第26次課（5.7電磁場(chǎng)動(dòng)量）

1.失勢(shì)展開式的第一項(xiàng)：2.電偶極輻射場(chǎng)為3.輻射場(chǎng)的能流密度復(fù)習(xí)上一節(jié)課的內(nèi)容14.輻射功率如果偶極子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，角頻率為ω2§5.7電磁場(chǎng)的動(dòng)量MomentumofElectromagneticField3電磁場(chǎng)和帶電體之間有相互作用力。場(chǎng)對(duì)帶電粒子施以作用力，粒子受力后，它的動(dòng)量發(fā)生變化，同時(shí)電磁場(chǎng)本身的狀態(tài)亦發(fā)生相應(yīng)的改變。因此，電磁場(chǎng)也和其他物體一樣具有動(dòng)量。輻射壓力是電磁場(chǎng)具有動(dòng)量的實(shí)驗(yàn)證據(jù)。

本節(jié)從電磁場(chǎng)與帶電物質(zhì)的相互作用規(guī)律出發(fā)導(dǎo)出電磁場(chǎng)動(dòng)量密度表達(dá)式。4考慮空間某一區(qū)域，某內(nèi)有一定電荷分布，區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)和電荷之間由于相互作用而發(fā)生動(dòng)量轉(zhuǎn)移。另一方面，區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)和區(qū)域外的場(chǎng)也通過界面發(fā)生動(dòng)量轉(zhuǎn)移，由于動(dòng)量守恒，單位時(shí)間從區(qū)域外通過界面S傳入?yún)^(qū)域內(nèi)（V）的動(dòng)量應(yīng)等于V內(nèi)電荷的動(dòng)量變化率加上V內(nèi)電磁場(chǎng)的動(dòng)量變化率。故由Maxwell’sequations和Lorentz力公式可導(dǎo)出電磁場(chǎng)和電荷體系的動(dòng)量守恒定律。一．電磁場(chǎng)的動(dòng)量密度和動(dòng)量流密度矢量

場(chǎng)對(duì)帶電體的作用為Lorentzforce，在Lorentzforce作用下帶電體的機(jī)械動(dòng)量變化為5洛侖茲力密度帶電物體受到力用代表帶電物體的動(dòng)量，根據(jù)牛頓第二定律有6考慮對(duì)稱性，因?yàn)?/p>

下面利用真空中的場(chǎng)方程把等式中的電荷和電流消去，把Lorentzforcedensity改寫為：將此構(gòu)成一個(gè)恒等式：7把上兩式相加，則有8其中：式中是單位張量，即9而且同理得到：則有10或者化為其中機(jī)械動(dòng)量的變化率11至此，可以把機(jī)械動(dòng)量的變化率寫成討論：

a)若積分區(qū)域V為全空間，則面積分項(xiàng)為零，而12根據(jù)動(dòng)量守恒定律，帶電體的機(jī)械動(dòng)量的增加等于電磁場(chǎng)的動(dòng)量的減少，因此稱為電磁動(dòng)量，而把稱為電磁場(chǎng)動(dòng)量密度(electromagneticfieldmomentumdensity)13從而得到或者即這說明，若把帶電體和電磁場(chǎng)看作一個(gè)封閉的力學(xué)體系，則體系的機(jī)械動(dòng)量和電磁動(dòng)量之和是守恒的。14注意：對(duì)于平面電磁波，有這里的是電磁波的傳播方向單位矢量，根據(jù)電磁動(dòng)量密度公式即可得到一定頻率的電磁波的平均動(dòng)量密度15這個(gè)關(guān)系式在量子化后的電磁場(chǎng)也是成立的，量子化后的電磁場(chǎng)由光子組成，每個(gè)光子的能量為從而可以看出：每個(gè)光子所帶的動(dòng)量其中，h是普朗克常數(shù)，ω是頻率。16b)若積分區(qū)域V為有限空間，則面積分項(xiàng)不為零，即機(jī)械動(dòng)量動(dòng)量流電磁動(dòng)量因?yàn)榈仁阶筮呿?xiàng)表示機(jī)械動(dòng)量，右邊第二項(xiàng)代表了電磁動(dòng)量，因此右邊第一項(xiàng)也必然具有動(dòng)量的意義，而它是面積分，所以把它解釋為穿過區(qū)域V的邊界面S流入體內(nèi)的動(dòng)量流。故稱為電磁場(chǎng)動(dòng)量流密度(electromagneticfieldmomentumflowdensity)。17下面再看動(dòng)量流密度的物理意義：此式左邊第一項(xiàng)代表帶電體與電磁場(chǎng)的作用力，右邊的項(xiàng)代表體積V內(nèi)的電磁場(chǎng)動(dòng)量的時(shí)間變化率。如果把該式看成是場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程，即表示場(chǎng)的動(dòng)量變化率等于外力作用于體積V內(nèi)的場(chǎng)的合力，那么等式左邊第二項(xiàng)就表示作用在V內(nèi)的場(chǎng)的作用力，由于是面積分，所以它只能表示體積V的界面外的場(chǎng)對(duì)體積內(nèi)V的場(chǎng)的作用力.18ByzxCO△S其分量的具體解釋為：設(shè)ABC為一面元，這面元的三個(gè)分量為三角形OBC、OCA和OAB的面積，OABC是一個(gè)體積元△V，通過界面OBC單位面積流入體內(nèi)的動(dòng)量三個(gè)分量為：T11、T12、T13；通過界面OCA單位面積流入體內(nèi)的動(dòng)量三個(gè)分量為：T21、T22、T23；通過界面OAB單位面積流入體內(nèi)的動(dòng)量三個(gè)分量為：T31、T32、T33；19當(dāng)時(shí)，通過這三個(gè)面流入體內(nèi)的動(dòng)量等于從面元ABC流出的動(dòng)量。因此，通過ABC面流出的動(dòng)量各分量為：寫成矢量式：ByzxCO△S這就是通過面元流出的動(dòng)量。因此，通過閉合曲面流出的總動(dòng)量為張量的分量的意義是通過垂直于軸的單位面積流過的動(dòng)量j分量20動(dòng)量密度單位時(shí)間流進(jìn)V的動(dòng)量流電磁場(chǎng)的動(dòng)量流密度張量即單位時(shí)間通過V的界面上單位面積的動(dòng)量。21平面電磁波有

0E2=B2/

0，例１求平面電磁波的動(dòng)量流密度張量。

解：平面電磁波E

、B

、K是三個(gè)互相正交的矢量，我們用這三個(gè)方向來分解的各分量。張量的分量的意義是通過垂直于軸的單位面積流過的動(dòng)量j分量22同理可證則只有沿kk的分量。張量的分量的意義是通過垂直于軸的單位面積流過的動(dòng)量j分量其中ek為波矢k方向的單位矢量，g為動(dòng)量密度。若選k方向?yàn)閦軸，則只有T33分量，T33=cg。23表示式中的第二個(gè)ek表示電磁波動(dòng)量沿波矢方向，第一個(gè)ek表示只有對(duì)垂直于波矢的面才有動(dòng)量通過，在側(cè)面上好是沒有動(dòng)量轉(zhuǎn)移的。電磁波帶動(dòng)量密度g，傳播速度c，因此每秒垂直流過單位截面的動(dòng)量數(shù)值為cg。張量的分量的意義是通過垂直于軸的單位面積流過的動(dòng)量j分量243、輻射壓力(Radiationpressure)由于電磁場(chǎng)具有動(dòng)量，所以它作為物質(zhì)在流動(dòng)（輻射）時(shí)，一旦遇到其他物體，就會(huì)發(fā)生相互作用力，由電磁場(chǎng)引起的對(duì)其他物體的壓力稱為輻射壓力。如果是可見光引起的輻射壓力，通常稱之為光的壓力。由電磁場(chǎng)動(dòng)量密度式和動(dòng)量守恒定律可以算出輻射壓力。假設(shè)有一平面電磁波的以θ角入射于理想導(dǎo)體表面上而被全部反射，試求此導(dǎo)體表面所受到的輻射壓力。θ25θ導(dǎo)體表面對(duì)空間電磁波所施加的作用為，等于單位表面上電磁動(dòng)量在單位時(shí)間內(nèi)所發(fā)生的變化。由于作用力與反作用力大小相等，它的量值就等于電磁波對(duì)物體單位表面所施加的壓力。由于電磁波的傳播速度為c，在單位時(shí)間內(nèi)射到單位橫截面的電磁動(dòng)量為：26設(shè)電磁波的入射角為θ，則單位時(shí)間內(nèi)射到單位表面積上的電磁動(dòng)量為θ同樣，在單位時(shí)間內(nèi)被物體單位表面反射的電磁動(dòng)量為這里的R為反射系數(shù)。27θ因此，單位時(shí)間內(nèi)動(dòng)量在法向的變化為：28即介質(zhì)表面受到電磁波作用產(chǎn)生的壓強(qiáng)，若電磁波在各方向都以同樣強(qiáng)度輻射（例如空腔內(nèi)的黑體輻射），它的總平均輻射能量密度為，那么方向在θ到θ+dθ之間的能量密度為：于是介質(zhì)表面受到各個(gè)方向射來的電磁波作用產(chǎn)生的總壓強(qiáng)為29在理想導(dǎo)體表面，電磁波發(fā)生全反射，這時(shí)反射系數(shù)R=1，此時(shí)即有地球表面由于太陽光輻射而受到的總輻射壓力約為7×108N，而受到太陽的萬有引力為3×1022N，因此一般可以忽略輻射壓力。

但是近年制成的激光器能產(chǎn)生聚焦的強(qiáng)光，可以在小面積上產(chǎn)生巨大的輻射壓力。30在微觀領(lǐng)域，電磁場(chǎng)的動(dòng)量也表現(xiàn)得很明顯。帶有動(dòng)量hk的光子與電子碰撞時(shí)服從能量和動(dòng)量守恒定律，和其他粒子相互碰撞情形一樣。

在天文領(lǐng)域，光壓起著重要作用。光壓在星體內(nèi)部可以和萬有引力相抗衡，