專題02 手拉手模型（解析版）

專題02手拉手模型【模型說明】應用：通過輔助線利用旋轉構造全等三角形解決問題。【例題精講】例1.（基本模型）如圖，，，三點在一條直線上，和均為等邊三角形，與交于點，與交于點．（1）求證：；（2）若把繞點任意旋轉一個角度，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．【答案】（1）見解析（2）成立，理由見解析．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，與都是等邊三角形，，，，，，，即．在和中，，(SAS)．．即AE=BD，（2）成立；理由如下：如圖2中，、均為等邊三角形，，，，，即，在和中，，，．例2．（輔助線構造模型）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點D為三角形右側外一點．且∠BDC＝45°．連接AD，若△ACD的面積為，則線段CD的長度為___．【答案】【詳解】解：過點B作BE⊥BD，交DC的延長線于點E，連接AE，如圖所示：∵∠ABC＝90°，∴，∴，∵∠BDC＝45°，∠EBD＝90°，∴△EBD是等腰直角三角形，∴∠BDC=∠BED=45°，BE=BD，∵AB＝BC，∴△BCD≌△BAE（SAS），∴∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD，∴，∵，∴，∴；故答案為．例3.（手拉手培優(yōu)）如圖1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．點D是AC中點，連接BD，過點A作AE⊥BD交BD的延長線于點E，過點C作CF⊥BD于點F．（1）求證：∠EAD＝∠CBD；（2）求證：BF＝2AE；（3）如圖2，將△BCF沿BC翻折得到△BCG，連接AG，請猜想并證明線段AG和AB的數(shù)量關系．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）：AG＝AB，理由見解析【詳解】（1）證明：∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAD+∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CBD+∠BDC＝90°，∴∠EAD＝∠CBD；（2）證明：如圖1，連接CE，在BF上截取BP＝AE，連接CP，∵∠EAD＝∠CBD，AC＝BC，∴△AEC≌△BPC（SAS），∴CE＝CP，∠ACE＝∠BCP，∴∠ACE+∠DCP＝∠BCP+∠DCP，∴∠ECP＝∠DCB＝90°，∵CE＝CP，CF⊥BD，∴∠CEP＝∠CPF＝∠PCF＝45°，∴CF＝PF，∵點D是AC的中點，∴AD＝CD，∵∠AED＝∠CFD＝90°，∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD（AAS），∴AE＝CF，∴AE＝PF，∴BF＝BP+PF＝2AE；（3）結論：AG＝AB，證明如下：如圖2，取BG的中點H，連接CE，CH，AH，∴BH＝＝＝AE，∵∠HBC＝∠PBC＝∠EAC，∴∠EAC+∠CAB＝∠HBC+∠CBA，∴∠EAB＝∠HBA，∵AB＝BA，∴△AEB≌△BHA（SAS），∴∠BHA＝∠AEB＝90°，∴AH⊥BG，∵BH＝HG，∴AG＝AB．【變式訓練1】問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖①，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外分別作等邊△ABD和等邊△ACE，連接CD，BE．試探究CD與BE的數(shù)量關系，并說明理由．問題探究（2）如圖②，四邊形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝60．求BD的長．問題解決（3）如圖③，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一個變化的角，以AB為邊向△ABC外作等邊△ABD，連接CD，試探究，隨著∠ACB的變化，CD的長是否存在最大值，若存在求出CD長的最大值及此時∠ACB的大??；若不存在，請說明理由．【答案】（1），理由見解析；（2）90；（3）存在，CD長的最大值為5，∠ACB的大小為【詳解】（1）證明：∵△ABD和△ACE是等邊三角形∴，，∵∴在與中∴∴；（2）如下圖，以AB為腰向上作等腰直角，連接GC∵與是等腰直角三角形∴，，∵∴在與中∴∴；∵是等腰直角三角形，∴，，，∵∴∴∴∴；（3）如下圖，以BC為邊向外作等邊，連接AH∵與是等邊三角形∴，，∵∴在與中∴∴；又∵是等邊三角形，∴，∵，∴∴當A，C，H三點共線時，∵∴則當時，．【變式訓練2】問題背景：如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角為120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC邊于M、N兩點，連接MN．探究線段BM，MN，CN之間的數(shù)量關系．嘉琪同學探究此問題的方法是：延長NC至點E，使CE＝BM，連接DE，先證明△CDE≌△BDM，再證明△MDN≌△EDN，可得出線段BM，MN，CN之間的數(shù)量關系為．請你根據(jù)嘉琪同學的做法，寫出證明過程．探索延伸：若點M，N分別是線段AB，CA延長線上的點，其他條件不變，再探索線段BM，MN，NC之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．【答案】問題背景：MN＝BM+NC，證明見解析；探索延伸：MN＝NC﹣BM，理由見解析【詳解】問題背景：MN＝BM+NC．理由如下：如圖1中，延長AC至E，使得CE＝BM，并連接DE．∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，∠MBC＝∠ACB＝60°，又BD＝CD，且∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB＝60°+30°＝90°，∴∠MBD＝∠ECD＝90°，在△MBD與△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD＝DE，，∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，∴∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=60゜，∴∠EDN=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=60゜，即∠MDN=∠EDN，在△DMN和△DEN中，，∴△DMN≌△DEN，∴MN=EN=CE+NC，∴MN＝BM+NC．故答案為：MN＝BM+NC．探索延伸：如圖2中，結論：MN＝NC﹣BM．理由：在CA上截取CE＝BM．∵△ABC是正三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，又∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠CBD＝30°，∴∠MBD＝∠DCE＝90°，在△BMD和△CED中，，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DE＝DM，在△MDN和△EDN中，，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝NE＝NC﹣CE＝NC﹣BM．【課后作業(yè)】1．如圖，是邊長為5的等邊三角形，，．E、F分別在AB、AC上，且，則三角形AEF的周長為______．【答案】10【詳解】解：延長AB到N，使BN=CF，連接DN，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，∵在△NBD和△FCD中，，∴△NBD≌△FCD（SAS），∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，在△EDN和△EDF中，，∴△EDN≌△EDF（SAS），∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，即BE+CF=EF．∵△ABC是邊長為5的等邊三角形，∴AB=AC=5，∵BE+CF=EF，∴△AEF的周長為：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10，故答案為：10．2．△ACB和△DCE是共頂點C的兩個大小不一樣的等邊三角形．(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點A，D，E在同一直線上，連接AE，BE．①求證：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度數(shù)．(2)類比探究：如圖2，點B、D、E在同一直線上，連接AE，AD，BE，CM為△DCE中DE邊上的高，請求∠ADB的度數(shù)及線段DB，AD，DM之間的數(shù)量關系，并說明理由．(3)拓展延伸：如圖3，若設AD（或其延長線）與BE的所夾銳角為α，則你認為α為多少度，并證明．【答案】(1)①見解析；②∠AEB=60°；(2)∠ADB=60°，2DM+BD=AD，理由見解析；(3)α=60°，證明見解析【解析】(1)①證明：∵△ACB和△DCE是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）；②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，又∵∠CED=60°，∴∠AEB=60°；(2)解：∠ADB=60°，2DM+BD=AD，理由如下；∵AC=BC，CD=CE，∠ACD=60°+∠DCB=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CDA=∠CED=60°；∵∠ADB+∠CDA=∠DCE+∠CED，∴∠ADB=60°；又∵CM⊥BE，且△CDE為等邊三角形，∴DE=2DM，∴2DM+BD=BE=AD；(3)解：α=60°，理由如下：同理可證△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC，∴∠CDF+∠CEF=180°，∴∠ECD+∠DFE=180°，而α+∠DFE=180°，∴α=∠ECD=60°．3．【問題探究】（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關系，不需要證明．【深入探究】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同學受到第一問的啟發(fā)構造了如圖所示的一個和△ABD全等的三角形，將BD進行轉化再計算，請你準確的敘述輔助線的作法，再計算；【變式思考】（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，則CD＝．【答案】（1）BD＝CE；（2）BD2＝54；（3）8【詳解】解：（1）BD＝CE．理由是：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE；（2）如圖2，在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，連接EA、EB、EC．∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE．∵AE＝AB＝5，∴BE＝，∠ABE＝∠AEB＝45°，又∵∠ABC＝45°，

∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，∴，∴．（3）如圖，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，把△ACD繞點C逆時針旋轉60°得到△BCE，連接DE，則BE＝AD，△CDE是等邊三角形，∴DE＝CD，∠CED＝60°，∵∠ADC＝30°，∴∠BED＝30°+60°＝90°，在Rt△BDE中，DE＝＝＝8，

∴CD＝DE＝8．4．如圖，在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，連接BD和CE相交于點P，交AC于點M，交AD于點N．(1)求證：BD=CE．(2)求證：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，試探尋線段PE、AP、PD之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)PE=AP+PD，見解析【解析】(1)證明：∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE；(2)證明：如圖，過點A作AH⊥BD，AF⊥CE，∵△BAD≌△CAE，∴S△BAD=S△CAE，BD=CE，∴BD×AH=CE×AF，∴AH=AF，又∵AH⊥BD，AF⊥CE，∴AP平分∠BPE；(3)解：PE=AP+PD，理由如下：如圖，在線段PE上截取OE=PD，連接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠BDA=∠CEA，又∵OE=PD，AE=AD，∴△AOE≌△APD（SAS），∴AP=AO，∵∠BDA=∠CEA，∠PND=∠ANE，∴∠NPD=∠DAE=α=60°，∴∠BPE=180°-∠NPD=180°-60°=120°，又∵AP平分∠BPE，∴∠APO=60°，又∵AP=AO，∴△APO是等邊三角形，∴AP=PO，∵PE=PO+OE，∴PE=AP+PD．5．已知，在中，，，點D為BC的中點．（1）觀察猜想如圖①，若點E、F分別是AB、AC的中點，則線段DE與DF的數(shù)量關系是______________；線段DE與DF的位置關系是______________．（2）類比探究如圖②，若點E、F分別是AB、AC上的點，且，上述結論是否仍然成立，若成立，請證明：若不成立，請說明理由；（3）解決問題如圖③，若點E、F分別為AB、CA延長線的點，且，請直接寫出的面積．【答案】（1），；（2）成立，證明見解析；（3）【詳解】解：（1）∵點E、F、D分別是AB、AC、BC的中點，∴，，，，∵，，∴，，∴即，故答案為：，；（2）結論成立：，，證明：如圖所示，連接，∵，，D為BC的中點，∴，且AD平分，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，即；（3）如圖所示，連接AD，∵，，D為BC的中點，∴∴，且AD平分，，∴，∴∠FAD=180°-∠CAD=135°，∠EBD=180°-∠ABC=135°，∴∠FAD=∠EBD,在在和中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴，∴，∵，∴，∴，∴6．已知：△ABC與△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．（1）如圖1，如果A、B、D在一直線上，且∠ABC＝60°，求證：△BMN是等邊三角形；（2）在第（1）問的情況下，直線AE和CD的夾角是°；（3）如圖2，若A、B、D不在一直線上，但∠ABC＝60°的條件不變則直線AE和CD的夾角是°；（4）如圖3，若∠ACB＝60°，直線AE和CD的夾角是°．【答案】（1）證明見解析；（2）60；（3）60；（4）60；【詳解】（1）∵∠ABC＝∠DBE＝60°∴，，∴∵BA＝BC，BD＝BE和中∴∴和中∴∴∴為等邊三角形；（2）∵∠ABC＝∠DBE＝60°,BA＝BC∴為等邊三角形；∴根據(jù)題意，AE和CD相交于點O，∵∴∵∴∴，即直線AE和CD的夾角是故答案為：；（3）∵∠ABC＝∠DBE＝60°,BA＝BC，∴為等邊三角形；∴∵，，∠ABC＝∠DBE＝60°∴∵BA＝BC，BD＝BE和中，∴∴如圖，延長，交CD于點O∴∵∴∴，即直線AE和CD的夾角是故答案為：；（4）∵BA＝BC，∴∵∠ACB＝60°，∴，∴為等邊三角形∵BD＝BE，∠ABC＝∠DBE，∴∵，，∴和中，，∴，∴分別延長CD、AE