數(shù)學(xué)湘教版八年級下第22章《二次根式》復(fù)習(xí)教案

第22章二次根式復(fù)習(xí)教案

二次根式好的意義(一)

【目的要求】

1、使學(xué)生通過本章的引言了解學(xué)習(xí)的必要性，明確學(xué)習(xí)目的，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合和用數(shù)學(xué)

的意識。

2、使學(xué)生了解二次根式的概念，能根據(jù)二次根式的概念，求出二次根號下的一次式中

字母的取值范圍。

【教學(xué)重點】會求出二次根號下的一次式中字母的取值范圍。

【教學(xué)難點】理解二次根式的概念。

【教學(xué)方法】啟發(fā)式

【教學(xué)過程】復(fù)習(xí)提問：

1、什么叫代數(shù)式？舉出代數(shù)式的例子。

2、府是一個數(shù)嗎？是一個有理數(shù)？是一個實數(shù)？是一個式子？是一個代數(shù)式？

呢？

3、什么是勾股定理？在直角三角形中，已知兩條直角邊為3和4,那么斜邊長為多少？

新課講解：

在前一章中，我們已經(jīng)遇到過J話，Vo,人這樣的式子，知道符號“一”叫做二

次根號，二次根號下的數(shù)叫做被開方數(shù)。因為在實數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)沒有平方根。所以被開方

數(shù)只能是正數(shù)或0,也就是說，被開方數(shù)只能是非負(fù)數(shù)。

一般的，式子右(a》0)叫做二次根式。

由于二次根式的被開方數(shù)只能取非負(fù)值，因此二次根式要有意義就必須被開方數(shù)大于等

于0。

從形式上看，二次根式必須具備以下兩個條件：

(1)必須有二次根號；

(2)被開方數(shù)不能小于0。

例1：x是怎樣的實數(shù)時，式子二3在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

解：由x—3N0,得x23

當(dāng)x23時，式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。

補(bǔ)充例題：

例：X是怎樣的實數(shù)時，下列各式實數(shù)范圍內(nèi)有意義?

1

(1)J(X+1)2(2)

Jx-l

解：(1)由(x+l)220,解得：X取任意實數(shù)

當(dāng)X取任意實數(shù)時，二次根式J(x+1)2在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義。

(2)由x-l2o,且X-1W0

解得：X>1

1

當(dāng)X>1時，二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義。

Jx-1

課堂小結(jié)：

這節(jié)課我們介紹了本章可以解決的一些新問題和二次根式的概念。

二次根式行的化簡(二)

【目的要求】

1、使學(xué)生復(fù)習(xí)和鞏固二次根式行性質(zhì)；

a(a>0)

V?=時=<

-a(a<0)

2、使學(xué)生會根據(jù)二次根式性質(zhì)以及積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡某些二次根式

(被開方數(shù)除了含有二項式的完全平方外，不含其他加減運算)。

【教學(xué)重點】二次根式底性質(zhì)以及運用。

【教學(xué)難點】二次根式質(zhì)性質(zhì)的運用。

【教學(xué)方法】

【教學(xué)過程】復(fù)習(xí)提問：

1、二次根式必有什么性質(zhì)？

2、怎樣運用二次根式疹的性質(zhì)化簡二次根式呢？

3、設(shè)x為任意實數(shù)，下面的化簡對嗎？如果不對，應(yīng)怎樣改正？

(1)=x(2)=x2(3)=x3

4、化簡:

(3)78lm2n(m<0=(4)d48t，(t<0=。

5、把第4題第(3)、(4)小題中的限定條件“(m<0="和“(t<0="去掉，這

兩個小題的答案是什么？

新課講解：

1、請同學(xué)們看教科書第208頁上的例2。

分析：當(dāng)a<3時，a-3<0,被開方數(shù)是一個負(fù)數(shù)的平方，所以可以運用二次根式

的性質(zhì)將原式進(jìn)行化簡，即

=a—3——(a—3)=3—a

注意：在解這道題時，要防止學(xué)生出現(xiàn)。

J(X-3)2———Ia—3|——a—3

2、例2還有其他解法嗎？

當(dāng)m<0時，m的相反數(shù)是大于0還是小于0?

當(dāng)m—n<0時，m—n的相反數(shù)是什么？

那么n—m>0。另外，根據(jù)(m—n)2=(n—m)2,這就啟發(fā)我們用一

種新的解法。

課堂練習(xí)：

課堂小結(jié)：

在這節(jié)課里，我們復(fù)習(xí)和鞏固了二次根式叱的性質(zhì)，并利用這一性質(zhì)以及積的算術(shù)

平方根的性質(zhì)對某些二次根式進(jìn)行了化簡。在化簡時，一定要弄清題目中對被開放數(shù)所含字

母怎樣取值的限制條件。如果被開方數(shù)是一個二項式的完全平方，也可以利用以下公式來進(jìn)

行化簡：(a-b)2=(b—a)2。也就是說，把取負(fù)值的(a—b)換成正值

的b-a,或者把b-a換成正值的a-bo經(jīng)過這樣一交換，我們就可以直接運用

=x(x>0)的性質(zhì)。

課外作業(yè):

教科書習(xí)題IL7A組的第1題和第2題。

在這些題目中，除了特別規(guī)定的以外，所有字母都表示正數(shù)。

二次根式后的性質(zhì)(三)

【目的要求】

1、使學(xué)生復(fù)習(xí)、鞏固和掌握二次根式C的性質(zhì)：

/Till

Na=Ia|=<

—a(a<0)

2、使學(xué)生會根據(jù)二次根式疹的性質(zhì)以及積與商的算術(shù)平方根的性質(zhì)對某些稍復(fù)雜的

二次根式進(jìn)行化簡。

【教學(xué)重點】復(fù)習(xí)、鞏固和掌握二次根式質(zhì)的性質(zhì)。

【教學(xué)難點】復(fù)習(xí)、鞏固和掌握二次根式必的性質(zhì)運用。

【教學(xué)過程】

復(fù)習(xí)提問：

1、二次根式必有什么性質(zhì)？

2、化簡：

(1)J(14-15)2；(2)；

(3)7(3.14-^)2；(4)J(3-1.732)2。

3、化簡：

(1)yj(m—n)2(m<n)(2)\la2—4a+4(a<2)；

(3)Vm2+10m+25(m<-5)；(4)飛4b。-4.+1(>〉一；)

新課講解：

1、請同學(xué)們看教科書第208頁上的例3

分析：這道題中的被開方數(shù)是一個分式。經(jīng)過認(rèn)真觀察，可以發(fā)現(xiàn)分母1—2x+x是

一個二項式的完全平方，即(l-x)2。再看題目對于被開方數(shù)所含字母怎樣取值的限制條件,

即x>1,所以我們不妨把(l-x)2改寫成(1-1)2,于是得到本題的解法。

解：>?x>1,

/.x>0,x-1>0

.Ilx2I2x2I2x2_

"\\-2x+x2~\(l-x)2~\(x-l)2~7^1

要求學(xué)生注意以下兩點：

(1)當(dāng)被開方數(shù)是一個分式時，通常先將這個分母和分子進(jìn)行因式分解，然后運用商

與積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和二次根式歷的性質(zhì)進(jìn)行化簡。這樣做，就能有效地防止出錯。

為了簡便和減少錯誤，還可以利用(a—力2=用一幻2,(a-o)3=—s—a)3等公式

(2)在例3中，經(jīng)過對題目的觀察，要同時運用商與積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，還要用

運用x>0與x-1>0這兩個條件。x>0與x-1>0這兩個條件缺一不可，要在

解的過程中通過推理確認(rèn)這兩個條件是具備的，

x>1,

X>0,x-1>0這個推理步驟必須寫出來。

課堂練習(xí)：教科書209頁上的練習(xí)。

課堂小結(jié)：

在這節(jié)課里，我們再次復(fù)習(xí)和鞏固二次根式必的性質(zhì)，并利用這一性質(zhì)以及商與積

的算術(shù)平方根的性質(zhì)對某些稍復(fù)雜的二次根式進(jìn)行了化簡。在化簡時，一定把被開方數(shù)進(jìn)行

因式分解，而且要注意題目中對被開方數(shù)所含字母怎樣取值的限制條件，并善于利用

(a-b)2=(b-a)2,(。-。下=一9一。)3等公式，就能使化簡過程簡便一些，并且少

出錯誤。

“商”的算術(shù)平方根的性質(zhì)

教學(xué)目的：

使學(xué)生通過學(xué)習(xí)“商”的算術(shù)平方根的性質(zhì)，進(jìn)一步加深對二次根式意義的理解，初步

掌握“被開方數(shù)中含有分母的二次根式”的化簡，提高運算能力，觀察分析問題的能力，通

過向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”、“類比”等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識、歸納推理的能力。

教學(xué)重點：

學(xué)習(xí)“被開方數(shù)中含分母(分母中不含字母)”的二次根式的化簡

教學(xué)難點：化去根式內(nèi)的分母

教改實驗設(shè)想:

根據(jù)教學(xué)過程的“普遍性和特殊原理”，通過學(xué)生在課堂上有效學(xué)習(xí)實踐活動設(shè)計，貫

徹“主體參與，分層指導(dǎo)，及時反饋，激勵評價”原則，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，優(yōu)化學(xué)習(xí)過程，提

高學(xué)習(xí)效率，探索代數(shù)課教學(xué)中“公式、性質(zhì)”課的素質(zhì)教育型課堂教學(xué)模式。

教學(xué)過程：

學(xué)生智、能、心

教學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容教師活動學(xué)生活動

J.L."、一m

設(shè)1（回憶已學(xué)過的有關(guān)二次根式的

內(nèi)容）：

公式1：（V肅=a（a>0）

回憶思考

公式2：必=時（任何實數(shù)）舉手回答

復(fù)習(xí)鞏固舊知識

提問（重點由C組

（上述公式的特點：（從左至右）削做好學(xué)習(xí)新內(nèi)容

板書學(xué)生回答，其

去『）的知識及心理準(zhǔn)備

他組學(xué)生準(zhǔn)備

性質(zhì)：“積的算術(shù)平方根”

補(bǔ)充）*

=4a.>0,/?>0）

推論：y[x^y=x^x>0,y>0'）

設(shè)2問題1,已知：甲正方形和乙正方放投影片思考并舉

形的面積,分別為3和5,求:手回答問題1,

甲乙兩個正方形邊長的比。由A,B組同學(xué)

（設(shè)甲的邊長為X,乙的邊長答。

為y).

解：方法1：-=^

方法2：1息二小要指導(dǎo)學(xué)生思考

并填寫投影片通過具體實例

問題2,計算：感知新知識,對新知

識發(fā)生興趣。

①得一'②*-'問題2由C

組同學(xué)答

③舊一④嘴一

問題3,

(1)從以上問題中能發(fā)現(xiàn)什么？

求(答案：)J^=^(a>0,b>0)

(2)怎么證明這個發(fā)現(xiàn)？

*1證明：當(dāng)(a20,〃20)時板書

??

b[y[h)b通過類比聯(lián)想

2⑹2板書問題3,由發(fā)現(xiàn)知識。滲透轉(zhuǎn)化

同學(xué)舉手回答思想，培養(yǎng)推理能

[a4a力。使發(fā)現(xiàn)上升為理

???匕飛。

性認(rèn)識。

練1.直觀上看,你認(rèn)為這個等式有什引導(dǎo)學(xué)生由學(xué)生舉鞏固知識，加

2么作用呢？(計算)，你認(rèn)為可以什么由簡單到較復(fù)手發(fā)言(注意深認(rèn)識，提高興趣，

計算題？請幾個同學(xué)每人出一個題，雜出5個題，并多讓C組學(xué)生引起注意，激發(fā)積

大家來計算，(類型及難度仿張土充板書。帶領(lǐng)同發(fā)言)，全班極性.。

實驗教材P86例1)*2。學(xué)評判黑板上在練習(xí)本上練

的習(xí)作。習(xí)，5位同學(xué)到

黑板上做。

創(chuàng)1(1)(針對上面出現(xiàn)的如：卜磊)

提出問學(xué)生發(fā)言加深對知識的

問：如何能消去分母中的根號呢？題，下去加入小組討論，小理解,擴(kuò)大性質(zhì)的作

最好從開始采取措施。小組討論，發(fā)組代表發(fā)言用，滲透轉(zhuǎn)化思想，

（方法示意：現(xiàn)結(jié)果。（處理上面遺完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

IJ_13x5_y[l5、留題）

\5~}5^5~~

⑵如何用等式概括上述方法的過程？

板書

個別學(xué)生

練2Vft\h2b

舉手發(fā)言

練習(xí)1,化去下列各式中根號內(nèi)的分

母：

①去②舟③值,放投影

片，指導(dǎo)個別全班在練鞏固知識，提高

④心，⑤而。

差生，帶領(lǐng)學(xué)習(xí)本上做，5位計算能力與技巧。

（問題，為什么戊的分子、分母生評判。同學(xué)上黑板。

同乘以2而不乘以8?）

創(chuàng)2

練習(xí)2,化去下列各式中根號內(nèi)的分

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)言學(xué)生思考

母：

練3舉手發(fā)言。

①昌②后，③唇

④后，⑤后I，g）

放投影片除C組外的鞏固方法形成技能

提問C組學(xué)生，學(xué)生完成這個

領(lǐng)全班校對答練習(xí)，C組同學(xué)

案，由老師帶領(lǐng)做

實材尸894。

結(jié)⑴學(xué)習(xí)內(nèi)容（給出名稱）；學(xué)生整理知識，

⑵注意：舉手形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

①化去分母應(yīng)乘以“最小數(shù)”，友日

湊成最小平方數(shù)；

②分母經(jīng)開方后，到「外仍做

分母。

（3）要求學(xué)生，結(jié)合自己實際情

況，出難易程度不同的5道題。課前發(fā)紙每個學(xué)生檢查學(xué)習(xí)效果

課后檢查自己出5個小增強(qiáng)自主學(xué)習(xí)意識

題自做，交小

組長批閱，以

小組為單位上

交。

布置

（1）pm4自己課后煉熟；⑵〃901，2中的單數(shù)題。

作業(yè)

板書安排:

投影屏幕證明：(練習(xí))（復(fù)習(xí)）

所占部分

㈠⑴(2)(3)(4)(5)公式1:

㈡(1)(2)(3)(4)(5)2：

性質(zhì)1：

推論：

性質(zhì)2：

課前準(zhǔn)備：⑴書寫投影片；⑵準(zhǔn)備驗收用紙。

注：本人將這個班的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面分為A組（優(yōu)秀生），B組（一般學(xué)生）和C組（學(xué)

習(xí)困難生，10人左右）三組，以便分層指導(dǎo)。

*1實際課堂上學(xué)生樊小光又提出了下列作法：

證明：根據(jù)：y[ab器.&=噲.b=石,

G_4a

廣方0

*2實際教學(xué)中，學(xué)生出的題:

②JI，a2+2ab+b~

④投⑤

a2-2ab+b2

三、對教學(xué)設(shè)計的評價

對本教學(xué)模式的教學(xué)設(shè)計擬從以下幾個方面給予評價（滿分100分）。

1、教學(xué)目標(biāo)的確定（10%）

其中，知識0.4,能力0.4,德育0.2。

2、教學(xué)過程的設(shè)計（60%）

（1）教學(xué)內(nèi)容及重點、難點的確定（10%）;

（2）教師活動的設(shè)計（10%）,學(xué)生活動的設(shè)計（20%）,學(xué)生心理、能力發(fā)展內(nèi)容的設(shè)

定（10%）；

（3）教學(xué)手段的運用（10%）?

3、教學(xué)效果的檢測（30%）

其中，學(xué)生測驗成績0.6,聽課教師評議0.4。

這節(jié)課，通過教學(xué)過程的設(shè)計，加強(qiáng)了學(xué)生在課堂上的有效學(xué)習(xí)實踐活動，既突出和

保證了學(xué)生的主體地位，又較好發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，整堂課中，學(xué)生不是在教師的講授

中被動的接受知識，而是在教師的引導(dǎo)下（由教師設(shè)計好的各環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)活動）通過參與學(xué)

習(xí)全過程來完成學(xué)習(xí)任務(wù)，這堂課較好體現(xiàn)了“活動性、自主性、創(chuàng)造性”（如：學(xué)生通過

實例自己發(fā)現(xiàn)知識并加以證明、自己出題進(jìn)行練習(xí)、自己出題進(jìn)行驗收、小組討論突破難點

等）。特別是在實現(xiàn)分層指導(dǎo)上的一些作法值得借鑒（如：對不同程度的學(xué)生的復(fù)習(xí)提問、

學(xué)生自己給自己出驗收題、課堂練習(xí)時，教師按不同程度，分別組織學(xué)生進(jìn)行不同的練習(xí)等）,

從而使這節(jié)課達(dá)到了教學(xué)目的和教改實驗?zāi)康摹?/p>

教師的教學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，課堂上注重創(chuàng)造熱烈、和諧的學(xué)習(xí)氛圍，師生關(guān)系融洽。教學(xué)中注意

滲透了“數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、類比”等數(shù)學(xué)思想并注意培養(yǎng)學(xué)生的能力。

這常課的教學(xué)過程設(shè)計是成功的。

存在的不足是：發(fā)現(xiàn)知識時，對于作為引例的兩個問題利用的不夠好，其中問題1中的

".....邊長的比”的表述不準(zhǔn)確，應(yīng)為“邊長的比值”，否則會給學(xué)生造成一定程度的思

維障礙。教學(xué)過程中，一個學(xué)生曾提出另一證法（見*1）,而教師沒有意識到。對于學(xué)生所

出的“⑤卜,2"+〃：，,一題僅指導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)充了條件“a>b”，而未加以分類討論，使學(xué)生

\a2-2ab+b2

失去了提高的機(jī)會。教學(xué)過程中，對“商的算術(shù)平方根性質(zhì)的實質(zhì)揭示的不夠，尤其是小結(jié)

時，不夠深入?！?/p>

最簡二次根式教材分析

作用與地位

作為二次根式乘、除法與加減法的過渡橋梁的“最簡二次根式”這一節(jié)課在本章中起

著承上啟下的作用，必須先復(fù)習(xí)與鞏固已學(xué)過的乘、除法知識。另一方面，本小節(jié)的內(nèi)容，

顯然是下一小節(jié)“二次根式的加減法”的基礎(chǔ)，因為加減法就是在識別“同類的”最簡二次

根式的前提下進(jìn)行的。

目的與要求

本課的內(nèi)容比較單純，就是要求學(xué)生掌握化簡一個二次根式成最簡二次根式的方法。當(dāng)

然，這首先需要知道什么是最簡二次根式（即本節(jié)課的重點），讓學(xué)生了解最簡二次根式的

概念，不在于能否背出定義，關(guān)鍵還是遇到實際式子能夠加以判斷（也就是本節(jié)課的難點）,

所以應(yīng)在練習(xí)中讓學(xué)生熟悉這個概念。我采用啟發(fā)式教學(xué)并借助實物投影以擴(kuò)充教學(xué)容量。

背景

在實際問題中，遇到二次根式，一般應(yīng)把它先化簡，這會給解決問題帶來方便，把二

次根式化簡，至少有以下三種用途：

（1）、把一個二次根式化簡后，可避免因誤差積累而造成的結(jié)果不準(zhǔn)確。

（2）、把兩個二次根式化簡后，它們的乘除法運算可能變得簡單，例如：

V32-V27=4A/2-3^/3=12A/6；15V12+2莊J5X2虐=電=屈。

2x36V5

（3）、把一組二次根式化簡成最簡二次根式后，可以對同類二次根式進(jìn)行加法、減法運

算（這將在下一小節(jié)中學(xué)習(xí)）.

學(xué)生們在前面已經(jīng)看到了這些用途，實際上，看到這些用途是第二位的，最重要的是從

這些用途中領(lǐng)會把復(fù)雜化為簡單，把未知化為已知，從而使問題得以解決的思想方法。

教學(xué)過程分成以下幾個步驟

一、提出問題：（投影顯示）

兩個問題首先是對二次根式乘、除法的復(fù)習(xí)；其次通過兩種解法對

比得出將繁雜的二次根式化為簡單的二次根式后，使解決問題更加容易。

二、問題解決：

依照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律引導(dǎo)學(xué)生從從簡單的問題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，突出本

節(jié)課的重點。并由此引出新課“最簡二次根式”，達(dá)到本課的第一個教學(xué)目的（理解最簡二

次根式的定義）。對于最簡二次根式的定義以開門見山的方式直接給出。

三、解決問題：

接著通過訓(xùn)練將最簡二次根式的定義加以熟練并總結(jié)出化簡最簡二

次根式的步驟，從而達(dá)到本課的第二個教學(xué)目的（會將不是最簡二次根式的根式化成最簡二

次根式）。

在訓(xùn)練內(nèi)容的選擇上考慮到學(xué)生接受新知識的能力一是以常用運算

為主，采用由淺入深，層層遞進(jìn)的方式，二是以基本技能為主，而不追求繁難式子化簡的特

殊技巧。在進(jìn)行最簡二次根式的化簡時，始終圍繞二次根式的概念和性質(zhì)，抓住學(xué)生問題的

癥結(jié)培養(yǎng)學(xué)生獨立學(xué)習(xí)，思考解決問題的能力。

四、總結(jié)問題：

采用學(xué)生小結(jié)教師補(bǔ)充的方式來概括本節(jié)課的知識。

最簡二次根式

教學(xué)目的

1、理解最簡二次根式的定義；

2、會將不是最簡二次根式的根式化成最簡二次根式。

教學(xué)重點:最簡二次根式的定義

教學(xué)難點：最簡二次根式的識別

教學(xué)方法:啟發(fā)、討論

教學(xué)媒體:實物投影儀

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)提問：

練習(xí)1：

①、二次根式的乘法運算法則是什么？（在黑板上寫出來）用文字語言怎么表達(dá)？對于

運算的結(jié)果有什么要求？（要盡量化簡）

②、二次根式的除法運算法則是什么？（在黑板上寫出來）用文字語言怎么表達(dá)？對于

運算的結(jié)果有什么要求？

練習(xí)2：

計算（1）V10xV27（2）15^/124-2V45

解（1）方法1：V10xV27=V10x27=710X3X32=3V30

方法2：V10xV27=VK)X3A/3=3V3O

解⑵方法h15版H折喀?務(wù)55x3x5x32

2V45-V452x45

15x2x3715

V15

2x45

方法2：15短.2底二空綽=半;屈

2x3V575

從這兩個題目中，都可看出先化簡再計算的好處。

練習(xí)3：

已知：72=1.414,如何求與我的近似值？(結(jié)果保留二位有效數(shù)字)

rr1V2V2

解：⑴---=--=7—=----?1.4144-2?0.71

2V2V2V22

(2)78=272?2X1.414?2.8

小結(jié)：從這個問題又可以看出，遇到一個二次根式將它化筒會給解決問題帶來方便，說

到化簡總是希望能化簡到最簡形式，那么什么樣的二次根式是“最簡二次根式”呢？

二、問題解決：

(板書)課題：§11.4最簡二次根式

定義：

它要求滿足以下兩條：

(1)被開方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式。

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因式或因數(shù)。

我們把符合這兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式。

例如：問題4中的、口化成最簡二次根式就是巫，V8化成最簡二次根就是2四。

V22

判斷下列各式是否為最簡二次根式？

(1)V12；(2)^45a2b；(3)V30x；(4)x

(5)4舊；(6)5mJ/+9；(7),25m4+225m2

三、解決問題：

例1把下列各式化成最簡二次根式：

(1)V12(2)145a2b

分析：化簡時，往往需要把被開方數(shù)分解因式或分解因數(shù)，把被開方數(shù)中能開得盡方

的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替后移到根號外。

解⑴V12=A/22X3=2A/3；

(2)飛45a2b=J32x5a2b=3aV5a。

練習(xí)1：(1)V32；(2)2，/人

答案：(1)4后；(2)2ab篇。

例2把下列各式化成最簡二次根式:

分析：(1)把被開方數(shù)中的帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù);

(2)化去根號下的分母；

(3)化去分母中的根號。

P__4A/3_4A/3XV2476

解：(1)4^1—-4=2^/6；

V2V272x722

[V_x4y_x4y_

注意：第1題中根號外面的4與根號里的帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分1在運

算的意義上是有區(qū)別的。

練習(xí)2：(1)Vo.8；(2)，4—；

分析：把被開方數(shù)中的小數(shù)化成分?jǐn)?shù)

2a」5bc/、y/2x

答案：(1)—V5；(2)—V2；-------；(4)----

52c4

練習(xí)3：判斷下列各等式是否成立，若不成立請說出正確的解法和答案。

(1)J16+9=4+3；

練習(xí)4：

(1)7(-8)2-4x(-4)；

(3)V0.04+0.01；(4)~——(a>l)

ava-2a~+a

分析：化簡時，當(dāng)被開方數(shù)是和的形式時先將它化為積的形式。

答案：（1）4后；（2）5mdm2+9；

y/a

(3)(4)

To-

四、問題總結(jié)：（采用學(xué)生小結(jié)教師補(bǔ)充的方式）

本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？

本節(jié)課學(xué)習(xí)了最簡二次根式的概念，知道了它的一些用途，同時還知道了如何化二次根

式為最簡二次根式，即如何辨析最簡二次根式

課外作業(yè)：187頁A組：1、2、3的偶數(shù)題；B組：1、2（學(xué)有余力的同學(xué)做）。

二次根式的加減法（一）

目的要求：

1、使學(xué)生知道什么是同類二次根式，會辨別兩個根式是否是同類二次根式。

2、使學(xué)生通過同類二次根式，培養(yǎng)從特殊中找出一般，從個性中找出共性的對立統(tǒng)

一觀點的數(shù)學(xué)思想方法。

教學(xué)重點：最簡二次根式的化簡。

教學(xué)難點：辨別同類二次根式。

教學(xué)過程：

復(fù)習(xí)提問：

1、什叫最簡二次根式？它必須滿足那幾個條件？（把學(xué)生回答的條件寫在黑板上，其

中應(yīng)該包括分母中不含根號這一條。）

2、把下列各式化成最簡二次根式：

(1)10^1|；(2)J(-8)2—4x(T)；

⑶J-；.+(gj；⑷aJU(a<b)

(讓四名學(xué)生上黑板做，其余學(xué)生分四組在下面選做)

3、已知：a=2,b=-8,c=5,求代數(shù)式一^~~生上的值。

2a

新課講解：

1、請同學(xué)們看下面兩個例子。

(1)計算2行+3人，有那些方法？

一種是根據(jù)行Q1.414,進(jìn)行近似計算，求出原式的近似值；

另一種是先設(shè)a=四，根據(jù)分配律進(jìn)行計算，即：

原式=2a+2b—(2+3)a=5a=5V2=

(2)計算我+M,有那些方法？

一種是查表求出百、M的近似值，在算出原式的近似值；

另一種是同前幾節(jié)課一樣，先把Ji、M進(jìn)行化簡，得：

原式=JF+J32x2=272+372=572,

其中最后一步變行形是根據(jù)例子(1)的結(jié)果。

從上面的例子可以看出：

(1)如果幾個二次根式的被開方數(shù)相同，那么可以直接根據(jù)分配律進(jìn)行加減運算；

(2)如果所給的二次根式不是最簡二次根式應(yīng)該先化簡，在考慮進(jìn)行加減法運算。

幾個二次根式化簡成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同

類二次根式。

說明：同類二次根式必須滿足以下兩個條件：

(1)它們都是最簡二次根式；

(2)它們的被開方數(shù)必須完全相同。

例1:下列各式中，哪些是同類二次根式?

0.____

6、78ab3

3

分析：先化簡成最簡二次根式；在判斷哪些是同類二次根式。

解：因為質(zhì)=452><3=5有；

11=F

V50V50X2

—4sab^=—xIb^lab=—yllab。

333

果向J溝>

所以JL，是同類二次根式。

50

V75,J—,總是同類二次根式。

V27

乙瓜丁、64已是同類二次根式。

3\2b

課堂練習(xí)：教科書第192頁上練習(xí)的第1題

課堂小結(jié)：

在這節(jié)課里，我們學(xué)習(xí)什么是同類二次根式，我們知道它們必須符合兩個條件，一是都

化成最簡二次根式的形式，二是被開方數(shù)完全相同?！巴惗胃健迸c“同類項”一樣，

將在加減法運算中起關(guān)鍵作用。從許多二次根式中找出同類二次根式，這種思想方法就歸類

的思想方法。與分類的思想一樣，它們都是我們學(xué)習(xí)各門學(xué)科（包擴(kuò)數(shù)學(xué)這樣的工具學(xué)科）

的重要思想方法。

課外作業(yè)：教科書習(xí)題11.5A組的第1題。

二次根式的加減法（二）

目的要求：

1、使學(xué)生會通過合并同類二次根式，進(jìn)行二次根式的加減法。

2、使學(xué)生通過二次根式的加減，進(jìn)一步了解歸類的思想方法。培養(yǎng)學(xué)生的運算能力。

教學(xué)重點：合并同類二次根式，進(jìn)行二次根式的加減法。

教學(xué)難點：通過二次根式的加減，了解歸類的思想方法.

教學(xué)過程：

復(fù)習(xí)提問：

1、什么叫做同類二次根式？它有那兩個必要條件？

（1）它們都是最簡二次根式；

（2）它們的被開方數(shù)必須完全相同。

2、下列二次根式中，哪些是同類二次根式?

(1)后;⑵6(3)一折;

(6)ylayb2o

3、x取什么值時，最簡二次根式3j2x+l與J3x—1是同類二次根式?

新課講解：

二次根式相加減,先把各個二次根式化簡成最簡二次根式,在把同類二次根式分別合并。

合并同類二次根式與合并同類項類似，因此，二次根式的加減可以對比整式的加減進(jìn)行。

例2計算：2瓦一4信+3國。

解：原式=4AQ—?6+12百

9

=(4—1+12)百

例3計算：-V9x+6J--2x.

34I

解：原式=2+3—2

=3y/x

課堂練習(xí)：教科書第192頁練習(xí)2題（1）、（2）、（3）、（4）

（請同學(xué)上黑板做并給予講評）

例4計算：（后一2g飛一后

解：原式=’近一2出一■!■行—5百

234

—（—―/直+（5-§）6

」行+用

43

注意：不是同類二次根式的二次根式不能合并。

課堂練習(xí)：教科書第192頁練習(xí)3題

課堂小結(jié)：

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二次根式的加法與減法運算。通過運算我們知道，二次根式相加減的

實質(zhì)就是合并同類二次根式，為了確認(rèn)哪些二次根式是同類二次根式，我們先要把被確認(rèn)的

二次根式都化簡成最簡二次根式，在按它們的被開方數(shù)是否完全相同去判斷。

課外作業(yè)：教科書第194頁4、5題；同步精練練習(xí)（二）。

二次根式的乘法（一）

【目的要求】

1、使學(xué)生掌握積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，會根據(jù)這一性質(zhì)熟練的化簡二次根式。

2、使學(xué)生會用公式和文字兩種語言形式來表示積的算術(shù)平方根的性質(zhì)。

【教學(xué)重點】理解并掌握積的算術(shù)平方根的性質(zhì)

【教學(xué)難點】理解并掌握積的算術(shù)平方根的性質(zhì)

【教學(xué)方法】

【教學(xué)過程】復(fù)習(xí)提問：

1、對于二次根式右中的被開方數(shù)a,我們有什么規(guī)定？

2、當(dāng)a20時，（JZ）2等于多少？

新課講解：

我們看下面的例子：J運=736=6,

V4XV9=2X3=6。

由此可以得7479=74XV9

一般的，有=&X屈（a20,b》0~J

這就是說：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。

注意：a,b必須都是非負(fù)數(shù)，上式才能成立。在本章中，如果沒有特別說明，所有字

母都表示正數(shù)。

例1:化簡：

(1)716x81(2)V2000

解：(1)V16x81=4\6XV8?=4X9=36；

(2)V2000=71O2x22x5=V107X廳XV5

=10X2X75

=20亞

注意：從上例可以看出，如果一個二次根式的被開方數(shù)中所有的因式(或因數(shù))能開的盡

方，可以利用積的算數(shù)平方根的性質(zhì)，將這些因式(或因數(shù))開出來，從而將二次根式化簡。

在例1中，我們根據(jù)算術(shù)平方根的定義，的出了標(biāo)7=10,疔=2等結(jié)果。一般的,

有：

=a(a與0)

例2：化簡：

(1)44a2b3(2)J.4+12y2

解：(1)飛4a2b3—A/22xa2xh2xh

=后x后x后x4b

—2aby[b

(2)yjx4+x2y2yjx2(x2+y2)

=7?xy]x2+y2

I~92-

=Xyjx+y

課堂練習(xí)：

教科書第175頁練習(xí)1、2題

課堂小結(jié)：

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即：

4ah=4ax4b(a20,b>0)；并且復(fù)習(xí)了以下公式：行=a(a20)。

加深了對非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的性質(zhì)的認(rèn)識。

課外作業(yè)：

教科書第177頁習(xí)題A組1、2、3題

同步精練練習(xí)(一)

板書設(shè)計：略。

二次根式的乘法(二)

【目的要求】

1、使學(xué)生掌握二次根式的乘法運算法則，會用它進(jìn)行簡單的二次根式的乘法運算。

2、使學(xué)生了解兩個二次根式的積仍然是一個二次根式(有的積可以化簡成最簡結(jié)果，甚

至不含根號)。

【教學(xué)重點】掌握積的算術(shù)平方根的性質(zhì)的運算

【教學(xué)難點】掌握積的算術(shù)平方根的性質(zhì)的運算

【教學(xué)過程】復(fù)習(xí)提問：

1、用兩種方式表示積的算術(shù)平方根的性質(zhì)。

(1)用含字母的公式表示；

(2)用文字語言表示。

2、化簡：

(1)736x256(2)V300(3)^a\b+c)2

(4)732X42X52(5)7132-122(6)ylab2(c+l)2

新課講解：

例3：在aABC中，NC=90°,AC=10cm,BC=24cm?求：AB

解：VAB2=AC2+BC2,

AB=dAC?+BC?

=71O2+242

=J676

=722X132

=2X13

=26(cm)

答：AB的長為26cm。

把&&義&(a20,b20)反過來得到：Vax4b=y[ab(a>0,

b20)。也就是說，二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變。運用這個式子，可

以進(jìn)行二次根式的乘法運算。

例4：計算：

(1)V14XV7(2)V5XVio

解：(1)幅="乂7="乂2=7尬

(2)75xV10=75x10=750=V25X2=A/52X2=5A/2

注意：二次根式運算的結(jié)果，應(yīng)該盡量化簡，如例4中的結(jié)果不要寫成6而應(yīng)化簡成

30o

課堂練習(xí)：

教科書第176頁練習(xí)1、2題

課堂小結(jié)：

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二次根式的乘法運算法則：而xJ^=J^(a》O,b》O),

以及利用這個法則進(jìn)行運算與化簡。并且學(xué)習(xí)了二次根式的乘法運算在幾何中的運用。

課外作業(yè)：

同步精練練習(xí)(二)

板書設(shè)計：略。

二次根式的除法

【目的要求】

1、使學(xué)生復(fù)習(xí)和鞏固二次根式的除法運算法則以及將分母有理化的方法，會用它熟練

地進(jìn)行簡單的二次根式的乘.除法運算。

2、使學(xué)生復(fù)習(xí)和鞏固算術(shù)平方根，二次根式的概念，以及積與商的算術(shù)平方根的性質(zhì)。

3、使學(xué)生會將分母中含有一個二次根式的式子進(jìn)行分母有理化，培養(yǎng)學(xué)生的運算能

力。

【教學(xué)重點】二次根式的除法運算法則的運算以及將分母有理化的方法。

【教學(xué)難點】二次根式的除法運算法則的運算以及將分母有理化的方法。

【教學(xué)方法】精講多練

【教學(xué)過程】復(fù)習(xí)提問：

(1)二次根式的除法與乘法運算的法則分別是什么？怎樣用文字語言分別表達(dá)它們？

對于運算結(jié)果有什么要求？

(2)二次根式的除法運算，除了運用除法法則外,還可用什么方法?在將分母有理化時,

關(guān)鍵是什么？

(3)積與商的算術(shù)平方根分別有什么性質(zhì)？怎樣用文字語言分別表達(dá)它們？它們的主

要用途是什么？它們與二次根式的乘.除法運算的關(guān)系是什么？使用這兩個公式時要注意什

么？

課堂練習(xí)：

2、把下列各式的分母有理化:

(1):(2)(3)

4V122V202Vo+l

3、利用分母有理化計算：

(1)XV24-J30；(2)-Jl2x-r---

5

現(xiàn)在請大家看教科書第184頁上的“想一想”，請四位同學(xué)上黑板分別計算各式子的左

邊和右，再判斷這四個等式是否成立。

看了以上結(jié)果，你們有什么體會？

課堂小結(jié)：

在這節(jié)課里，我們復(fù)習(xí)和鞏固了以下知識：

1、二次根式的乘法與除法的運算法則。

2、算術(shù)平方根、二次根式的概念，以及積與商的算術(shù)平方根的性質(zhì)。

以上這些知識今后要大量用到，我們應(yīng)該牢牢記住，并能夠熟練運用。

課外作業(yè)：

二次根式的混合運算（一）

【目的要求】

1、使學(xué)生復(fù)習(xí)和鞏固二次根式的加減運算。

2、使學(xué)生會進(jìn)行有關(guān)二次根式的簡單的加減、乘法混合運算。

【教學(xué)重點】會進(jìn)行有關(guān)二次根式的簡單的加減、乘法混合運算。

【教學(xué)難點】會進(jìn)行有關(guān)二次根式的簡單的加減、乘法混合運算。

【教學(xué)方法】精講多練

【教學(xué)過程】復(fù)習(xí)提問：

1、什么叫同類二次根式？

2、二次根式加減運算的方法是什么？

3、計算：

(2)

aI

(4)5y[x^y-ly4xy-6^^

新課講解:

在學(xué)習(xí)了二次根式的乘除法及二次根式的加減法后，在這個基礎(chǔ)上，我們就可以進(jìn)行二

次根式混合運算的學(xué)習(xí)了。當(dāng)二次根式有意義時，它所取的值都是實數(shù)。我們說過在實數(shù)范

圍內(nèi)，過去學(xué)過的運算律仍然使用。所以在進(jìn)行二次根式的混合運算時，可以把每一個二次

根式看作一個“單項式”，利用多項式的乘法法則及學(xué)過的運算律來做。

例1計算:

(1)(,/——5^/3)-V6；

V27

(2)(5+倔(5五-2折

解:(1),,V6

=-J—X6-5V376

=--15A/2

3

(2)(5+V6)(5V2-273)=25V2-1073-2572+5A/12-2718

=25V2-10V3-25V2+10V3-6V2

=19后

課堂小結(jié)：

這節(jié)課我們復(fù)習(xí)和鞏固了二次根式的加減運算，并利用多項式乘以單項式及多項式乘以

多項式的法則，學(xué)習(xí)了有關(guān)二次根式的簡單的加、減、乘法混合運算。由于混合運算同時牽

涉到加法、減法、乘法及分母有理化，所以要特別細(xì)心。一般說來，混合運算的結(jié)果也要求

盡量化簡。那就是說，結(jié)果中的每一“項?；蛘呤菃雾検?，或者是最簡二次根式，并且所

有同類二次根式都要合并。

課外作業(yè)：教科書第203頁習(xí)題A組1、2題；同步精練練習(xí)(一)。

二次根式的混合運算(二)

目的要求：

1、使學(xué)生復(fù)習(xí)和鞏固有關(guān)二次根式的簡單的加、減、乘混合運算。

2、使學(xué)生會利用乘法公式進(jìn)行有關(guān)二次根式的加、減、乘混合運算。

3、培養(yǎng)學(xué)生的運算能力。

教學(xué)重點：簡單的二次根式的加、減、乘混合運算。

教學(xué)難點：分母有理化。

教學(xué)過程：

復(fù)習(xí)提問：

1、幾個二次根式的和與一個二次根式相乘，可以運用類似整式乘法運算的法則嗎？

那么怎樣進(jìn)行？

2、計算：

(1)275(710+4712)；(2)3V6(3V2-V15)；

(3)32(2712-4^+3748)；

(