高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第3講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用文市賽課公開課一等獎省名師獲獎?wù)n件

第3講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1/51熱點分類突破真題押題精練2/51Ⅰ熱點分類突破3/51熱點一導(dǎo)數(shù)幾何意義1.函數(shù)f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)是曲線f(x)在點P(x0，f(x0))處切線斜率，曲線f(x)在點P處切線斜率k＝f′(x0)，對應(yīng)切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).2.求曲線切線要注意“過點P切線”與“在點P處切線”不一樣.4/51答案解析思維升華√5/51思維升華求曲線切線要注意“過點P切線”與“在點P處切線”差異，過點P切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處切線，必以點P為切點.6/51答案解析思維升華思維升華利用導(dǎo)數(shù)幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點坐標、切線斜率之間關(guān)系來進行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間關(guān)系為載體求參數(shù)值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間關(guān)系，進而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)絡(luò)起來求解.√7/51與曲線C2相切，設(shè)切點為(x0，y0)，8/51①②是同一方程，9/51答案解析跟蹤演練1

(1)(·天津)已知a∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－lnx圖象在點(1，f(1))處切線為l，則l在y軸上截距為____.解析∵f′(x)＝a－

，∴f′(1)＝a－1.又∵f(1)＝a，∴切線l斜率為a－1，且過點(1，a)，∴切線l方程為y－a＝(a－1)(x－1).令x＝0，得y＝1，故l在y軸上截距為1.110/51答案解析√11/5112/51當t∈(0,1)時，φ′(t)<0，則φ(t)在(0,1)上單調(diào)遞減；當t∈(1，＋∞)時，φ′(t)>0，則φ(t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴a＋b＝φ(t)≥φ(1)＝－1，故a＋b最小值為－1.13/51熱點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性1.f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)充分無須要條件，如函數(shù)f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，但f′(x)≥0.2.f′(x)≥0是f(x)為增函數(shù)必要不充分條件，當函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0時，則f(x)為常函數(shù)，函數(shù)不含有單調(diào)性.14/51例2

(·全國Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝(1－x2)ex.(1)討論f(x)單調(diào)性；解f′(x)＝(1－2x－x2)ex.解答15/51(2)當x≥0時，f(x)≤ax＋1，求a取值范圍.解答思維升華16/51解f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.當a≥1時，設(shè)函數(shù)h(x)＝(1－x)ex，則h′(x)＝－xex<0(x>0)，所以h(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減.而h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.當0<a<1時，設(shè)函數(shù)g(x)＝ex－x－1，則g′(x)＝ex－1>0(x>0)，所以g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增.而g(0)＝0，故ex≥x＋1.當0<x<1時，f(x)>(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，17/51則x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，則x0∈(0,1)，f(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.綜上，a取值范圍是[1，＋∞).18/51思維升華利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性普通步驟(1)確定函數(shù)定義域.(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x).(3)①若求單調(diào)區(qū)間(或證實單調(diào)性)，只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證實)不等式f′(x)>0或f′(x)<0；②若已知函數(shù)單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題來求解.19/51答案解析√20/5121/51(2)設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x<0時，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0解集是A.(－3,0)∪(3，＋∞) B.(－3,0)∪(0,3)C.(－∞，－3)∪(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(0,3)√解析當x<0時，∵f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，∴[f(x)g(x)]′>0，∴y＝f(x)g(x)為增函數(shù).∵g(－3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0，∴f(x)g(x)<0解集為(－∞，－3).∵f(x)，g(x)分別是定義在R上奇函數(shù)和偶函數(shù)，∴y＝f(x)g(x)在R上為奇函數(shù)，當x>0時，f(x)g(x)<0解集為(0,3).綜上，不等式解集為(－∞，－3)∪(0,3).故選D.答案解析22/51熱點三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值、最值1.若在x0附近左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，則f(x0)為函數(shù)f(x)極大值；若在x0附近左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，則f(x0)為函數(shù)f(x)極小值.2.設(shè)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得.23/51解答例3

(屆河南息縣第一高級中學(xué)檢測)已知函數(shù)f(x)＝

＋lnx，g(x)＝x3＋x2－x.(1)若m＝3，求f(x)極值；24/51解f(x)定義域為(0，＋∞)，∴當x>3時，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)，當0<x<3時，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù).∴f(x)有極小值f(3)＝1＋ln3，沒有極大值.25/51解答思維升華26/51解g(x)＝x3＋x2－x，g′(x)＝3x2＋2x－1.∴m≥x－xlnx，令h(x)＝x－xlnx，則h′(x)＝1－lnx－1＝－lnx.∴當x≥1時，h′(x)<0，當0<x<1時，h′(x)>0，27/51∴h(x)在(0,1)上是增函數(shù)，在[1，＋∞)上是減函數(shù)，∴m≥1，即m∈[1，＋∞).28/51思維升華(1)求函數(shù)f(x)極值，則先求方程f′(x)＝0根，再檢驗f′(x)在方程根左右函數(shù)值符號.(2)若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f′(x)＝0根大小或存在情況來求解.(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上最值時，在得到極值基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)各極值進行比較得到函數(shù)最值.29/51跟蹤演練3

已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2，在x＝1處取得極值.(1)求a，b值；解由題設(shè)可得f′(x)＝3ax2＋2bx，解答30/51(2)若對任意x∈[0，＋∞)，都有f′(x)≤kln(x＋1)成立(其中f′(x)是函數(shù)f(x)導(dǎo)函數(shù))，求實數(shù)k最小值.解答31/51∴f′(x)＝－x2＋x，∴－x2＋x≤kln(x＋1)在[0，＋∞)上恒成立，即x2－x＋kln(x＋1)≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，設(shè)g(x)＝x2－x＋kln(x＋1)，則g(0)＝0，設(shè)h(x)＝2x2＋x＋k－1，∴g′(x)≥0，g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，32/51設(shè)x1，x2是方程2x2＋x＋k－1＝0兩個實根，由題設(shè)可知，當且僅當x2≤0，即x1·x2≥0，即k－1≥0，即k≥1時，對任意x∈[0，＋∞)有h(x)≥0，即g′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，33/51綜上，k取值范圍為[1，＋∞)，∴實數(shù)k最小值為1.34/51Ⅱ真題押題精練35/51真題體驗1.(·浙江改編)函數(shù)y＝f(x)導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)圖象如圖所表示，則函數(shù)y＝f(x)圖象可能是________.(填序號)④答案解析123436/51解析觀察導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖象可知，f′(x)函數(shù)值從左到右依次為小于0，大于0，小于0，大于0，∴對應(yīng)函數(shù)f(x)增減性從左到右依次為減、增、減、增.觀察圖象可知，排除①，③.如圖所表示，f′(x)有3個零點，從左到右依次設(shè)為x1，x2，x3，且x1，x3是極小值點，x2是極大值點，且x2＞0，故④正確.123437/512.(·全國Ⅱ改編)若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1極值點，則f(x)極小值為______.－1答案解析123438/51解析函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，則f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1].由x＝－2是函數(shù)f(x)極值點，得f′(－2)＝e－3(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1，所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1(x2＋x－2).123439/51由ex－1＞0恒成立，得當x＝－2或x＝1時，f′(x)＝0，且x＜－2時，f′(x)＞0；當－2＜x＜1時，f′(x)＜0；當x＞1時，f′(x)＞0.所以x＝1是函數(shù)f(x)極小值點.所以函數(shù)f(x)極小值為f(1)＝－1.123440/513.(·山東改編)若函數(shù)exf(x)(e＝2.71828…是自然對數(shù)底數(shù))在f(x)定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)含有M性質(zhì)，以下函數(shù)中含有M性質(zhì)是______.(填序號)①f(x)＝2－x；

②f(x)＝x2；③f(x)＝3－x；

④f(x)＝cosx.①答案解析123441/51解析若f(x)含有性質(zhì)M，則[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]＞0在f(x)定義域上恒成立，即f(x)＋f′(x)＞0在f(x)定義域上恒成立.對于①式，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－xln2＝2－x(1－ln2)＞0，符合題意.經(jīng)驗證，②③④均不符合題意.故填①.123442/514.(·全國Ⅰ)曲線y＝x2＋

在點(1,2)處切線方程為________.答案解析1234y＝x＋1即曲線在點(1,2)處切線斜率k＝1，∴切線方程為y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.43/51押題預(yù)測答案解析押題依據(jù)曲線切線問題是導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用，是高考考查熱點，對于“過某一點切線”問題，也是易錯易混點.押題依據(jù)12341.設(shè)函數(shù)y＝f(x)導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若y＝f(x)圖象在點P(1，f(1))處切線方程為x－y＋2＝0，則f(1)＋f′(1)等于A.4 B.3 C.2 D.1√解析依題意有f′(1)＝1,1－f(1)＋2＝0，即f(1)＝3，所以f(1)＋f′(1)＝4.44/51答案解析押題依據(jù)函數(shù)極值是單調(diào)性與最值“橋梁”，了解極值概念是學(xué)好導(dǎo)數(shù)關(guān)鍵.極值點、極值求法是高考熱點.押題依據(jù)123√445/51解析由題意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，123446/513.