八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊壓軸題模擬檢測試題答案

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊壓軸題模擬檢測試題答案1．已知，如圖1，射線分別與直線相交于兩點(diǎn)，的平分線與直線相交于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，設(shè)，，且．（1）______°，______°；直線與的位置關(guān)系是______；（2）如圖2，若點(diǎn)是射線上任意一點(diǎn)，且，試找出與之間存在的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論；（3）若將圖中的射線繞著端點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），分別與相交于點(diǎn)和時(shí)，作的角平分線與射線相交于點(diǎn)，問在旋轉(zhuǎn)的過程中的值變不變?若不變，請求出其值；若變化，請說明理由．2．如圖，已知CD是線段AB的垂直平分線，垂足為D，C在D點(diǎn)上方，∠BAC=30°，P是直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，E是射線AC上除A點(diǎn)外的一點(diǎn)，PB=PE，連BE．（1）如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖2，若P在C點(diǎn)上方，求證：PD+AC=CE；（3）若AC=6，CE=2，則PD的值為（直接寫出結(jié)果）．3．如圖，中，，．（1）如圖1，，，求證：；（2）如圖2，，，請直接用幾何語言寫出、的位置關(guān)系____________；（3）證明（2）中的結(jié)論．4．請按照研究問題的步驟依次完成任務(wù)．【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說理證明∠A+∠B=∠C+∠D．【簡單應(yīng)用】（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)（可直接使用問題（1）中的結(jié)論）【問題探究】（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度數(shù)為；【拓展延伸】（4）在圖4中，若設(shè)∠C=x，∠B=y，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為（用x、y表示∠P）；（5）在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．5．已知：，．(1)當(dāng)a，b滿足時(shí)，連接AB，如圖1．①求：的值．②點(diǎn)M為線段AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)M不與A，B重合，其中BM＞AM），以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)，OM為腰作等腰直角△MON，連接BN，求證：．(2)當(dāng)，，連接AB，若點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)F是線段DE上的一點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)E，D重合）且滿足，連接AF，試判斷線段AC與AF之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b），且|a+4|+b2﹣86+16＝0．（1）求a，b的值；（2）如圖1，c為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連CA，過點(diǎn)C作CD⊥CA，使CD＝CA，連BD．求證：∠CBD＝45°；（3）如圖2，若有一等腰Rt△BMN，∠BMN＝90°，連AN，取AN中點(diǎn)P，連PM、PO．試探究PM和PO的關(guān)系．7．（1）如圖1，已知：在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD+CE．（提示：由于DE=AD+AE，證明AD=CE，AE=BD即可）（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中為任意鈍角，請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖3，D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且ABF和ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試證明DEF是等邊三角形．8．已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC為邊向外作等邊ABD和等邊BCE．(1)連接AE、CD，如圖1，求證：AE=CD；(2)若N為CD中點(diǎn)，連接AN，如圖2，求證：CE=2AN(3)若AB⊥BC，延長AB交DE于M，DB=，如圖3，則BM=_______（直接寫出結(jié)果）【參考答案】2．（1）30，30，AB//CD；（2）+=180°，證明見解析；（3）不變，．【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知：α=β=40°，推出∠EMF=∠MFN即可解決問題；（2）結(jié)論：∠FMN+∠解析：（1）30，30，AB//CD；（2）+=180°，證明見解析；（3）不變，．【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知：α=β=40°，推出∠EMF=∠MFN即可解決問題；（2）結(jié)論：∠FMN+∠GHF=180°．只要證明GH∥PN即可解決問題；（3）結(jié)論：的值不變，=2．如圖3中，作∠PEM1的平分線交M1Q的延長線于R．只要證明∠R=∠FQM1，∠FPM1=2∠R即可；【詳解】解：（1）∵，∴60-2α=0，β-30=0，∴α=β=30°，∴∠PFM=∠MFN=30°，∠EMF=30°，∴∠EMF=∠MFN，∴AB∥CD；（2）結(jié)論：∠FMN+∠GHF=180°，理由如下：如圖2中，∵AB∥CD，∴∠MNF=∠PME，∵∠MGH=∠MNF，∴∠PME=∠MGH，∴GH∥PN，∴∠GHM=∠FMN，∵∠GHF+∠GHM=180°，∴∠FMN+∠GHF=180°；（3）的值不變，=2．理由如下：如圖3中，作∠PEM1的平分線交M1Q的延長線于R，∵AB∥CD，∴∠PEM1=∠PFN，∵∠PER=∠PEM1，∠PFQ=∠PFN，∴∠PER=∠PFQ，∴ER∥FQ，∴∠FQM1=∠R，設(shè)∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，則有：，可得∠EPM1=2∠R，∴∠EPM1=2∠FQM1，∴=2．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題、平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的定義、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題．3．（1）∠ABE=90°；（2）PD+AC=CE，見解析；（3）1【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)得到：△BPE為等邊三角形，則∠CBE=60°，故∠ABE=90°；解析：（1）∠ABE=90°；（2）PD+AC=CE，見解析；（3）1【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)得到：△BPE為等邊三角形，則∠CBE=60°，故∠ABE=90°；（2）如圖2，過P作PH⊥AE于H，連BC，作PG⊥BC交BC的延長線于G，構(gòu)造含30度角的直角△PCG、直角△CPH以及全等三角形（Rt△PGB≌Rt△PHE），根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的對應(yīng)邊相等證得結(jié)論；（3）分三種情況討論，根據(jù)（2）的解題思路得到PD=AC+CE或PD=CE-AC，將數(shù)值代入求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，∵點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，CD是線段AB的垂直平分線，∴PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=30°，∴∠BPE=∠PAB+∠PBA=60°，∵PB=PE，∴△BPE為等邊三角形，∴∠CBE=60°，∴∠ABE=90°；（2）如圖2，過P作PH⊥AE于H，連BC，作PG⊥BC交BC的延長線于G，∵CD垂直平分AB，∴CA=CB，∵∠BAC=30°，∴∠ACD=∠BCD=60°，∴∠GCP=∠HCP=∠BCE=∠ACD=∠BCD=60°，∴∠GPC=∠HPC=30°，∴PG=PH，CG=CH=CP，CD=AC，在Rt△PGB和Rt△PHE中，，∴Rt△PGB≌Rt△PHE（HL）．∴BG=EH，即CB+CG=CE-CH，∴CB+CP=CE-CP，即CB+CP=CE，又∵CB=AC，∴CP=PD-CD=PD-AC，∴PD+AC=CE；（3）①當(dāng)P在C點(diǎn)上方時(shí)，由（2）得：PD=CE-AC，當(dāng)AC=6，CE=2時(shí)，PD=2-3=-1，不符合題意；②當(dāng)P在線段CD上時(shí)，如圖3，過P作PH⊥AE于H，連BC，作PG⊥BC交BC于G，此時(shí)Rt△PGB≌Rt△PHE（HL），∴BG=EH，即CB-CG=CE+CH，∴CB-CP=CE+CP，即CP=CB-CE，又∵CB=AC，∴PD=CD-CP=AC-CB+CE，∴PD=CE-AC．當(dāng)AC=6，CE=2時(shí)，PD=2-3=-1，不符合題意；③當(dāng)P在D點(diǎn)下方時(shí)，如圖4，同理，PD=AC-CE，當(dāng)AC=6，CE=2時(shí)，PD=3-2=1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形綜合題，綜合運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，解題時(shí)，注意要分類討論．4．（1）見解析；（2）⊥；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)垂直的定義可得∠ADC=∠E=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠ACD=∠BAE，然后根據(jù)AAS即可證得結(jié)論；（2）由于要得出、的位置關(guān)系，結(jié)解析：（1）見解析；（2）⊥；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)垂直的定義可得∠ADC=∠E=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠ACD=∠BAE，然后根據(jù)AAS即可證得結(jié)論；（2）由于要得出、的位置關(guān)系，結(jié)合圖形可猜想：⊥；（3）如圖，作CP⊥AC于點(diǎn)C，延長FD交CP于點(diǎn)P，先證明△BAE≌△FCP，可得∠3=∠P，AB=CP，然后證明△ACD≌△PCD，可得∠4=∠P，進(jìn)一步即可推出∠4+∠2=90°，問題得證．【詳解】解：（1）證明：∵，，∴∠ADC=∠E=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∵，∴∠DAC+∠BAE=90°，∴∠ACD=∠BAE，在△DAC和△EBA中，∵∠ADC=∠E，∠ACD=∠BAE，AC=AB，∴（AAS）；（2）結(jié)合圖形可得：⊥；故答案為：⊥；（3）證明：如圖，作CP⊥AC于點(diǎn)C，延長FD交CP于點(diǎn)P，∵AF=CE，∴AE=CF，∵，∴∠1=∠2，∵∠BAE=∠FCP=90°，∴△BAE≌△FCP，∴∠3=∠P，AB=CP，∵，，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠PCP=90°，AB=CP，∴∠FCD=45°，AC=PC，∴∠ACB=∠PCD，∵CD=CD，∴△ACD≌△PCD，∴∠4=∠P，∵∠3=∠P，∴∠3=∠4，∵∠3+∠2=90°，∴∠4+∠2=90°，∴∠AGE=90°，即⊥．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，正確添加輔助線、熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（1）見解析；（2）∠P=23o；（3）∠P=26o；（4）∠P=；（5）∠P=．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）如圖2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方解析：（1）見解析；（2）∠P=23o；（3）∠P=26o；（4）∠P=；（5）∠P=．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）如圖2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程組即可得到結(jié)論；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解決問題；（4）根據(jù)題意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，再結(jié)合∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，得到y(tǒng)+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），從而可得∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=；（5）根據(jù)題意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，再結(jié)合AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，所以∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=.【詳解】解：（1）證明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）解：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD，∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）的結(jié)論得：，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=23°；（3）解：如圖3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°；故答案為：26°；（4）由題意可得：∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，即y+∠CAB=x+∠BDC，即∠CAB-∠BDC=x-y，∠B+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+（∠CAB-∠CAP）=∠P+（∠BDC-∠CDP），即y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），∴∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=y+（∠CAB-∠CDB）=y+（x-y）=故答案為：∠P=；（5）由題意可得：∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠BAP=∠DAP，∠PCE=∠PCB，∴∠BAD+∠P=（∠BCD+∠BCE）+∠D，∴∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，∴∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=90°+（∠BCD-∠BAD）+∠D=90°+（∠B-∠D）+∠D=，故答案為：∠P=.【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用方程組的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．6．(1)10；證明見解析；(2)，，理由見解析；【分析】（1）①利用可求出，，即可求出；②作交AB與點(diǎn)C，交AB與點(diǎn)F，證明，再證明，利用，即可證明；（2）證明，得到，，再利用等量代換證明解析：(1)10；證明見解析；(2)，，理由見解析；【分析】（1）①利用可求出，，即可求出；②作交AB與點(diǎn)C，交AB與點(diǎn)F，證明，再證明，利用，即可證明；（2）證明，得到，，再利用等量代換證明；(1)解：①由圖可知，∵∴，即，∴，，∴；②作交AB與點(diǎn)C，交AB與點(diǎn)F，如圖，∵，，∴，在和中，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，即，(2)解：，，理由如下：假設(shè)DE交BC于點(diǎn)G，有已知可知：，，，，∴，∵∴∵，且，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，等量代換，絕對值非負(fù)性的應(yīng)用，直角坐標(biāo)系中的圖形，（1）的關(guān)鍵是證明，（2）的關(guān)鍵證明．7．（1）a＝﹣4，b＝4；（2）見解析；（3）MP＝OP，MP⊥OP，理由見解析【分析】（1）先利用完全平方公式將a和b的式子化成絕對值與平方數(shù)之和的形式，再利用絕對值的非負(fù)數(shù)和平方數(shù)的非負(fù)性即可解析：（1）a＝﹣4，b＝4；（2）見解析；（3）MP＝OP，MP⊥OP，理由見解析【分析】（1）先利用完全平方公式將a和b的式子化成絕對值與平方數(shù)之和的形式，再利用絕對值的非負(fù)數(shù)和平方數(shù)的非負(fù)性即可；（2）如圖1（見解析），作于E．易證，由三角形全等的性質(zhì)得，再證明是等腰直角三角形即可；（3）如圖2（見解析），延長MP至Q，使得，連接AQ，OQ，OM，延長MN交AO于C．證出和，再利用全等三角形的性質(zhì)證明是等腰直角三角形即可.【詳解】（1）由絕對值的非負(fù)性和平方數(shù)的非負(fù)性得：解得：；（2）如圖1，作于E是等腰直角三角形，；（3）如圖2，延長MP至Q，使得，連接AQ，OQ，OM，延長MN交AO于C∴∵在四邊形MCOB中，是等腰直角三角形∴是等腰直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的非負(fù)數(shù)和平方數(shù)的非負(fù)性、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.8．（1）見解析；（2）成立，見解析；（3）見解析【分析】（1）運(yùn)用AAS證明△ADB≌△CEA即可；（2）運(yùn)用AAS證明△ADB≌△CEA即可；（3）運(yùn)用SAS證明△DBF≌△EAF，后運(yùn)解析：（1）見解析；（2）成立，見解析；（3）見解析【分析】（1）運(yùn)用AAS證明△ADB≌△CEA即可；（2）運(yùn)用AAS證明△ADB≌△CEA即可；（3）運(yùn)用SAS證明△DBF≌△EAF，后運(yùn)用有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明即可．【詳解】（1）如圖1，∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）如圖2，∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）如圖3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF為等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．9．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先判斷出∠DBC=∠ABE，進(jìn)而判斷出△DBC≌△ABE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AN解析：(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先判斷出∠DBC=∠