人教版初二上冊壓軸題強(qiáng)化數(shù)學(xué)綜合試題含解析(一)001

人教版初二上冊壓軸題強(qiáng)化數(shù)學(xué)綜合試題含解析（一）1．已知，如圖1，射線分別與直線相交于兩點，的平分線與直線相交于點，射線交于點，設(shè)，，且．（1）______°，______°；直線與的位置關(guān)系是______；（2）如圖2，若點是射線上任意一點，且，試找出與之間存在的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論；（3）若將圖中的射線繞著端點逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），分別與相交于點和時，作的角平分線與射線相交于點，問在旋轉(zhuǎn)的過程中的值變不變?若不變，請求出其值；若變化，請說明理由．2．在平面直角坐標(biāo)系中，A(a，0)，B(0，b)分別是x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上一點，點C與點A關(guān)于y軸對稱，點P是x軸正半軸上C點右側(cè)一動點．（1）當(dāng)2a2+4ab+4b2+2a+1＝0時，求A，B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)a+b＝0時，①如圖1，若D與P關(guān)于y軸對稱，PE⊥DB并交DB延長線于E，交AB的延長線于F，求證：PB＝PF；②如圖2，把射線BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45o，交x軸于點Q，當(dāng)CP＝AQ時，求∠APB的大?。?．完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若，求的值．解：因為所以所以得．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若，求的值；（2）①若,則；②若則；（3）如圖，點是線段上的一點，以為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．4．在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交x軸、y軸于點A（–a，0）、點B（0，b），且a、b滿足a2+b2–4a–8b+20=0，點P在直線AB的右側(cè)，且∠APB＝45°．（1）a＝；b＝．（2）若點P在x軸上，請在圖中畫出圖形（BP為虛線），并寫出點P的坐標(biāo)；（3）若點P不在x軸上，是否存在點P，使△ABP為直角三角形？若存在，請求出此時P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（0，3），B（，0），AB=6，作∠DBO=∠ABO，點H為y軸上的點，∠CAH=∠BAO，BD交y軸于點E，直線DO交AC于點C．（1）證明：△ABE為等邊三角形；（2）若CD⊥AB于點F，求線段CD的長；（3）動點P從A出發(fā)，沿A﹣O﹣B路線運動，速度為1個單位長度每秒，到B點處停止運動；動點Q從B出發(fā)，沿B﹣O﹣A路線運動，速度為2個單位長度每秒，到A點處停止運動．兩點同時開始運動，都要到達(dá)相應(yīng)的終點才能停止．在某時刻，作PM⊥CD于點M，QN⊥CD于點N．問兩動點運動多長時間時△OPM與△OQN全等？6．已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC為邊向外作等邊ABD和等邊BCE．(1)連接AE、CD，如圖1，求證：AE=CD；(2)若N為CD中點，連接AN，如圖2，求證：CE=2AN(3)若AB⊥BC，延長AB交DE于M，DB=，如圖3，則BM=_______（直接寫出結(jié)果）7．如圖，在等邊△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，現(xiàn)有兩點M、N分別從點A、B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s．當(dāng)點N第一次回到點B時，點M、N同時停止運動，設(shè)運動時間為ts．（1）當(dāng)t為何值時，M、N兩點重合；（2）當(dāng)點M、N分別在AC、BA邊上運動，△AMN的形狀會不斷發(fā)生變化．①當(dāng)t為何值時，△AMN是等邊三角形；②當(dāng)t為何值時，△AMN是直角三角形；（3）若點M、N都在BC邊上運動，當(dāng)存在以MN為底邊的等腰△AMN時，求t的值．8．如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一點，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，若將△DCE繞點E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？并證明；（3）如圖3，將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，求BD與AC夾角的度數(shù)．【參考答案】2．（1）30，30，AB//CD；（2）+=180°，證明見解析；（3）不變，．【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知：α=β=40°，推出∠EMF=∠MFN即可解決問題；（2）結(jié)論：∠FMN+∠解析：（1）30，30，AB//CD；（2）+=180°，證明見解析；（3）不變，．【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知：α=β=40°，推出∠EMF=∠MFN即可解決問題；（2）結(jié)論：∠FMN+∠GHF=180°．只要證明GH∥PN即可解決問題；（3）結(jié)論：的值不變，=2．如圖3中，作∠PEM1的平分線交M1Q的延長線于R．只要證明∠R=∠FQM1，∠FPM1=2∠R即可；【詳解】解：（1）∵，∴60-2α=0，β-30=0，∴α=β=30°，∴∠PFM=∠MFN=30°，∠EMF=30°，∴∠EMF=∠MFN，∴AB∥CD；（2）結(jié)論：∠FMN+∠GHF=180°，理由如下：如圖2中，∵AB∥CD，∴∠MNF=∠PME，∵∠MGH=∠MNF，∴∠PME=∠MGH，∴GH∥PN，∴∠GHM=∠FMN，∵∠GHF+∠GHM=180°，∴∠FMN+∠GHF=180°；（3）的值不變，=2．理由如下：如圖3中，作∠PEM1的平分線交M1Q的延長線于R，∵AB∥CD，∴∠PEM1=∠PFN，∵∠PER=∠PEM1，∠PFQ=∠PFN，∴∠PER=∠PFQ，∴ER∥FQ，∴∠FQM1=∠R，設(shè)∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，則有：，可得∠EPM1=2∠R，∴∠EPM1=2∠FQM1，∴=2．【點睛】本題考查幾何變換綜合題、平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的定義、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題．3．（1）；（2）①見解析；②∠APB＝22.5°【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）①想辦法證明∠PBF＝∠F，可得結(jié)論；②如圖2中，過點Q作QF⊥QB交PB于F，過點F作FH⊥x軸解析：（1）；（2）①見解析；②∠APB＝22.5°【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）①想辦法證明∠PBF＝∠F，可得結(jié)論；②如圖2中，過點Q作QF⊥QB交PB于F，過點F作FH⊥x軸于H，可得等腰直角△BQF，證明△FQH≌△QBO（AAS），再證明FQ＝FP即可解決問題．【詳解】解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，∵（a+2b）2≥0，（a+1）2≥0，∴a+2b＝0，a+1＝0，∴a＝﹣1，b＝，∴A（﹣1，0），B(0，）．（2）①證明：如圖1中，∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴OA＝OB，

又∵∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵D與P關(guān)于y軸對稱，∴BD＝BP，∴∠BDP＝∠BPD，設(shè)∠BDP＝∠BPD＝α，則∠PBF＝∠BAP+∠BPA＝45°+α，∵PE⊥DB，∴∠BEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EBF，又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，∴∠F＝45°+α，∴∠PBF＝∠F，∴PB＝PF．②解：如圖2中，過點Q作QF⊥QB交PB于F，過點F作FH⊥x軸于H．可得等腰直角△BQF，∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，∴∠BQO＝∠QFH，∵QB＝QF，∴△FQH≌△QBO（AAS），∴HQ＝OB＝OA，∴HO＝AQ＝PC，∴PH＝OC＝OB＝QH，∴FQ＝FP，又∠BFQ＝45°，∴∠APB＝22.5°．【點睛】本題考查完全平方公式、實數(shù)的非負(fù)性、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是綜合運用相關(guān)知識解題．4．（1）12；（2）①6；②17；（3）【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的變形應(yīng)用，解決問題；（2）①兩邊平方，再將代入計算；②兩邊平方，再將代入計算；（3）由題意可得：，，兩邊平方從而解析：（1）12；（2）①6；②17；（3）【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的變形應(yīng)用，解決問題；（2）①兩邊平方，再將代入計算；②兩邊平方，再將代入計算；（3）由題意可得：，，兩邊平方從而得到，即可算出結(jié)果．【詳解】解：（1）；；；又；，，∴．（2）①，；又，．②由，；又，．（3）由題意可得，，；，；，；圖中陰影部分面積為直角三角形面積，，．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的適當(dāng)變形靈活應(yīng)用，（1）可直接應(yīng)用公式變形解決問題．（2）①②小題都需要根據(jù)題意得出兩個因式和或者差的結(jié)果，合并同類項得①，②是解決本題的關(guān)鍵，再根據(jù)完全平方公式變形應(yīng)用得出答案．（3）根據(jù)幾何圖形可知選段，再根據(jù)兩個正方形面積和為18，利用完全平方公式變形應(yīng)用得到，再根據(jù)直角三角形面積公式得出答案．5．（1）2，4；（2）見解析，（4，0）；（3）P（4，2）或（2，﹣2）．【分析】（1）將已知等式變形，利用乘方的非負(fù)性即可求出a值；（2）根據(jù)題意畫出圖形，由（1）得出OB的長，結(jié)合∠AP解析：（1）2，4；（2）見解析，（4，0）；（3）P（4，2）或（2，﹣2）．【分析】（1）將已知等式變形，利用乘方的非負(fù)性即可求出a值；（2）根據(jù)題意畫出圖形，由（1）得出OB的長，結(jié)合∠APB＝45°，得出OP＝OB，可得點B的坐標(biāo)；（3）分當(dāng)∠ABP＝90°時和當(dāng)∠BAP＝90°時兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)即可求出點P坐標(biāo).【詳解】解：（1）∵a2+b2–4a–8b+20=0，∴（a2–4a+4）+（b2–8b+16）＝0，∴（a–2）2+（b–4）2＝0∴a＝2，b＝4，故答案為：2，4；（2）如圖1，由（1）知，b＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，點P在直線AB的右側(cè)，且在x軸上，∵∠APB＝45°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0），故答案為：（4，0）；（3）存在．理由如下：由（1）知a＝﹣2，b＝4，∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∵△ABP是直角三角形，且∠APB＝45°，∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，Ⅰ、如圖2，當(dāng)∠ABP＝90°時，∵∠APB＝∠BAP＝45°，∴AB＝PB，過點P作PC⊥OB于C，∴∠BPC+∠CBP＝90°，∵∠CBP+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，在△AOB和△BCP中，，∴△AOB≌△BCP（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝2，∴P（4，2），Ⅱ、如圖3，當(dāng)∠BAP＝90°時，過點P'作P'D⊥OA于D，同Ⅰ的方法得，△ADP'≌△BOA，∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝AD﹣OA＝2，∴P'（2，﹣2）；即：滿足條件的點P（4，2）或（2，﹣2）；【點睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，難度不大，解題的關(guān)鍵是要根據(jù)直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論.6．（1）詳見解析；（2）CD=；（3）當(dāng)兩動點運動時間為、、6秒時，△OPM與△OQN全等.【分析】（1）先證△AOB≌△EOB得到AE=BE=AB，從而可以得出結(jié)論；（2）由（1）知∠ABE解析：（1）詳見解析；（2）CD=；（3）當(dāng)兩動點運動時間為、、6秒時，△OPM與△OQN全等.【分析】（1）先證△AOB≌△EOB得到AE=BE=AB，從而可以得出結(jié)論；（2）由（1）知∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°，進(jìn)而得出∠AOF=30°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)得到AF、OF的長．再證明∠ACF=∠AOF=30°，∠D=30°，同理得出CF、DF的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．（3）設(shè)運動的時間為t秒．然后分四種情況討論：①當(dāng)點P、Q分別在y軸、x軸上時，；②當(dāng)點P、Q都在y軸上時，；③當(dāng)點P在x軸上，Q在y軸且二者都沒有提前停止時，；④當(dāng)點P在x軸上，Q在y軸且點Q提前停止時，，列方程求解即可．【詳解】（1）在△AOB與△EOB中，∵∠AOB=∠EOB，OB=OB，∠EBO=∠ABO，∴△AOB≌△EOB(ASA)，∴AO=EO=3，BE=AB=6，∴AE=BE=AB=6，∴△ABE為等邊三角形．（2）由（1）知∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°．∵CD⊥AB，∴∠AOF=30°，∴AF=．在Rt△AOF中，OF=．∵∠CAH=∠BAO=60°，∴∠CAF=60°，∠ACF=∠AOF=30°，∴AO=AC．又∵CD⊥AB，∴CF=．∵AB=6，AF=，∴BF=．在Rt△BDF中，∠DBF=60°，∠D=30°，∴BD=．由勾股定理得：∴DF=，∴CD=．（3）設(shè)運動的時間為t秒．①當(dāng)點P、Q分別在y軸、x軸上時，，PO=QO得：，解得：（秒）；②當(dāng)點P、Q都在y軸上時，，PO=QO得：，解得（秒）；③當(dāng)點P在x軸上，Q在y軸且二者都沒有提前停止時，，則PO=QO，得：，解得：，不合題意，舍去．④當(dāng)點P在x軸上，Q在y軸且點Q提前停止時，有，解得：（秒）．綜上所述：當(dāng)兩動點運動時間為、、6秒時，△OPM與△OQN全等．【點睛】本題考查了全等三角形的判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．正確分類討論是解題的關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先判斷出∠DBC=∠ABE，進(jìn)而判斷出△DBC≌△ABE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AN解析：(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先判斷出∠DBC=∠ABE，進(jìn)而判斷出△DBC≌△ABE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AND，進(jìn)而判斷出∠BAC=∠ACF，即可判斷出△ABC≌△CFA，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出△ABC≌△HEB(ASA)，得出，，再判斷出△ADM≌△HEM(AAS)，得出AM=HM，即可得出結(jié)論．(1)解：∵△ABD和△BCE是等邊三角形，∴BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，∴∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=CD；(2)解：如圖，延長AN使NF=AN，連接FC，∵N為CD中點，∴DN=CN，∵∠AND=∠FNC，∴△ADN≌△FCN(SAS)，∴CF=AD，∠NCF=∠AND，∵∠DAB=∠BAC=60°∴∠ACD+∠ADN=60°∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，∴∠BAC=∠ACF，∵△ABD是等邊三角形，∴AB=AD，∴AB=CF，∵AC=CA，∴△ABC≌△CFA(SAS)，∴BC=AF，∵△BCE是等邊三角形，∴CE=BC=AF=2AN；(3)解：∵△ABD是等邊三角形，∴，∠BAD=60°，在Rt△ABC中，∠ACB=90°－∠BAC=30°，∴，如圖，過點E作EH//AD交AM的延長線于H，∴∠H=∠BAD=60°，∵△BCE是等邊三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°，∵∠ABC=90°，∴∠EBH=90°－∠CBE=30°=∠ACB，∴∠BEH=180°－∠EBH－∠H=90°=∠ABC，∴△ABC≌△HEB(ASA)，∴，，∴AD=EH，∵∠AMD=∠HME，∴△ADM≌△HEM(AAS)，∴AM=HM，∴∵，，∴．故答案為：．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．8．（1）當(dāng)M、N運動6秒時，點N追上點M；（2）①，△AMN是等邊三角形；②當(dāng)或時，△AMN是直角三角形；（3）【詳解】（1）首先設(shè)點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，表示出M，N的運動路程，N的解析：（1）當(dāng)M、N運動6秒時，點N追上點M；（2）①，△AMN是等邊三角形；②當(dāng)或時，△AMN是直角三角形；（3）【詳解】（1）首先設(shè)點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，表示出M，N的運動路程，N的運動路程比M的運動路程多6cm，列出方程求解即可；（2）①根據(jù)題意設(shè)點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等邊三角形；②分別就∠AMN＝90°和∠ANM＝90°列方程求解可得；（3）首先假設(shè)△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，設(shè)出運動時間，表示出CM，NB，NM的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值．【解答】解：（1）設(shè)點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，x×1+6＝2x，解得：x＝6，即當(dāng)M、N運動6秒時，點N追上點M；（2）①設(shè)點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖1，AM＝t，AN＝6﹣2t，∵AB＝AC＝BC＝6cm，∴∠A＝60°，當(dāng)AM＝AN時，△AMN是等邊三角形，∴t＝6﹣2t，解得t＝2，∴點M、N運動2秒后，可得到等邊三角形△AMN．②當(dāng)點N在AB上運動時，如圖2，若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，∴AN＝6﹣2t，∵∠A＝60°，∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t