2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-第十一章-計(jì)數(shù)原理

2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)第十一章計(jì)數(shù)原理01兩個(gè)計(jì)數(shù)原理課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.分類加法計(jì)數(shù)原理兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是解決排列、組合問題的基本方法，也是與實(shí)際聯(lián)系密切的部分，既能獨(dú)立解決一些簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題，也常與排列組合問題、概率計(jì)算問題綜合命題，題型以小題為主，難度不大.在2024年高考的復(fù)習(xí)備考中要注意兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別并能靈活應(yīng)用.分步乘法計(jì)數(shù)原理兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

辨析比較兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理聯(lián)系兩個(gè)計(jì)數(shù)原理都是對(duì)完成一件事的方法種數(shù)而言.區(qū)別一每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事.每步依次完成才算完成這件事（每步中的每一種方法都不能獨(dú)立完成這件事）.區(qū)別二各類方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的，既不能重復(fù)也不能遺漏.各步之間是相互依存的，缺一不可.1.[多選]下列說法正確的是(

)A.在分類加法計(jì)數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同B.在分類加法計(jì)數(shù)原理中,每類方案中的方法都能直接完成這件事C.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事D.從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問題BD2.[教材改編]已知某公園有4個(gè)門，從一個(gè)門進(jìn)，另一個(gè)門出，則不同的進(jìn)出公園的方式有____種.12

3.[分步不清致誤]某人有3個(gè)電子郵箱，他要發(fā)5封不同的電子郵件，則不同的發(fā)送方法有_____種.243

4.[教材改編]書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．從書架中任取1本書，則不同的取法種數(shù)為___．9

命題點(diǎn)1

分類加法計(jì)數(shù)原理1.（1）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”（如2

022是“六合數(shù)”），則首位為2的“六合數(shù)”共有(

)A.18個(gè)

B.15個(gè)

C.12個(gè)

D.9個(gè)B

（2）在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是(

)

B

方法技巧分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇（1）應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置.根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn).（2）分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)，但也不能有遺漏.命題點(diǎn)2

分步乘法計(jì)數(shù)原理

A

（2）[多選]有4位同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán),則下列說法正確的是(

)

AC

方法技巧利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的.（2）將這件事劃分成幾個(gè)步驟來完成,各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了,整個(gè)事件才算完成.命題點(diǎn)3

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用3.（1）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是(

)

D

（2）《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，其中記載了“勾股圓方圖”（如圖），用以證明勾股定理.現(xiàn)提供4種不同顏色給圖中5個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為(

)C

B

8

方法技巧利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題的策略（1）當(dāng)題目無從下手時(shí),可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事.（2）對(duì)于復(fù)雜問題，一般是先分類再分步.（3）對(duì)于涂色問題，可按顏色的種類分類，也可按不同的區(qū)域分步完成.

2.[命題點(diǎn)2]如圖是某項(xiàng)工程的網(wǎng)絡(luò)圖，則從開始節(jié)點(diǎn)①到終止節(jié)點(diǎn)⑧的路徑共有(

)BA.14條

B.12條

C.9條

D.7條

C

02排列與組合課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)理解排列、組合的概念；能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.排列問題本講每年必考，主要以實(shí)際問題為情境考查計(jì)數(shù)問題，有時(shí)單獨(dú)命題，以小題為主，有時(shí)作為工具應(yīng)用于概率的計(jì)算，以大題為主，難度中等偏易.預(yù)計(jì)2024年高考仍會(huì)以創(chuàng)新實(shí)際生活情境為載體進(jìn)行命題.組合問題排列組合的綜合應(yīng)用1.排列與組合的概念名稱定義排列組合注意元素之間與順序有關(guān)的為排列，與順序無關(guān)的為組合.一定的順序2.排列數(shù)與組合數(shù)的概念名稱定義排列數(shù)排列的個(gè)數(shù)，用符號(hào)②____表示.組合數(shù)組合的個(gè)數(shù)，用符號(hào)③____表示.

公式性質(zhì)

1

1.5個(gè)相同的球，放入8個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒里至多放一個(gè)球，則不同的放法有(

)

B

2.[教材改編]從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是(

)

B

3.[教材改編]某班舉行了“弘揚(yáng)中華文化”演講比賽，有6人參加，并決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次）.甲、乙兩名參賽者去詢問成績(jī)，回答者對(duì)甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍.”對(duì)乙說:“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”從回答分析，6人的名次排列情況可能有(

)

D

4.[多選]下列說法正確的是

(

)

BD

210

命題點(diǎn)1

排列問題1.（1）[2022長沙檢測(cè)]中國古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才能：禮、樂、射、御、書、數(shù).某校國學(xué)社團(tuán)周末開展“六藝”課程講座活動(dòng)，每天連排六節(jié)，每“藝”一節(jié)，排課有如下要求：“禮”和“數(shù)”不能相鄰，“射”和“樂”必須相鄰.則“六藝”課程講座不同的排課順序共有(

)

D

（2）[2023貴州省貴陽市第一中學(xué)適應(yīng)性考試]中國書法一般分為篆書、隸書、行書、楷書和草書這5種字體，其中篆書分大篆和小篆，隸書分古隸和漢隸，草書分章草、今草和狂草，行書分行草和行楷，楷書分魏碑和唐楷.為了弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某書法協(xié)會(huì)采用楷書、隸書和草書3種字體書寫6個(gè)福字，其中隸書字體的福字分別用古隸和漢隸書寫，草書字體的福字分別用章草、今草和狂草書寫，楷書字體的福字用唐楷書寫.將這6個(gè)福字排成一排，要求相同類型字體的福字相鄰，則不同的排法種數(shù)為____.72

2.有3名男生、4名女生.（1）若排成前、后兩排，前排3人，后排4人，則不同的排列方法總數(shù)為_______.5

040

（2）若全體排成一排，女生必須站在一起，則不同的排列方法總數(shù)為_____.576

條件改變，設(shè)問不變（1）若全體排成一排，男生互不相鄰，則不同的排列方法總數(shù)為______.

（2）若全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊，則不同的排列方法總數(shù)為______.

（3）若全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，則不同的排列方法總數(shù)為______.

方法技巧求解排列問題的常用方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算.優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置.捆綁法相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素進(jìn)行排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列.插空法不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素的排列空位中.間接法對(duì)于分類過多的問題，一般利用正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法.命題點(diǎn)2

組合問題3.（1）將6個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子中,每個(gè)盒子至多可以放3個(gè)小球,且允許有空盒子,則不同的放法共有(

)

A

（2）[2022豫北名校聯(lián)考]第24屆冬奧會(huì)設(shè)有冬季兩項(xiàng)、雪車、冰壺、冰球、雪橇、滑冰、滑雪7個(gè)大項(xiàng).奧組委欲招募一批志愿者，甲、乙兩名大學(xué)生申請(qǐng)報(bào)名時(shí)，計(jì)劃每人從7個(gè)大項(xiàng)中隨機(jī)選取3個(gè)大項(xiàng)做服務(wù)工作，則兩人恰好選中相同的2個(gè)大項(xiàng)的不同報(bào)名情況有(

)

A

（3）[2021上海春季高考]某人某天運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長需要大于等于60分鐘，現(xiàn)有如下表所示的五項(xiàng)運(yùn)動(dòng)可以選擇，則共有____種運(yùn)動(dòng)組合方式.30分鐘20分鐘40分鐘30分鐘30分鐘

（4）[2018全國卷Ⅰ]從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有____種.（用數(shù)字填寫答案）16

方法技巧組合問題常見的兩類題型（1）“含”與“不含”的問題：“含”，則先將這些元素取出，再由剩下的元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取.（2）“至少”與“最多”的問題：解這類題的關(guān)鍵是理解“至少”與“最多”這兩個(gè)詞的含義.用直接法或間接法都可以求解這類題，當(dāng)用直接法處理較復(fù)雜時(shí)，可用間接法處理.命題點(diǎn)3

排列組合的綜合應(yīng)用角度1

有限制條件的排列組合問題

C

角度2

定序問題5.（1）[2022深圳市模擬]某場(chǎng)演出有5個(gè)節(jié)目，若甲、乙、丙3個(gè)節(jié)目間的先后順序已確定，則不同的排法有(

)

C

120

角度3

分配與分組問題6.（1）有5個(gè)大學(xué)保送名額，計(jì)劃分到3個(gè)班級(jí)，每班至少一個(gè)名額，有___種不同的分法.6

（2）教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育,在全國重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生,并在其畢業(yè)后將其分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)需將6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校去任教,有____種不同的分派方法.90

（4）若將6名教師分到3所中學(xué)任教,其中一所1名,一所2名,一所3名,則有_____種不同的分法．

方法技巧分組、分配問題的求解策略（1）常見的分組問題有以下三種.整體均分組部分均分組不等分組只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等.（2）常見的分配問題有以下三種.①相同元素的分配問題，常用“隔板法”求解.

②不同元素的分配問題，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，先分組，后分配.③有限制條件的分配問題，采用分類討論法求解.注意

（1）關(guān)于分組問題，應(yīng)該注意的是無論分成幾組，只要其中某些組中的元素個(gè)數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象.（2）解決分組與分配問題的基本方法就是先分組后分配.1.[命題點(diǎn)1/2023大同學(xué)情調(diào)研]高中數(shù)學(xué)新教材有必修一、二，選擇性必修一、二、三，共5本書，把這5本書放在書架上排成一排，必修一、必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是(

)

A

2.[命題點(diǎn)2/2022沈陽三模]中華民族傳統(tǒng)文化源遠(yuǎn)流長，小明學(xué)習(xí)了二十四節(jié)氣歌后，打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩詞，他準(zhǔn)備在冬季的6個(gè)節(jié)氣：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒與春季的6個(gè)節(jié)氣：立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨共12個(gè)節(jié)氣中選出4個(gè)不同的節(jié)氣，搜集與之相關(guān)的古詩詞，如果冬季節(jié)氣和春季節(jié)氣各至少被選出1個(gè)，那么小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是(

)

B

3.[命題點(diǎn)3角度1/2022新高考卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有(

)

B

4.[命題點(diǎn)3角度3]某班9名同學(xué)參加義務(wù)植樹活動(dòng)，若將這9名同學(xué)分成挖土、栽樹、澆水3個(gè)小組，每組3人，則甲、乙、丙3人在不同小組的分配方法種數(shù)為(

)

C

ABCD

B

03二項(xiàng)式定理課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題.求展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)本講是高考?？純?nèi)容，主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，求常數(shù)項(xiàng)，求某項(xiàng)系數(shù)，求某些項(xiàng)的系數(shù)和等，主要以小題的形式出現(xiàn)，難度不大.預(yù)計(jì)2024年高考命題常規(guī)，備考時(shí)要掌握各種問題類型及其求解方法.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的問題2022北京

T8課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題.二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用本講是高考常考內(nèi)容，主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，求常數(shù)項(xiàng)，求某項(xiàng)系數(shù)，求某些項(xiàng)的系數(shù)和等，主要以小題的形式出現(xiàn)，難度不大.預(yù)計(jì)2024年高考命題常規(guī)，備考時(shí)要掌握各種問題類型及其求解方法.續(xù)表1.二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)式系數(shù)

2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

C

A.第4項(xiàng)

B.第5項(xiàng)

C.第6項(xiàng)

D.第7項(xiàng)C[解析]

展開式共有11項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)為正，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，且第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)是第6項(xiàng).3.[多選]下列說法正確的是(

)

CD

1

024

命題點(diǎn)1

求展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)

160

A

C

D

因式分解法通過分解因式將三項(xiàng)式變成兩個(gè)二項(xiàng)式的積的形式，然后用二項(xiàng)式定理分別展開.逐層展開法將三項(xiàng)式分成兩組，用二項(xiàng)式定理展開，再把其中含兩項(xiàng)的一組展開，從而解決問