數(shù)學(xué)分析十講習(xí)題冊(cè)、課后習(xí)題答案

習(xí)題1-1

1.計(jì)算下列極限

ax-xa

(1)lim------,a>0-

r-x-a

解：原式=—=(優(yōu))'k〃一

-x-ax-a

=aa\na-a-aa~]=4(Ina-1)

sinx-sintz

(2)lim—；--------；

isin(x-a)

sinx-sin.,i

解:原式=vlim-----------=(sinx)=cosa

x=a

Xf“x—a'

]imn2(yja+~^=-2),a>0;

"T8Na

解：原式=lim3(?^)2=[(/)'l]2=ln2a

〃T8用01/n,x=0

(4)lim4(l+-)/,-l],p〉0;

〃一>8n

(l+?f

解：原式=lim(x")'L=l=PX「T

H->001lx=l=P

n

⑸lim(l+tanx)1?-(l-sinx)'?

gosinx

肘#i-(l+tan%y°—1..(1—sinx)10—1

解：原式--------------lim-------------

?s。tanxio-sinx

99

=10(l+0l,=o+10(l+f)%=20

心一T

(6)lim-7=——,〃2,〃為正整數(shù)；

iVx-1

(3)

解：原式=哂舍癥!

過(guò)=巴

(/),m

x=i

2.設(shè)/（x）在玉）處二階可導(dǎo)，計(jì)算盛/（/+力）-2/：：0）+/（/一〃）

解.原式.尸二+①一八、。一①1加八%+人）一尸（/）+尸（/）—/'（/一人）

.八,102/2202h

=；/"(Xo)+gr'(Xo)=/"(Xo)

limm+^wu）+］而/（/一田一廣（”。）

hfO2h20-2h

3.設(shè)。>0,/(。)>0,/'(a)存在，計(jì)算

f/(a)

ln/(x)-lnf(a)

解：lim[J(，)pnx-lna=]jmelnx-lnt?

x->afWX—->Q

Hm】n/(x)Tn/(a)

limln/(x)-ln/(a)x-a

eialnx-ln^gXTcix-aInx-lntz

//)a

習(xí)題1-2

1.求下列極限

(1)lim(sinJx+1-sinvx-1);

*->+00

解：原式=limcosj缶—^[(x+l)—(x—l)]=0,其中J在x—l與x+1之間

1田2痣

/八「cos(sin^)-cosx

(2)lim--------------;

gosinx

解：原式=limsmS(sm..x)=_]淞(*>(1)「巾「x)=j_,其中J在x與sinx之間

*T0xXf0gxx6

(3)lim(A/X6+X5-\/x6-x5);

A->+00

解：原式=lim4(l+-)^-(l--r]=limx--(l+^p?[(1+-)-(1--)]

?szXXXTm6XX

13111

=lim—(l+J)6=_,其中J在1一一與i+上之間

1+0033xx

.211

(4)limn(arctan——arctan-----);

〃T+<?Nn+1

解：原式=lim/_I^(_L-—!—)=1,其中其中f在」一與！之間

〃一”1+4+1H+1n

/(。+))

2.設(shè)/(x)在。處可導(dǎo),f(a)>0,計(jì)算lim

”(In/(6f+-)-lnf(a-))limH(ln/(a+-)-lnf(a-))

解：原式=lime".”=efn."

8

ln/(6f+-)-ln/(tz)lnf(a——)-lnf(a)

Him----------------+lim----------------]八。)/'(。)2f(a)

n-KC1n->oo1---------------1------------------------------

=en~n=e/(“)/(“)=e〃a)

習(xí)題1-3

1.求下列極限

(1)lim,〃wO;

1。(l+x)"-l

2Y2

解：原式=lim空=2

XT。/LIX〃

/、1-cosxcos2x???cosnx

(2)lim,-----------;

3。Vl+x2-1

kFr-Incosxcos2x???cosnx….Incosx+Incos2xH----1-Incosnx

解：/r=hm------------------------------=-2hm-----------------------------------------

XTO1x->0x

-X2

2

cosx-1+cos2x-1+???+cosnx-1..x2+(2x)2H—+(nx)2

=-2lim------------------------------------------=lim--------------；------------

XT。x->0

⑶蚓—

解：原式=lim^—-=lim--~~-=lim—=-

x(ex-l)1。x272xXTO2X2

Ij_

(4)limx2[(l+x)r-xA];

XT+oO

一,,-In(l+x)-Inx11

解：原式=limx2(ex-ex)=limxo2—(ln(l+x)-lnx)-limxln(l+—)

X->+00XXT—X

r1?

=limx—=1

XT+OCX

2.求下列極限

,...1-cosx-lncosx

(1)lim―：-----；----------

e'-e~x-sinx-

11

-x~2+-x~2

解：原式=lim2,2=]

102X-X-

ln(x+e")+2sinx

(2)lim

—。sin(2tan2x)-sin(tan2x)-tanx

eEh「ln(l+x+-1)+2sinx「x+eA-l+2sinx

解：原式=hm--------------------------------------=lim----------------------------------------

xf。sin(2tan2x)-sin(tan2x)-tanxsin(2tan2x)-sin(tan2x)-tanx

「x+x+2x

lim-------------=4A

so4X-2X-X

習(xí)題L4

1.求下列極限

(1)limn2(l-nsin

〃一>oon

解：原式=lim〃2[i一〃(_L__14+0(4))]=iim(-L+o(l))=L

〃T8n3!〃3!6

/、4「？—1—工

(2)求hm--------

iosinx

6

/c十r萬(wàn)+“16,)_%3c

1

解:原式=物lim

XTO2

1

(3)lim[x-x92ln(l+-)l：

—00x

解：原式=lim[x—------+o(—^-))]=—

is%2xx2

(4)lim(l+-)A%-v；

*—>+Q0JQ

[x2ln(l+i)-x]

解：原式=lim<?*-e2

XT8

此題已換3.設(shè)〃x)在x=0處可導(dǎo),/(O)wO,/'(0)70.若4(〃)+步(2力)一/(0)在

/if0時(shí)是比/i高階的無(wú)窮小，試確定a1的值.

解:因?yàn)榻饬?=〃0)+尸(0)用+。(力),f(2h)=f(.0)+2f\Q)h+o(h)

所以°=Hm，⑻+1(2/7)-2/(0)=Um(a+b—l)/(0)+(a+2b)尸(0)+。(力)

hT)h20h

從而a+b-\=Oa+2b=0解得：a=2,b=-\

3.設(shè)/(x)在5處二階可導(dǎo)，用泰勒公式求Hm/(%+")一2/(：。)+/(/一”)

ioh

解：原式

/(%)+/(％注+^^〃2+0(/)-2/(%)+/(%)-/(/)//+^^/+%(〃2)

=lim---------------------------------------------------------------------

力10n

Hm5必士吆此

JOh2

4.設(shè)/(x)在x=0處可導(dǎo)，且lim(半+幺^)=2.求/(O)J'(O)和

XTOXXXT°X

ARB、Lc1-/Sinx/(x)\sinx+xf(x)

解因?yàn)?=hm(「一+q')=hvm-----盧」

XT。XXx-0x"

x+心2)+X[/(O)+/'(0)x+o(x)]

lim

2

XTOX

11m(1+/(0)?+/(0)八。(犬)

10x2

所以1+/(0)=0/(0)=2,即/(0)=一"(0)=2

所以=1畝尸〃°)+廣⑼一心)=lim^±^=2

X->0XA—*0XXT°X

習(xí)題1-5

1.計(jì)算下列極限

1+;1

+???d--『

(1)lim―四

/i—>00y/n

1

J/+1+y/n2

解：原式=limi+=]im

"T8+l一“—>8J〃+l

1+〃+2。2H---\-na

(2)lim(。>1)

“TOOnan+2

nan]

解：原式=lim—lim

22

”T8na"2一5一1)4+】“TOOna-(n-l)aa-a

c、n.__4x_ci,+2a.H---\-na

2.設(shè)hma“=a,求(Dhm-----\------n-；

?-?<?"TOO

解：原式=丘01十嗎-==-

-(n-1)n^xIn-12

(2)lim----；--------,。尸0,i=l,2,…，〃?

〃foo111

------------1-----------------F…H-------------

qa2-----a“

a”,a,aa..11

解：由于hm」----2=--------n--lim一=一,

〃T8n〃T8%a

n

所以lim------------—=a

“f8111

------------1-----------------F…-I-------------

%a2an

3.設(shè)lim(九〃一x〃_2)=0，求lim土■和lim當(dāng)~Z±

/I—>00"〃T8〃

解：因?yàn)閘im(x“-x“_2)=。，所以lim(X2“一尤2"-2)=°

〃一>00〃T8

且”lTi8m(X2"+「々,1)=。

從而有stolz定理lim且■=lim2一&2=0,

”T82n，T002

且lim旦工=lim-fi=0

〃T82〃+1〃-002

所以lim%=0,lim—~^-=lim--lim-~~-J^izL=0

“TOO〃8〃n—>00幾H—>00幾—|

4.設(shè)0<九[<,，其中0<9<1,并且%+]=x“（l一，

q

證明：limnxti=—.

gooq

證明：因0<玉<一,所以

q

4=須（1—所以

q24gq

0<x9<-,用數(shù)學(xué)歸納法易證，0<z<,。

qq

x

又11L=1—<1,從而X“單調(diào)遞減，

由單調(diào)有界原理，limx“存在，記limx,,=L

〃TOOZl—>00

在相+i=七,（1一如“）兩邊令〃一>°°，可得limx“=0

“Too

〃1

所以limnxH=lim—=lim-----

M->00M->001；J->QO1I

X“X"+|X"

x“x“+ixx(l-qx?)1_qx“1

=hrm-111+1=hm—n—n---——=lim———=—

1°x“-x“+|"HX“—x〃(l-qx“)"T8qq

習(xí)題1-6

1.設(shè)/(x)在(a,+oo)內(nèi)可導(dǎo)，且lim幺2=A,lim/'(x)存在.

XT4<OXXT+00

證明：limfr(x)=A.

X-^+CD

證明：A=lim=lim=limf'(x)

JC->+ooxXT+00JXf+<O

2.設(shè)/(x)在(凡+8)上可微，lim/(x)和lim尸(x)存在.

證明：limfr(x)=0.

XT+co

證明:記lim/(x)=A(有限),Hmf'(x)=B(有限),則

.e'f(x)e"(x)+e"'(x)

A=lim/(x)=lim—=hm-------——-=A+B

x-.t->+ooe”,r->-Ko靖

從而8=0所以lim_f(x)=O

X-

3.設(shè)f(x)在(a,+oo)上可導(dǎo),對(duì)任意的a>0,

lim[ccf(x)+xff(x)]=[3,證明：lim/(x)=—.

,t—>+aOXf+8a

證明：因?yàn)閍>0,所以limx"=+8,由廣義羅必達(dá)法則得

..f(、xaf(x)axa-'f(x)+xaf'(x)

limf(x)=lim------=hm-----------------

0

X->-KOXT+OOCCX'

=lim"(x)+±/'(x)]=2

XT+OOaa

4.設(shè)/(x)在(a,+8)上存在有界的導(dǎo)函數(shù)，證明：]im/@=0.

證明：lim上也=lim,尸(x)有界，lim—1—=0,

xlnxxT+oo]nx+l“TGIIX+1

所以limlim/⑴=0

x-xlnxXT+81nx+1

習(xí)題2-1

(此題已換)1.若自然數(shù)〃不是完全平方數(shù)，證明〃是無(wú)理數(shù).

1.證明百是無(wú)理數(shù)

證明：反證法.假若百=V(p,qwN,且p,q互質(zhì))，

P

于是由3P2=/可知國(guó)2是02的因子,從而得g2=1即02=3,這與假設(shè)矛盾

2.求下列數(shù)集的上、下確界.

(1)<1——HGN>,

n

解：supE=l,inf￡=0

(2)J(l+-)n

n

解：supE=e,infE=2

(3)J(-l)n+-(-l)n+,

n

解：supE=l,mfE=-1

(4)jyly=x2,xe(-l,g)}.

解：supE=1,inf￡=0

3.設(shè)石={xlx?<2,XE。},驗(yàn)證inf￡*=—0.

證明：VxeE,由-<2得x<—&n—后是E的一個(gè)下界.

另一方面，設(shè)％〉-血也是E的下界，由有理數(shù)集在實(shí)數(shù)系中的稠密性,

在(—痣,％)區(qū)間中必有有理數(shù)V,則x'2<2=>xtE且x'<%n%

不是E的下界.按下確界定義，infE=-&

4.用定義證明上(下)確界的唯一性.

證明：設(shè)尸為數(shù)集E的上確界，即力=51^^.按定義，

叨1€￡有了《夕.若夕也是￡的上確界且

夕H/不妨設(shè)/>尸，則對(duì)￡=/—夕>O,*。€E

有X。>/—(￡'—￡)即工0>￡，矛盾.

下確界的唯?性類似可證

習(xí)題2-2

1.用區(qū)間套定理證明：有下界的數(shù)集必有下確界.

證明：設(shè)a是E的一個(gè)下界，b不是E的下界，則a<6.

令C]=g(a+b),若A是E'的下界，則取為=G，A=/?；

若C]不是E的下界,則取為二見(jiàn)仇二。.

令Q=*+仇)，若C2是E的下界，則取—也為

若不是E'的下界，則取的=。1，%=。2；...，

按此方式繼續(xù)作下去，得一區(qū)間套{[%,"]},且滿足：

。,是E的下界，/?“不是E的下界(〃=1,2,…).

由區(qū)間套定理酒G[a,也]”=1,2,…，且lima”=lin也=J.

ZJ—>oon—>ao

下證g=infE：

(l)VxeE都有xN%(〃=1,2,…)，而J=|即4=>x*,

即J是E的下界.

(2)V『〉,由于limb“=J,從而當(dāng)〃充分大以后，

M-X?

有切<一.而切不是E的下界n『不是E的下界，即自是最大下界

2.設(shè)/(x)在切上無(wú)界.證明：存在x°e［a,儀,

使得/(%)在x0的任意鄰域內(nèi)無(wú)界.

證明：由條件知，/(x)在［a,(a+b)/2］上或［(a+2)/2,加上無(wú)界，

記使J(x)在其上無(wú)界的區(qū)間為［%,仇］；再二等分園,仇］,

記使/(x)在其上無(wú)界的區(qū)間為［出，仇］......繼續(xù)作下去，

得一區(qū)間套｛［%/“］｝，滿足/(x)在⑷也J(〃=1,2,…)上無(wú)界.

根據(jù)區(qū)間套定理，3x0e［an,bn］n=l,2,---,月/ima“=limZ?(1=x0.

n—>aoM—KC

因?yàn)閷?duì)任意的b〉0,存在N,當(dāng)〃NN時(shí)，有［%，2/u(Xo—b,x0+5),從而可知/(x)

在(X。-3,+3)上無(wú)界

3.設(shè)/(x),g(x)在［0,1］上滿足3(0)>0,/(I)<0,若

g(x)在［0,1］上連續(xù),/(x)+g(x)在［0,1］上單調(diào)遞增.

證明：存在丁€［0,1］,使f4)=0.

證明：記q=0,4=1且二等分［0,1］.若/(；)20,

則記的=；也=1；若/(g)〈0,則記出=022=(.

類似地，對(duì)已取得的［an,b?］二等分，若/(制之)>0,

則記%+1=氣電力向="：若/(色詈)W0,

則記善按此方式繼續(xù)下去'

得一區(qū)間套｛［明也』｝，其中f(an)>O,f(b,)<0.

根據(jù)區(qū)間套定理可知，^e［an,bn］,n=l,2,3-,

且有l(wèi)ima”=百=limb〃.

n—>oon—>oo

因?yàn)間(x)在［0,1］上連續(xù),所以g(a“)一>gC),g(a)->g記)(〃->oo).

注意到g(a?)<f(an)+g(an)<f(bn)+g(bn)<g(bn)可得

g(J)=lim［/(a?)+g(an)］=lim［f(bn)+g(bn)］,

n—>ooM—

再由f(an)+g(an)<f^)+g^)<f(bn)+g(bn)可知

ge)w/e)+g《)wge)，/4)=0.

習(xí)題2-3

1.證明下列數(shù)列發(fā)散.

1n

⑴無(wú)“=彳+(一1)"丁7，〃=12…

22〃+1

證因?yàn)閤2?=1+盧yT1,X2?+1=；

24/2+12

5-8)所以｛%｝發(fā)散.

1

(2)yn=-----1-------1-(—I)"—,n=1,2,,,,.

nnnn

nIn+1I

證明：因?yàn)槟恕?一^-->一彳，y2,1+1=-~(〃-⑹

所以｛”｝發(fā)散.

2.證明：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列收斂的充要條件是其存在一個(gè)收斂子列.

證明：二>由收斂數(shù)列與子列的關(guān)系，結(jié)論顯然

<=不妨假設(shè)數(shù)列｛及｝單調(diào)遞增，且存在收斂子列l(wèi)imx“=A,

k

由極限定義

對(duì)任意給定的￡>0,總存在正整數(shù)當(dāng)左>&時(shí)，k-$<￡,

從而有A—￡<X<A+￡；

ntlk

由于］蛆〃憶=8,對(duì)任意〃，存在正整數(shù)K2〉K「

當(dāng)大〉K2時(shí)，取N=〃勺+i，

則任意〃〉N時(shí)，A-s<x=x<x<x,<A+￡

n“*+INNnn山2

所以比一A|<￡,即limx“=A

11H-^OO

3.設(shè)極限lim(〃sinx+/?cosx)存在，證明：a=b=O.

XT+CO

證明：記lim(asinx+bcosx)=A山海茵定理，

XT+CO

取x^}=2n7iT+OO(HT+oo),得b=A

-)兀

取XF)=2"?H---->+oo(n—>4-oo),得a=A

2

取x："=2〃乃+?—>+8(〃—>+oo),得一^(a+b)=A,a-b-A-0

(此題取消)4.數(shù)列｛%｝收斂于。的充要條件是：其偶數(shù)項(xiàng)子列和奇數(shù)項(xiàng)子列皆收斂

于a.

(此題改為4)5.已知有界數(shù)列｛%｝發(fā)散，證明:存在兩個(gè)子列,;［和｛%了｝收斂

于不同的極限.

證明：因?yàn)椋?｝有界，由致密性定理，必有收斂的子列卜：>｝,設(shè)!吧x,J)=a.

又因?yàn)椋撸皇諗?，所以存?>0,在("4,a+￡0)以外，有｛%｝的無(wú)窮多項(xiàng)，

記這無(wú)窮多項(xiàng)所成的子列為卜“⑵｝,顯然卜⑵｝有界.由致密性定理，必有收斂子列卜/)｝,

設(shè)limx“⑵=/?，顯然b*a.

習(xí)題2-5

1.用柯西收斂準(zhǔn)則判定下列數(shù)列的收斂性

(1)xn=144--+(-1)fl+,7；

除。-止—*■?+(-1嚴(yán)

解:

=—!——(―--!_L<1

〃+1〃+2〃+3n+p〃+1n

所以，對(duì)V￡〉OJN=U/￡],V〃>N，k，”—x,J<￡,即*.｝為柯西列

(2)xn=a0+atq+a2q~+???+anq"(\q\<1,\ak\<M,k=0,l,---).

解：k+p-xj=+…+4Af|q『"(l+|W+...+?b4

所以，對(duì)Ve>0,BN=max｛1,[In/In|^|-1｝,Vn>W,|x,)+p-x?|<s,即｛x.｝為

柯西列

2.滿足下列條件的數(shù)列｛x,,｝是不是柯西列？

(1)對(duì)任意自然數(shù)〃，都有l(wèi)im|xn+/)-x?|=0;

解：不是柯西列，如X,,=1+,+…對(duì)任意的自然數(shù)P，1101k“+.-%|=0;但數(shù)

2n1?

列卜.｝不收斂。

(2)k+1-xj4修〉一演/，(0<(<1,“=2,3,…);

解：卜“+p-xj4|x?+p-xn+p_|+X“+°T---+x“+i-xj

+l，2

-k+p-x.+p-i|+k+p-1一X"+”21+…+k"+i一X"I4+k"~+?■■+k""')|x2-xt\

\-k

所以，對(duì)V￡〉0JN=[lnC^4]/lnA+l,V〃>N，k“+p—x』<￡,即｛七｝為柯西列

|"為|1

(3)^|xt+1-xJ<M(n=l,2,---,M>0).

k=]

證明：記5“=之民+1—xj,則S“單調(diào)遞增有上界〃，從而必有極限，記limS“=S

'H->00

k=\

對(duì)V￡>OJN,V〃〉N,|S“一S|<]

x

從而|X.+P_X“|4k"+p-X.+0-1+?+p-i---+x“+i_X?|

XX+X

-\n+p-n+P-t|\,l+p-l-X“+0-2|+…+k"+l-X,J=|S“+”i-5?_,

41sM-S|+|S,_「S|<￡故卜｝是柯西列

習(xí)題3-1

1.設(shè)定義在又,加上的函數(shù)/*)在(。力)內(nèi)連續(xù),且lim/(x)和lim/(x)存在(有限).

x->b~

問(wèn)/(x)在(a,b)上是否有界？是否能取得最值？

解：在閉區(qū)間［a,切上構(gòu)造輔助函數(shù)

fM,xe(a,b),

g(x)=1/(a+),x=a,

/?),x=b.

則g(x)在［a,句上連續(xù),從而g(x)在［a,句上有界.由于g(x)=/(x)(a<x<b),故

/(x)在上也有界，即存在M>0,使得|/(x)|<M,,xe(a,b).

令M=max{A/,|/(a)|,|/(&)|),則有\(zhòng)f(x)\<M,xe[a,b].

條件同上，但/(x)在(a,份上卻不一定能取得極值.例如：f(x)=x,xe(a,b)

2.設(shè)f(x)在(-8,+00)內(nèi)連續(xù),且limf(x)=+oo.證明f(x)在(-8,+8)內(nèi)可取得最小

A->±C0

值.

證明：因?yàn)閘im/(x)=+8,所以mA<0,當(dāng)x<A時(shí)，有/(x)>/(0)

因?yàn)閘im/(x)=+8,所以m5>0,當(dāng)x〉8時(shí)，有/(x)〉/(0)

X-?-K0

從而當(dāng)xw(-co,A)u(8,+oo)時(shí),有f(x)>f(0)

又/(x)在[A,團(tuán)連續(xù)，從而一定可以取到最小值加，BP3y0e[A5],使當(dāng)時(shí),

m=f(y0)</(x)且m=f(y0)</(0)；

故xe(-oo,A)u(B,+8)時(shí)，有/(x)>/(O)2/(先)

所以/(x)在先處取到最小值

習(xí)題3-2

(此題已換)1.設(shè)q,d,%>0,4<4<4.證明:方程一^+-^+-^=。

x-b{x-b2x-b3

在(如打)和(打，％)內(nèi)恰好各有一個(gè)實(shí)根.

1.證明開(kāi)普勒(Kepler)方程x=￡sinx+a(O<￡<l)有唯一實(shí)根

證明：令/(x)=x-esinx-a,則/(x)在[〃一l,a+l]連續(xù)且

f(a-l)=-1-￡,sin(a-1)<0,/(a+l)=l-￡sin(a+1)>0,

由零點(diǎn)原理mjw(〃一l,a+l),使/?)=(),即方程元=esinx+a至少有一實(shí)根

又/，(x)=l-^cosx>0,所以/(x)在(一8,+8)單調(diào)遞增，所以方程x=esinx+a有

唯一實(shí)根

(此題已換)2.設(shè)函數(shù)/(x)在(〃，b)內(nèi)連續(xù)且有極值點(diǎn).證明：存在

xpx2e(6f,b),%。％，使得/(為)=/(X2)?

2.設(shè)。>0,討論方程，實(shí)根的個(gè)數(shù)

解：stcpl.令/(%)=短一則limf(x)=-oo,limf(x)=/(0)=1,由零點(diǎn)原理，

X->-<?A-?0

/(x)=0在(-o,0)至少有一實(shí)根，又尸(x)=ex-2ax〉0(xw(—oo,0)),所以/(x)在

(-肛0)單調(diào)遞增，從而方程/="2在(_oo,0)內(nèi)有且僅有一實(shí)根。

x

PXp(Y—2)

step2,令g(x)=f,則limg(x)=+8,limg(x)=+oo,且g'(x)=——',所以

Xxf0+IPX

當(dāng)0<x<2時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)2Vx<+oo時(shí)'函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)

22

g(x)在點(diǎn)x=2取得極小值g(2)=幺。所以，當(dāng)0<a<J時(shí)，方程g(x)=a在(0,+8)

44

22

無(wú)解；當(dāng)。=一時(shí)，8(》)=4在(0,+00)有一解；當(dāng)。>一時(shí)，8(幻=4在(0,+8)有兩解

44

222

綜上：當(dāng)0<。<幺時(shí)，方程6、=以2有一解；當(dāng)。=幺?時(shí)，e*=ad有兩解；當(dāng)?！礘

444

時(shí)，"="2有三解

3.設(shè)/(%)在[a,b]上連續(xù)，xne[a,b],limf(xn)=A.證明存在e[a,b]使

"TOO

證法1因?yàn)?(x)在[a,句上連續(xù)，所以存在最大值"和最小值機(jī)，且使機(jī),

從而有m4A=lim/(%?)<M.由介值定理知三4e[a,b]，使/?)=4.

“TOO

證法2因?yàn)椴贰埃薪纾源嬖谑諗孔恿蠿,”(kfoo).而/(x)在[a,切上

連續(xù)，故有f4)=limf(xnt)=lim/(%?)=A

?->00K”TOO

習(xí)題10-2

1.設(shè)/(x)在[0,1]上連續(xù)，“N2為自然數(shù).證明：

n-\1

(1)若/(0)=/⑴，則存在<￡[(),——],使得/(J)=/(4+—)；

nn

1n—\

證明:令尸(x)=/(x)—/(x+—),則產(chǎn)(x)￡C[O,——],且

nn

?

/(o)=/(o)-/(-),F(l)=/(I)_/(2),...,F(ZLzl)=/(￡z!)_/(1)

nnnnnn

從而E(0)+P(L)+…F(小1)=0

nn

若小w{0』,2,…，〃一1},使尸(與=0,取5=)即可

nn

否則于wje{0,l,2,…，〃一1},使「(與尸(』)<0,由零點(diǎn)原理，話w(4」)或(』二)，

nnnnnn

使F?=0

〃一11

綜上，3^e[0,——],使尸G)=0,即/C)=/e+—)

nn

(2)若/(0)=0,/⑴=1,則存在Je(0,1),使得/(0+-=/(^+-).

nn

解：^F(x)=f(x+-)-f(x)--,方法同上

nn

2.設(shè)/(x)在可上連續(xù)，且f'/(x)dLr=l,f^(x)dx=〃，f\2/(x)dx=x/2.證明：存

JciJa4rz

在句，使//)=().

證：由已知經(jīng)計(jì)算得，(x-〃)2/(x)dr=0

1)若〃4?；颉?匕，由積分中值定理，3^e(a,b),使?—")2/《)=0,從而/《)=0

2)否貝II,a</.i<b,f(x—〃)"(x)dr=j：(x_〃)2/(x)dr+[(x_〃)2/(x)dx=0

a)若，(x—〃)2/(x)dx=j(x—〃)2/(x)dx=0,同1),由積分中值定理

瑞e(a，M)，Me(出b)，使f&)=f&)=0

b)丫與異號(hào)，由中值定理，B?7,e(a,//),37,e

使[。一〃)2/。也=(7-〃)2/(7)，且1(x-〃)2/(3咫=(%-〃)2/(%)

所以“7)/(%)<0,有零點(diǎn)原理,送€(7，%)u(a,b)使/?=0

2

3.設(shè)fn(x)=cos"X+COS"TJ+…+COSX+COSX，求證

TT

(1)對(duì)任意自然數(shù)〃，方程￡,(x)=l在[0,耳)內(nèi)有唯一實(shí)根；

TT

證明：〃=1時(shí)，<。)=<：05X=1在[0,不)上有唯一實(shí)根％=0

JI1

〃>1時(shí)，有，/,(0)-l=n-l>0K/；,(y)-l=--<0,由零點(diǎn)存在原理，

TTjr

3x?e(0,y),使力(x“)=l,即力(x)=l在(0,§)上有一實(shí)根

-2

又fn'(x)=(〃cos"Tx+(n-l)cos"X+…+2cosx+l)(-sinx)<0,故fn(x)嚴(yán)格單

TT

調(diào)遞減，所以方程力(x)=l在[0，w)內(nèi)有唯一實(shí)根

jrjr

(2)設(shè)x?e[0,-)是f(x)=1的根，則limx?=-.

3n”783

證：對(duì)X〉O,￡,(x)<￡5x),從而九(％)=l",(x")<加(X.)，有因?yàn)榧?X)

嚴(yán)格單調(diào)遞減，故x“+i〉x”，即｛%｝嚴(yán)格單調(diào)遞增。又｛當(dāng)｝有界，所以｛%｝收斂。

TT

設(shè)limx“=A,由于x“w(0,—),所以limcos"(x")=0,在

M—>003?—>00

/,-12

1==cos"xn+cos尤〃+…+cosxn+cosxn

cosx-cosnxcosA.1.TC

=-----w--------w-，令〃一>8,有1=-------,所以cosA=—,A=—即hm冗二一

l-cosxw1-cosA23"T83

4.設(shè)/(X)在[凡切上連續(xù),不恒為常數(shù)，且/3)=向11/(%)=/3).證明存在1￡3乃),

xe[a,^]

證：令尸(x)=—-,因?yàn)?(x)在[a,切上連續(xù)，不恒為常數(shù)，且

f(a)=minf(x)=f(b),所以Hr。e(a,b),使/(x。)=max/(x),于是

/(/)=p/(^^-u()-?)/Uo)=『"(，)—/(xo)m<o，

F⑸=3-。)/3)=f[/W-/(W>0,山零點(diǎn)原理：

JaJa

證明存在。e(x0,b)u(a,b),使網(wǎng)自)=0,即f"f)dr=e—a)/e).

習(xí)題4T

[|x|xwO

1.證明函數(shù)/(x)=,「'_0沒(méi)有原函數(shù).

證:設(shè)/(%)存在原函數(shù)"x),即小(x)=fM,則小(0)=/(0)=1且尸(；)=/(I)=1,

1313

由于小(2)＜彳〈小(0),由達(dá)布定理，*e(o,2),使￥=尸6)=〃9=矛盾,

所以/(%)無(wú)原函數(shù)

2.設(shè)/(x)在功上可導(dǎo)，xvx2e[a,b].證明：

(1)若廣(石)+/(％)=0,則存在J例使/《)=0；

證明：若廣(須)=:。2)=0,則取4=司或4均可；否則;(陽(yáng))/(刀2)<0,又達(dá)布

定理，存在J介于％與々之間，使廣修)=0;綜上存在使廣(9=0

(2)若/'(占)+/'(々)=〃，則存在會(huì)[a向使:《)=今

證明：若/'(玉)=:(々)=/，則取自=再或J=X2均可；否則

"'(王)一夕"'(々)一令<0,由達(dá)布定理，存在J介于王與々之間，使廣?，；

綜上存在會(huì).向使/

習(xí)題4-2

1.求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并討論導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性.

(1)/(x)=|(x+D|3;

(X+1)3,X>—1

解：/(幻=/\,則/(X)在x=—1連續(xù)，且

-(X+1),X<-1

x>—1時(shí)，/(X)=3(X+1)2,lim/。)=0,從而九(—1)=0

x->-l+

x<—1時(shí)，/'(x)=-3(x+l)2,lim/'(x)=0,從而/'(—1)=0所以/'(—1)=0

從而1(x)在x=—l連續(xù)。

所以/'(x)=4,在(一8,+8)連續(xù)

-3(x+1)2,x<-l

x1,x>0

⑵/(X)=2；

一x~,x<0

解：顯然/(X)在x=-1連續(xù)，且

x〉0時(shí)，f'(x)=2x,limf'(x)=0,從而及(0)=0；

x<0時(shí)，f\x)=-2x,lim/'(x)=0,從而f'(0)=0所以尸(0)=0