點(diǎn)一一元線性回歸模型因變量響應(yīng)變量自變量解釋變量abYbx＋a0知識(shí)點(diǎn)二最小二乘法思考1

經(jīng)驗(yàn)回歸方程一定過(guò)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一點(diǎn)嗎？答案

不一定.思考2

點(diǎn)(

)在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上嗎？答案在.知識(shí)點(diǎn)三殘差與殘差分析1.殘差對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為

，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的

稱為

，

減去

稱為殘差.2.殘差分析

是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)

的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.觀測(cè)值預(yù)測(cè)值觀測(cè)值預(yù)測(cè)值殘差殘差知識(shí)點(diǎn)四對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析1.殘差圖法在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以

，則說(shuō)明經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫了兩個(gè)變量的關(guān)系.2.殘差平方和法殘差平方和

越小，模型的擬合效果越好.橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)3.R2法大小思考利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程求得的函數(shù)值一定是真實(shí)值嗎？答案不一定，他只是真實(shí)值的一個(gè)預(yù)測(cè)估計(jì)值.1.求經(jīng)驗(yàn)回歸方程前可以不進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).(

)2.在殘差圖中，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào).(

)3.利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程求出的值是準(zhǔn)確值.(

)4.殘差平方和越小，線性回歸模型的擬合效果越好.(

)5.R2越小，線性回歸模型的擬合效果越好.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√×××2題型探究PARTTWO一、求經(jīng)驗(yàn)回歸方程例1

某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；解散點(diǎn)圖如圖所示：(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程

；(3)試根據(jù)求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力.即預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力為4.反思感悟求經(jīng)驗(yàn)回歸方程可分如下四步來(lái)完成(4)寫：寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程.跟蹤訓(xùn)練1

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民儲(chǔ)蓄存款逐年增長(zhǎng).設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款(年底余額)如下表：年份20152016201720182019時(shí)間代號(hào)t12345儲(chǔ)蓄存款y(千億元)567810(2)用所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2021年(t＝7)的人民幣儲(chǔ)蓄存款.年份20152016201720182019時(shí)間代號(hào)t12345儲(chǔ)蓄存款y(千億元)567810所以預(yù)測(cè)該地區(qū)2021年的人民幣儲(chǔ)蓄存款為12千億元.例2

已知某種商品的價(jià)格x(單位：元)與需求量y(單位：件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：二、線性回歸分析x1416182022y1210753求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并借助殘差平方和和R2說(shuō)明回歸模型擬合效果的好壞.列出殘差表：所以回歸模型的擬合效果很好.反思感悟刻畫回歸效果的三種方法(1)殘差圖法，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說(shuō)明選用的模型比較合適.跟蹤訓(xùn)練2

為研究重量x(單位：克)對(duì)彈簧長(zhǎng)度y(單位：厘米)的影響，對(duì)不同重量的6個(gè)物體進(jìn)行測(cè)量，數(shù)據(jù)如下表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點(diǎn)圖并求經(jīng)驗(yàn)回歸方程；解散點(diǎn)圖如圖.(2)求出R2;

x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8解殘差表如下：所以回歸模型的擬合效果很好.(3)進(jìn)行殘差分析.x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8解由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，如果有，則需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在寬度不超過(guò)0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長(zhǎng)度與重量成線性關(guān)系.三、非線性回歸例3下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：(1)作出x與y的散點(diǎn)圖，并猜測(cè)x與y之間的關(guān)系；x21232527293235y711212466115325解作出散點(diǎn)圖如圖，從散點(diǎn)圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識(shí)可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)型曲線y＝c1

的周圍，其中c1，c2為待定的參數(shù).(2)建立x與y的關(guān)系，預(yù)報(bào)回歸模型并計(jì)算殘差；x21232527293235y711212466115325解對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝lny，則有變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周圍，這樣就可以利用經(jīng)驗(yàn)回歸模型來(lái)建立y與x之間的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784殘差表如下：yi7112124661153256.44311.10119.12532.95056.770128.381290.3250.557－0.1011.875－8.9509.23－13.38134.675(3)利用所得模型，預(yù)測(cè)x＝40時(shí)y的值.x21232527293235y711212466115325反思感悟非線性回歸問(wèn)題的處理方法(1)指數(shù)函數(shù)型y＝ebx＋a①函數(shù)y＝ebx＋a的圖象，如圖所示；②處理方法：兩邊取對(duì)數(shù)得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉(zhuǎn)化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(2)對(duì)數(shù)函數(shù)型y＝blnx＋a①函數(shù)y＝blnx＋a的圖象，如圖所示；②處理方法：設(shè)x′＝lnx，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型處理方法：設(shè)x′＝x2，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.跟蹤訓(xùn)練3

為了研究甲型H1N1中的某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化的繁殖個(gè)數(shù)y，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)x123456繁殖個(gè)數(shù)y612254995190求y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程.解作出散點(diǎn)圖如圖(1)所示.由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)型曲線y＝cebx的周圍，則lny＝bx＋lnc.令z＝lny，a＝lnc，則z＝bx＋a.x123456z1.792.483.223.894.555.25相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖(2)所示.從圖(2)可以看出，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，因此可以用經(jīng)驗(yàn)回歸方程來(lái)擬合.x123456z1.792.483.223.894.555.253隨堂演練PARTTHREE1.(多選)以下四個(gè)散點(diǎn)圖中，兩個(gè)變量的關(guān)系適合用線性回歸模型刻畫的是12345解析AC中的點(diǎn)分布在一條直線附近，適合線性回歸模型.√√2.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時(shí)，分別選擇了4種不同模型，計(jì)算可得它們的決定系數(shù)R2分別如下表：哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

甲乙丙丁R20.980.780.500.85√解析決定系數(shù)R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好.123453.已知人的年齡x與人體脂肪含量的百分?jǐn)?shù)y的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝0.577x－0.448，如果某人36歲，那么這個(gè)人的脂肪含量A.一定是20.3%B.在20.3%附近的可能性比較大C.無(wú)任何參考數(shù)據(jù)D.以上解釋都無(wú)道理√解析將x＝36代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程得y＝0.577×36－0.448≈20.3，故這個(gè)人的脂肪含量在20.3%附近的可能性較大，故選B.123456312345123451.知識(shí)清單：(1)一元線性回歸模型.(2)最小二乘法、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法.(3)對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析：殘差圖法、殘差平方和法和R2法.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸.3.常見(jiàn)誤區(qū)：不判斷變量間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，盲目求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程致誤.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.如果兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度很高，則其R2的值應(yīng)接近于A.0.5 B.2 C.0 D.1基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415√16解析R2越接近于1，相關(guān)程度越高，故選D.2.對(duì)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是√12345678910111213141516解析用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高.123456789101112131415163.工人工資y(元)與勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元)的相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

＝50＋80x，下列判斷正確的是A.勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工人工資為130元B.勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高80元C.勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高130元D.當(dāng)月工資為250元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2000元解析因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率為80，所以x每增加1，y平均增加80，即勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高80元.√123456789101112131415164.兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖如圖，可考慮用如下函數(shù)進(jìn)行擬合比較合理的是A.y＝a·xb

B.y＝a＋blnxC.y＝a·ebx

D.y＝a·解析由散點(diǎn)圖可知，此曲線類似對(duì)數(shù)函數(shù)型曲線，因此可用函數(shù)y＝a＋blnx模型進(jìn)行擬合.√12345678910111213141516√√解析經(jīng)驗(yàn)回歸方程是一個(gè)模擬函數(shù)，它表示的是一系列離散的點(diǎn)大致所在直線的位置及其大致變化規(guī)律，所以有些散點(diǎn)不一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上.√1234567891011121314151612.1123456789101112131415167.若經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程中的回歸系數(shù)

＝0，則樣本相關(guān)系數(shù)r＝____.0123456789101112131415168.某品牌服裝專賣店為了解保暖襯衣的銷售量y(件)與平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)四旬的銷售量與當(dāng)旬平均氣溫，其數(shù)據(jù)如表：

(1)表中數(shù)據(jù)m＝____；40時(shí)間二月上旬二月中旬二月下旬三月上旬旬平均氣溫x(℃)381217旬銷售量y(件)55m332412345678910111213141516(2)氣象部門預(yù)測(cè)三月中旬的平均氣溫約為22℃，據(jù)此估計(jì)，該品牌的保暖襯衣在三月中旬的銷售量約為____件.14時(shí)間二月上旬二月中旬二月下旬三月上旬旬平均氣溫x(℃)381217旬銷售量y(件)55m3324故三月中旬的銷售量約為14件.123456789101112131415169.已知變量x，y有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

(1)作出散點(diǎn)圖；解散點(diǎn)圖如圖所示.x1234y134512345678910111213141516(2)用最小二乘法求關(guān)于x，y的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.x1234y134512345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516(2)①判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；②當(dāng)使用年限為8年時(shí)，試估計(jì)支出的維修費(fèi)是多少？解由(1)知，當(dāng)x＝8時(shí)，

＝1.2×8＋0.2＝9.8，即使用年限為8年時(shí)，支出的維修費(fèi)約是9.8萬(wàn)元.12345678910111213141516綜合運(yùn)用√1234567891011121314151612.恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個(gè)人消費(fèi)支出總額的比重.據(jù)某機(jī)構(gòu)預(yù)測(cè)，n(n≥10)個(gè)城市職工購(gòu)買食品的人均支出y(千元)與人均月消費(fèi)支出x(千元)具有線性相關(guān)關(guān)系，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

＝0.4x＋1.2，若其中某城市職工的人均月消費(fèi)支出為5千元，則該城市職工的月恩格爾系數(shù)約為A.60% B.64% C.58% D.55%√1234567891011121314151613.(多選)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.經(jīng)驗(yàn)回歸方程過(guò)樣本點(diǎn)的中心(

)C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可判定其體重必為58.79kg√√√解析A，B，C均正確，是經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)，D項(xiàng)是錯(cuò)誤的，經(jīng)驗(yàn)回歸方程只能預(yù)測(cè)學(xué)生的體重，應(yīng)為大約58.79kg.1234567891011121314151614.某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm,170cm,182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高為_____cm.18512345678910111213141516解析因?yàn)閮鹤拥纳砀吲c父親的身高有關(guān)，所以設(shè)兒子的身高為Y(單位：cm)，父親身高為X(單位：cm)，根據(jù)數(shù)據(jù)列表：X173170176Y170176182于是兒子身高與父親身高的關(guān)系式為Y