專題22雙曲線(解析版)

專題22雙曲線(解析版)易錯(cuò)點(diǎn)1：焦點(diǎn)位置不確定導(dǎo)致漏解要注意根據(jù)焦點(diǎn)的位置選擇雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，知道之間的大小關(guān)系和等量關(guān)系：易錯(cuò)點(diǎn)2：雙曲線的幾何性質(zhì)，漸近線,離心率,焦半經(jīng),通徑；易錯(cuò)點(diǎn)3：直線與雙曲線的位置關(guān)系忽視直線斜率與漸近線平行的情況；在用橢圓與直線聯(lián)立求解時(shí)，消元后得到的方程中要注意：二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零判別式的限制.(求交點(diǎn)，弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，斜率，對(duì)稱，存在性問(wèn)題都在下進(jìn)行).題組一：定義與方程1.(20161)已知方程EQ\F(x2,m2+n)表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A.(-1,3)B.(-1,EQ\R(3))C.(0,3)D.(0,EQ\R(3))【解析】由題意知c=2,,]因?yàn)榉匠蘀Q\F(x2,m2+n)表示雙曲線，所以解得故選A.2.(2012)等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，；則的實(shí)軸長(zhǎng)為()A.B.C.D.【解析】設(shè)等軸雙曲線C:，的準(zhǔn)線因?yàn)榕c拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，，所以,將A點(diǎn)代入雙曲線方程得，故選C.3.雙曲線的漸進(jìn)線方程為，且焦距為10，則雙曲線方程為()A.B.或—C.D.【解析】當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，漸進(jìn)線方程為，所以，解得，所以雙曲線的方程為.焦點(diǎn)在y軸時(shí)，漸進(jìn)線方程為，所以，解得，所以雙曲線的方程為.故選D.4.(2010)已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為,則的方程式為()A.B.C.D.【解析】由雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)可設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，即@則，則，故的方程式為．應(yīng)選B．5．(20173)已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)．則的方程為()A． B． C． D．【解析】雙曲線的一條漸近線方程為，得=1\*GB3①，橢圓的焦點(diǎn)為，所以c=3=2\*GB3②,又=3\*GB3③，聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③得，則C的方程為，故選B題組二：焦點(diǎn)三角形6.(20151)已知是雙曲線上的一點(diǎn)，是上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是()A.(-，) B.(-，)C.(，)D.(，)【解析】法1：根據(jù)題意的坐標(biāo)分別為，\所以所以所以.故選A.秒殺法2：當(dāng)由等面積得：因?yàn)?，所以為鈍角，根據(jù)變化規(guī)律，可得故選A.是雙曲線右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2分別是左,右焦點(diǎn)，且焦距為2c，則的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為.【解析】如圖所示：，設(shè)內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)H，PF1,PF2與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為M,N，由雙曲線定義有|PF1|-|PF2|=2a，由圓的切線長(zhǎng)定理知，|PM|=|PN|,所以|MF1|-|NF2|=2a,即|HF1|-|HF2|=2a,設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為x，所以(x+c)-(c-x)=2a,得x=a.性質(zhì):雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與F1F2相切于實(shí)軸頂點(diǎn)；當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線左支時(shí)，切點(diǎn)為左頂點(diǎn)；當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線右支時(shí)，切點(diǎn)為右頂點(diǎn).#8.已知F1,F2為雙曲線C：的左,右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則P到x軸的距離為________.【解析】法1：設(shè)，可知,根據(jù)雙曲線定義=1\*GB3①，在ΔPF1F2中，根據(jù)余弦定理=2\*GB3②聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②得，設(shè)P到x軸得距離為h，則秒殺法2：由等面積得：設(shè)P到x軸得距離為h，故答案為：—性質(zhì):.雙曲線上任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn),構(gòu)成的三角形:，9.如果分別是雙曲線的左,右焦點(diǎn)，是雙曲線左支上過(guò)點(diǎn)的弦，且，則的周長(zhǎng)是．【解析】由題意.由雙曲線得定義知，所以的周長(zhǎng)是，故答案為：28性質(zhì)：分別是雙曲線的左,右焦點(diǎn)，是雙曲線左支上過(guò)點(diǎn)的弦，則的周長(zhǎng)是題組三：漸進(jìn)線10．(2018全國(guó)卷Ⅱ)雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A． B． C． D．,【解析】解法一由題意知，，所以，所以，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為，故選A．解法二由，得，所以該雙曲線的漸近線方程為．故選A．11.(20131)已知雙曲線：的離心率為，則的漸近線方程為()A.B.C.D.【解析】由題意，所以的漸近線方程為故選C.12.(20141)已知是雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)到的一條漸近線的距離為()A.C.D.【解析】由C:得即，則點(diǎn)F到C得一條漸近線得距離故選A.性質(zhì)：雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為b.$13.設(shè)F1,F2分別為雙曲線的左,右焦點(diǎn)．若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近線方程為____________.【解析】法1：因?yàn)閨PF2|＝|F1F2|=2c,由雙曲線的定義得|PF1|=PF2|+2a=2c+2a,過(guò)點(diǎn)F作F2Q⊥PF1于Q點(diǎn)，則|F2Q|=2a,等腰ΔPF1F2中，所以即可得，雙曲線的漸近線方程為，即法2：因?yàn)閨PF2|＝|F1F2|，所以ΔPF1F2是等腰三角形，點(diǎn)F在直線PF1的投影為中點(diǎn)，由勾股定理得|PF2|=4b,又根據(jù)雙曲線得定義知：4b-2c=2a,即c=2b-a=1\*GB3①,又因?yàn)?2\*GB3②，聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②得，雙曲線的漸近線方程為，即14．(20193)雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的一條漸近線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為A．B．C．D．【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為：，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，可得，，所以的面積為：,故選A．，題組四：離心率15．(2011)設(shè)直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，l與C交于A,B兩點(diǎn)，為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為____.【解析】通徑|AB|=得，選B16.(20152)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為_____.【解析】根據(jù)題意，設(shè)雙曲線，不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，所以|AB|=|BM|=2a,∠MBA=1200,作MH⊥x軸于點(diǎn)H，則∠MBH=600，故|BH|=a,將點(diǎn)M代入得a=b,所以17.(20162)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與軸垂直，,則E的離心率為_____.【解析】設(shè)雙曲線方程為EQ\F(x2,a2)–EQ\F(y2,b2)=1(a>0，b>0)，如圖所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥x軸，垂足為D．在Rt△BMD中，|BD|=a，|MD|=EQ\R(,3)a，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(2a,EQ\r(,3)a)，代入雙曲線方程得EQ\F(4a2,a2)–EQ\F(3a2,b2)=1，化簡(jiǎn)得a2=b2，∴e=EQ\r(,\F(c2,a2))=EQ\r(,\F(a2+b2,a2))=EQ\r(,2)．：18.(20172)若雙曲線(，)的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則的離心率為___.【解析】雙曲線的漸近線方程為，圓心到漸近線的距離為，圓心到弦的距離也為，所以，又，所以得，所以離心率

19．(20171)已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若，則的離心率為________.【解析】由題意A到漸近線得距離為：可得：20．(20183)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C:eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P．若|PF1|=eq\r(6)|OP|，則C的離心率為_____.【解析】法1：不妨設(shè)一條漸近線的方程為，則到的距離，在中，，所以，！所以，又，所以在與中，根據(jù)余弦定理得，即，得．所以．法2：選C設(shè)P(t,-eq\f(b,a)t),∵PF2與y=-eq\f(b,a)x垂直，∴eq\f(-bt,a(t-c))=eq\f(a,b)，解得t=eq\f(a2,c)即P(eq\f(a2,c),-eq\f(ab,c))∴|OP|=eq\r((\f(a2,c))2+(-\f(ab,c))2)=a，|PF1|=eq\r((\f(a2,c)+c)2+(-\f(ab,c))2)，依題有(eq\f(a2,c)+c)2+(-eq\f(ab,c))2=6a2，化簡(jiǎn)得c2=3a2，即21．(20191)已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)．若，，則的離心率為．【解析】如圖，，，∴OA⊥F1B，則F1B：=1\*GB3①，漸近線OB為=2\*GB3②|聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②，解得B，則，，又，所以整理得：，故的離心率為22．(20192)設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與圓交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為_____.【解析】法1：由題意，把代入，得，再由，得，即，所以，解得.故選A．，法2：如圖所示，由可知為以為直徑圓的另一條直徑，所以，代入得，所以，解得.故選A．法3：由可知為以為直徑圓的另一條直徑，則，.故選A．題組五：距離23.(20181)已知雙曲線C：eq\f(x2,3)-y