高中數(shù)學數(shù)學文化鑒賞與學習數(shù)學與生活-數(shù)學與交通教師版

數(shù)學與生活-數(shù)學與交通數(shù)學與生活之數(shù)學與交通社會生活中離不開交通，往往涉及到交通路徑的合理選擇?運輸能力的合理調(diào)配?人力資源的合理分配等，這些都是涉及到我們所學的數(shù)學知識.一?好題賞析例1.1．“數(shù)學抽象、邏輯推理”素養(yǎng)]唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B．5 C． D．例2.2．北京大興國際機場（如圖所示）位于中國北京市大興區(qū)和河北省廊坊市交界處，為級國際機場、世界級航空樞紐、如圖，天安門在北京大興國際機場的正北方向處，北京首都國際機場在北京大興國際機場北偏東16.28°方向上，在天安門北偏東47.43°的方向上，則北京大興國際機場與北京首都國際機場的距離約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A． B．C． D．二?小試牛刀3．明朝早起，鄭和七下西洋過程中，將中國古代天體測量方面所取得的成就創(chuàng)造性地應用于航海，形成了一套先進的航海技術(shù)——“過洋牽星術(shù)”，簡單地說，就是通過觀測不同季節(jié)?時辰的日月星辰在填空運行的位置和測量星辰在海面以上的高度來判斷水位.其采用的主要工具是牽星板，其由塊正方形模板組成，最小的一塊邊長約(稱一指)，木板的長度按從小到大均兩兩相差，最大的邊長約(稱十二指).觀測時，將木板立起，一手拿著木板，手臂伸直，眼睛到木板的距離大約為，使牽星板與海平面垂直，讓板的下緣與海平面重合，上邊緣對著所觀測的星辰依高低不停替換?調(diào)整木板，當被測星辰落在木板上邊緣時所用的是幾指板，觀測的星辰離海平面的高度就是幾指，然后就可以推算出船在海中的地理緯度.如圖所示，若在一次觀測中，所用的牽星板為六指板，則約為（

）A． B． C． D．4．宋代學者聶崇義編撰的《三禮圖集注》中描述的周王城，“匠人營國，方九里，旁三門，國中九經(jīng)九緯……”；意思是周王城為正方形，邊長為九里，每邊都有左中右三個門；城內(nèi)縱橫各有九條路……；則依據(jù)此種描述，畫出周王城的平面圖，則圖中共有（

）個矩形A．3025 B．2025 C．1225 D．25255．航天之父?俄羅斯科學家齊奧科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年給出火箭最大速度的計算公式.其中，是燃料相對于火箭的噴射速度，是燃料的質(zhì)量，是火箭（除去燃料）的質(zhì)量，v是火箭將燃料噴射完之后達到的速度.已知，則當火箭的最大速度可達到時，火箭的總質(zhì)量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的質(zhì)量的（

）倍.A． B． C． D．6．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內(nèi)的點，、、是的三個內(nèi)角，且滿足，，則（

）A．B．C．D．7．游客從杭州城站到西湖之濱，最先看到的是公園瀕湖一帶的護欄，南北綿延約1公里，柱與柱之間是一條條輕勻懸鏈，映照湖上的水光山色.德國數(shù)學家萊布尼茲把這種架在等高兩柱間?自然下垂有均勻密度的曲線稱為懸鏈線.如果建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，那么懸鏈線可以表示為函數(shù)，其中，則下列關(guān)于懸鏈線函數(shù)的性質(zhì)判斷中，正確的有（

）A．為偶函數(shù) B．為奇函數(shù)C．的最小值為 D．的單調(diào)增區(qū)間為8．海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時返回海洋.一艘貨船的吃水深度（船底到水面的距離）為4m.安全條例規(guī)定至少要有2.25m的安全間隙（船底到海底的距離），下表給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深.時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m0：005.09：002.518：005.03：007.512：005.021：002.56：005.015：007.524：005.0若選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，則下列說法中正確的有（

）A． B．C．該貨船在2：00至4：00期間可以進港 D．該貨船在13：00至17：00期間可以進港9．自古以來，人們對于崇山峻嶺都心存敬畏，同時感慨大自然的鬼斧神工，一代詩圣杜甫曾賦詩《望岳》：“岱宗夫如何？齊魯青未了.造化鐘神秀，陰陽割昏曉，蕩胸生層云，決毗入歸鳥.會當凌絕頂，一覽眾山小.”然而，隨著技術(shù)手段的發(fā)展，山高路遠便不再阻礙人們出行，偉大領(lǐng)袖毛主席曾作詞：“一橋飛架南北，天塹變通途”.在科技騰飛的當下，路橋建設(shè)部門仍然潛心研究如何縮短空間距離方便出行，如港珠澳跨海大橋等.如圖為某工程隊將到修建一條隧道，測量員測得一些數(shù)據(jù)如圖所示（，，，在同一水平面內(nèi)），則，間的距離為______.10．巍巍泰山為我國的五岳之首，有“天下第一山”之美譽，登泰山在當?shù)赜小熬o十八，慢十八，不緊不慢又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受，下面是一段登山路線圖．同樣是登山，但是從A處到B處會感覺比較輕松，而從B處到C處會感覺比較吃力．想想看，為什么？你能用數(shù)學語言來量化BC段曲線的陡峭程度嗎？11．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”詩中隱含著一個有趣的“將軍飲馬”問題，這是一個數(shù)學問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使得總路程最短？在平面直角坐標系中，將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即為回到軍營.（1）若軍營所在區(qū)域為：，求“將軍飲馬”的最短總路程；（2）若軍營所在區(qū)域為為：，求“將軍飲馬”的最短總路程．12．重慶是我國著名的“火爐”城市之一，如圖，重慶某避暑山莊為吸引游客，準備在門前兩條小路和之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感，已知，弓形花園的弦長，記弓形花園的頂點為，，設(shè).（1）將、用含有的關(guān)系式表示出來；（2）該山莊準備在點處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何設(shè)計、的長度，才使得噴泉與山莊的距離的值最大？參考答案：1．A【分析】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，根據(jù)該直線是BC的中垂線可列出關(guān)于和的方程組，解出C點坐標，再利用兩點間距離公式求出即可．【詳解】解：如圖所示，設(shè)將軍在河邊處飲馬，連接，，則“將軍飲馬”的總路程為.設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，，即.連接，，，則，所以，所以“將軍飲馬”的最短總路程為.故選：A.2．A【分析】由題意可得，，，然后在中利用正弦定理求解即可【詳解】如圖所示，由題意可得，，，由正弦定理可得，即，解得．故選：A3．D【分析】根據(jù)題意得到六指，進而得到，再結(jié)合二倍角的正弦公式和商數(shù)關(guān)系求解.【詳解】由題意知：六指為，所以，所以，.故選：D4．A【分析】本題可借助組合數(shù)以及分步乘法計數(shù)原理得出結(jié)果.【詳解】要想組成一個矩形，需要找出兩條橫邊、兩條縱邊，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，依題意，所有矩形的個數(shù)為，故選：A.5．A【分析】將已知條件，代入中，轉(zhuǎn)化為指數(shù)形式，計算的值即可求解.【詳解】由題意可知：，，代入可得，所以，可得，可得，即，所以，所以火箭的總質(zhì)量（含燃料）的質(zhì)量是火箭（除去燃料）的質(zhì)量的倍，故選：A.6．ABCD【分析】變形后表示為，再由奔馳定理得出向量的關(guān)系，利用平面向量基本定理判斷A，利用數(shù)量積的運算，變形后證明是的重心，由平面幾何知識判斷B，利用數(shù)量積的定義表示已知數(shù)量積的等式，結(jié)合選項B的結(jié)論可證明C，求出的面積，利用選項B的結(jié)論轉(zhuǎn)化，再利用選項C的結(jié)論可得面積比，然后結(jié)合奔馳定理可判斷D．【詳解】因為，所以，即，所以，又由奔馳定理得，因為不共線，所以，所以，A正確；延長分別與對邊交于點，如圖，由得，所以，同理，所以是的垂心，所以四邊形中，，所以，B正確；由得，所以，由選項B得，，，所以，C正確；由上討論知，，，所以，又由選項C：，得，由奔馳定理：得，D正確．故選：ABCD．【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，考查學生的創(chuàng)新能力，理解新知識、應用新知識的能力．解題關(guān)鍵一是利用平面向量基本定理知用基底表示平面上任一向量的方法是唯一的，由此可得等量關(guān)系，二是利用數(shù)量積的運算得出是三角形的垂心，由此利用平面幾何知識得出角的關(guān)系，再利用三角函數(shù)知識進行推導得出相應結(jié)論．7．ACD【分析】利用奇偶函數(shù)的定義，均值不等式，導數(shù)等知識逐項判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為,定義域關(guān)于原點對稱且為偶函數(shù),故A選項正確，B選項錯誤；當且僅當時,即取等號，故C選項正確；當時，在上單調(diào)遞增,故D選項正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：使用均值不等式的時候，應注意“一正，二定，三相等”.8．BCD【分析】依據(jù)題中所給表格，寫出的表達式而判斷選項A，B；再根據(jù)船進港的條件列出不等式，求解即可判斷選項C，D.【詳解】依據(jù)表格中數(shù)據(jù)知，可設(shè)函數(shù)為，由已知數(shù)據(jù)求得，，周期，所以﹐所以有，選項A錯誤；選項B正確；由于船進港水深至少要6.25，所以，得，又，則有或，從而有或，選項C，D都正確.故選：BCD【點睛】解三角不等式關(guān)鍵在于：找準不等式中的函數(shù)值m所對角；長為一個周期的區(qū)間內(nèi)相位所在范圍.9．【解析】連接，在中，利用余弦定理求出的長，用正弦定理求出，進而可得，再在中，利用余弦定理求出即可【詳解】解：如圖，連接，在中，由余弦定理得，，所以，由正弦定理得，，即，解得，因為，所以，在中，，所以，即，間的距離為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查正弦定理和余弦定理的應用，解題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用幾何圖形畫出輔助線，正確利用正余弦定理求解，考查計算能力，屬于中檔題10．見解析【詳解】試題分析：根據(jù)圖中A,B,C的坐標計算出山路從A到B高度的平均變化率和山路從B到C高度的平均變化率，根據(jù)變化率越大山路越陡峭即可得結(jié)論.試題解析：山路從A到B高度的平均變化率為hAB＝＝，山路從B到C高度的平均變化率為hBC＝＝，∴hBC>hAB.∴山路從B到C比從A到B要陡峭的多．11．（1）；（2）.【分析】（1）作出圖形，先算出點A關(guān)于已知直線的對稱點，進而連接交已知直線于點P，則點P為飲馬點，然后求出最短總路程；（2）作出圖形，進而選取區(qū)域內(nèi)離最近的點，最后求出最短總路程.【詳解】（1)若軍營所在區(qū)域為，圓：的圓心為原點，半徑為，作圖1如下：設(shè)將軍飲馬點為，到達營區(qū)點為，設(shè)為關(guān)于直線的對稱點，因為，所以線段的中點為，則，又，聯(lián)立解得：，即.所以總路程，要使得總路程最短，只需要最短，即點到圓上的點的最短距離，即為.（2）軍營所在區(qū)域為，對于，在，時為令，得，令，則，圖形為連接點和的線段，根據(jù)對稱性得到的圖形為圖2中所示的菱形，容易知道：為這個菱形的內(nèi)部(包括邊界).由圖2可知，最短路徑為線段，連接交直線于點，則飲馬最佳點為點Q，所以點到區(qū)域最短距離．即“將軍飲馬”最短總路程為.12．（1），；（