不等式的性質(zhì)教案1 人教課標(biāo)版

《不等式的性質(zhì)》教案

課題：不等式的樓層（）

教學(xué)目的：

.了解不等式的實(shí)際應(yīng)用及不等式的重要地位和作用；

.掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.

教學(xué)重點(diǎn)：比較兩實(shí)數(shù)大小.

教學(xué)難點(diǎn)：差值比較法：作差一變形一判斷差值的符號(hào).

授課類(lèi)型：新授課

課時(shí)安排：課時(shí)

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)過(guò)程：

一、引入：

人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因與結(jié)果的不同等等都表

現(xiàn)出不等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實(shí)世界中的量，不等是普遍的、絕對(duì)的，而相等則是局部的、相

對(duì)的.研究不等關(guān)系，反映在數(shù)學(xué)上就是證明不等式與解不等式.實(shí)數(shù)的差的正負(fù)與實(shí)數(shù)的大小

的比較有著密切關(guān)系，這種關(guān)系是本章內(nèi)容的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù).因

此，本節(jié)課我們有必要來(lái)研究探討實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系.

生活中為什么糖水中加的糖越多越甜呢？

轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：克糖水中含有克糖（>>）,若再加（力克糖，則糖水更甜了，為什么？

分析：起初的糖水濃度為yh,加入克糖后的糖水濃度為h^—+in只要證b匕+m一b即可.怎

aa+ma+ma

么證呢？引人課題.

二、講解新課：

.不等式的定義：用不等號(hào)連接兩個(gè)解析式所得的式子，叫做不等式.

說(shuō)明：（）不等號(hào)的種類(lèi)：>、<、》（在）、W（左）、W.

（）解析式是指：代數(shù)式和超越式（包括指數(shù)式、對(duì)數(shù)式和三角式等）

（）不等式研究的范圍是實(shí)數(shù)集.

.判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的充要條件

對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)、，在〈三種關(guān)系中有且僅有一種成立.判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的充

要條件是：

a>boa-b>（）

a=b=a—b=0

a<b<^>a-b<0

由此可見(jiàn)，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)就可以了，這好比站在同

一水平面上的兩個(gè)人，只要看一下他們的差距，就可以判斷他們的高矮了.

三、講解范例：

例比較（+）（—5）與（+）（-）的大小.

分析：此題屬于兩代數(shù)式比較大小，實(shí)際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展

開(kāi)，合并同類(lèi)項(xiàng)之后，判斷差值正負(fù)（注意是指差的符號(hào)，至于差的值究竟是多少，在這里無(wú)

關(guān)緊要）.并根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則來(lái)得出兩個(gè)代數(shù)式的大小.把比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為實(shí)數(shù)運(yùn)算符號(hào)問(wèn)題.

本題知識(shí)點(diǎn)：整式乘法，去括號(hào)法則，合并同類(lèi)項(xiàng).

解：由題意可知：

(+)(-5)-(+)(-)

=(——5)-(——8)

=一7<

(+)(-5)<(+)(-)

例已知W,比較(+)與++的大小.

分析：此題與例基本類(lèi)似，也屬于兩個(gè)代數(shù)式比較大小，但是其中的有一定的限制，應(yīng)

該在對(duì)差值正負(fù)判斷時(shí)引起注意，對(duì)于限制條件的應(yīng)用經(jīng)常被學(xué)生所忽略.

本題知識(shí)點(diǎn)：乘法公式，去括號(hào)法則，合并同類(lèi)項(xiàng).

解：由題意可知：

(+)-(++)

=(++)-(++)

=+-|---------

,/豐：.>

(+)—(++)>

(+)>++.

例引伸：在例中，如果沒(méi)有#這個(gè)條件，那么兩式的大小關(guān)系如何？

在例中，如果沒(méi)有W這個(gè)條件，那么意味著可以全取實(shí)數(shù)，在解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)分=和會(huì)

兩種情況進(jìn)行討論，即：

當(dāng)=時(shí)，(+)=++

當(dāng)#時(shí)，(+)>++

此題意在培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，提醒學(xué)生在解決含字母代數(shù)式問(wèn)題時(shí)，不要忘記

代數(shù)式中字母的取值范圍，一般情況下，取值范圍是實(shí)數(shù)集的可以省略不寫(xiě).

得出結(jié)論：例，例是用作差比較法來(lái)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，其一般步驟是：作差一一變

形一一判斷符號(hào).這樣把兩個(gè)數(shù)的大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷它們差的符號(hào)問(wèn)題，至于差本身是多少，

在此無(wú)關(guān)緊要.

h+nih

例已知>>,>,試比較仁絲與匕的大小.

a+ma

b+mbab+am-ab-bmm(a-b)

解：---------=------------------=---------

a+maa(a+m)a(a+m)

V?,>,>

.m(a—b)b+mb

：.----------->0n..-------->—.

a(a+ni)a+ma

從而揭示“糖水加糖甜更甜”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵.

例比較與0的大小.

解：()

()0()0

0()

=()[()()()]

0()

2

<0(當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào))

???>().

說(shuō)明：“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步.因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”

的常用方法.

例已知〉，且不,比較上X與的大小.

y

解：2_i=q

yy

,/>,/.>

當(dāng)〈時(shí)，二二2<,即土<

yy

當(dāng)〉時(shí)，'二上>,即日>.

yy

說(shuō)明：變形的目的是為了判定符號(hào)，此題定號(hào)時(shí)，要根據(jù)字母取值范圍，進(jìn)行分類(lèi)討論.

四、課堂練習(xí)：

.在以下各題的橫線處適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)：

()(V3+V2)6+V6；

()(V3-V2)(V6-)；

()------...——?

V5-2V6-V5，

。當(dāng)>>時(shí)，?]

22

答案：()<()<()<()<

.選擇題

若V,一<<,則有()

.>>.>>.>>.>>

分析：利用作差比較法判斷，，的大小即可.

,/<,-<<

,—V,—>><<,一>

(-)>=>>

一=(―)>=>

—=(—)<=><

故>>?

答案：

.比較大?。?/p>

()(+5)(+7)與(+6)；

解：()(+5)(+7)-(+6)

=(++5)-(++6)

=-<

A(+5)(+7)<(+6)

()解法一：(作差法)

,1,1

§g22

1_1_32=lg3lg2=lg3-lg2

”j111-lg2lg3-1g21g3

23

_(lg3+lg2)(lg3-lg2)>

lg21g3

12，313/2

解法二：(中介法，常以“一,,”作中介)

?函數(shù)=]和=]在(，+8)上是減函數(shù)且

II23

1111

??[—>[-=，1-V]—=

1223-23-2-33

?如果〉，比較(五一)與(J7+)的大小.

解：(y/x—)—(y[~X+)

=[(y[x—)+(Vx+)][(>!~X—)—(Vx+)

或[(—?+)—(+4+)]=—Vx

>:.網(wǎng)>：.-4x<

/.(Vx—)V(y/~X+)

?已知工,比較(+J5+)(—+)與(++)?(—F)的大小.

解：(++)(—V2+)—(++)(—F)

=[(+)-(V2)]-[(+)-]=—

■:豐,：.>：.-<

故（+/+）（-V2+）<（++）（-+）.

五、小結(jié)：本節(jié)學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，并以此關(guān)系為依據(jù)，研究了

如何比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，其具體解題步驟可歸納為：

第一步：作差并化簡(jiǎn)，其目標(biāo)應(yīng)是個(gè)因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式.

第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時(shí)須進(jìn)行討論.

第三步：得出結(jié)論.

在某些特殊情況下（如兩數(shù)均為正，且作商后易于化簡(jiǎn)）還可考慮運(yùn)用作商法比較大小.它與作差

法的區(qū)別在于第二步，作商法是判斷商值與的大小關(guān)系.

六、課后作業(yè)：

2x+4y=l,比較％2+卜2與_!_的大小

解：x=^yx^+f-±……

.比較。與0的大?。?lt;。<兀）

解:0-00（-0）

當(dāng)Oe（K）時(shí)。（一。）20》。

當(dāng)0e（7ui）時(shí)o（-o）<e<e

.設(shè)”>0且awl,Z>0,比較glog“f與log“的大小

解：山一〃=正以0...U"

222

當(dāng)a>1時(shí)glogJWlog?合；當(dāng)0<a<1時(shí)Jog,/》log。?

?設(shè)。>0且aHl,比較10g（/+1）與log^Y+l）的大小

解：（a3+i）_（a2+］）=a2（a_D

2

當(dāng)0<a<1時(shí)/+1</+1log,4/+l)>logfl(a+1)

32

當(dāng)。>1時(shí)a，+1>a?+1iog“(a+1)>logu(o+1)

3

總有l(wèi)og(((a+1)>log“(a2+1)

七、板書(shū)設(shè)計(jì)(略)

八、課后記：

課題：不等式的佟星()

教學(xué)目的:

.理解同向不等式，異向不等式概念；

.理解不等式的性質(zhì)定理一及其證明；

.理解證明不等式的邏輯推理方法.

.通過(guò)對(duì)不等式性質(zhì)定理的掌握，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)變的解題能力和思考問(wèn)題嚴(yán)謹(jǐn)周密的習(xí)慣.

教學(xué)重點(diǎn)：掌握不等式性質(zhì)定理、、及推論，注意每個(gè)定理的條件.

教學(xué)難點(diǎn)：.理解定理、定理的證明，即“>o<和>,>=>”的證明.這兩個(gè)定理證明的

依據(jù)是實(shí)數(shù)大小的比較與實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則.

.定理的推論，即“>,>n+>+”是同向不等式相加法則的依據(jù).但兩個(gè)同向不等式的

兩邊分別相減時(shí)，就不能得出一般結(jié)論.

授課類(lèi)型：新授課

課時(shí)安排：課時(shí)

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)方法：

引導(dǎo)啟發(fā)結(jié)合法一一即在教師引導(dǎo)下，由學(xué)生利用己學(xué)過(guò)的有關(guān)知識(shí)，順利完成定理的

證明過(guò)程及定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入：

.判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的充要條件是：

a>hoa-h>0

a=h<^>a—b=0

a<ba-b<0

.()如果甲的年齡大于乙的年齡，那么乙的年齡小于甲的年齡嗎?為什么？

()如果甲的個(gè)子比乙高，乙的個(gè)子比丙高，那么甲的個(gè)子比丙高嗎?為什么？

從而引出不等式的性質(zhì)及其證明方法.

二、講解新課：

.同向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相同的不等式，例如：>,>,是同向不等式.異向不等式:

兩個(gè)不等號(hào)方向相反的不等式.例如：>,<,是異向不等式.

.不等式的性質(zhì)：

定理：如果〉，那么<,如果<,那么>.(對(duì)稱(chēng)性)

即：>=<；<=>

證明：

由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，得()<

即</.<(定理的后半部分略).

點(diǎn)評(píng)：可能個(gè)別學(xué)生認(rèn)為定理沒(méi)有必要證明，那么問(wèn)題：若〉，則上和‘誰(shuí)大？根據(jù)

ab

學(xué)生的錯(cuò)誤來(lái)說(shuō)明證明的必要性.”實(shí)數(shù)、的大小”與“與零的關(guān)系”是證明不等式性質(zhì)

的基礎(chǔ)，本定理也稱(chēng)不等式的對(duì)稱(chēng)性.

定理：如果〉，且〉，那么>.(傳遞性)

即>，>=>

證明：：>,>.*.>>>

根據(jù)兩個(gè)正數(shù)的和仍是正數(shù)，得

()()>即>

/.>

根據(jù)定理，定理還可以表示為：<,<=><

點(diǎn)評(píng)：這是不等式的傳遞性、這種傳遞性可以推廣到個(gè)的情形.

定理:如果〉，那么〉.

即〉=>>

證明：???>,

.,.()()>即〉

點(diǎn)評(píng)：()定理的逆命題也成立；

()利用定理可以得出：如果〉，那么〉，也就是說(shuō)，不等式中任何一項(xiàng)改變符號(hào)

后，可以把它從一邊移到另一邊.

推論：如果〉，且〉，那么>.(相加法則)

即〉，>=?.

證法一：

a>b=>a+c>b+c

?=>>

c>d^>b+c>h+d

證法二：

a>b=>a-b>0]

>=>a—b+c—d>0=>>

c>d=>c-d>0

點(diǎn)評(píng)：()這一推論可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式兩邊分別相加，BP：兩個(gè)或者更多

個(gè)同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；

O兩個(gè)同向不等式的兩邊分別相減時(shí)，不能作出一般的結(jié)論；

三、講解范例：

例已知〉，<,求證：>.(相減法則)

分析：思路一：證明“一>一"，實(shí)際是根據(jù)已知條件比較一與一的大小，所以以實(shí)數(shù)的

運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系為依據(jù)，直接運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則來(lái)確定差的符號(hào)，最

后達(dá)到證題目的.

證法一：V>,<

v->,->

(-)-(-)

=(-)+(-)>(兩個(gè)正數(shù)的和仍為正數(shù))

故一〉一.

思路二：我們已熟悉不等式的性質(zhì)中的定理?定理及推論，所以運(yùn)用不等式的性質(zhì)，加

以變形，最后達(dá)到證明目的.

證法二：—>一

又；〉

；.+(-)>+(-)

四、課堂練習(xí)：

.判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由：

()如果〉，那么一>一；

()如果〉，那么巴>2.

CC

分析：從不等式性質(zhì)定理找依據(jù)，與性質(zhì)定理相違的為假，與定理相符的為真.

答案：0真.因?yàn)橥评矸?hào)定理.

（）假.由不等式的基本性質(zhì)，（初中）可知，當(dāng)〈時(shí)，巴<2.即不等式兩邊同乘以一個(gè)數(shù)，

CC

必須明確這個(gè)數(shù)的正負(fù).

.回答下列問(wèn)題：

（）如果〉，>,能否斷定+與+誰(shuí)大誰(shuí)小?舉例說(shuō)明；

（）如果>，〉,能否斷定一與一誰(shuí)大誰(shuí)小?舉例說(shuō)明.

答案：（）不能斷定?例如：>?v=+v+；而〉，-V—?8=—>一?8.異向不等式作

加法沒(méi)定論.

（）不能斷定.例如>，=>=—=—=—,+=—,其大小不定?=8>=時(shí)一=6>+=

?而=>=時(shí)一=<+=?

.求證：（）如果,，>,那么一>一；

（）如果〉，那么一V一?

a>b=>a-d>b-d

證明：6c>dn-c>=a-d>b-c.

=b—c<b—d

.已和>>>>,且@=￡,求證：+>+.

bd

證明：=￡

bd

.a-bc-d

..------=--------

bd

（一）—（一）.

又?.?>>>>

_b

—>,—>,>>且一>

d

—>一即+>+.

評(píng)述：此題中，不等式性質(zhì)和比例定理聯(lián)合使用，使式子形與形之間的轉(zhuǎn)換更迅速.這道

題不僅有不等式性質(zhì)應(yīng)用的信息，更有比例的信息，因此這道題既要重視性質(zhì)的運(yùn)用技巧，

也要重視比例定理的應(yīng)用技巧.

五、小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)定理?定理及其推論，理解不等式性質(zhì)的反對(duì)稱(chēng)

性（>o<=、傳遞性（>,>=>）、可加性（>=>+>+）、加法法則（>,>=>+>+）,

并記住這些性質(zhì)的條件，尤其是字母的符號(hào)及不等式的方向，要搞清楚這些性質(zhì)的主要用途

及其證明的基本方法.

六、課后作業(yè)：

.如果求不等式同時(shí)成立的條件.

ab

—1__1—_b