橋梁設(shè)計(jì)理論全一冊(cè)(第一-第十講-除第八講)

浙江大學(xué)橋梁與隧道專業(yè)研究生學(xué)位課程《橋梁設(shè)計(jì)理論》蔡金標(biāo)二00二年九月目錄第一講概述………………1第二講薄壁箱形梁的結(jié)構(gòu)與受力特點(diǎn)……………………2第三講薄壁箱形梁的彎曲…………………6第四講薄壁箱梁剪力滯的變分解法………20第五講薄壁箱形梁的自由扭轉(zhuǎn)……………38第六講薄壁箱形梁的約束扭轉(zhuǎn)……………56第七講薄壁箱形梁的組合扭轉(zhuǎn)……………72第八講薄壁箱形梁的畸變…………………87第九講曲線梁橋計(jì)算理論………………105第十講斜橋計(jì)算理論……………………113第一講概述本課程是橋隧專業(yè)碩士研究生的專業(yè)課，它是在本科《橋梁工程》的根底上對(duì)內(nèi)容進(jìn)行深化，著重介紹一些設(shè)計(jì)公式和標(biāo)準(zhǔn)條文的理論依據(jù)。使研究生能從原理上和從問題的本質(zhì)上去認(rèn)識(shí)橋梁結(jié)構(gòu)的受力特性和性能，為今后從事橋梁工程研究工作打下根底，并掌握根本的研究方法。《橋梁工程》的重點(diǎn)是簡(jiǎn)支梁橋，計(jì)算理論是以橫向分布為根底，形式以空心板梁和梁為重點(diǎn)，其中橫向分布概念的引入，將橋梁空間結(jié)構(gòu)問題簡(jiǎn)化為平面問題，極大地簡(jiǎn)化了梁橋的計(jì)算。但是該方法在其他體系的橋梁如連續(xù)梁橋、懸臂梁橋、剛架橋、斜拉橋、懸索橋及拱橋等，應(yīng)用很不成功。其主要原因是這些體系的橋梁的主梁常采用箱形截面。在利用橫向分布技術(shù)處理箱形梁計(jì)算時(shí)，通常將箱梁腹板近似看作等截面的梁肋，按修正偏壓法求出活載作用下邊腹板的荷載分配系數(shù)，再乘以腹板總數(shù)，得到箱梁截面活載內(nèi)力增大系數(shù)，然后求得箱梁內(nèi)力[姚玲森《橋梁工程》P.198]，這種方法有時(shí)會(huì)引起很大的誤差，因?yàn)橄淞菏且环N閉合截面，看作等截面梁肋的做法，是將閉合截面處理成開口截面，與實(shí)際不符。因此，本課程將研究箱梁計(jì)算理論，包括箱梁的彎曲、扭轉(zhuǎn)、畸變等方面設(shè)計(jì)計(jì)算分析方法?！稑蛄汗こ獭分薪榻B了斜橋的受力特點(diǎn)，但并沒有討論其計(jì)算理論，還有隨著城市高速路的開展，立交橋日益增多，為增添城市景觀，使橋梁服從線路的平面布置和提高交通樞紐的使用功能，曲線橋梁應(yīng)運(yùn)而生，因此，本課程將斜、彎橋列入。針對(duì)我校本科教學(xué)的特點(diǎn)，鋼筋混凝土尤其是預(yù)應(yīng)力混凝土橋梁計(jì)算理論是薄弱點(diǎn)，本課程也將這局部?jī)?nèi)容列入。第二講箱形梁的結(jié)構(gòu)與受力特點(diǎn)第一節(jié)箱形梁的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及其應(yīng)用一、箱形結(jié)構(gòu)的廣泛應(yīng)用得益于它的眾多優(yōu)點(diǎn)：〔一〕截面抗扭剛度大，結(jié)構(gòu)在施工與使用過程中都具有良好的穩(wěn)定性；〔二〕頂板和底板都具有較大的混凝土面積，能有效地抵抗正負(fù)彎矩，并滿足配筋的要求。適應(yīng)具有正負(fù)彎矩的結(jié)構(gòu)，如連續(xù)梁、斜拉橋、拱橋的拱肋和懸索橋加勁梁等；〔三〕適應(yīng)現(xiàn)代化施工方法的要求，如懸臂施工法、頂推法等；〔四〕承重結(jié)構(gòu)與傳力結(jié)構(gòu)相結(jié)合，使各部件共同受力，經(jīng)濟(jì)效果良好，同時(shí)截面效率高，適合預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)空間布束，更加收到經(jīng)濟(jì)效果；〔五〕適合于修建曲線橋；顯然，箱形截面也存在一些缺乏之處，需要引起設(shè)計(jì)者的充分重視。如箱形截面屬薄壁結(jié)構(gòu)，除受力鋼筋外，還需配置大量構(gòu)造鋼筋，這對(duì)于中等跨徑的橋梁，有時(shí)會(huì)導(dǎo)致用鋼量比工字形或T形截面增多。而對(duì)于大跨徑橋梁，由于箱形截面乃實(shí)腹式梁，比起空腹式的桁架式結(jié)構(gòu)自重大。而減輕自重是大跨徑橋梁的重要課題，因而在設(shè)計(jì)時(shí)必須采取措施減輕自重，以節(jié)省材料，使造價(jià)經(jīng)濟(jì)。近年來由于三向〔即縱向、橫向、豎向〕預(yù)應(yīng)力的應(yīng)用，可采用薄壁、少肋的所謂寬箱截面，以收到良好的經(jīng)濟(jì)效果。二、箱形截面在各類橋梁上的應(yīng)用箱形截面早期應(yīng)用于普通鋼筋混凝土懸壁梁橋和連續(xù)梁橋，一般采用在支架上現(xiàn)澆施工。近代由于預(yù)應(yīng)力混凝土的開展，同時(shí)由于現(xiàn)代施工技術(shù)的進(jìn)步，箱形截面更加廣泛應(yīng)用于各種現(xiàn)代橋梁，而且一般采用無支架施工。據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)跨徑大于60m后，除極少數(shù)外，其橫截面大多為箱形截面，其結(jié)構(gòu)形式有簡(jiǎn)支、懸臂、T形剛構(gòu)、連續(xù)梁等。截面形式如圖2-1。1、簡(jiǎn)支梁一般采用預(yù)制安裝，單箱或多箱截面形式，公路橋梁最大跨徑達(dá)76m；鐵路橋梁那么采用單箱單室等高梁，跨徑在40m以內(nèi)。2、懸臂梁橋、T形剛構(gòu)橋以及連續(xù)梁橋一般采用懸臂施工法。連續(xù)梁橋還可采用項(xiàng)推法施工。這些施工方法都充分發(fā)揮箱形截面的優(yōu)越性。大跨徑梁式橋多采用變高度梁，其最大跨徑已達(dá)270m。3、在城市高架橋中，采用梯形單箱單室截面與單柱墩配合，具有外形簡(jiǎn)潔、美觀，橋下通視良好的優(yōu)點(diǎn)，得到廣泛應(yīng)用。圖圖2-2城市高架橋箱形截面形式4、在現(xiàn)代斜拉橋中，也廣泛應(yīng)用箱形截面，特別是采用單索面時(shí)，由于箱形截面的主梁抗扭剛度大，有利于承受偏心荷載，而且也便于拉索與主梁的連接。采用三角箱的斜拉橋具有風(fēng)動(dòng)力性能良好的優(yōu)點(diǎn)。5、在拱式橋梁中，大跨徑的鋼筋混凝土拱橋大都采用箱形截面。由于箱形截面中和軸居中，能抵抗相等的正負(fù)彎知，適應(yīng)拱中各截面正負(fù)彎短的變化；抗扭剛度大，拱中應(yīng)力分布較均勻；施工中穩(wěn)定性好，有利于單片成拱，便于無支架施工。拱圈截面形式可以是多箱組合，也可以用單箱式。三、箱形截面的構(gòu)造要點(diǎn)〔一〕外形：由頂板、底板、肋板及梗腋組成1、頂板：除承受結(jié)構(gòu)正負(fù)彎矩外，還承受車輛荷載的直接作用。在以負(fù)彎矩為主的懸壁梁及T形剛構(gòu)橋中，頂板中布置了數(shù)量眾多的預(yù)應(yīng)力鋼束，要求頂板面積心須滿足布置鋼束的需要，厚度一般取18—25cm。2、底板主要承受正負(fù)彎矩。當(dāng)采用懸臂施工法時(shí)，梁下緣承受很大的壓應(yīng)力，特別是靠近橋墩的截面，要求提供的承壓面積更大；同時(shí)在施工時(shí)還承受掛籃底模板的吊點(diǎn)反力。在T形剛構(gòu)橋和連續(xù)梁橋中，底板厚度隨梁的負(fù)彎矩塔大而逐漸加厚。底板最小厚度15cm。3、肋板承受截面剪應(yīng)力及主位應(yīng)力，并承受局部荷載產(chǎn)生的橫向彎矩，其厚度還須滿足布置預(yù)應(yīng)力筋及澆筑混凝土的要求，以及錨固錨頭的需要，一般厚度為20-35cm，大跨徑橋梁可采用變厚度。4、梗腋頂板與肋板交接處設(shè)使梗液，其作用是；〔1〕提高截面抗扭剛度，減少畸變應(yīng)力；〔2〕使橋面板支點(diǎn)加厚，減少橋面板跨中彎矩；〔3〕使力線過渡平緩，防止應(yīng)力集中；〔4〕提供布置縱向預(yù)應(yīng)力鋼束的面積。底板與助板交接處的梗腋，其作用不如上梗腋顯著，尺寸可較小，有的國(guó)外橋梁甚至不設(shè)。尺寸：以提高截面的抗扭剛度為目的設(shè)置，其斜度可按1:1，也可1:2或2:1設(shè)計(jì)。注意：在大跨徑箱形梁橋中，結(jié)構(gòu)自重占總荷載的比例較大〔可達(dá)80％以上〕，為減輕自重，宜采用寬箱薄壁截面。圖2-3箱形截面配筋示意圖兩層鋼筋網(wǎng)橫向預(yù)應(yīng)力筋圖2-3箱形截面配筋示意圖兩層鋼筋網(wǎng)橫向預(yù)應(yīng)力筋縱向預(yù)應(yīng)力筋豎向預(yù)應(yīng)力筋兩層鋼筋網(wǎng)箱形截面的預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)一般配有預(yù)應(yīng)力鋼筋和非預(yù)應(yīng)力向普通鋼筋。1、縱向預(yù)應(yīng)力鋼筋：結(jié)構(gòu)的主要受力鋼筋，根據(jù)正負(fù)彎矩的需要一般布置在頂板和底板內(nèi)。這些預(yù)應(yīng)力鋼束局部上彎或下彎而錨于助板，以產(chǎn)生預(yù)剪力。近年來，由于大噸位預(yù)應(yīng)力束的采用，使在大跨徑橋梁設(shè)計(jì)中，無需單純?yōu)榱瞬贾帽姸嗟念A(yù)應(yīng)力束而增大頂板或底板面積，使結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔，而又便于施工。2、橫向預(yù)應(yīng)力鋼筋：當(dāng)箱梁肋板間距較大，或箱的懸臂板長(zhǎng)度較長(zhǎng)時(shí)，采用普通鋼筋混凝土的板面板，鋼筋用量過多，或需要較厚的橋面板。這時(shí)可考慮設(shè)置橫向預(yù)應(yīng)力鋼筋，橫向預(yù)應(yīng)力鋼筋一般為直線形，布置在頂板的上、下兩層鋼筋網(wǎng)間，錨固于懸臂板端。3、豎向預(yù)應(yīng)力鋼筋：當(dāng)肋板中的剪應(yīng)力或主位應(yīng)力較大，配置普通鋼筋不能滿足要求時(shí)，可布置豎向預(yù)應(yīng)力鋼筋，防止采取加厚肋板增大自重帶來的不利影響。豎向預(yù)應(yīng)力筋一般下端埋入脅板混凝土，上端錨于頂板項(xiàng)面。配有縱向、橫向、豎向預(yù)應(yīng)力鋼筋的結(jié)構(gòu)稱為三向預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)。近年來，大跨徑箱形截面橋梁都采用三向預(yù)應(yīng)力?？v向彎曲剛性扭轉(zhuǎn)畸變橫向撓曲圖2-4箱形梁在偏心荷載作用下的變形狀態(tài)4、普通鋼筋：箱形截面屬薄壁結(jié)構(gòu)，因而在頂板、肋板和底板中，根據(jù)受力需要，或?yàn)榉乐购拖拗朴捎跍囟茸兓盎炷潦湛s而引起的混凝土裂縫等構(gòu)造要求，一般都配置兩層鋼筋網(wǎng)。必須指出，這些普通鋼筋的用量占全橋鋼筋用量相當(dāng)大的比例。根據(jù)已建成的縱向彎曲剛性扭轉(zhuǎn)畸變橫向撓曲圖2-4箱形梁在偏心荷載作用下的變形狀態(tài)第二節(jié)箱形梁的受力特點(diǎn)作用在箱形梁上的主要荷載是恒載與活載。恒載一般是對(duì)稱作用的，活載可以是對(duì)稱作用，但更多的情況是偏心作用的，因此，作用于箱形梁的外力可綜合表達(dá)為偏心荷載來進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析；在偏心荷載作用下，箱形梁將產(chǎn)生縱向彎曲、扭轉(zhuǎn)、畸變及橫向撓曲四種根本變形狀態(tài)。詳見圖2-4。1、縱向彎曲產(chǎn)生豎向變位，在橫截面上起縱向正應(yīng)力及剪應(yīng)力。對(duì)于肋距不大的箱形梁，按初等梁理論計(jì)算，當(dāng)肋距較大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)所謂“剪力滯效應(yīng)”。即翼板中的分布不均勻，近肋翼板處產(chǎn)生應(yīng)力頂峰，而遠(yuǎn)肋翼板處那么產(chǎn)生應(yīng)力低谷，這稱為“正剪力滯”；反之，如果近肋翼板處產(chǎn)生應(yīng)力低谷，而遠(yuǎn)肋翼板處那么產(chǎn)生應(yīng)力頂峰，那么為“負(fù)剪力滯”。對(duì)于肋距較大的寬箱梁，這種應(yīng)力頂峰可達(dá)相當(dāng)大比例，必須引起重視。2、剛性扭轉(zhuǎn)剛性扭轉(zhuǎn)即受扭時(shí)箱形的周邊不變形。扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角。分自由扭轉(zhuǎn)與約束扭轉(zhuǎn)?！?〕自由扭轉(zhuǎn)：箱形梁受扭時(shí)，截面各纖維的縱向變形是自由的，桿件端面雖出現(xiàn)凹凸，但縱向縱維無伸長(zhǎng)縮短，能自由翹曲，因而不產(chǎn)生縱向正應(yīng)力，只產(chǎn)生自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力?！?〕約束扭轉(zhuǎn)：受扭時(shí)縱向纖維變形不自由，受到拉伸或壓縮，截面不能自由翹曲。約束扭轉(zhuǎn)在截面上產(chǎn)生翹曲正應(yīng)力和約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力。產(chǎn)生約束扭轉(zhuǎn)的原因：支承條件的約束，如固端支承約束縱向纖維變形；受扭時(shí)截面形狀及其沿梁縱向的變化，使截面各點(diǎn)纖維變形不協(xié)調(diào)也將產(chǎn)生約束扭轉(zhuǎn)。如等厚壁的矩形箱梁、變截面梁、設(shè)橫隔板的箱梁等，即使不受支承約束，也將產(chǎn)生約束扭轉(zhuǎn)。3、畸變〔即受扭時(shí)截面周邊變形〕畸變的主要變形特征是畸變角。薄壁寬箱的矩形截面受扭變形后，無法保持截面的投影仍為矩形?；儺a(chǎn)生翹曲正應(yīng)力和畸變剪應(yīng)力。4、橫向彎曲：畸變還會(huì)引起箱形截面各板的橫向彎曲，在板內(nèi)產(chǎn)生橫向彎曲應(yīng)力〔縱截面上〕。圖2-5局部荷載作用下橫向彎矩圖5、局部荷載的影響：箱形梁承受偏心荷載作用，除了按彎扭桿件進(jìn)行整體分析外，還應(yīng)考慮局部荷載的影響。車輛荷載作用于頂板，除直接受荷載局部產(chǎn)生橫向彎曲外，由于整個(gè)截面形成超靜定結(jié)構(gòu)，因而引起其它各局部也產(chǎn)生橫向彎曲。圖2-5表示箱形截面在頂板上作用車輛荷載，在各板中產(chǎn)生橫向彎矩圖。這些彎矩圖2-5局部荷載作用下橫向彎矩圖綜合箱形梁在偏心荷載作用下產(chǎn)生的應(yīng)力有：在橫截面上：縱向正應(yīng)力：剪應(yīng)力：在縱截面上；橫向彎曲正應(yīng)力：在預(yù)應(yīng)力混凝土梁中，跨徑越大，恒載占總荷載比例就越大。一般地，由于恒載產(chǎn)生的對(duì)稱彎曲應(yīng)力是主要的，而由于活載偏心所產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力是次要的。如果箱壁較厚，或沿梁的縱向布置一定數(shù)量的橫隔板，限制箱形梁的畸變，那么畸變應(yīng)力也是不大的。但對(duì)于少設(shè)或不設(shè)橫隔板的寬箱薄壁梁，畸變應(yīng)力不可無視。板的橫向應(yīng)力對(duì)于頂板、肋板及底板的配筋具有重要意義，必須引起重視。第三講薄壁箱梁的彎曲剪應(yīng)力現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)廣泛使用薄壁結(jié)構(gòu)，特別是橋梁工程，從特大跨徑的懸索橋、大跨徑斜拉橋，到中小跨徑的連續(xù)梁橋，甚至簡(jiǎn)支梁橋等，多采用箱形截面的薄壁結(jié)構(gòu)或桁架形式的薄壁桿件。如杭州灣跨海大橋，建設(shè)方采用設(shè)計(jì)施工總承包的招標(biāo)方式，各投標(biāo)單位均采用了鋼箱梁斜拉橋和箱形截面混凝土連續(xù)梁橋形式。1、懸索橋：主要有美國(guó)式和英國(guó)式兩種形式懸索橋。美國(guó)式懸索橋采用鋼桁架加勁梁〔如GoldenGatebridge，Verrazanobridge，日本的明石海峽大橋等〕；英國(guó)式懸索橋采用鋼箱梁〔如Severnbridge，Humberbridge，我國(guó)的江陰長(zhǎng)江大橋，在建的潤(rùn)揚(yáng)長(zhǎng)江大橋南汊橋等〕。2、斜拉橋：主梁多采用預(yù)應(yīng)力混凝土或鋼結(jié)構(gòu)箱形截面。如日本多多羅大橋、南京長(zhǎng)江二橋、等采用鋼箱梁；而錢江三橋、招寶山大橋等采用預(yù)應(yīng)力混凝土箱形梁。3、懸壁梁橋、T型剛構(gòu)橋、連續(xù)梁橋：多采用預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁作主梁。如虎門大橋輔航道橋、南京長(zhǎng)江二橋北汊橋、錢江二橋、錢江五橋、錢江六橋等。薄壁桿件在彎扭變形時(shí)，其正應(yīng)力和剪應(yīng)力分布及大小與通常的實(shí)體截面桿件差異很大，且開口截面與閉合截面桿件在相同受力情況下其正應(yīng)力和剪應(yīng)力也大不相同。因此，有必要對(duì)開口截面和閉合截面桿件分別加以討論。第一節(jié)坐標(biāo)系的建立薄壁桿件分析中，常取桿件的中面〔到兩縱向外表距離相等的面〕來表示桿件，取橫截面的中線表示橫截面。應(yīng)用的坐標(biāo)系有兩種，如圖3-1所示。其一是以截面某一特定點(diǎn)為原點(diǎn)〔如形心〕的固定坐標(biāo)系，取桿件軸線為軸，坐標(biāo)軸正向符合右手法那么；或者為了運(yùn)算方便，采用曲線坐標(biāo)，即在截面上選定一原點(diǎn)，以自原點(diǎn)量取的截面中線〔曲線〕長(zhǎng)為坐標(biāo)量值，取逆時(shí)針方向?yàn)檎?，于是截面上任意點(diǎn)的位置可表示為或。其二是以截面上任意點(diǎn)為原點(diǎn)的動(dòng)坐標(biāo)系，軸平行于桿件軸線，為點(diǎn)處截面中線的切線，為相應(yīng)的外法線，三者之間也符合右手法那么。圖圖3-1二種形式坐標(biāo)系在第二節(jié)薄壁桿件彎曲根本假定薄壁桿件尺寸限制：桿件的寬度與長(zhǎng)度之比〔〕和壁厚與寬度之比〔〕均小于〔或等于〕0.1。薄壁桿件彎曲分析中采用以下根本假定：1、平面假定。即假定桿件變形后橫截面仍保持為平面，據(jù)此，截面上任一點(diǎn)的縱向應(yīng)變?yōu)椋骸?-1〕式中。、、為待定常數(shù)。2、線性假定。即應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，滿足虎克定律?！?-2〕其中、為彈性常數(shù)。將式〔3-1〕代入上式便有：〔3-3〕說明桿件橫截面上的正應(yīng)力也呈線性分布。3、小變形假定。即忽略桿件變形引起的二次力的影響，與假定“2”相聯(lián)系，說明本書的討論限干線彈性分析，因此適用疊加原理。4、假定彎曲剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布。據(jù)此，單位周邊中線長(zhǎng)度上的剪力流可用剪應(yīng)力與壁厚的乘積來表示。即=或：〔3-4〕在研究彎曲變形時(shí)，假定無扭矩作用，且軸向力沿桿軸無變化〔=常數(shù)〕或等于零。第三節(jié)不考慮剪力滯彎曲正應(yīng)力及慣性主軸一、彎曲正應(yīng)力取截面形心為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系如圖3-2所示，現(xiàn)以靜力學(xué)條件確定式〔3-1〕中的待定常數(shù)、、。圖圖3-2〔3-5〕上述各式中的積分僅與截面形狀和尺寸有關(guān)，分別表示截面的幾何特性。其中：截面積截面對(duì)軸的靜矩截面對(duì)軸的靜矩截面對(duì)軸的慣性矩〔3-6〕截面對(duì)軸的慣性矩截面對(duì)軸的慣性矩注意到坐標(biāo)系以截面形心為原點(diǎn)，因此有，。將以上各式代入式〔3-5〕，解方程組得：〔3-7〕式〔3-7〕代入式〔3-3〕，有：〔3-8〕為分別表達(dá)、的作用，上式可改寫為：〔3-9〕二、幾種特例1、=0〔3-10〕或〔3-11〕令式〔3-10〕中=0，那么得到、的作用下的中性軸方程：〔3-12〕2、僅有豎向彎矩作用時(shí)，、=0，〔3-13〕3、同理當(dāng)、=0時(shí)〔3-14〕可見，一般情況下，作用在平面的彎矩產(chǎn)生的彎曲正應(yīng)力不僅與有關(guān)，同時(shí)也與有關(guān)。即正應(yīng)力不對(duì)稱于軸。可以證明其撓曲線為一空間曲線，不僅有平面的彎曲變形，而且也有平面的彎曲變形。因此稱為非對(duì)稱彎曲或廣義彎曲?！踩硲T性主軸如果、軸的選擇使得截面對(duì)其慣性積為零時(shí)，那么正應(yīng)力公式〔3-9〕簡(jiǎn)化為人們熟知的偏心受壓〔受拉〕公式。即〔3-15〕此時(shí)，坐標(biāo)軸、稱為慣性主軸，簡(jiǎn)稱主軸。通過截面形心的主軸，稱為形心主軸。圖3-3顯然，形心主軸可根據(jù)=0確定。對(duì)于任一截面，經(jīng)過截面形心任選一參考坐標(biāo)系，設(shè)形心主軸與該參考坐標(biāo)系間的夾角為〔逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正〕，根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系有：圖3-3〔3-16〕代入=0，化簡(jiǎn)后得到：〔3-17〕這樣就求得了形心主軸相對(duì)于參考坐標(biāo)系的夾角，即確定了形心主軸，此后的計(jì)算，便可基于形心主軸，按簡(jiǎn)化公式〔3-15〕進(jìn)行計(jì)算。工程實(shí)際中常采用對(duì)稱截面，假設(shè)以對(duì)稱軸為軸，那么截面的對(duì)稱軸就是形心主軸。注意：只有當(dāng)、軸為形心主軸〔對(duì)稱軸為特例〕時(shí)，平面彎曲公式〔3-15〕才適用，否那么應(yīng)采用廣義彎曲公式〔3-9〕計(jì)算，平面彎曲與廣義彎曲二者不可混淆。第四節(jié)開口薄壁桿件的彎曲剪應(yīng)力及剪力中心一、彎曲剪應(yīng)力觀察圖3-2薄壁單元的平衡，根據(jù)本章假定“4”，引入剪力流表達(dá)式〔3-4〕后，由，可得〔3-18〕即：，那么得到正應(yīng)力與剪力流間的關(guān)系方程：〔3-19〕將其移項(xiàng)后積分得：〔3-20〕式中為積分常數(shù)，其物理含義為曲線坐標(biāo)=0點(diǎn)處的初始剪力流〔見圖3-2〕。對(duì)于開口薄壁截面，當(dāng)取自由邊緣作為=0點(diǎn)時(shí)，便有=0，這時(shí)開口截面彎曲剪力流公式可簡(jiǎn)化為：〔3-21〕將正應(yīng)力一般表達(dá)式〔3-8〕代入式〔3-20〕，注意到截面幾何特性的定義并引用彎短、剪力間的微分關(guān)系便有：〔假定=常數(shù)〕〔3-22〕那么開口薄壁截面的彎曲剪力流表達(dá)式為：〔3-23〕注：式〔3-23〕推導(dǎo)如下：由式〔3-9〕得：〔A〕注意到式〔3-22〕，〔A〕式成為〔B〕將式〔B〕代入式〔3-21〕得：〔C〕由定義：，代入式〔C〕即得到式〔23〕。討論：〔1〕當(dāng)、軸為截面主軸時(shí)，，那么式〔3-23〕可簡(jiǎn)化為〔3-24〕〔2〕式〔3-23〕中先后令及，那么得到由、方向剪力及引起的剪力流。,〔3-25〕〔3〕假設(shè)以和表示=1及=1單獨(dú)作用時(shí)的剪力流，那么：〔3-26〕顯然〔3-27〕二、剪力中心薄壁〔桿件〕截面剪力流的合力〔，〕作用點(diǎn)稱為剪力中心。各截面剪力中心的連線稱為剪力中心線。對(duì)于等截面直桿，它為與桿軸線平行的直線。當(dāng)橫向力作用于剪力中心線上時(shí)，由剪力中心的定義可知，該橫向力產(chǎn)生的彎曲剪應(yīng)力的合力將與此橫向力相應(yīng)的截面剪力平衡，桿件僅發(fā)生彎曲而無扭轉(zhuǎn)〔和方向的位移、不等于零，扭轉(zhuǎn)角=0〕，因此剪力中心又稱為彎曲中心。本章研究的薄壁桿件彎曲問題，就是指在通過剪力中心線的橫向荷載作用下的“只彎不扭”問題。根據(jù)位移互等定理〔見圖3-4a〕，當(dāng)桿件僅承受扭矩作用時(shí)，其橫截面只產(chǎn)生繞剪力中心的轉(zhuǎn)動(dòng)〔0〕，而剪力中心處無橫向位移〔==0〕，即“只扭不彎”，此時(shí)剪力中心線為桿件扭轉(zhuǎn)變形的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線，故截面的剪力中心也稱扭轉(zhuǎn)中心。(a)(a)(b)圖3-4在薄壁桿件分析中，常取剪力中心線為坐標(biāo)系的縱向坐標(biāo)軸，其后將截面內(nèi)力分解到坐標(biāo)軸上，即以、、以及、、來表示，這樣就將問題分解為平面彎曲與純扭轉(zhuǎn)的組合，分別按“只彎不扭”和“只扭不彎”計(jì)算，而后疊加?，F(xiàn)討論剪力中心的計(jì)算。如圖3-4b所示開口薄壁截面，先取以形心為原點(diǎn)的參考坐標(biāo)系，設(shè)截面的剪力中心為，以和分別表示和單獨(dú)作用引起的剪力流，根據(jù)剪力中心的定義知，、作用點(diǎn)應(yīng)滿足〔合力矩定理〕條件式中為截面中線全長(zhǎng)，為截面形心至截面上任一點(diǎn)的切線的距離，將剪力流表達(dá)式〔3-26〕引入便有：〔3-28〕再將式〔3-26〕代入得：〔3-29〕現(xiàn)定義：，那么：〔3-30-1〕并定義：〔3-30-2〕表示截面上任一點(diǎn)的曲線坐標(biāo)與點(diǎn)〔稱極點(diǎn)〕組成的扇性面積〔〕的二倍。當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)一定時(shí)，點(diǎn)的位置由唯一確定，故稱為點(diǎn)的扇性坐標(biāo)，而及那么稱為截面的扇性慣積。將式〔3-30〕代入式〔3-29〕，并進(jìn)行分部積分，即得到剪力中心的坐標(biāo)為：〔3-31〕式〔3-31〕推導(dǎo)如下：式〔3-29〕中的積分：〔A〕應(yīng)用分部積分公式，那么式〔A〕變?yōu)椤睟〕由于軸以形心為原點(diǎn)，故無論曲線在坐標(biāo)=0或=，對(duì)于開口截面均有，而為有限值，故式〔B〕中，根據(jù)定義，有〔C〕因此，式〔B〕可改寫為：〔D〕再將式〔D〕代入〔A〕及式〔3-29〕即可得到剪力中心坐標(biāo)式〔3-31〕。當(dāng)軸為形心主軸時(shí)，有，式〔3-31〕便簡(jiǎn)化為：〔3-32〕式〔3-31〕說明，剪力中心只與截面有關(guān)，與荷載無關(guān)，故屬于截面固有的幾何特性。根據(jù)剪力中心的定義及其計(jì)算公式〔3-31〕，不難得出確定剪力中心的以下規(guī)律〔圖3-5〕：1、對(duì)于雙軸對(duì)稱截面，對(duì)稱中心即為剪力中心〔圖3-5d〕；2、對(duì)于僅有一個(gè)對(duì)稱軸的截面，剪力中心必位于該對(duì)稱軸上〔圖3-5C〕；3、對(duì)于由兩個(gè)矩形狹條組成的截面，剪力中心位于此二矩形狹條中線的交點(diǎn)上〔圖3-5a、b〕。(a)(a)(b)(c)(d)圖3-5第五節(jié)閉口薄壁桿件的彎曲剪應(yīng)力及剪力中心一、閉口薄壁截面的彎曲剪應(yīng)力1、單室閉口截面的彎曲應(yīng)力回憶式〔3-20〕可以發(fā)現(xiàn)，它也適用于閉口薄壁截面的計(jì)算。對(duì)于開口截面，由于取在截面的自由邊緣，故，對(duì)于閉口截面〔圖2-5〕，當(dāng)曲線坐標(biāo)原點(diǎn)〔〕任意取定時(shí)，在一般情況下，因此閉口截面剪力流〔以表示〕應(yīng)為：〔3-33〕將式〔3-20〕代人便有：〔3-34〕可見，閉口截面的剪力流歸結(jié)為相應(yīng)開口截面剪力流加上坐標(biāo)原點(diǎn)處的初始剪力流。以下討論的計(jì)算：(a)(a)(b)圖3-6設(shè)想在閉口截面的周邊上任選=0的點(diǎn)處將截面“切開”，使其成為開口截面，按力法原理，在切口處去掉約束后應(yīng)代之以贅余力〔設(shè)為〕的作用。首先按式〔3-20〕求得此開口截面的剪力流，然后利用相應(yīng)的閉口截面在及作用下切口處的變形連續(xù)條件建立方程，求解。切口處變形連續(xù)條件為、間相對(duì)縱向位移為零〔圖2-5〕。根據(jù)圖2-5b所示微元的剪切變形為：那么〔3-35〕于是，、間相對(duì)縱向位移為零的條件可表達(dá)為：將虎克定律及剪力流的定義式〔3-4〕引入，那么上式變?yōu)椋骸?-36〕再將式〔3-34〕代入便有：注意到與無關(guān)，于是上式移項(xiàng)后得到：〔3-37〕再將和相應(yīng)的〔由式〔3-21〕求得〕代入式〔3-34〕，即得閉口截面的彎曲剪力流。假設(shè)以和分別表示單獨(dú)作用引起的剪力流，以和分別表示單獨(dú)作用引起的剪力流，那么由式〔3-37〕可得：〔3-38〕同理仿照式〔3-27〕，令或〔3-39〕將此式及式〔3-27〕代入式〔3-38〕得到〔3-40〕2、多室閉口截面的彎曲剪應(yīng)力對(duì)于多室截面，仍采用力法原理，先將各室切開〔如圖3-7〕，在切口處作用以相應(yīng)的贅余剪力流〔〕，它們由各切口處的變形連續(xù)條件所給出的準(zhǔn)那么方程式求解。由于在各室交界〔腹壁〕板上，存在著相鄰箱室贅余剪力流的共同作用，因此，對(duì)于第室切口處的變形連續(xù)條件仿照式〔3-36〕有：圖3-7圖3-7式中表示沿室和室交界板壁的積分。由于及均與曲線坐標(biāo)無關(guān)，故上式可進(jìn)一步簡(jiǎn)寫成：〔〕〔3-41〕對(duì)于室截面，上式為一階線性方程組，解此方程組，即可求得〔〕，于是根據(jù)式〔3-34〕，多室閉口截面的總剪力流為：必須注意，對(duì)于交界腹板上的剪力流，應(yīng)計(jì)及鄰室的共同作用。即〔3-42〕顯然，一個(gè)腹壁往往只是二室的交界，那么以上公式中的不復(fù)存在，而對(duì)于非交界壁，式中最后一項(xiàng)應(yīng)為零。二、閉口薄壁截面的剪力中心1、單室閉口截面根據(jù)剪力中心的定義，閉口截面的剪力中心坐標(biāo)不難仿照式〔3-28〕寫出，即式中和為閉口截面的單位剪力流，對(duì)于單室截面，根據(jù)式〔3-34〕、式〔3-39〕及式〔3-37〕可以得到。即〔3-43〕將其代入、的表達(dá)式有〔3-44〕將式中右邊第一項(xiàng)與式〔3-28〕比較可知，它就是開口截面〔計(jì)算根本體系〕的剪力中心坐標(biāo)。注意到于是，式〔3-44〕簡(jiǎn)化為〔3-45〕在求得、及后，便可按式〔3-45〕計(jì)算單室閉口截面的剪力中心。顯然，上式未能給出剪力中心坐標(biāo)的顯式表達(dá)，只是作為多室截面剪力中心的根底。為了實(shí)際應(yīng)用的方便，對(duì)于單室截面可進(jìn)一步導(dǎo)出剪力中心的直接計(jì)算公式。將式〔3-26〕及式〔3-40〕中的及表達(dá)式代入式〔3-44〕進(jìn)行分部積分并定義：〔3-46〕便可得到單室截面剪力中心的計(jì)算公式為〔3-47〕它與開口截面剪力中心計(jì)算公式〔3-31〕具有相同的表達(dá)式，僅其中的扇性坐標(biāo)及其相應(yīng)的扇性幾何特性〔、、、〕定義不同，如式〔3-30〕及式〔3-46〕所示。式〔3-47〕推導(dǎo)如下：在式〔3-44〕中引入后，有〔A〕將式〔3-26〕及式〔3-39〕中的及代入，那么可得到如下的表達(dá)式：〔B〕對(duì)式中各積分項(xiàng)應(yīng)用分部積分便有：〔C〕式中項(xiàng)，在圖3-6中，無論取點(diǎn)〔〕或點(diǎn)〔〕，，因坐標(biāo)系以形心為原點(diǎn)，且其乘數(shù)又為有限值，故=0。將式〔C〕代入式〔B〕得到：上式合并后得到：引用定義式〔3-46〕，上式中項(xiàng)分別為和，于是，便得到剪力中心的計(jì)算公式〔3-47〕。2、多室閉口截面多室閉口截面剪力中心的計(jì)算，從剪力中心的定義出發(fā)，即以式〔3-42〕為根底，其中應(yīng)為各箱室的剪力流值，根據(jù)式〔3-39〕、〔3-40〕及式〔3-34〕改寫得到：〔3-48〕將其代入式〔3-28〕，注意到這時(shí)系沿各閉室求后再求和，交界壁的影響已包含在中，故式中項(xiàng)不復(fù)出現(xiàn)，于是有〔3-49〕將上式右邊第一項(xiàng)與式〔3-28〕比較可知，它表示多室箱切口為開口截面后的中心坐標(biāo)。即〔3-50〕又，將此式及式〔3-50〕代入式〔3-49〕，得到多室閉口截面剪力中心坐標(biāo)的最后表達(dá)式為：〔3-51〕于是，多室截面剪力中心的計(jì)算步驟是：〔1〕將各室切開成為開口截面，分別計(jì)算和作用下的剪力流、以及；〔2〕按式〔3-50〕計(jì)算相應(yīng)開口截面的、；〔3〕最后由式〔3-51〕求多室閉口截面的剪力中心坐標(biāo)和。圖3-81010圖3-8101010909010290309090工字型截面和單箱雙室截面薄壁桿件〔如圖3-8〕在彎矩=-1000kNm及豎向剪力=-1000kN作用下，截面內(nèi)剪應(yīng)力分布情況如何？解：由于截面對(duì)稱，截面形心即為剪力中心。且兩種截面的截面積和豎向慣矩相等。即：〔1〕工字型截面為開口截面，由式〔24〕知：〔A〕注意到截面內(nèi)=常數(shù)，故剪應(yīng)力按的規(guī)律分布。點(diǎn)、的靜矩分別為〔B〕=10=10=301.3851.011.010.662圖3-9將各數(shù)值代入，即得到剪應(yīng)力分布圖。由圖3-9可見，在與剪力正交的板條上，及呈線性分布，而在與平行的板條上，=10=10=301.3851.011.010.662圖3-9〔2〕單箱雙室截面為閉合截面設(shè)想將截面沿各室頂板的中點(diǎn)及切開，使其成為開口截面，切口處作用以及，根據(jù)式〔41〕并注意到題中常數(shù)，故有〔C〕式中及為未知數(shù)，及為相應(yīng)開口截面的剪力流。坐標(biāo)系建立在形心位置，由式〔24〕，當(dāng)=0，時(shí)〔N/m〕〔D〕或〔MPa〕〔E〕為了計(jì)算各特征點(diǎn)的剪力流，需要先計(jì)算各點(diǎn)的。見下表點(diǎn)區(qū)段()()()()()()()0.50.11.50.075=[1][1]=0.0750.04820.06310.6131.50.10.750.1125=[2][1]+[2]=0.1875=[8]0.12060.13371.3371.50.1-0.75-0.1125=[3][8]+[3]=0.075=[9]0.04820.06130.6131.00.1-1.5-0.15=[4][9]+[4]=-0.075=[10]-0.0482-0.0351-0.3511.50.1-0.75-0.075=[5]2[10]=-0.15=[11]-0.0961-0.0702-0.7021.50.1-0.75-0.1125=[6][11]+[6]=-0.2625=[12]-0.1688-0.1557-1.5571.50.10.750.1125=[7][12]+[7]=0.15-0.0964-0.0702-0.702圖3-10注：表中[]圖3-10(1)(2)(1)(2)0.1210.0480.01690.1210.0480.0480.0480.0960.0481.3370.6130.7020.3511.5571.3370.6130.6130.6130.1310.7020.1310.3510.0480.096圖圖〔N/m〕分布圖〔MPa〕由于截面對(duì)稱，那么，因此有同理將表中數(shù)據(jù)代入得：將上述數(shù)據(jù)代入式〔D〕有：解得：由于=0.1m，故據(jù)此式即可計(jì)算截面各點(diǎn)的剪應(yīng)力，列于上表最后一列。分布圖見圖3-10。圖圖4-2第四講薄壁箱梁剪力滯的變分解法第一節(jié)概述初等梁彎曲理論的根本假定是變形的平截面假定，它不考慮剪切變形對(duì)縱向位移的影響，因此，彎曲正應(yīng)力沿梁寬方向是均勻分布的。但是，在箱形梁中，產(chǎn)生彎曲的橫向力通過肋板傳遞給翼板，而剪應(yīng)力在翼板上的分布是不均勻的，在肋板與翼板的交接處最大，隨著離開肋板而逐漸減小，因此，剪切變形沿翼板的分布是不均勻的。由于翼板剪切變形的不均勻性，引起彎曲時(shí)遠(yuǎn)離肋板的翼板之縱向位移滯后于近肋板的翼板之縱向位移，所以其彎曲正應(yīng)力的橫向分布呈曲線形狀。這種由于翼板的剪切變形造成的彎曲正應(yīng)力沿梁寬方向不均勻分布的現(xiàn)象稱為“剪力滯”現(xiàn)象或稱為“剪力滯〔后〕效應(yīng)”。肋板相距越寬，“剪力滯”現(xiàn)象越顯著。圖圖4-1薄壁箱梁的不均勻彎曲應(yīng)力分布〔A〕正剪力滯效應(yīng)〔B〕負(fù)剪力滯效應(yīng)剪力滯概念與有效分布寬度是一回事，前者用不均勻應(yīng)力表示，而后者用一等效板寬表示。有效分布寬度用于開口截面，而剪力滯那么用于閉合截面。在我國(guó)的現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)中，關(guān)于T梁的“翼緣板有效分布寬度”有明確的規(guī)定，而對(duì)于箱形截面，那么非常模糊地寫道“在無更精確的計(jì)算方法，箱形梁也可參照T形梁的規(guī)定處理”。最早涉及剪力滯問題的的理論推導(dǎo)是T.V.Karman，他利用最小勢(shì)能原理與梁的應(yīng)力對(duì)等原那么得到解答。被稱為Karman理論。在航空工業(yè)上，飛機(jī)的金屬外殼由板與肋組成，剪力滯效應(yīng)的分布格外突出。美國(guó)工程界將這種彎曲應(yīng)力分布的不均勻現(xiàn)象稱為“剪力滯后效應(yīng)”，在英國(guó)取名為“應(yīng)力離散現(xiàn)象”。過去對(duì)這種應(yīng)力集中狀態(tài)漠然視之，從1969年11月到1971年11月分別在奧地利、英國(guó)、澳大利亞與前聯(lián)邦德國(guó)相繼發(fā)生四起鋼箱梁失效或破壞事故。事故發(fā)生后，許多橋梁專家對(duì)四座橋的設(shè)計(jì)和計(jì)算方法進(jìn)行了研究與分析，揭示出這四座橋的計(jì)算方法存在嚴(yán)重的缺陷，其中一項(xiàng)就是設(shè)計(jì)中沒有認(rèn)真對(duì)待“剪力滯效應(yīng)”，因此導(dǎo)致應(yīng)力過分集中，造成結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)或局部破壞。目前，國(guó)內(nèi)外均建造了大量的箱形薄壁梁橋、T形剛構(gòu)、斜拉橋。特別是跨寬比小，上下板的慣矩與整個(gè)箱形截面慣矩之比較大的連續(xù)箱梁支點(diǎn)處，剪力滯效應(yīng)更為嚴(yán)重，不容無視。如果采用預(yù)應(yīng)力筋，上。下板的布筋間距更要妥善處理，不能用等間距。在應(yīng)力集成區(qū)力筋間距要密一些，否那么混凝土易開裂。另外，在高層建筑中，箱壁屬于懸壁的筒中筒結(jié)構(gòu)，其壁上的應(yīng)力分布是不均勻的，特別是在風(fēng)力作用下，正負(fù)剪力滯效應(yīng)均存在。這點(diǎn)已開始引起結(jié)構(gòu)工程師的認(rèn)真考慮與關(guān)注。分析箱形梁剪力滯的主要方法有以下兩大類：一、解析法1、T.V.Karman理論〔1924年〕，他第一次給“有效分布寬度”這一概念下了明確的定義。2、彈性理論解：又分為正交各向異性板法和彈性折板理論。3、比較桿法：由H.R.Evaus與A.R.Taherian提出。4、能量變分法：下節(jié)作重點(diǎn)介紹二、數(shù)值分析法1、有限元法：K.R.Mofatt2、有限條法：3、有限段法：本講主要討論能量變分法，即采用變分原理求箱梁的剪力滯。第二節(jié)求解泛函極值問題的一些根本概念一、簡(jiǎn)單的例子圖4-2設(shè)有一根放在彈性地基上的梁，承受分布荷載的作用，梁的一端〔〕是固定的，另一端()是自由的，問梁取什么樣的撓度曲線能使這個(gè)系統(tǒng)的總勢(shì)能取最小值。圖4-2設(shè)梁的彎曲剛度為，于是梁的彎曲應(yīng)變能是〔4-1〕再設(shè)彈性地基的剛度系數(shù)為，于是地貯存的能量為〔4-2〕由于梁的撓度、載荷的勢(shì)能有了變化，載荷的勢(shì)能可寫為〔4-3〕這個(gè)系統(tǒng)的總勢(shì)能是上列三者之和，因此有：〔4-4〕邊界條件：處，,。這樣，上面提出的力學(xué)問題，經(jīng)化為數(shù)學(xué)問題后變?yōu)椋涸趨^(qū)間內(nèi)找一個(gè)函數(shù)，使它滿足預(yù)先設(shè)定的邊界條件，并使隨而變化的取最小值。從這里，我們可以用簡(jiǎn)單的方法來說明泛函的概念：在一定范圍內(nèi)可變化的函數(shù)，稱為自變函數(shù)，例如；依賴于自變函數(shù)而變的量，稱為自變函數(shù)的泛函。二、由定積分定義的泛函的極值問題。圖4-3本節(jié)先討論如何把一類簡(jiǎn)單泛函的極值問題，化為微分方程的邊值問題，通過這類問題的分析，可以建立變分法的根本圖4-3先考慮如下問題：在自變數(shù)的區(qū)間內(nèi)，決定一個(gè)函數(shù)，使它滿足邊界條件：在處；在處，。并使泛函取極大〔或極小〕值。參考圖4-3，其中,是的兩點(diǎn)，問題是要在間連接一條曲線，使泛函取極值，設(shè)想已取了一條曲線，它的方程是：〔4-5〕設(shè)想在附近另取一條曲線，命這條曲線的縱坐標(biāo)為〔4-6〕式中是一個(gè)無窮小量，稱為自變函數(shù)的變分。相應(yīng)于這兩條曲線，可以求得泛函的兩個(gè)值〔4-7〕〔4-8〕這里代表泛函的增量。自變量不變〔即不變〕而僅僅由于曲線〔函數(shù)〕的無窮小變化而引起的縱坐標(biāo)的增加稱為自變函數(shù)的變分，記為；另外仍然用高等數(shù)學(xué)中的定義，曲線不變，由于自變量的變化所引起的縱坐標(biāo)的增加稱為函數(shù)的微分，記為。這樣，上圖中A、B、C三點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：A：B：C：而D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，假設(shè)從C點(diǎn)算過去是：假設(shè)從B點(diǎn)算過去，是：這兩個(gè)坐標(biāo)是相等的，故有這個(gè)公式說明，一個(gè)函數(shù)的微分運(yùn)算與變分運(yùn)算的順序是可以交換的。利用這個(gè)公式，的算式可寫成〔4-8〕于是有〔4-9〕對(duì)于力學(xué)及工程上經(jīng)常遇到的泛函，被積函數(shù)是、、的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，同時(shí)，當(dāng)、很小時(shí)，也很小，當(dāng)、是無窮小量，也是無窮小量，取等式兩端的一階無窮小量〔4-10〕稱為的一階變分，用不很嚴(yán)格的通俗的話來講，泛函的一階變分便是泛函增量中的一階小量局部，所以變分的運(yùn)算服從無窮小量的運(yùn)算規(guī)那么。上式中同時(shí)出現(xiàn)了、，它們是有內(nèi)在的聯(lián)系的，并不能獨(dú)立地變，可以設(shè)法把與有關(guān)的項(xiàng)轉(zhuǎn)換為只與有關(guān)的項(xiàng)，為此可以利用分部積分式〔4-11〕在上式中取，。那么：〔4-12〕〔4-13〕前面已規(guī)定了在兩端為，那么在兩端不能有變化，故當(dāng)和時(shí)，=0，所以，〔4-14〕根據(jù)這個(gè)公式，我們能夠判斷函數(shù)是否能使取極值，如果積分號(hào)內(nèi)的方括號(hào)內(nèi)項(xiàng)不等于零，那么，總能找到一個(gè)使不為零，因此，取極值的必要條件是〔4-15〕這就是歐拉公式。這樣，我們就把泛函的極值問題轉(zhuǎn)化為微分方程。如果函數(shù)沒有在兩端指定邊界條件，那么必須有在和處：。三、涉及高階導(dǎo)數(shù)的泛函的極值問題〔4-16〕用同樣的步驟可得〔4-17〕然后通過分部積分，最后得到〔4-18〕由此得到，〔4-19〕在和處：〔1〕，那么=0；或；〔2〕，那么=0；或。涉及更高階導(dǎo)數(shù)的泛函極值問題的歐拉公式可到相應(yīng)的參考書中找到。第三節(jié)變分法求解矩形箱梁剪力滯效應(yīng)對(duì)稱帶懸臂的單箱單室箱形截面是預(yù)應(yīng)力混凝土薄壁箱形截面的常用截面形式。對(duì)于這類矩形薄壁箱形截面可以應(yīng)用變分法的最小勢(shì)能原理來分析其剪力滯效應(yīng)。一、根本假定寬箱梁在對(duì)稱撓曲時(shí)，上下翼板因?yàn)榧羟凶冃蔚挠绊?，已?jīng)不符合初等梁理論中變形時(shí)保持平截面的假定，用一個(gè)廣義位移即梁的撓度來描述箱梁的撓曲變形已經(jīng)不夠。在應(yīng)用最小執(zhí)能原理分析箱梁撓曲時(shí)，必須引入兩個(gè)廣義位移概念。梁的豎向撓度用表示，梁的縱向位移用描述。即〔4-20〕〔4-21〕式中：----梁的縱向位移；----翼板剪切變形〔轉(zhuǎn)角〕的最大差值，它并非位移變量；初等梁理論圖4-4初等梁理論圖4-4箱梁尺寸及應(yīng)力狀態(tài)----截面形心到上下板的距離公式〔4-21〕是對(duì)E.Reissner用的二次拋物線形的修正。即假定翼板的縱向位移沿橫向?yàn)槿螔佄锞€分布，此假定符合實(shí)測(cè)結(jié)果。式〔4-20〕與式〔4-21〕是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，它們均能滿足變形協(xié)調(diào)條件。式〔4-21〕還滿足在腹板與翼板交界處〔〕的變形連續(xù)條件。在應(yīng)變的計(jì)算中，腹板仍然采用梁的變形〔按平截面假定〕，不考慮腹板的剪切變形。對(duì)上下翼板根，板的豎向纖維無擠壓，即=0。板平面外的剪切變形與及橫向應(yīng)變均很小，可忽略不計(jì)。二、根本變分方程的推導(dǎo)根據(jù)最小勢(shì)能原理，在外力作用下，結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)。當(dāng)有任何虛位移時(shí)，體系總位能的一階變分為零，即〔4-22〕式中：----體系的應(yīng)變能；----外力的勢(shì)能。梁受彎曲時(shí)的外力勢(shì)能〔4-23〕梁的應(yīng)變能的各項(xiàng)為：腹板：〔4-24〕上下翼板應(yīng)變能：〔4-25〕〔4-26〕〔4-27〕式中：----彈性模量；----剪切模量；----上翼板厚度；----下翼板厚度。由式〔4-21〕和式〔4-27〕得到〔4-28〕將式〔4-28〕代入〔4-25〕、〔4-26〕得到〔4-29〕式中：〔自身慣矩忽略〕；、分別為頂板、底板對(duì)截面形心慣性矩。體系總勢(shì)能為〔4-30〕將式〔4-23〕〔4-24〕、〔4-29〕代入〔4-30〕得到〔4-31〕或改寫為式中要使總勢(shì)能取得極值，可將式〔4-31〕代入式〔4-19〕及其兩個(gè)邊界條件，即以及邊界條件經(jīng)整理得到〔4-32〕式〔4-32〕即為由變分得到的剪力滯根本微分方程。將〔4-32〕中第一式求導(dǎo)一次代入第二式。整理式〔4-32〕并令〔4-33〕和稱作Reissner系數(shù)。得到：〔4-34〕將〔4-32〕第一式和第三式中消去，得到〔4-35〕邊界條件：當(dāng)板固結(jié)時(shí)：，〔4-36〕當(dāng)板非固結(jié)時(shí)：〔4-37〕方程〔4-34〕解的一般形式是：〔4-38〕式中為僅與剪力分布有關(guān)的特解，系數(shù)、由邊界條件確定。上述通過最小勢(shì)能原理把剪力滯效應(yīng)問題歸結(jié)為在滿足一定邊界條件下〔式〔4-36或式〔4-37〕〕〕，箱梁翼板剪切位移差函數(shù)的定解問題。三、翼板中的應(yīng)力與剪力滯系數(shù)式〔4-32〕中的第一式可以寫成如下形式：〔4-39〕或〔4-40〕式中：〔4-41〕式〔4-40〕右邊第一項(xiàng)即為梁初等理論的表達(dá)式，而是由剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的附加彎矩。它是箱梁翼板縱向位移差函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，并且與翼板的彎曲剛度成正比。從式〔4-40〕可以看出，考慮剪力滯影響后，梁的曲率與彎矩的關(guān)系已經(jīng)不再是梁的初等理論的的關(guān)系，而是增加了附加撓曲的修正項(xiàng)。這是由于箱梁的剪力滯影響使翼板的有效剛度降低，從而使撓度增大。在求得值后，可將式〔2-40〕經(jīng)過兩次積分求得梁的撓度?？紤]剪力滯影響的翼板彎曲正應(yīng)力：〔4-42〕式中：〔取正號(hào)〕或〔取負(fù)號(hào)〕。式〔4-42〕中的第二項(xiàng)是考慮剪力滯影響的修正項(xiàng)。彎曲法向應(yīng)力沿橫向按三次拋物線分布，翼板與腹板交接處的應(yīng)力到達(dá)最大值。在求得翼板應(yīng)力分量后，也就可以得到腹板的應(yīng)力，彎曲正應(yīng)力沿腹板高度方向仍是線性分布。為了更簡(jiǎn)便地描述箱形梁中剪力滯對(duì)彎曲正應(yīng)力的影響，引進(jìn)剪力滯系數(shù)的概念，〔4-43〕四、簡(jiǎn)支箱梁、懸臂箱梁的剪力滯效應(yīng)簡(jiǎn)支箱梁、懸臂箱梁的剪力滯效應(yīng)可直接應(yīng)用上述公式計(jì)算。例4-1求簡(jiǎn)支箱梁在均布荷載作用下的翼板的正應(yīng)力及跨中截面剪力滯系數(shù)。解：如圖4-5所示簡(jiǎn)支梁：彎矩、剪力方程和剪力滯差值函數(shù)微分方程為：圖4-5圖4-5簡(jiǎn)支梁承受均布荷載上式的全解為由邊界條件：；求得；因此代入式〔4-41〕得翼板的彎曲正應(yīng)力跨中截面剪力滯系數(shù)五、超靜定結(jié)構(gòu)剪力滯效應(yīng)的求解超靜定結(jié)構(gòu)剪力滯效應(yīng)也可用變分法求解，但當(dāng)超靜定次數(shù)較高時(shí)，計(jì)算較繁。下面介紹二種簡(jiǎn)捷的方法。1、解肢法K.R.Moffatt與P.J.Dowling以及近藤和夫曾建議，對(duì)連續(xù)梁或者斜拉橋的剪力滯分析，取彎矩等于零的鄰近點(diǎn)區(qū)間分別當(dāng)作等效簡(jiǎn)支梁或懸臂梁來處理。因?yàn)樵趶澗氐扔诹愕臅r(shí)，不存在剪力滯效應(yīng)。如圖4-6所示。2、疊加法對(duì)于處在彈性變形階段的超靜定結(jié)構(gòu)，在應(yīng)用變分法求解時(shí)，只對(duì)縱向位移的橫向分布進(jìn)行了假定，而縱向仍然要求滿足邊界條件，所以可采用疊加原理的變分法。如圖4-7所示。用于分析剪力滯效應(yīng)的疊加原理為：超靜定結(jié)構(gòu)在多種荷載作用下，考慮其剪力滯效應(yīng)的內(nèi)力，等于根本靜定體系在各個(gè)單一荷載與多余力作用下考慮剪力滯效應(yīng)的內(nèi)力的總和。即：或者式中：----超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算截面實(shí)際彎矩值；----根本體系在單一荷載或多余力作用下該截面的彎矩值；----截面抵抗矩；----超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算截面的剪力滯影響系數(shù)；----根本體系在單一荷載或多余力作用下該截面的的剪力滯影響系數(shù)。圖圖4-6解肢法圖4-7疊加法第四節(jié)不同參數(shù)對(duì)剪力滯系數(shù)的影響1001001001001001001.01.11.21.31.41.5圖4-8簡(jiǎn)支梁受集中力作用時(shí)的1、簡(jiǎn)支梁、懸臂梁剪力滯系數(shù)的比較1〕簡(jiǎn)支梁承受均布荷載時(shí)，剪力滯影響較??；2〕簡(jiǎn)支梁承受集中荷載時(shí)，剪力滯影響要比承受均布荷載時(shí)大；3〕懸臂梁承受均布荷載時(shí)，剪力滯的影響較大。2、剪力滯效應(yīng)沿跨度方向分布的情況1〕簡(jiǎn)支梁承受集中荷載時(shí)，集中力愈接近支點(diǎn)，愈大。另外，在集中力作用下，剪力滯的影響區(qū)域比較窄。詳見圖4-8。2〕簡(jiǎn)支梁承受均布荷載時(shí)，剪力滯的影響在靠近支座處最大，跨中截面受剪力滯的影響較??；詳見圖4-9。3〕連續(xù)梁承受均布荷載時(shí)，在正彎矩區(qū)的剪力滯效應(yīng)與簡(jiǎn)支梁類似；在負(fù)彎矩區(qū)，支座附近截面受剪力滯的影響較大，但在靠近彎矩零點(diǎn)區(qū)域那么出現(xiàn)負(fù)剪力滯效應(yīng)的現(xiàn)象。詳見圖4-10。1.01.01.11.21.30.90.8正彎矩區(qū)負(fù)彎矩區(qū)圖4-9簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用時(shí)的圖4-10連續(xù)梁受均布荷載作用時(shí)的1.11.21.03、剪力滯效應(yīng)與箱梁跨寬比的關(guān)系跨寬比越小〔即箱梁的肋距越寬時(shí)〕，愈大。詳見圖4-11。4、與的關(guān)系當(dāng)剛度比增大時(shí)，也隨之增大。詳見圖4-12。1.01.041.11.21.31.468101.00.61.11.21.31.40.70.80.9圖4-11隨的變化圖4-12隨的變化第四節(jié)箱形懸臂梁的負(fù)剪力滯效應(yīng)在箱形懸荷彎曲時(shí)，不僅在固定端附近的截面要發(fā)生剪力滯效應(yīng)，使得翼板與肋板交界處的應(yīng)力要比用梁初等理論所求值大得多，而且剪力滯的影響沿跨度方向的變化也很復(fù)雜。在均布荷載作用下，在離固定端一定距離〔約〕后那么會(huì)出現(xiàn)與剪力滯后效應(yīng)相反的現(xiàn)象，即近肋板的翼板之縱向位移滯后于遠(yuǎn)離肋板的翼板之縱向位移，因此，翼板中心的應(yīng)力反而要大于翼板與肋板交界處的應(yīng)力，這種剪力滯效應(yīng)相反的現(xiàn)象稱為負(fù)剪力滯〔NegativeShearLag〕。對(duì)負(fù)剪力滯現(xiàn)象的研究只是近十年才開始的。在上節(jié)的討論中，我們已經(jīng)注意到負(fù)剪力滯的現(xiàn)象不僅發(fā)生在箱形懸臂梁中，同時(shí)在連續(xù)梁的負(fù)彎矩區(qū)也同樣存在這種現(xiàn)象〔見圖4-8〕。本節(jié)將采用變分法，討論負(fù)剪力滯產(chǎn)生的原因與規(guī)律。一、箱形懸臂梁負(fù)剪力滯的變分解由式〔4-42〕，肋板與翼板交界處〔〕的彎曲正應(yīng)力：〔4-44〕從式〔4-44〕可清楚地看出，就是由于剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的應(yīng)力增量局部。當(dāng)與同號(hào)時(shí)，彎曲正應(yīng)力要比按梁彎曲初等理論計(jì)算的值大，這就是剪力滯效應(yīng)。而當(dāng)與異號(hào)時(shí)，肋板與翼板交界處的彎曲正應(yīng)力反而要比按梁彎曲初等理論計(jì)算的值小，這是負(fù)剪力滯效應(yīng)。而它們的影響程度那么與相對(duì)值有關(guān)。因此，附加撓曲力矩集中表達(dá)了剪力滯與負(fù)剪力滯效應(yīng)。對(duì)于懸臂梁，當(dāng)在自由端作用一集中力時(shí)，附加撓曲力矩〔4-45〕從式〔4-45〕可知，始終保持不變號(hào)，即外力引起的彎矩都是負(fù)彎矩，所以不會(huì)出現(xiàn)負(fù)剪力滯現(xiàn)象。其彎曲正應(yīng)力為〔4-46〕當(dāng)承受滿跨均布荷載時(shí)，附加撓曲力矩為〔4-47〕從式〔4-47〕可知，沿縱向分布復(fù)雜，會(huì)出現(xiàn)變號(hào)的情況，一旦變號(hào)，即將產(chǎn)生負(fù)剪力滯現(xiàn)象。其彎曲正應(yīng)力為〔4-48〕令式〔4-47〕的等于零，那么可求得正負(fù)剪力滯的臨界點(diǎn)。解上式得〔4-49〕〔邊界條件〕對(duì)于承受均布荷載的懸梁，在區(qū)間發(fā)生剪力滯，在固定端截面到達(dá)最大值；在區(qū)間發(fā)生負(fù)剪力滯。對(duì)于等截面箱形懸臂梁，在均布荷載作用下，發(fā)生剪力滯的區(qū)間較小，大約在靠近固定端的以內(nèi)，而發(fā)生負(fù)剪力滯的區(qū)間那么較大，但在這一區(qū)間的彎曲正應(yīng)力相對(duì)較小。對(duì)式〔4-47〕求一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，可以求出負(fù)剪力滯區(qū)附加撓曲的拐點(diǎn)?！?-50〕二、算例例4-2如圖4-13所示箱形截面的懸臂梁，當(dāng)跨度=20m時(shí)，在滿跨均布荷載作用下，附加撓曲力矩沿縱向的分布示于圖4-14，正負(fù)剪力滯的交界點(diǎn)：m圖4-14中的陰影局部表示在這一區(qū)域?yàn)檎?，與外力彎矩異號(hào)，因此，在這一區(qū)域均為負(fù)剪力滯區(qū)。4040252530027527520000-10-20-30-40圖4-14沿跨度的分布-502000360=1640圖4-131/2單箱截面〔cm〕三、負(fù)剪力滯效應(yīng)的影響因素負(fù)剪力滯現(xiàn)象與正剪力滯現(xiàn)象一樣，都是由于同一橫截面上各點(diǎn)的剪切變形的不同而產(chǎn)生的。在固定端處，板被完全約束，而從肋板與翼板交接處往板中心的剪力傳遞總是滯后的。因此，無論是哪一種荷載，在該截面上總要發(fā)生剪力滯后現(xiàn)象。離固定端一定距離處〔如離固定端〕，剪力流強(qiáng)度按線性減小，而板的約束條件與固定端截面相比卻了很大的變化，因此，這時(shí)開始出現(xiàn)負(fù)剪力滯現(xiàn)象?？梢哉J(rèn)為：邊界的約束條件是發(fā)生負(fù)剪力滯的內(nèi)在因素，而外荷載的形式是發(fā)生負(fù)剪力滯的外部條件。負(fù)剪力滯影響的程度主要反映在附加撓曲上，在式〔4-45〕中包含兩個(gè)參數(shù)與，參數(shù)是翼板剛度與梁的總剛度之比。參數(shù)那么是當(dāng)值一定時(shí)與翼板凈跨〔〕e有關(guān)的參數(shù)，因此，反映了箱梁的跨寬比。在箱形截面應(yīng)用最廣泛的橋梁結(jié)構(gòu)中，箱的翼板剛度與梁的總剛度之比〔〕變化幅度不是很大〔一般在0.7—0.8左右〕，因此，我們僅比較附加撓曲力矩隨跨寬比變化的情況。圖4-13示出當(dāng)=0.75時(shí)，箱梁的跨寬比分別等于3、4、5所翼板中撓曲力矩隨跨長(zhǎng)的分布情況。從圖4-15可以看出：當(dāng)箱的跨寬比越小時(shí)，不僅在固定端附近受剪力滯的影響嚴(yán)重，而且在負(fù)剪力滯區(qū)域受負(fù)剪力的影響也較嚴(yán)重。隨著跨寬比的增大，受剪力滯與負(fù)剪力滯的影響都會(huì)逐漸減小。因此，負(fù)剪力滯效應(yīng)隨跨寬比變化的情況類似于剪力滯效應(yīng)的參數(shù)分析。圖4-16是中井博和村山泰男進(jìn)行的箱形懸臂梁的試驗(yàn)結(jié)果。箱的剛度比=0.821。在均布荷載作用下，其翼板與肋板交界處的彎曲正應(yīng)力與截面平均應(yīng)力比值的實(shí)測(cè)值與理論值的比較。0.00-0.010.00-0.01-0.03-0.04-0.05-0.060.010.020.03=5=4=31.01.40.90.80.70.61.11.21.3470(mm)圖4-15不同跨寬比時(shí)沿跨度分布圖4-16翼板邊緣應(yīng)力與截面平均應(yīng)力之比-0.02第五節(jié)小結(jié)本章介紹了薄壁箱梁剪力滯效應(yīng)的變分解法，推導(dǎo)了剪力滯效應(yīng)的根本微分方程，采用的主要假定是板的縱向位移的橫向分布是三次拋物線，即式〔4-21〕。有關(guān)文獻(xiàn)也有采用二次或四次拋物線的縱向位移模式，即〔4-51〕或〔4-52〕同樣可得到不同的Reissner參數(shù)。二次拋物線：〔4-33〕四次拋物線：〔4-33〕可以證明，取高次拋物線的縱向位移模式，對(duì)剪力滯效應(yīng)影響很小。另外本章引進(jìn)為剪力滯系數(shù)，來直接描述剪力滯效應(yīng)更為直觀有效。本章還對(duì)負(fù)剪力滯進(jìn)行了討論。負(fù)剪力滯影響的程度主要反映在附加撓曲上，邊界的約束條件是發(fā)生負(fù)剪力滯的內(nèi)在因素，而外荷載的形式是發(fā)生負(fù)剪力滯的外部條件。箱梁的跨寬比越小，正剪力滯效應(yīng)和負(fù)剪力滯效應(yīng)都越嚴(yán)重。本章討論的結(jié)果只能應(yīng)用于等截面矩形箱梁的剪力滯效應(yīng)計(jì)算。對(duì)于變截面或梯形箱梁剪力滯效應(yīng)的計(jì)算可參考有關(guān)文獻(xiàn)。T形梁翼緣有效寬度實(shí)質(zhì)上也是剪力滯效應(yīng)的反映，在本章中以介紹。由于目前橋梁設(shè)計(jì)仍然采用二維平面解析，故荷載有效分布寬度仍然需要計(jì)算。有興趣的同學(xué)可參考有關(guān)文獻(xiàn)。第五講薄壁箱梁的自由扭轉(zhuǎn)第一節(jié)根本假定在材料力學(xué)中，我們?cè)?jīng)討論過圓截面桿的扭轉(zhuǎn)問題，那時(shí)，我們假定桿件變形后截面保持為平面，只是相對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，而截面的大小和形狀都保持不變。這個(gè)假定對(duì)于圓截面桿來說是比較符合實(shí)際情況的，那么對(duì)于非圓截面的桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)，這個(gè)“平截面假定”不符合實(shí)際情況了，也就是說原來的平截面將產(chǎn)生“翹曲”，即截面可以產(chǎn)生沿軸線方向的位移。當(dāng)截面縱向翹曲不受約束，截面上只存在扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力而無正應(yīng)力時(shí)，這種扭轉(zhuǎn)稱為“自由扭轉(zhuǎn)”或“純扭轉(zhuǎn)”，或“圣維南扭轉(zhuǎn)”。實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中由于支承條件〔支座或橫隔板〕、扭轉(zhuǎn)力矩沿桿軸的不均勻分布等原因，桿件縱向位移往往受到約束，這時(shí)桿件截面上除存在自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力外，尚有因縱向位移受約束而產(chǎn)生的附加正應(yīng)力及其相應(yīng)的附加剪應(yīng)力，這種扭轉(zhuǎn)稱為約束扭轉(zhuǎn)。約束扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的附加正應(yīng)力及和剪應(yīng)力稱為翹曲正應(yīng)力和翹曲剪應(yīng)力。在薄壁桿件自由扭轉(zhuǎn)線性分析中，除線彈性、小變形〔第三講第二節(jié)所述假定2、3〕假定有效外，還采用“截面周邊投影不變形”假定，即無“畸變”。該假定認(rèn)為，桿件受扭轉(zhuǎn)變形后，其截面周邊在原有平面〔〕內(nèi)投影形狀不變。即截面可以產(chǎn)生沿軸線方向〔方向〕的位移〔稱為截面的縱向翹曲〕。也就是說，在發(fā)生縱向翹曲后截面不再為平面〔即平截面假定無效〕。第二節(jié)自由扭轉(zhuǎn)的根本方程為了分析需要，先簡(jiǎn)述實(shí)體等截面直桿的自由扭轉(zhuǎn)方程。觀察圖5-1所示實(shí)體截面，設(shè)為桿件截面的扭轉(zhuǎn)角，桿件截面上任一點(diǎn)僅存在剪應(yīng)力、和剪應(yīng)變、以及相應(yīng)的面內(nèi)位移、及縱向翹曲位移。圖5-1圖5-1〔5-1〕按彈性理論，在平面內(nèi)剪應(yīng)變與位移間的關(guān)系——幾何方程為：〔5-2〕根據(jù)周邊投影不變形假設(shè)，當(dāng)截面繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)角時(shí)〔圖5-2a〕，截面內(nèi)任一點(diǎn)移動(dòng)至，由圖〔5-2a〕有：展開上式，根據(jù)小變形假定有：及那么〔5-3〕圖圖5-2a圖5-2b將其代入幾何關(guān)系式〔5-2〕，第一式對(duì)求導(dǎo)，第二式對(duì)求導(dǎo)，兩者相減得到：〔5-4-1〕將物理關(guān)系式〔5-1〕代入上式有：〔5-4-2〕下面討論問題的靜力學(xué)方程。根據(jù)圖5-1，截面內(nèi)力與應(yīng)力有如下關(guān)系：〔5-5〕考慮受力單元體〔圖5-2b〕軸方向的平衡條件可得〔5-6〕至此，理論上由式〔5-4〕、(5-5〕、〔5-6〕可以求解、及，實(shí)際上對(duì)于任意形狀截面和任意支承條件的桿件，由這些方程直接求解，往往存在數(shù)學(xué)上的困難，故在下一節(jié)中將介紹“薄膜比較法”。為便于進(jìn)行“薄膜比較”，現(xiàn)引入Aires應(yīng)力函數(shù)，將式〔5-4〕和式〔5-6〕聯(lián)立，可得到關(guān)于應(yīng)力函數(shù)和扭轉(zhuǎn)角的微分方程。觀察式〔5-6〕，定義應(yīng)力函數(shù)，使得〔5-7〕于是平衡方程式〔5-6〕自動(dòng)滿足，將式〔5-7〕代入式〔5-4〕、式〔5-5〕后，便得到以應(yīng)力函數(shù)表達(dá)的微分方程〔5-8〕圖5-3圖5-3將由應(yīng)力函數(shù)表達(dá)的剪應(yīng)力式〔5-7〕代入式〔5-5〕有：〔a〕注意到，以及，。那么式〔a〕參照?qǐng)D5-3可表達(dá)為：〔b〕應(yīng)用分部積分法，式〔b〕中第一項(xiàng)〔c〕根據(jù)式〔5-7〕可知，剪應(yīng)力為一階偏導(dǎo)數(shù)，而在截面周邊上，可取，式〔c〕中即有：因此，由式〔c〕可得：〔d〕同樣可得出式〔b〕的第二項(xiàng)〔e〕將式〔d〕、式〔e〕代入式〔b〕后得到：此外，也可按如下更為簡(jiǎn)捷的方法證明。將代入式〔a〕，那么有：〔f〕根據(jù)Green定理，式〔f〕右邊第一項(xiàng)積分〔g〕即沿截面的面積積分，可轉(zhuǎn)化為沿周邊的積分，其中、分別為邊界法線的方向余弦。對(duì)于在扭矩作用下的實(shí)體截面，其邊界上有，故式〔g〕應(yīng)等于零，于是得到：第三節(jié)薄膜比較法由于桿件自由扭轉(zhuǎn)微分方程求解的數(shù)學(xué)困難，L.Prantl于1903年首先提出應(yīng)用薄膜比較法求解桿件的自由扭轉(zhuǎn)問題，不但直觀方便，而且也為實(shí)驗(yàn)方法提供了根底。在自然界中有一些本質(zhì)上完全不同的物理現(xiàn)象，卻可以用同樣的數(shù)學(xué)規(guī)律來描述。這樣，如果我們借助于某種實(shí)驗(yàn)或近似方法，對(duì)其中一種物理現(xiàn)象取得有關(guān)的量，從而推出另一種物理現(xiàn)象的。這種方法稱為比較法。我們即將介紹的薄膜比較法，便是利用扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù)，與在均布橫向力作用下張緊的薄膜垂度之間在數(shù)學(xué)上的相似性來求解扭轉(zhuǎn)方法。其根本思想是：利用桿件自由扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力函數(shù)微分方程與均布?jí)毫ψ饔孟卤∧隙任⒎址匠痰臄?shù)學(xué)相似性，對(duì)二者進(jìn)行比較，通過研究具有直觀意義的薄膜撓度，簡(jiǎn)捷地討論桿件的自由扭轉(zhuǎn)問題。圖5-4如圖5-4所示柔軟薄膜具有與受扭桿件截面相同〔或相似〕的形狀，薄膜粘附在剛性周邊上，對(duì)其施加均布垂直壓力，設(shè)薄膜周邊張力為。容易理解，對(duì)于張緊的柔軟薄膜，可以認(rèn)為張力為常數(shù)，據(jù)此可導(dǎo)出薄膜撓度微分方程為：圖5-4〔5-9〕式〔5-9〕推導(dǎo)如下：在圖5-4中，薄膜受均布?jí)毫ψ饔茫a(chǎn)生的撓曲面為，取其中邊長(zhǎng)為的微分研究其平衡。設(shè)微元邊上的張力與軸的夾角為，根據(jù)小變形假定有，以及而邊上的壓力與軸的夾角為：那么作用在和邊上的張力沿軸方向的分量為：同理作用在和邊上的張力沿軸方向的分量為：豎向荷載為，由方向的平衡條件可得：那么比較式〔5-9〕和式〔5-8〕，并注意到二者邊界條件相同，故可以建立表5-1的比較關(guān)系。表5-1工程扭轉(zhuǎn)薄膜比較關(guān)系微分方程〔5-10〕函數(shù)應(yīng)力函數(shù)撓度〔5-11〕一階導(dǎo)數(shù)剪應(yīng)力斜率〔5-12〕積分扭矩體積〔5-13〕在圖5-4所示的薄膜撓曲面上，任取一等高線，在此等高線上有，故沿等高線有：應(yīng)用比較條件式(5-11)，將上式的換為應(yīng)力函數(shù)，那么有：即引用比較關(guān)系式〔5-12〕，得到：說明應(yīng)力分量在等高線法線方向上()投影的代數(shù)和等于零，可見等高線上任一點(diǎn)的切線即為該點(diǎn)剪應(yīng)力的方向，稱此撓曲面的等高線為剪應(yīng)力線。將點(diǎn)剪應(yīng)力分量投影到該點(diǎn)等高線的方向，便得到總剪應(yīng)力為：將式〔5-12〕代入，那么式中為應(yīng)力函數(shù)在點(diǎn)的梯度，即通過點(diǎn)的最大斜率，故又有如下的比較關(guān)系：〔5-14〕上式說明，應(yīng)力函數(shù)的梯度，即為總剪應(yīng)力。以下將應(yīng)用表5-1的比較關(guān)系討論開口及閉口截面的自由扭轉(zhuǎn)問題。圖5-5第四節(jié)圖5-5一、矩形板條截面實(shí)際工程中采用的開口截面，大多可視為矩形板條的組合，故首先討論矩形板條截面的自由扭轉(zhuǎn)。如圖5-5所示矩形板條，其寬度為，厚度為，且。采用薄膜比較時(shí)，可以忽略短邊支承對(duì)薄膜撓曲變形的影響，即可設(shè)與無關(guān)。那么薄膜的撓曲方程為：積分得：利用邊界條件，有，，代入上式得當(dāng)時(shí)，。薄膜撓曲面與平面所包圍的體積為：運(yùn)用薄膜比較關(guān)系式〔5-13〕，可以得出：那么那么薄膜比較撓曲面方程最后確定為：〔5-15〕再利用薄膜比較關(guān)系式〔5-12〕，便得到剪應(yīng)力為：或〔5-16〕其中：〔5-17〕而式〔5-16〕中稱為扭轉(zhuǎn)常數(shù)，也稱St.Venent扭轉(zhuǎn)常數(shù)，它反映了截面的抗扭能力，具有與截面慣性相同的量綱。由圖5-5可知，當(dāng)時(shí)，剪應(yīng)力有最大值，由式〔5-16〕得〔5-18〕比較關(guān)系式〔5-10〕中的值可由圖5-5中單位寬度薄膜在軸方向的平衡條件給出，即有：那么將上式代入比較關(guān)系式〔5-10〕，得到扭轉(zhuǎn)角微分方程為：故〔5-19〕于是，可根據(jù)桿件的靜力平衡條件及幾何邊界條件，由式〔5-19〕求解扭轉(zhuǎn)角。二、矩形板條組合截面矩形板條組成的組合截面，對(duì)于其中任一板條，其扭轉(zhuǎn)角微分方程可由式(5-19)寫出〔5-20〕式中為第個(gè)矩形板條所承受的扭矩，為抗扭常數(shù)，按式(5-17)計(jì)算。將組合截面視為整體，設(shè)組合截面抗扭常數(shù)為，那么根據(jù)式〔5-19〕又有：根據(jù)周邊不變形假定，各板條的扭轉(zhuǎn)角與組合截面整體的扭轉(zhuǎn)角應(yīng)相等，即有：，。故〔5-21〕顯然，截面上的總扭矩〔〕應(yīng)為各板條承受的扭矩〔〕之和。即將式〔5-21〕代入便有：再由式〔5-17〕得到組合截面的扭轉(zhuǎn)常數(shù)為：〔5-22〕于是，求解矩形板條組合開口截面自由扭轉(zhuǎn)問題時(shí)，可先按式〔5-22〕求出截面的扭轉(zhuǎn)常數(shù)，然后按式〔5-21〕求各板條承受的扭矩，再根據(jù)公式〔5-17〕求解剪應(yīng)力，而扭轉(zhuǎn)角微分方程可按整體截面或任一板條用式〔5-19〕或〔5-20〕來表示。三、圓截面圖5-6圖5-6所示為圓截面及其比較薄膜，參照本節(jié)矩形板條的討論步驟，在垂直均布?jí)毫D5-6薄膜圓與平面所包圍的體積為〔5-24〕利用比較關(guān)系式〔5-13〕得：那么〔5-26〕根據(jù)比較關(guān)系式〔5-12〕，并考慮到圓截面的極對(duì)稱性，故剪應(yīng)力為：故〔5-27〕其中：〔5-28〕為圓截面的扭轉(zhuǎn)常數(shù)。顯然，最大剪應(yīng)力發(fā)生在的截面外緣。〔5-29〕扭轉(zhuǎn)角微分方程可利用比較關(guān)系式〔5-10〕得到。而其中的值那么由薄膜總體在軸方向的靜力平衡條件給出。由，有：那么〔5-30〕將比較關(guān)系式〔5-10〕代入，便得到扭轉(zhuǎn)角微分方程為：故〔5-31〕由此可見，圓截面與矩形板條截面的扭轉(zhuǎn)角微分方程具有相同的形式，其區(qū)別僅在于扭轉(zhuǎn)常數(shù)不同，亦即其抗扭能力不相同。四、任意形狀實(shí)體截面的扭轉(zhuǎn)常數(shù)在本節(jié)的二、三中，我們利用薄膜比較法推導(dǎo)了矩形板條截面和圓形截面的扭轉(zhuǎn)角微分方程及其扭轉(zhuǎn)常數(shù)，現(xiàn)通過對(duì)這兩種極端截面的分析，得出任意形狀實(shí)體截面扭轉(zhuǎn)常數(shù)的近似表達(dá)式。矩形截面有以下幾何特性：軸慣性矩：；。面積：極慣矩：扭轉(zhuǎn)常數(shù)：其中、是對(duì)于圖5-5所示坐標(biāo)而言，而扭轉(zhuǎn)常數(shù)與坐標(biāo)有關(guān)，因此，可以取其為截面積和極慣矩的函數(shù)，通過量綱分析，對(duì)于任意實(shí)體截面，扭轉(zhuǎn)常數(shù)可寫成如下的表達(dá)形式：〔5-32〕式中為與截面形狀有關(guān)的無量綱系數(shù)，對(duì)于矩形板條和圓形截面，可由式〔5-32〕與式〔5-17〕、〔5-18〕比較得到其相應(yīng)的值為：矩形板條〔5-33-1〕圓形截面〔5-33-2〕二者雖為外形迥異的極端截面，而其值相差甚微〔10℅左右〕，故對(duì)介于其間的任意形狀截面，近似地取為常數(shù)是可行的，按St.Venant的建議，取=40，那么任意形狀實(shí)體截面扭轉(zhuǎn)常數(shù)的表達(dá)式可寫為：〔5-34〕第五節(jié)閉口薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)一、單室閉口截面圖5-7剛性板單室閉口截面的自由扭轉(zhuǎn)分析也采用薄膜比較法按上節(jié)中的描述的步驟進(jìn)行，其關(guān)鍵在于如何確定比較薄膜的曲面形狀，以滿足問題的各種邊界條件。觀察圖5-7所示單室截面在圖5-7剛性板可以理解，閉口截面實(shí)際剪應(yīng)力分布具有以下特點(diǎn)：〔1〕截面內(nèi)邊界以內(nèi)剪應(yīng)力為零。即由式〔5-7〕可知，這相應(yīng)于應(yīng)力函數(shù)=常數(shù)?！?〕由于壁厚遠(yuǎn)小于截面其他兩個(gè)方向的尺寸，故剪應(yīng)力沿壁厚可視為均勻分布。于是，可選用圖5-7所示的薄膜模型，其內(nèi)外腔與截面形狀相同，薄膜張緊與外周上，在此即有，在內(nèi)周界以內(nèi)利用剛性板壓上，并作用以均布垂直壓力，且使剛性板始終保持水平。那么內(nèi)周界以內(nèi)的撓度=常數(shù)，即與應(yīng)力函數(shù)=常數(shù)，相對(duì)應(yīng)。由于壁厚相對(duì)很小，故薄膜在截面厚度范圍內(nèi)的斜率可視為無變化。即=常數(shù)這相應(yīng)于剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布〔與開口截面不相同〕。于是，根據(jù)比較關(guān)系式〔5-12〕，可得剪應(yīng)力為：假設(shè)用剪力流來表示，那么有：=常數(shù)〔5-35〕由此可見，剪力流與曲線坐標(biāo)無關(guān)。即沿周邊各點(diǎn)剪力流相等。由圖5-7容易得到，薄膜曲面與平面所包圍的體積為：〔5-36〕式中為截面中線所包圍的面積：〔5-37〕現(xiàn)根據(jù)比較關(guān)系式〔5-12〕，求剪力流。將式〔5-36〕代入比較關(guān)系式〔5-13〕，那么有：或〔5-38〕上式說明，剪應(yīng)力與壁厚成反比。即當(dāng)為最小時(shí)，取得最大值，用公式表達(dá)即為：〔5-39〕下面將應(yīng)用比較關(guān)系式〔5-10〕，導(dǎo)出扭轉(zhuǎn)角微分方程，即：其中可由薄膜在軸方向的總體平衡條件求得。即將式〔5-35〕及式〔5-38〕代入上式，便得到：〔5-40〕將比較關(guān)系式〔5-10〕代入，那么得扭轉(zhuǎn)角微分方程的通用形式為：〔5-41〕稱為單室截面的扭轉(zhuǎn)常數(shù)。與開口截面相比照較可知，二者扭轉(zhuǎn)角微分方程雖具有相同的形式〔式〔5-19〕和式〔5-41〕〕，但扭轉(zhuǎn)常數(shù)的計(jì)算公式及扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力沿壁厚的分布規(guī)律卻迥然不同。圖5-5及圖5-7的薄膜曲面斜率變化說明，開口截面剪應(yīng)力沿壁厚呈反對(duì)稱分布，中面剪應(yīng)力為零。由于薄壁截面的壁厚很小，因此，剪應(yīng)力構(gòu)成的截面扭矩〔抵抗力矩〕也是很小的。而閉口截面剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布，中面剪應(yīng)力不為零〔剪應(yīng)變〕，截面的扭轉(zhuǎn)力矩〔抵抗力矩〕由周邊剪力流構(gòu)成，其力臂較開口截面大十倍以上，因此，其抗扭系數(shù)遠(yuǎn)較開口截面大。也就是說，其剪應(yīng)力遠(yuǎn)較開口截面小。二、多室閉口截面多室閉口薄壁截面〔如圖5-8所示〕為橋梁結(jié)構(gòu)中常見的型式，其自由扭轉(zhuǎn)分析可在上面單室截面的根底上，按薄膜比較法進(jìn)行。觀察圖5-8，仍設(shè)想以薄膜覆蓋全部閉口截面，并在外周界上張緊，內(nèi)周界以內(nèi)剛性板壓上，并作用以垂直壓力〔常數(shù)〕，使其始終保持水平，于是在內(nèi)邊界上滿足條件圖圖5-8在薄壁厚度范圍內(nèi)薄膜為斜直線，即桿件剪應(yīng)力沿壁厚仍為均勻分布。對(duì)于這樣的薄膜曲面，其形狀可由各室的最大撓度完全確定。根據(jù)單室截面式〔5-35〕，有：為確定各室的剪力流，需建立各室薄膜力的總體平衡方程，仍照式〔5-40〕列出第室的平衡方程為：〔5-42〕利用比較關(guān)系式〔5-10〕，并將代入式〔5-41〕即得：〔5-43〕式〔5-43〕用剪力流表示，那么為：〔5-44〕其中為全截面的扭轉(zhuǎn)常數(shù)。因此，有〔5-45〕式中左邊第二項(xiàng)即為計(jì)及與室相鄰的箱室的影響。當(dāng)時(shí)，那么應(yīng)取所有相鄰壁積分之和。對(duì)于室閉口箱，式〔5-44〕表示個(gè)方程組成的方程組，聯(lián)立求解便可得到各室自由扭轉(zhuǎn)的剪力流，而式〔5-44〕右端的全截面扭轉(zhuǎn)常數(shù)，尚為未知數(shù)，故還不能直接由式〔5-44〕得到最終結(jié)果。由于方程組〔5-45〕中各式右端均有因子，故可先假定，求解各室相應(yīng)的剪力流，即有：〔5-46〕求得后，全截面的扭轉(zhuǎn)常數(shù)便可由比較關(guān)系式〔5-13〕并引用式〔5-36〕、式〔5-46〕求出。簡(jiǎn)化為那么：〔5-47〕綜上所述，多室箱型截面的自由扭轉(zhuǎn)分析步驟為：在式〔5-45〕中令，解出；由式〔5-47〕求得全截面的扭轉(zhuǎn)常數(shù)；根據(jù)式〔5-46〕計(jì)算各室實(shí)際剪力流；求得扭轉(zhuǎn)剛度后，由式〔5-19〕寫出扭轉(zhuǎn)角微分方程第六節(jié)算例如圖3-8所示工字型截面和單箱雙室截面，在扭矩kNm作用下，試分別計(jì)算其自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力及扭轉(zhuǎn)角。材料的彈性模量MPa，剪切彈性模量圖5-91010109090圖5-9101010909010290309090①②③3.643.6410..920.8340.8340.8340.83410單位：MPa解：一、工字型截面1、扭轉(zhuǎn)常數(shù)計(jì)算將整個(gè)截面視為三個(gè)矩形板條組成〔見圖5-9中的①、②、③〕，按式〔5-17〕分別計(jì)算各板條扭轉(zhuǎn)常數(shù)及全截面的扭轉(zhuǎn)常數(shù)。(m4)(m4)全截面的扭轉(zhuǎn)常數(shù)那么(m4)2、自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力計(jì)算由式〔5-21〕可知，各板條所承受的扭矩為：那么(kNm)(kNm)根據(jù)式〔5-18〕計(jì)算自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力那么〔kN/m2〕(MPa)〔kN/m2〕(MPa)剪應(yīng)力沿截面的分布如圖〔5-9〕所示。3、自由扭轉(zhuǎn)變形〔〕計(jì)算由式〔5-19〕有：那么〔rad/m〕二、單箱雙室截面1、自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力計(jì)算根據(jù)式〔5-45〕有：令〔a〕那么式〔3-45〕改寫為：〔b〕式中表示時(shí)的自由扭轉(zhuǎn)剪力流，故有：對(duì)于圖〔5-9〕所示箱形截面〔m2〕代入式〔b〕，有如下方程組：解方程組得：又由式〔5-47〕有：〔m4〕由式〔5-46〕得到：〔N/m〕故自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力〔N/m2〕=0.834(MPa)剪應(yīng)力沿截面的分布如圖〔5-9〕所示。2、箱型截面自由扭轉(zhuǎn)變形〔〕計(jì)算仍由式〔5-19〕有：〔rad/m〕三、討論1、在相同扭矩作用下，相同面積的工字型截面的最大剪應(yīng)力為單箱雙室截面剪應(yīng)力的13倍，且分布規(guī)律也不相同；2、面積相等的工字型截面與單箱雙室截面的抗扭剛度〔〕之比為1∶52。即在相同的扭矩作用下，開口截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為閉口雙室截面的52倍。第七節(jié)小結(jié)1、薄壁桿件在純扭矩作用下，縱向位移〔翹曲〕不受約束時(shí)，截面上只有剪應(yīng)力，而無正應(yīng)力，稱為自由扭轉(zhuǎn)或純扭轉(zhuǎn)。2、在自由扭轉(zhuǎn)分析時(shí)，采用了截面周邊投影不變形假定，因此，截面內(nèi)任一點(diǎn)的位移可用扭轉(zhuǎn)角及平面內(nèi)坐標(biāo)的一次函數(shù)表達(dá)。即3、根據(jù)彈性力學(xué)的靜力、幾何及物理方程，引用應(yīng)力函數(shù)表達(dá)的自由扭轉(zhuǎn)根本方程為：及4、自由扭轉(zhuǎn)分析可以形象地、方便地采用薄膜比較法。即通過覆蓋全截面而支承于截面外周界，受垂直均布荷載作用的薄膜來比較桿件的自由扭轉(zhuǎn)〔薄膜周邊張力為，荷載為〔常數(shù)〕，撓度為〕，利用薄膜撓度與桿件應(yīng)力函數(shù)的微分關(guān)系，得出表1的比較式。5、開口和閉口截面自由扭轉(zhuǎn)均采用薄膜比較法，利用式〔5-10〕～〔5-13〕給出的關(guān)系進(jìn)行分析，二者扭轉(zhuǎn)角微分方程具有相同的表達(dá)式。即或其中扭轉(zhuǎn)常數(shù)，對(duì)于開口和閉口截面那么具有不同的計(jì)算方法和公式，分別見式〔5-17〕、式〔5-22〕、式〔5-28〕、式〔5-34〕、式〔5-41〕及式〔5-47〕。開口和閉口截面的剪應(yīng)力分布不同，前者沿壁厚呈反對(duì)稱分布，中面剪應(yīng)力為零，后者沿壁厚均勻分布，中面剪應(yīng)力不為零，剪力流沿周邊為常數(shù)。開口和閉口截面抗扭強(qiáng)度和剛度的數(shù)值相差可達(dá)數(shù)倍乃至數(shù)十倍、上百倍。剪應(yīng)力計(jì)算公式分別見式〔5-16〕、式〔5-18〕、式〔5-27〕、式〔5-29〕、式〔5-38〕、式〔5-39〕、式〔5-46〕等。6、在扭轉(zhuǎn)作用下，薄壁截面轉(zhuǎn)角處將產(chǎn)生應(yīng)力集中。應(yīng)力集中的計(jì)算可參見有關(guān)文獻(xiàn)。[參考文獻(xiàn)][1]謝貽權(quán)等，彈性力學(xué)，浙江大學(xué)出版社。[2]陸楸，湯國(guó)棟，薄壁桿件，人民交通出版社。[3]郭在田，薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)，中國(guó)建筑工業(yè)出版社。[4]李明照，周競(jìng)歐，薄壁桿件結(jié)構(gòu)計(jì)算，高等教育出版社。[5]曹富新，工程薄壁桿件結(jié)構(gòu)計(jì)算，中國(guó)鐵道出版社。[6]黃劍源，薄壁結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)分析[上]，中國(guó)鐵道出版社。第六講薄壁桿件的約束扭轉(zhuǎn)第一節(jié)根本假定薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)是指桿件受扭時(shí)，截面的縱向翹曲位移不受約束，因而縱向翹曲應(yīng)變和相應(yīng)的正應(yīng)力都不存在。當(dāng)截面的縱向翹曲位移受到約束時(shí)，便產(chǎn)生約束正應(yīng)力和相應(yīng)的附加剪應(yīng)力，這便是約束扭轉(zhuǎn)。約束扭轉(zhuǎn)的分析，可以從確定截面上縱向翹曲位移著手，進(jìn)而利用彈性理論的幾何方程確定縱向翹曲應(yīng)變；利用物理方程確定翹曲正應(yīng)力；最后利用微單元的平衡方程確定相應(yīng)的翹曲剪應(yīng)力。薄壁桿件的約束扭轉(zhuǎn)分析中，除沿用前兩章的假設(shè)干根本假定〔包括平面假定、線性假定、小變形假定和周邊投影不變形假定〕外，補(bǔ)充的根本假定有：1、約束扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的正應(yīng)力和剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布〔參見圖5-7〕，并且桿件縱向纖維不存在正應(yīng)力。據(jù)此假定，由圖3-2所示薄壁單元體在軸方向的平衡條件，可得到截面正應(yīng)力和剪應(yīng)力間的微分關(guān)系，即式〔3-19〕〔6-1〕〔3-19〕2、在約束扭轉(zhuǎn)分析中，桿件縱向翹曲位移采用自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的表達(dá)式。根據(jù)彈性理論，參照?qǐng)D6-1，薄壁單元體的剪切應(yīng)變?yōu)椋骸?-2〕圖6-1圖6-1由周邊投影不變形假定有：。這里，為扭轉(zhuǎn)角，為扭轉(zhuǎn)中心到點(diǎn)切線的垂直距離〔見圖3-4〕，于是式〔6-2〕可寫為：那么，縱向翹曲位移的一般表達(dá)式便可由此積分求得，即〔6-3〕式中為=0處的翹曲位移值。參照第三講剪力中心推導(dǎo)中關(guān)于扇性坐標(biāo)的定義有：〔6-4〕〔3-30-1〕式中為自積分起點(diǎn)至扇性零點(diǎn)〔=0，到點(diǎn)所包圍的扇性面積的2倍。于是，縱向翹曲位移的一般表達(dá)式〔6-3〕可寫為：〔6-5〕對(duì)于開口薄壁桿件，其在中面上的自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)變，