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連續(xù)系統(tǒng)模型的離散化處理方法
如果要求進(jìn)行實(shí)時(shí)仿真,或要求計(jì)算工作速度快時(shí),能在一個(gè)采用周期內(nèi)完成全部計(jì)算任務(wù),這就需要一些快速計(jì)算方法。數(shù)值積分法:將微分方程轉(zhuǎn)換成差分方程,這中間是一步步離散,每一步離散都用到連續(xù)系統(tǒng)的原模型,這樣的速度就慢了。第2頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天
本章方法:先對(duì)連續(xù)模型進(jìn)行離散化處理,得到一個(gè)“等效”的離散化模型,以后每一步計(jì)算都在這個(gè)離散化模型基礎(chǔ)上進(jìn)行,原來(lái)的模型不再參與計(jì)算這種方法,得到了簡(jiǎn)化的模型,便于在計(jì)算機(jī)上求解,且使計(jì)算速度加快第3頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天4.1替換法基本思想:設(shè)法找到S域到Z域的某種映射關(guān)系,將G(S)轉(zhuǎn)換成G(Z),再進(jìn)行Z的反變換,求得差分方程,據(jù)此便可以快速求解S域到Z域的最基本映射關(guān)系是:Z=eTS(T—采樣周期)如果直接代入G(S)求G(Z)很麻煩,則將Z=eTS作簡(jiǎn)化處理第4頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天一、派德近似公式(PADE)第5頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天二、簡(jiǎn)單替換法當(dāng)m=0,n=1,x=TS時(shí),e-(-TS)=1+TS即Z=1+TS這是一種簡(jiǎn)單替換方法,又稱歐拉映射法。舉例第6頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天三、雙線性替換法1替換關(guān)系:第7頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天
2高階系統(tǒng)雙線性替換計(jì)算機(jī)程序的自動(dòng)實(shí)現(xiàn)3雙線性替換性能評(píng)價(jià):穩(wěn)定性精度保持模型的階次不變頻率特性近似G(S)的穩(wěn)定增益不變具有串聯(lián)性高階系統(tǒng)能程序?qū)崿F(xiàn)第8頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天4.3離散相似法系統(tǒng)仿真離散相似法:將連續(xù)系統(tǒng)的G(S)模型進(jìn)行離散,得到各環(huán)節(jié)的離散化模型,再對(duì)等價(jià)的離散化模型進(jìn)行仿真計(jì)算特點(diǎn):按環(huán)節(jié)進(jìn)行離散,每計(jì)算一個(gè)步長(zhǎng),每個(gè)環(huán)節(jié)都獨(dú)立按輸入計(jì)算輸出,非線性環(huán)節(jié)也易包含進(jìn)去的-
可對(duì)含非線性環(huán)節(jié)的連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行仿真.第9頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天一、基本思路設(shè)計(jì)一個(gè)離散系統(tǒng)模型,使其中的信息流與給定的連續(xù)系統(tǒng)中的信息流相似設(shè)一個(gè)連續(xù)系統(tǒng),u(t)-輸入,y(t)-輸出在I/O端人為地加上兩個(gè)采樣開關(guān),信號(hào)重構(gòu)器(濾波器)--虛擬重構(gòu)器所能保持和延續(xù)的規(guī)律是不可能與原來(lái)的輸入信號(hào)u(t)完全一致的第10頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天
Y(t)的近似能否精確復(fù)現(xiàn)y(t)取決于u(t)的近似能否精確地復(fù)現(xiàn)u(t)仿真精度主要取決于采樣周期Ts的大小、信號(hào)重構(gòu)器的特性兩種形式:傳遞函數(shù)的離散化相似處理—離散傳遞函數(shù);連續(xù)狀態(tài)方程的離散相似處理—離散化狀態(tài)方程第11頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天二、Z域離散相似方法1基本方法第12頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天Z反變換得差分模型第13頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天主要步驟A畫出連續(xù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖B加入虛擬采樣開關(guān),選擇合適的信號(hào)重構(gòu)器CG(S)與Gh(S)串聯(lián),z變換—G(Z)DZ反變換—差分方程E根據(jù)差分方程編制仿真程序第14頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天2典型環(huán)節(jié)離散相似模型A積分環(huán)節(jié)B一階環(huán)節(jié)C二階環(huán)節(jié)第15頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天三、時(shí)域離散相似法原理1狀態(tài)方程的離散相似法描述
第16頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天
第17頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天A當(dāng)輸入函數(shù)u(KT)在兩采樣點(diǎn)間保持不變時(shí)第18頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天B當(dāng)輸入函數(shù)u(KT)在兩采樣點(diǎn)間線性變化時(shí)(一階保持)第19頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天
當(dāng)連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程系數(shù)A、B已知時(shí),可求出……此法相比于數(shù)值積分法;只要T不變,三個(gè)系數(shù)均不變,可以在仿真前預(yù)先計(jì)算好,這樣就減少了以后的計(jì)算工作量。第20頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天2典型環(huán)節(jié)的離散狀態(tài)方程A積分環(huán)節(jié):G(S)=K/S其狀態(tài)方程:X’=Ku
輸出方程:y=x
其中:A=0,B=K第21頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天積分環(huán)節(jié)的離散狀態(tài)方程和---B比例積分環(huán)節(jié)第22頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天離散模型C慣性環(huán)節(jié)第23頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天D超前-滯后環(huán)節(jié)第24頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天四、采用離散化模型的系統(tǒng)仿真把各個(gè)環(huán)節(jié)有機(jī)地連接起來(lái)。1連接矩陣(面向結(jié)構(gòu)圖)
12354a6---第25頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天
第26頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天
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連接方程U=wyKU—輸入向量YK—輸出向量W—連接矩陣第28頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天2仿真計(jì)算過(guò)程基本計(jì)算單元:各環(huán)節(jié)的離散化模型K個(gè)環(huán)節(jié),K個(gè)離散狀態(tài)方程,K個(gè)輸出方程A根據(jù)狀態(tài)向量初值X(0)以及輸出向量初值Y(0),算出所有環(huán)節(jié)的輸入B由X(0)、U(0)、U’(0)按離散狀態(tài)方程,算出所有的狀態(tài)量由狀態(tài)量、輸入量,按輸出方程算出所有的輸出,到此,完成一步;在此基礎(chǔ)上,進(jìn)行下一步,一直進(jìn)行,直到仿真完成。第29頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天3仿真程序框圖基本思路:各環(huán)節(jié)進(jìn)行分類編號(hào)計(jì)算各環(huán)節(jié)離散狀態(tài)方程系數(shù)矩陣依據(jù)各環(huán)節(jié)的連接關(guān)系及外部作用函數(shù)計(jì)算各環(huán)節(jié)的輸入函數(shù)u、u’依據(jù)各環(huán)節(jié)的兩個(gè)方程計(jì)算各環(huán)節(jié)當(dāng)前一步的狀態(tài)量Xn+1和輸出量Yn+1。第30頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天
初始化程序識(shí)別環(huán)節(jié)類型計(jì)算系數(shù)計(jì)算每個(gè)環(huán)節(jié)的輸入計(jì)算各環(huán)節(jié)狀態(tài)量計(jì)算各環(huán)節(jié)輸出量打印間隔到否打印Yn+1計(jì)算次數(shù)到否結(jié)束NN第31頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天五、離散相似模型的精度與穩(wěn)定性離散相似模型只能等效于原來(lái)的連續(xù)系統(tǒng)其精度受采樣周期和信號(hào)重構(gòu)器性能的影響信號(hào)重構(gòu)器存在一定程度的幅值減小和相位滯后在離散化后,模型精度變差,可能不穩(wěn)定。第32頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天1采樣周期對(duì)精度的影響香農(nóng)定理:當(dāng)一個(gè)具有有限頻道的連續(xù)信號(hào)f(t)進(jìn)行采樣時(shí),如果采樣頻率大于等于兩倍的f(t)的有效頻譜的最高角頻率,采樣函數(shù)便能無(wú)失真地復(fù)現(xiàn)原來(lái)的連續(xù)信號(hào)某一環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)頻帶取決于前面環(huán)節(jié)的系統(tǒng)響應(yīng)第33頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天
選擇Ts時(shí),滿足采樣定理,適當(dāng)考慮系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng),以防降低精度按系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間確定采樣周期,可取Ts=0.1TminTmin—系統(tǒng)中反應(yīng)最快的那個(gè)閉環(huán)子系統(tǒng)的最小時(shí)間常數(shù)第34頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天2信號(hào)重構(gòu)器對(duì)仿真模型精度的影響加入一個(gè)理想濾波器,保留輸入信號(hào)主頻段,濾掉附加的頻譜分量,不失真理想濾波器不存在,一般用零階、一階、三角保持器來(lái)近似3離散相似模型的穩(wěn)定性穩(wěn)定性不及雙線性替換法,Ts或信號(hào)重構(gòu)器選擇不當(dāng),離散模型的穩(wěn)定性變差不穩(wěn)定的離散模型是不能用來(lái)仿真連續(xù)系統(tǒng)的第35頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天
六、利用數(shù)字補(bǔ)償器提高離散相似模型的精度和穩(wěn)定性信號(hào)重構(gòu)器串聯(lián)一個(gè)補(bǔ)償器,來(lái)彌補(bǔ)幅值減小、相位滯后作業(yè):4.24.5第36頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天
4.6.1X1=1-exp(-t)X2=exp(-t)-1T=0.01X1(n+1)=x1(n)+0.01*x2(n)+0.01+0.00005*(-x1(n)-2*x2(n)-1)X2(n+1)=0.9802*x2(n)-0.0099*(x1(n)+1)-0.0000497*(x2(n)+1)第37頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天
4.6.2X(t)=1-0.0506exp(-8.925t)-0.9494exp(-0.5375t)cos1.856t-0.5183exp(-0.5375t)sin1.856tf1=x2;f2=x3;f3=-33.33x1-13.33x2-10x3+33.33X=x1T=0.01X1(n+1)=x1(n)+0.01x2(n)+0.00005x3(n)X2(n+1)=0.9993x2(n)+0.0095x3(n)-0.00167x1(n)+0.00167X3(n+1)=0.90416x3(n)-0.1285x2(n)-0.3171x1(n)+0.3171第38頁(yè),共39頁(yè),2024年2月25日,星期天
4.8雙線性和RK4S=2(z-1)/T/(z+1)W(n+1)=w(
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