福建省漳州市第四中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

福建省漳州市第四中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.觀察下列事實(shí)|x|+|y|=1的不同整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)為4，|x|+|y|=2的不同整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)為8，|x|+|y|=3的不同整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)為12…．則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)為(

)A．76 B．80 C．86 D．92參考答案：B【考點(diǎn)】歸納推理．【專題】閱讀型．【分析】觀察可得不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，則所求為第20項(xiàng)，可計(jì)算得結(jié)果．解：觀察可得不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)4，8，12，…可以構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an=4n，則所求為第20項(xiàng)，所以a20=80故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查歸納推理，分尋找關(guān)系式內(nèi)部，關(guān)系式與關(guān)系式之間數(shù)字的變化特征，從特殊到一般，進(jìn)行歸納推理．2.若，則“成立”是“成立”的

（

）（A）充分非必要條件

（B）必要非充分條件（C）充要條件

（D）既非充分又非必要條件參考答案：C3.已知對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的

（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：答案：C4.如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，尺寸如圖所示，則該幾何體的體積為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的圖象大致是(

)參考答案：A試題分析：函數(shù)的定義域?yàn)?所以排除B;又,所以函數(shù)為偶函數(shù),圖像關(guān)于軸對(duì)稱,所以排除C;又因?yàn)?所以排除D.故A正確.考點(diǎn)：函數(shù)圖像.6.已知函數(shù)若有則的取值范圍為A．

B．

C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．B9

【答案解析】B

解析：∵f（a）=g（b），∴ea﹣1=﹣b2+4b﹣3∴﹣b2+4b﹣2=ea＞0即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+，故選B【思路點(diǎn)撥】利用f（a）=g（b），整理等式，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)建立不等式求解即可．7.設(shè)集合，，則(

)A．

B.

C．

D.參考答案：C試題分析：，，；故選C．【易錯(cuò)點(diǎn)睛】本題考查利用描述法表示集合以及集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題；利用描述法表示集合時(shí)，要注意其代表元素的意義，如表示函數(shù)的定義域，表示函數(shù)的值域，表示函數(shù)的圖象.考點(diǎn)：1.集合的表示；2.集合的運(yùn)算．8.

已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則等于

A．

B．

C．

D．參考答案：C9.某班有60名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績(jī)～N(110，102)，若P(100≤≤110)=0．35，則估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的人數(shù)為

A．10

B．9

C．8

D．7參考答案：B10.已知函數(shù)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A試題分析：函數(shù)的函數(shù)圖像如下圖，則可以看成與的交點(diǎn)，從圖可知，故選A.考點(diǎn)：1.函數(shù)的零點(diǎn)；2.函數(shù)的圖像應(yīng)用.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．若不等式f（x）≤0恒成立，則的最小值為

．參考答案：﹣

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】求出，x＞0，當(dāng)a≤e時(shí)，f′（x）＞0，f（x）≤0不可能恒成立，當(dāng)a＞e時(shí)，由，得x=，由題意當(dāng)x=時(shí)，f（x）取最大值0，推導(dǎo)出（a＞e），令F（x）=，x＞e，F(xiàn)′（x）=，令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，H′（x）=ln（x﹣e）+1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出的最小值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，∴，x＞0，當(dāng)a≤e時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴f（x）≤0不可能恒成立，當(dāng)a＞e時(shí)，由，得x=，∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值為0，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=時(shí)，f（x）取最大值，f（）=﹣ln（a﹣e）﹣b﹣1≤0，∴l(xiāng)n（a﹣e）+b+1≥0，∴b≥﹣1﹣ln（a﹣e），∴（a＞e），令F（x）=，x＞e，F(xiàn)′（x）==，令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，H′（x）=ln（x﹣e）+1，由H′（x）=0，得x=e+，當(dāng)x∈（e+，+∞）時(shí)，H′（x）＞0，H（x）是增函數(shù)，x∈（e，e+）時(shí)，H′（x）＜0，H（x）是減函數(shù)，∴當(dāng)x=e+時(shí)，H（x）取最小值H（e+）=﹣e﹣，∵x→e時(shí)，H（x）→0，x＞2e時(shí)，H（x）＞0，H（2e）=0，∴當(dāng)x∈（e，2e）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）是減函數(shù)，當(dāng)x∈（2e，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）是增函九，∴x=2e時(shí)，F(xiàn)（x）取最小值，F(xiàn)（2e）==﹣，∴的最小值為﹣．故答案為：﹣．12.等差數(shù)列中，,記,則____.參考答案：略13.已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P為橢圓C上的任意一點(diǎn)，若以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形一定不可能為鈍角三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是

。參考答案：14.若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則

．參考答案：4略15.已知點(diǎn)A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面區(qū)域D由所有滿足(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的點(diǎn)P組成，則D的面積為_(kāi)______．參考答案：3略16.(文科）等差數(shù)列()滿足，且前項(xiàng)和為，則＝

．參考答案：(文)17.（5分）A、B、C三點(diǎn)在同一球面上，∠BAC=135°，BC=2，且球心O到平面ABC的距離為1，則此球O的體積為．參考答案：4【考點(diǎn)】：球的體積和表面積．【專題】：空間位置關(guān)系與距離；球．【分析】：運(yùn)用正弦定理可得△ABC的外接圓的直徑2r，再由球的半徑和球心到截面的距離、及截面圓的半徑構(gòu)成直角三角形，即可求得球的半徑，再由球的體積公式計(jì)算即可得到．

解：由于∠BAC=135°，BC=2，則△ABC的外接圓的直徑2r==2，即有r=，由于球心O到平面ABC的距離為1，則由勾股定理可得，球的半徑R===，即有此球O的體積為V=πR3=π×（）3=4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查球的體積的求法，主要考查球的截面的性質(zhì)：球的半徑和球心到截面的距離、及截面圓的半徑構(gòu)成直角三角形，同時(shí)考查正弦定理的運(yùn)用：求三角形的外接圓的直徑，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x2﹣2alnx．（1）求f（x）的極值；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）﹣2ax有唯一零點(diǎn)，試求a的值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的極值；（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，g（x）=0有唯一解，g（x2）=0．則x22﹣2alnx2﹣2ax2=0，x22﹣ax2﹣a=0，由此求a的值．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=．a(chǎn)≤0時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無(wú)極值；a＞0，函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞減，（，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值f（）=a﹣alna；（2）g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，g′（x）=（x2﹣ax﹣a）．令g′（x）=0，得x2﹣ax﹣a=0，∵a＞0，x＞0，∴x1=（舍），x2=，當(dāng)x∈（0，x2）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上是單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．∴當(dāng)x=x2時(shí)，g′（x2）=0，g（x）min=g（x2），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x2）=0．則x22﹣2alnx2﹣2ax2=0，x22﹣ax2﹣a=0，∴2alnx2+ax2﹣a=0，∵a＞0，∴2lnx2+x2﹣1=0①，設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x﹣1，∵在x＞0時(shí)h（x）是增函數(shù)，∴h（x）=0至多有一解．∵h(yuǎn)（1）=0，∴方程①的解為x2=1，即=1，解得a=．19.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．參考答案：（1）,在上為增函數(shù)，,在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；（2）證明見(jiàn)解析．試題分析：（1）先求,再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)分類(lèi)討論和時(shí),導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況確定單調(diào)區(qū)間；（2）先化簡(jiǎn)所證不等式,再構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)研究單調(diào)性與最值,證得不等式成立．試題解析：解：（1）由，可得當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，由可得，由可得則函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)（2）證明：令則令，則∵，∴，又，∴∴在上為增函數(shù)，則，即由可得，所以．考點(diǎn)：1．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2．證明不等式．【方法點(diǎn)晴】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一,函數(shù)的觀點(diǎn)和思想方法貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的全過(guò)程,在解答題中通?？疾楹瘮?shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合運(yùn)用．本題考查的為利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及最值等常見(jiàn)問(wèn)題．而且涉及到參數(shù)的討論,主要是以導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn),從而得出不同的單調(diào)性,注意給定的參數(shù)范圍以及定義域．20.已知函數(shù)（均為正常數(shù)），設(shè)函數(shù)在處有極值.（1）若對(duì)任意的，不等式總成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解∵，∴，由題意，得，，解得.（1）

不等式等價(jià)于對(duì)于一切恒成立.

略21.已知函數(shù)，（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值．參考答案：解：（Ⅰ）

=

6分∴函數(shù)的最小正周期

7分（Ⅱ）∵，，∴

10分∴

11分∴在區(qū)間上的最大值為2，最小值為．

12分略22.坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線的極坐標(biāo)方程為；

（Ⅰ）若以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．參考答案：⑴由題意知或

解得或,即；∴能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間:小時(shí)；……………4分⑵由⑴知,時(shí)第二次投入1單位洗衣液,顯然的定義域?yàn)椋划?dāng)時(shí),第一次投放1單位洗衣液還有殘留,故=+=；當(dāng)時(shí),第一次投放1單位洗衣液已無(wú)殘留,故當(dāng)時(shí),

=；當(dāng)時(shí),