江西省宜春市段潭中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

江西省宜春市段潭中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a﹣（a∈R）是純虛數(shù)，則a的值為（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3參考答案：D考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本概念．專題：計(jì)算題．分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則把a(bǔ)﹣（a∈R）可以化為（a﹣3）﹣i，再利用純虛數(shù)的定義即可得到a．解答：解：∵=（a﹣3）﹣i是純虛數(shù)，∴a﹣3=0，解得a=3．故選D．點(diǎn)評：熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和純虛數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件，已知z=2x+y的最大值是8，最小值是﹣5，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．6 B．﹣6 C．﹣ D．參考答案：B考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，作出直線2x+y=8和2x+y=﹣5，得到直線x+ay﹣4=0經(jīng)過點(diǎn)A，B，進(jìn)行求解即可取出a的值．解答：解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，∵z=2x+y的最大值是8，最小值是﹣5，∴作出直線2x+y=8，則目標(biāo)函數(shù)與直線x+y﹣4=0交于A，作出直線2x+y=﹣5，則目標(biāo)函數(shù)與直線3x﹣2y+4=0交于B，則直線x+ay﹣4=0經(jīng)過點(diǎn)A，B，由，解得，即B（﹣2，﹣1），代入直線x+ay﹣4=0，得﹣2﹣a﹣4=0．解得a=﹣6．即AB：x﹣6﹣4=0，由圖象進(jìn)行檢驗(yàn)可得，滿足條件，故選：B．點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．3.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若（A）12

（B）18

（C）24

（D）42參考答案：答案：C解析：S2，S4-S2，S6-S4成等差數(shù)列，即2，8，S6-10成等差數(shù)列，S6=24，選C4.下列命題中，真命題是（

）A．

B．C．的充要條件是

D．是的充分條件參考答案：D5.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為T，P為C上任意一點(diǎn)，若，則（

）A.30° B.45° C.60° D.75°參考答案：C【分析】如圖所示：作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，則，故，得到答案.【詳解】如圖所示：作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，則，在中，，故，即.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中角度的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.6.函數(shù)f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A． B． C．π D．2π參考答案：B【考點(diǎn)】H1：三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期．【解答】解：函數(shù)f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）化簡可得：f（x）=4sinx?cos2x﹣sinx=4sinx（1﹣sin2x）﹣sinx=3sinx﹣4sin3x=sin3x．∴最小正周期T=．故選：B．7.設(shè)A＝{x|x－a＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，且A∩B＝B，則實(shí)數(shù)a的值為()A．1

B．－1C．1或－1

D．1，－1或0參考答案：D8.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長五尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上題的已知條件，若金箠由粗到細(xì)是均勻變化的，問第二尺與第四尺的重量之和為（

）A．6斤 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤參考答案：A由題意得，金箠的每一尺的重量依次成等差數(shù)列，從細(xì)的一端開始，第一段重2斤，第五段重4斤，由等差中項(xiàng)性質(zhì)可知，第三段重3斤，第二段加第四段重3×2=6斤.9.設(shè)集合M={x|x2﹣4x+3≤0}，N={x|log2x≤1}，則M∪N=（）A．[1，2] B．[1，2） C．[0，3] D．（0，3]參考答案：D考點(diǎn)：并集及其運(yùn)算．專題：集合．分析：求出M，N的等價(jià)條件，結(jié)合集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．解答：解：M={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，N={x|log2x≤1}={x|0＜x≤2}，則M∪N={x|0＜x≤3}，故選：D點(diǎn)評：本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．10.

已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,則等于(

)A．－

B．

C．

－

D．－或－參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知變量a，θ∈R，則（a﹣2cosθ）2+（a﹣5﹣2sinθ）2的最小值為．參考答案：9略12.函數(shù)f(x)=的值域?yàn)開________參考答案：略13.由曲線y=3﹣x2和直線y=2x所圍成的面積為

．參考答案：【考點(diǎn)】定積分．【分析】聯(lián)立由曲線y=3﹣x2和y=2x兩個(gè)解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后在x∈（﹣3，1）區(qū)間上利用定積分的方法求出圍成的面積即可．【解答】解：聯(lián)立得，解得或，設(shè)曲線與直線圍成的面積為S，則S=∫﹣31（3﹣x2﹣2x）dx=故答案為：．14.某教師出了一份三道題的測試卷，每道題1分，全班得3分、2分、1分和0分的學(xué)生所占比例分別為30％、50％、10％和10％，則全班學(xué)生的平均分為

分．參考答案：215.設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，對任意的，都有，且當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有三個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：略16.

在三張獎(jiǎng)劵中有一、二等各一張，另有一張無獎(jiǎng)，甲乙兩人各抽取一張，兩人都中獎(jiǎng)的概率為

.

參考答案：17.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，acosB=bcosA，4S=2a2﹣c2，其中S是△ABC的面積，則C的大小為．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由正弦定理化acosB=bcosA，得出△ABC是等腰三角形，即a=b；由△ABC的面積S=absinC，結(jié)合4S=2a2﹣c2，求出sinC=cosC，從而得出角C的值．【解答】解：△ABC中，acosB=bcosA，∴sinAcosB=sinBcosA，∴sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，∴A=B，∴a=b；又△ABC的面積為S=absinC，且4S=2a2﹣c2，∴2absinC=2a2﹣c2=a2+b2﹣c2，∴sinC==cosC，∴C=．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題12分）已知向量

（1）求cos(–)的值；

（2）若0＜＜，–＜＜0，且sin=，求sin．參考答案：解析:（1）∵∴

∵

，………………5分即2–2cos(–)=，

∴cos(–)=．…………6分（2）∵0＜＜

∴0＜–＜，…………8分∵cos(–)=，∴sin(–)=．∵sin=–，

∴cos=，………………10分∴sin=sin[(–)+]=sin(–)cos+cos(–)sin=

19.（16分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣a（x﹣1），其中，a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；（3）已知b∈R，若函數(shù)f（x）≥b對任意x∈R都成立，求ab的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求出a=﹣1的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到；（2）求出導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；（3）由（2）可得，a＞0時(shí)f（x）取得極小值也為最小值，由恒成立思想可得a（2﹣lna）≥b，則ab≤a2（2﹣lna），令t=a2（2﹣lna），求得導(dǎo)數(shù)，求出極大值也為最大值，即可得到．【解答】解：（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，f（x）=ex+x﹣1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ex+1，函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為e+1，又切點(diǎn)為（1，e），則切線方程為y﹣e=（e+1）（x﹣1），即為（e+1）x﹣y﹣1=0；（2）函數(shù)f（x）=ex﹣a（x﹣1）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=ex﹣a，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，則f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，+∞）；當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0，解得，x＞lna，f′（x）＜0，解得，x＜lna．即有f（x）的增區(qū)間為（lna，+∞），減區(qū)間為（﹣∞，lna）；（3）由（2）可得，a≤0時(shí)，f（x）遞增，無最值；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，lna）上遞減，在（lna，+∞）上遞增，則f（x）在x=lna處取得極小值也為最小值，且為a﹣a（lna﹣1）=a（2﹣lna）．函數(shù)f（x）≥b對任意x∈R都成立，則有a（2﹣lna）≥b，則ab≤a2（2﹣lna），令t=a2（2﹣lna），則t′=2a（2﹣lna）﹣a=a（3﹣2lna），當(dāng)0＜a＜時(shí)，t′＞0，t遞增；當(dāng)a＞時(shí)，t′＜0，t遞減．則t在a=時(shí)取得極大，也為最大，且為e3（2﹣）=e3．則ab的最大值為e3．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，考查構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．20.（本題滿分10分）已知等比數(shù)列

（1）

（2）若的通項(xiàng)公式。參考答案：解：(1)∵,∴,∴.……………5分21.中，、、所對的邊為、、．已知，，．（1）若，，求的面積的大??；（2）求的值．參考答案：（1）由可知，，（4分）因?yàn)椋?所以，即（6分）由正弦定理可知：，所以，因?yàn)樗?，所以?分）所以（10分）（2）原式===（14分）22.（14分）已知為正整數(shù)，（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，；（II）對于，已知，求證：，；（III）求出滿足等式的所有正整數(shù)．參考答案：本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問題能力和推理能力．解析：解法1：（Ⅰ）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（?。┊?dāng)時(shí)，原不等式成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?，所以左邊右邊，原不等式成立；（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，，于是在不等式兩邊同乘以得，所以．即當(dāng)時(shí)，不等式也成立．綜合（?。áⅲ┲?，對一切正整數(shù)，不等式都成立．（Ⅱ）證：當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）得，于是，．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，，．即．即當(dāng)時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)．故只需要討論的情形：當(dāng)時(shí)，，等式不成立；當(dāng)時(shí)，，等式成立；當(dāng)時(shí)，，等式成立；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，故，等式不成立；當(dāng)時(shí)，同的情形可分