2015年中考數(shù)學壓軸題及答案(三)

2015年中考數(shù)學壓軸題匯編（三）

61.（12分）（2015?德州）已知拋物線y=-mx2+4x+2m與x軸交于點A（a,0）,B（p,0）,

且看+-2，

（1）求拋物線的解析式.

（2）拋物線的對稱軸為I,與y軸的交點為C,頂點為D,點C關于I的對稱點為E,是否

存在x軸上的點M,y軸上的點N,使四邊形DNME的周長最小？若存在，請畫出圖形（保

留作圖痕跡），并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由.

（3）若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析：（1）利用根據(jù)與系數(shù)的關系得出a+p/,a即-2,進而代入求出m的值即可得出答

IT

案；

（2）利用軸對稱求最短路線的方法，作點D關于y軸的對稱點D',點E關于x軸

的對稱點E',得出四邊形DNME的周長最小為：D'E'+DE,進而利用勾股定理求

出即可；

（3）利用平行四邊形的判定與性質(zhì)結(jié)合P點縱坐標為±4,進而分別求出即可.

解答：解：（1）由題意可得：a,B是方程-mx2+4x+2m=0的兩根，由根與系數(shù)的關系可得,

A

a+p—,ap=-2,

IT

*奇-2，

4

解得:m=l,

故拋物線解析式為：y=-X2+4X+2；

（2）存在x軸上的點M,y軸上的點N,使得四邊形DNME的周長最小,

Vy=-X2+4X+2=-（x-2）2+6,

二拋物線的對稱軸I為x=2,頂點D的坐標為：（2,6）,

又：拋物線與y軸交點C的坐標為：（0,2）,點E與點C關于I對稱，

；.E點坐標為：（4,2）,

作點D關于y軸的對稱點D，，點E關于x軸的對稱點1,

則D'的坐標為；（-2,6）,E'坐標為：（4,-2）,

連接D'E',交x軸于M,交y軸于N,

止匕時，四邊形DNME的周長最小為：D'E'+DE,如圖1所示：

延長E'E,'D交于--點F,在RtZ\D'E'F中，D'F=6,E'F=8,

則D'E'F2+EZF2=V62+82=1°'

設對稱軸I與CE交于點G,在RtADGE中，DG=4,EG=2,

DE^/DG2+EG2=V42+22=2^'

四邊形DNME的周長最小值為：10+2收；

（3）如圖2,P為拋物線上的點，過點P作PHJ_x軸，垂足為H,

若以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，則△PHQ絲ADGE,

；.PH=DG=4,

**?lyl-4>

當y=4時，-x?+4x+2=4,

解得：Xi=2+V2,X2=2-a,

當y=-4時，-X2+4X+2=-4,

解得：X3=2+710.X4=2-V10-__

故P點的坐標為；（2-&,4）,（2+V2-4）,（2-收，-4）,（2+V10，-4）.

圖1

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理、利用軸對稱求最短路線等知識，利

用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出P點坐標是解題關鍵.

62.(12分)(2015?包頭)已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0)兩點，與y

軸相交于點C,該拋物線的頂點為點D.

(1)求該拋物線的解析式及點D的坐標；

(2)連接AC,CD,BD,BC,設△AOC,ABOC,ABCD的面積分別為Si，S2和S3,用等式

表示之間的數(shù)量關系，并說明理由；

Si，S2>S3

(3)點M是線段AB上一?動點(不包括點A和點B),過點M作MN〃BC交AC于點N,連

接MC,是否存在點M使NAMN=NACM?若存花求出點M的坐標和此時刻直線MN的解

析式；若不存在，請說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析：(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，用配方法把一般式化為頂點式求出點D

的坐標；

(2)根據(jù)點的坐標求出△AOC,△BOC的面積，利用勾股定理的逆定理判斷4BCD為

直角三角形，求出其面積，計算即可得到答案；

(3)假設存在，設點M的坐標為(m,0),表示出MA的長，根據(jù)MN〃BC,得到

比例式求出AN,根據(jù)△AMNs^ACM,得到比例式求出m,得到點M的坐標，求出

BC的解析式，根據(jù)MN〃BC,設直線MN的解析式，求解即可.

解答：解：(1);拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0)兩點，

Jl-b+c=0

u9+3b+c=0

b=-2

解得4

c=-3

二拋物線的解析式為:y=x2-2x-3,

y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

，點D的坐標為：(1,-4)；

(2)Si+S3=S2,

過點D作DE_Lx軸于點E,DFJ_y軸于F,

由題意得，CD=&,BD=2娓，BC=3&，

CD2+BC2=BD2,

/.△BCD是直角三角形，

SI」XOAXOC=2

22

19

S2=JLXOBXOC=^

22

S3,=—xCDxBC=3,

2

S1+S3二$2；

（3）存在點M使NAMN=NACM,

設點M的坐標為（m,0）,

；-l<m<3,

.*.MA=m+l,AC=A/10>

；MN〃BC,

?AM_AB|ipin+l_4

,頻而'ANVio;

解得，AN=1^（m+1）,

4

VZAMN=ZACM,ZMAN=ZCAM,

/.△AMN^AACM,

.?&=M即（m+1）2=7T0*^S^（m+1）,

ACAM4

解得，mi—,rr）2=-1（舍去），

2

二點M的坐標為(20),

2

設BC的解析式為y=kx+b,把B(3,0),C(0,-3)代入得,

”解得k=l

b=-3'

則BC的解析式為y=x-3,又MN〃BC,

設直線MN的解析式為y=x+b,把點M的坐標為(垓，0)代入得,

b='f

直線MN的解析式為y=x-工

2

點評：本題考查的是二次函數(shù)的解析式的確定和相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用待定系

數(shù)法二次函數(shù)和一次函數(shù)求解析式是解題的關鍵，注意一元二次方程的解法和勾股定

理逆定理的運用.

63.（12分）（2015?恩施州）矩形AOCD繞頂點A（0,5）逆時針方向旋轉(zhuǎn),當旋轉(zhuǎn)到如圖

所示的位置時，邊BE交邊CD于M,且ME=2,CM=4.

（1）求AD的長；

（2）求陰影部分的面積和直線AM的解析式；

（3）求經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的解析式；

（4）在拋物線上是否存在點P,使SAPAM=2^?若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明

2

理由.

考點：幾何變換綜合題.

專題：綜合題.

分析：（1）作BP1AD于P,BQ1MC于Q,如圖1,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=AO=5,BE=OC=AD,

ZABE=90°,利用等角的余角相等得/ABP=NMBQ,可證明Rt/XABPsRgMBQ得到

AP=BPAB,設BQ=PD=X,AP=y,則AD=x+y,所以BM=x+y-2,利用比例性質(zhì)得到

MQBQBM

PB?MQ=xy,而PB-MQ=DQ-MQ=DM=1,利用完全平方公式和勾股定理得到52-y2

-2xy+（x+y-2）2-x2=l,解得x+y=7,貝BM=5,BE=BM+ME=7,所以AD=7；

（2）由AB=BM可判斷RtZ\ABP絲RtZ\MBQ,則BQ=PD=7-AP,MQ=AP,利用勾股定

理得到（7-MQ）2+MQ2=52,解得MQ=4（舍去）或MQ=3,貝ljBQ=4,根據(jù)三角形面

積公式和梯形面積公式，利用S腌部分=S^ABQD-SABQM進行計算即可；然后利用待

定系數(shù)法求直線AM的解析式；

（3）先確定B（3,1）,然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；

（4）當點P在線段AM的下方的拋物線上時，作PK〃y軸交AM于K,如圖2設P（x,

1X2-IX+5）,則K（X,-lx+5）,則KP=-1X2+-^X,根據(jù)三角形面積公式得到工?（-

3373212

12+4）.7=25,解得X1=3,X20,于是得到此時P點坐標為（3,1）、（25,義）；

32127749

再求出過點（3,1）與（至，&）的直線I的解析式為y=-L+口，則可得到直線I

74977

與y軸的交點A'的坐標為（0,兇），所以AA'=至，然后把直線AM向上平移名個

777

單位得到I',直線I'與拋物線的交點即為P點，由于A"（0,空），則直線I,的

7

12_7

-^x+b

解析式為再通過解方程組，

y=-°x+@2,得p點坐標.

77

y="-

7

解答：解：(1)作BP_LAD于P,BQJ.MC于Q,如圖1,

???矩形AOCD繞頂點A(0,5)逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形ABEF,

.?.AB=AO=5,BE=OC=AD,ZABE=90°,

VZPBQ=90°,

/.ZABP=ZMBQ,

RtAABP^RtAMBQ,

.AP_BP_AB

-'MQBQBM'

設BQ=PD=x,AP=y,貝UAD=x+y,BM=x+y-2,

?y_PB_5

MQxx+y-2

PB?MQ=xy,

PB-MQ=DQ-MQ=DM=1,

:.(PB-MQ)2=1,即PB2-2PB*MQ+MQ2=1,

/.52-y2-2xy+(x+y-2)2-x2=l,解得x+y=7,

ABM=5,

.\BE=BM+ME=5+2=7,

AAD=7；

(2)VAB=BM,

:.RtAABP^RtAMBQ,

/.BQ=PD=7-AP,MQ=AP,

?.?BQ2+MQ2=BM2,

???(7-MQ)2+MQ2=52,解得MQ=4(舍去)或MQ=3,

，BQ=7-3=4,

?'?S陰影部分=5梯形ABQD-SABQM

=Ax(4+7)x4--1x4x3

22

=16；

設直線AM的解析式為y=kx+b,

r_1

把A(0,5),M(7,4)代入得[b=5,解得J憶一吊

17k+b=4]b=5

直線AM的解析式為y=-AX+5；

7

(3)設經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

：AP=MQ=3,BP=DQ=4,

AB(3,1),

而A(0,5),D(7,5),

9a+3b+c=l■

c=5，解得，

49a+7b+c=5

經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=1x2-1x+5；

33

（4）存在.

當點P在線段AM的下方的拋物線上時，作PK〃y軸交AM于K,如圖2,

設p（x,—x2-—x+5）,貝ijK（x,-—x+5）,

337

KP=-lx+5-(Ax2-Ix+5)=-

—1X2+?46XY,

733321

,,,SaPAM=25,

2

(-Ax2+.l§x)?7哆

2321

此時點坐標為）、（里）,

整理得7x?-46X+75,解得Xi=3,x2=^,P（3,125,

7749

求出過點（3,1）與(25,里)的直線I的解析式為y=-Ax+lP,則直線|與y軸的

74977

交點A'的坐標為（0,迫），

7

AAA,=5-A23,

77

把直線AM向上平移至個單位得到I',則A"（0,空），則直線I'的解析式為y=

77

,lx+60

77

23+2V38623-27386

12_7ir

y=^x-zx+5x=7一x=7

解方程組《得，一，此時p點坐標

y=~—397-2V386397+2V386

749尸—49—

為（23+2夷就397-25瓦）或（空二包逐，397+2立醞）

749749

綜上所述，點P的坐標為（3,1）、（義，里）、（23+2^386,空二返^）、

749749

(23-27386397+2V386)

749

點評：本題考查了幾何變換綜合題：熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和三角形全等于相似

的判定與性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式：理解坐標與圖形性質(zhì)；會進行代數(shù)

式的變形.

64.(12分)(2015?鄂州)如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線y=2x+2與x軸交于點A,

2

與y軸交于點C.拋物線y=ax?+bx+c的對稱軸是x=-W且經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交

2

點為點B.

(1)①直接寫出點B的坐標；②求拋物線解析式.

(2)若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA,PC.求APAC的面積的最大值，

并求出此時點P的坐標.

(3)拋物線上是否存在點M,過點M作MN垂直X軸于點N,使得以點A、M、N為頂點

的三角形與AABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析：(1)①先求的直線y=Ax+2與x軸交點的坐標，然后利用拋物線的對稱性可求得點B

的坐標；②設拋物線的解析式為y=y=a(x+4)(x-1),然后將點C的坐標代入即可求

得a的值；

(2)設點P、Q的橫坐標為m,分別求得點P、Q的縱坐標,從而可得到線段PQ=-1m2

2

-2m,然后利用三角形的面積公式可求得SaPAc=』xPQx4,然后利用配方法可求得

2

△PAC的面積的最大值以及此時m的值，從而可求得點P的坐標；

(3)首先可證明△ABCSAACOS^CB。，然后分以下幾種情況分類討論即可：①當

M點與C點重合，即M(0,2)時，△MANsaBAC；②根據(jù)拋物線的對稱性，當M

(-3,2)時，AMAN-AABC；④當點M在第四象限時，解題時，需要注意相似

三角形的對應關系.

解口：解：(1)①y=/x+2當x=。時，y=2,當y=0時，x=-4,

AC(0,2),A(-4,0),

由拋物線的對稱性可知：點A與點B關于x=-'對稱，

2

.,.點B的坐標為1,0).

②：拋物線y=ax2+bx+c過A(-4,0),B(1,0),

二可設拋物線解析式為y=a(x+4)(x-1),

又,拋物線過點C(0,2),

(2)設P(m,-Am2-—m+2).

22

過點P作PQlx軸交AC于點Q,

?*.Q(m,—m+2),

2

PQ=-Am2-—m+2-(—m+2)

222

12r

=--m-2m,

2

***SAPAC=—XPQX4,

2

=2PQ=-m2-4m=-(m+2)2+4,

...當m=-2時;APAC的面積有最大值是4,

此時P(-2,3).

(3)在RtZXAOC中，tan/CAO=l在RtZ\BOC中，tan/BCO」,

22

AZCAO=ZBCO,

；/BCO+NOBC=90°,

AZCAO+ZOBC=90°,

AZACB=90°,

△ABCsAACO^ACBO,

如下圖：

③當點M在第四象限時，設M（n,-工？-至n+2）,則N（n,0）

22

MN—n2+—n-2,AN=n+4

22

當期，時、MN=AAN,即XA"-2」（n+4）

AN-22222

整理得:n2+2n-8=0

解得：ni=-4（舍），r）2=2

AM（2,-3）；

當即/時，MN=2AN,QP-ln2+-n-2=2（n+4）,

AN122

整理得:n2-n-20=0

解得：ni=-4（舍）,r>2=5,

AM（5,-18）.

綜上所述：存在Mi（0,2）,M2（-3,2）,M3（2,-3）,M4（5,-18）,使得以

點A、M、N為頂點的三角形與AABC相似.

點評：本題主要考查的是二次函數(shù)與相似三角形的綜合應用，難度較大，解答本題需要同學

們熟練掌握二次函數(shù)和相似三角形的相關性質(zhì).

65.(10分)(2015?婁底)如圖，拋物線y=ax?+bx-至經(jīng)過點A(1,0)和點B(5,0),與

3

y軸交于點C.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)以點A為圓心，作與直線BC相切的OA,求。A的半徑；

(3)在直線BC上方的拋物線上任取一點P,連接PB,PC,請問：APBC的面積是否存在

最大值？若存在，求出這個最大值的此時點P的坐標；若不存在，請說明理山.

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析：(1)把A、B兩點分別代入拋物線解析可求得a和b,可求得拋物線解析式；

(2)過A作AD_LBC于點D,則AD為。A的半徑，由條件可證明△ABDs/\CBO,利

用相似三角形的性質(zhì)可求得AD的長，可求得半徑；

(3)由待定系數(shù)法可求得直線BC解析式，過P作PQ〃y軸，交直線BC于點Q,交

x軸于點E,可設出P、Q的坐標，可表示出△PQC和△PQB的面積，可表示出4PBC

的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，容易求得P點坐標.

解答：解：⑴：拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點A(1,0)和點B(5,0),

a+b--|=0

a=--1

把A、B兩點坐標代入可得《，解得，J,

25a+5b-馬=0

b=2

3

拋物線解析式為y=--ix2+2x-g

33

(2)過A作AD_LBC于點D,如圖1,

?..(DA與BC相切，

AAD為。A的半徑,

由(1)可知C(0,-2),且A(1,0),B(5,0),

3

A0B=5,AB=OB-0A=4,0C=-2,

3

在RtZsOBC中，由勾股定理可得BC={OC2+OB《）2+5點步,

?.?/ADB=NBOC=90。，/ABD=NCB。，

/.△ABD^ACBO,

...包叁，口吧1解得AD上運,

OCBC至W105

5I-

即。A的半徑為名叵：

5

(3)VC(0,

3

；?可設直線BC解析式為y=kx-互

3

把B點坐標代入可求得k」，

3

直線BC的解析式為y=Ax-

過P作PQ〃y軸，交直線BC于點Q,交x軸于點E,如圖2,

3333

/.PQ=（-AX2+2X--）-（―x--）=-Ax2+—x=-A（x--）2+—,

3333333212

?■?SAPBC=SAPCQ+SAPBQ—PQ#OE+APQ.BE=APQ（OE+BE）」PQ?OB0PQ=-王（x-也）

2222262

2f125

■..f

24

...當X苴時，SaPBC有最大值將，此時P點坐標為（93）,

22424

二當P點坐標為（2至）時，Z\PBC的面積有最大值.

24

點評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、切線的性質(zhì)、相似三角形的判

定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識.在（1）中注意待定系數(shù)法的應用步驟，在（2）

中確定出。A的半徑是解題的關鍵，在（3）中用P點坐標表示出APBC的面積是解題

的關鍵.本題考查知識點較多，計算量大，綜合性較強.

66、(10分)(2015?陜西)在平面直角坐標系中，拋物線y=x?+5x+4的頂點為M,與x軸交

于A,B兩點，與y軸交于C點.

(1)求點A,B,C的坐標；

2

(2)求拋物線y=x+5x+4關于坐標原點O對稱的拋物線的函數(shù)表達式；

(3)設(2)中所求拋物線的頂點為W,與x軸交于A',B'兩點，與y軸交于C'點，

在以A,B,C,M,A，,B',U,M'這八個點中的四個點為頂點的平行四邊形中，求

其中一個不是菱形的平行四邊形的面積.

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析：(1)令y=0,求出x的值；令x=0,求出y,即可解答；

(2)先求出A,B,C關于坐標原點0對稱后的點為(4,0),(1,0),(0,-4),

再代入解析式，即可解答；

(3)取四點A,M,A',M',連接AM,MA',A'M',M'A,MM',由中

心對稱性可知，MM'過點0,OA=OA',OM=OM',由此判定四邊形AMA'M'為

平行四邊形，又知AA'與MM'不垂直，從而平行四邊形AMA'M'不是菱形，過

點M作MDJ_x軸于點D,求拋物線的頂點坐標M,根據(jù)

S,、工，，，=2S，，即可解答?

平行四邊形AMAMAAMA

解答：解：(1)令y=0,得X2+5X+4=0,

??Xj_=-4,X2=-1,

令x=0,得y=4,

AA(-4,0),B(-1,0),C(0,4).

(2)VA,B,C關于坐標原點O對稱后的點為(4,0),(1,0),(0,-4),

所求拋物線的函數(shù)表達式為y=ax2+bx-4,

..、八、、,znfl6a+4b-4=0

將(4,0),(1,0)代入上式，得,

a+b-4=0

解得一1，

[b=5

/.y=-X2+5X-4.

(3)如圖，取四點A,M,A',M',連接AM,MA',A'M',M'A,MM',

由中心對稱性可知，MM'過點。，OA=OA',OM=OM',

二四邊形AMA'M'為平行四邊形，

又知AA'與MM'不垂直，

???平行四邊形AMA'M'不是菱形，

過點M作MD±x軸于點D,

八

51

?WX2+5X+4=（x+微）2、,

又：A（-4,0）,A'（4,0）

,q

/.AA,=8,MD*

4

1g

X平行四邊形以M'

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象、中心對稱、平行四邊形的判定、菱形的判定，綜

合性較強，解決本題的關鍵是根據(jù)中心對稱，求出拋物線的解析式，在（3）中注意

菱形的判定與數(shù)形結(jié)合思想的應用.

67.（12分）（2015?西寧）如圖，在平面直角坐標系xOy中，以M為頂點的拋物線與x軸

分別相交于B,C兩點，拋物線上一點A的橫坐標為2,連接AB,AC,正方形DEFG的一邊

GF在線段BC上，點D,E在線段AB,AC上，AK，x軸于點K,交DE于點H,下表給出了

這條拋物線上部分點（x,y）的坐標值：

X...-204810

y...05950

（1）求出這條拋物線的解析式；

（2）求正方形DEFG的邊長；

（3）請問在拋物線的對稱軸上是否存在點P,在x軸上是否存在點Q,使得四邊形ADQP

的周長最小？若存在，請求出P,Q兩點的坐標;若不存在，請說明理由.

y八

JOL

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析：(1)利用已知表格中數(shù)據(jù)結(jié)合頂點式直接求出拋物線解析式即可：

(2)首先得出四邊形HEFK為矩形，再利用△ADEs/^ABC,得出正方形DEFG的邊長;

(3)首先求出AB所在直線解析式，進而得出D點坐標，再求出直線A'＞的解析

式得出Q'的坐標即可.

解答：解：(1)由圖表可得：拋物線的頂點坐標為：(4,9),

設函數(shù)解析式為：y=a(x-4)2+9(axO),

把點(0,5)代入y=a(x-4)2+9,

解得：a=-X

4

.?.函數(shù)解析式為：(x-4)2+9；

4

(2)設正方形DEFG的邊長為m,

：AK_Lx軸，

NAKC=90",

VZDEF=ZEFG=90°,

四邊形HEFK為矩形，

.?.HK=EF=m,

:點A在拋物線丫=-1(x-4)2+9上，橫坐標為2,

4

：.y=-l(x-4)2+9=8,

4

.,.點A的坐標為：(2,8),

；.AK=8,.*.AH=AK-HK=8-m,

由題意可得：B(-2,0),C(10,0),

.?.BC=12,

：DE〃BC,

/.△ADE^AABC,

.AH_DE

''AK^C'

-8-irin

12

5

正方形的邊長為：

5

(3)存在，

理由：過頂點M作拋物線的對稱軸直線I：x=4,

設點A關于直線I：x=4對稱點為A',A'點的坐標為：(6,8),

???設AB所在直線解析式為：y=kx+b,

J8=2k+b

10=-2k+b'

產(chǎn)

解得:

Ib=4

???AB所在直線解析式為：y=2x+4,

：D在直線AB上，DG=^,

5

.?.點D的縱坐標為：21

5

由2X+4*^,

5

解得:x3

5

，點D的坐標為：（2,圓），

55

設點D關于X軸對稱點為D',則D'（2,-24）r

55

連接A，D'交對稱軸于點P,交x軸于點Q,連接AP,DQ,

則四邊形ADQP的周長最小，

設直線A'D'的解析式為：y=k'x+b',

'6k'+b'=8

…芻，+b，二-等

55

???直線A'

當x=4時,

當y=0時，

2

???Q點坐標為：（20）.

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，利用軸對稱

得出四邊形ADQP的周長最小時P的位置是解題關鍵.

68.(12分)(2015?自貢)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(axO)的對稱軸為直線x=-l,且

拋物線經(jīng)過A(1,0),C(0,3)兩點，與x軸交于點B.

(1)若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸x=-1上找點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,

求出點M的坐標；

(3)設點P為拋物線的對稱軸x=-l上的一個動點，求使ABPC為直角三角形的點P的坐

標.

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析：(1)先把點A,C的坐標分別代入拋物線解析式得到a和b,c的關系式，再根據(jù)拋

物線的對稱軸方程可得a和b的關系，再聯(lián)立得到方程組，解方程組，求出a,b,c

的值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點的坐標代入直線y=mx+n,解方程組求出m

和n的值即可得到直線解析式；

(2)設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M,則此時MA+MC的值最小.把x=-1代

入直線y=x+3得y的值，即可求出點M坐標；

(3)設P(-1,t),又因為B(-3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)

2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,再分三種情況分別討論求出符合題意

t值即可求出點P的坐標.

解答：(_b

~2a

解：⑴依題意得：a+b+c=。,

,c=3

a=-1

解之得：，b=-2，

,c=3

拋物線解析式為y=-x2-2x+3

:對稱軸為x=-1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),

.?.把B(-3,0)、C(0,3)分別代入直線y=mx+n,

得[一3"n=°,

[n=3

解之得」而1,

In=3

二直線y=mx+n的解析式為y=x+3；

（2）設直線BC與對稱軸X=-1的交點為M,則此時MA+MC的值最小.

把x=-1代入直線y=x+3得，y=2,

AM（-1,2）,

即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為（-1,2）；

(3)設P(-1,t),

又(-3,0),C(0,3),

/.BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)W-6t+10,

①若點B為直角頂點，則BC?+PB2=PC2即：18+4+t2=t2-6t+10解之得：t=-2；

②若點C為直角頂點，則BC2+PC2=PB2即：18+t2-6t+10=4+t2解之得：t=4,

③若點P為直角頂點，貝I」PB?+PC2=BC2即：4+t?+t2-6t+10=18解之得：於且且Z

2

t2-3一何

2_

綜上所述P的坐標為（-1,-2）或（-1,4）或（-1,紀亞）或（3一舊）.

22

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函數(shù)）

的解析式、利用軸對稱性質(zhì)確定線段的最小長度、難度不是很大，是一道不錯的中考

壓軸題.

69.（12分）（2015?資陽）已知直線y=kx+b（kwO）過點F（0,1）,與拋物線y'x*相交于

（1）如圖1,當點C的橫坐標為1時，求直線BC的解析式;

(2)在(1)的條件下，點M是直線BC上一動點，過點M作y軸的平行線，與拋物線交

于點D,是否存在這樣的點M,使得以M、D、0、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存

在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,設B(m.n)(m<0),過點E(0.-1)的直線l〃x軸，BR_U于R,CS±I

于S,連接FR、FS.試判斷ARFS的形狀，并說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析：(1)首先求出C的坐標，然后由C、F兩點用待定系數(shù)法求解析式即可；

(2)因為DM〃OF,要使以M、D、。、F為頂點的四邊形為平行四邊形，貝ljDM=0F,

設M(x,--5x+l),則D(x,lx2),表示出DM,分類討論列方程求解；

44

(3)根據(jù)勾股定理求出BR=BF,再由BR〃EF得到/RFE=NBFR,同理可得NEFS=/CFS,

所以NRFS=』NBFC=90°,所以aRFS是直角三角形.

2

解答：解：(1)因為點C在拋物線上，所以C(1,工)，

4

又?.?直線BC過C、F兩點，

%=1

故得方程組：1

k+b『

解之，得｛4,

,b=l

所以直線BC的解析式為：y=-衛(wèi)x+1；

4

(2)要使以M、D、0、F為頂點的四邊形為平行四邊形，則MD=0F,如圖1所示,

設M(x,--x+1),則D(x,—X2),

44

；MD〃y軸，

.\MD=--x+1-Ax2,

44

由MD=0F,可得|-國+1-42|=1,

44

①當-衛(wèi)x+1-工2=1時，

44

解得為=0(舍)或Xi=-3,

所以M(-3,小)，

4

②當—-x+1-Ax2,=-1時,

44

解得，x二3士疝,

2

所以ML-風17+3匹或乂（-3+a,--3可,

2828

綜上所述，存在這樣的點M,使以M、D、0、F為頂點的四邊形為平行四邊形，

M點坐標為（-3,我）或（士叵，17+3?或（-3+風1-3問

42828

（3）過點F作FTJ_BR于點T,如圖2所示，

?.?點B（m,n）在拋物線上，

.2.

??m=4n,

在RtZkBTF中,

BF=VBT2+TF2

=7（n-1）2+m2

=7(n+1)2,

Vn>0,

BF=n+l,

又：BR=n+l,

ABF=BR.

.,.ZBRF=ZBFR,

又；BR_U,EF±I,

：.BR〃EF,

/.ZBRF=ZRFE,

/.