18.2.3 第1課時 正方形 教學(xué)設(shè)計

人教版八下18.2.3正方形（第1課時）教學(xué)設(shè)計教學(xué)內(nèi)容解析教學(xué)流程圖地位與作用在研究了矩形和菱形的概念、性質(zhì)與判定的基礎(chǔ)上，用直觀的方法將矩形和菱形特殊化為正方形，所以正方形既是矩形也是菱形，這為研究正方形性質(zhì)和判定提供方法.正方形是最特殊的平行四邊形，教材從學(xué)生已有的經(jīng)驗出發(fā)，先得到正方形的部分性質(zhì)，通過“思考”讓學(xué)生調(diào)用已有的研究矩形和菱形的方法研究正方形.因為正方形為本章的末端知識，性質(zhì)更加豐富，應(yīng)用更加廣泛.本節(jié)課的學(xué)習(xí)將為進一步理解幾何對象的性質(zhì)和判定之間的互逆關(guān)系提供依據(jù).概念解析本節(jié)課的主要概念是正方形，有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形，包含兩層意思：①一組鄰邊相等的平行四邊形（菱形）；②有一個角是直角的平行四邊形（矩形）.正方形不僅是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形和特殊的菱形；正方形性質(zhì)為矩形和菱形性質(zhì)的交集，“是矩形又是菱形”或者“是菱形又是矩形”是正方形的判定方法，兩者為互逆關(guān)系.因此正方形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，有四條對稱軸.當然研究正方形也可用幾何研究的一般思路：從邊、角、對角線、對稱性等基本要素來研究正方形的性質(zhì)和判定.思想方法教材借助幾何直觀，從矩形出發(fā)研究正方形和從菱形出發(fā)研究正方形，均體現(xiàn)從一般到特殊的思想；正方形和矩形，菱形的關(guān)系可以用集合語言韋恩（Venn）圖直觀表示.從集合的視角初步體會一般和特殊之間的關(guān)系.知識類型正方形的概念是概念性知識；性質(zhì)和判定是原理與規(guī)則性知識.教學(xué)重點正方形的概念、性質(zhì)和判定.教學(xué)目標解析教學(xué)目標1.能說出正方形的定義，知道正方形具有矩形和菱形的所有性質(zhì).2.能從正方形的定義出發(fā)，利用平行四邊形的性質(zhì)定理，推出正方形的性質(zhì).3.能用正方形的性質(zhì)解決問題.4.能利用性質(zhì)與判定的關(guān)系，猜想并證明正方形的判定定理.5.能運用正方形的判定定理解決問題.目標解析達成目標1和2的標志是：知道正方形的四條邊相等，四個角相等，有4條對稱軸.能用Venn圖畫出正方形和矩形，菱形的關(guān)系圖.知道正方形是菱形（矩形），所以所有菱形（矩形）的性質(zhì)都適用于正方形，并能分門別類的列舉這些性質(zhì)；達成目標3和5的標志是：會解答教材例題和練習(xí)；達成目標4的標志是：能從性質(zhì)和判定的互逆性，得到正方形的判定；用取“交集”的辦法得到“既是矩形又是菱形即是正方形”.教學(xué)問題診斷分析具備的基礎(chǔ)小學(xué)初步接觸過正方形的概念，前面剛剛學(xué)習(xí)了矩形和菱形.知道研究一個幾何對象的一般路徑：從概念、性質(zhì)和判定三個視角研究；一般的研究方法：一般到特殊或者從構(gòu)成圖形的幾何要素出發(fā)研究，這些都是進一步學(xué)習(xí)正方形的基礎(chǔ).與本課目標的差距分析能準確說出正方形的性質(zhì)和判定，需要學(xué)生通過從一般到特殊的方法獲得研究對象，從兩個對象的性質(zhì)的并集得出正方形的性質(zhì)，從兩個對象的判定的交集獲得正方形的判定，也可類比矩形或菱形的研究方法分別研究性質(zhì)和判定，或通過性質(zhì)舉例、判定舉例后歸納出性質(zhì)和判定等研究方法.存在的問題1.正方形與矩形、菱形之間關(guān)系密切又復(fù)雜，在從屬關(guān)系和共同性質(zhì)方面容易引起混淆，在判定方法的使用上也容易混淆，這是可能存在的問題.2.矩形、菱形和正方形都是具有良好對稱性的幾何體圖形，正方形具有更好的對稱性，能不能在對稱性的統(tǒng)領(lǐng)下研究性質(zhì)和判定在認識上有困難.應(yīng)對策略正方形的這種特殊性需要教學(xué)時結(jié)合圖形來具體說明.分清這些平行四邊形以及特殊平行四邊形的從屬關(guān)系，從基本研究要素出發(fā)，梳理它們的性質(zhì)定理和判定定理，克服難點.教師需要引導(dǎo)學(xué)生從正方形的對稱性統(tǒng)領(lǐng)整個課時教學(xué).教學(xué)難點正方形判定和性質(zhì)的歸納和應(yīng)用.教學(xué)支持條件分析在學(xué)習(xí)正方形概念時，可以通過幾何畫板動態(tài)顯示變化過程，幫助學(xué)生理解正方形和矩形、菱形的關(guān)系.教學(xué)過程設(shè)計課前檢測1.下列說法錯誤的是（）A.有一個角是直角的四邊形是矩形B.矩形的四個角都是直角C.矩形的對角線相等D.矩形的對角線互相平分2.四個點A，B，C，D在同一平面內(nèi)，從①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC.這5個條件中任選三個，能使四邊形ABCD是菱形的選法有（）A.1種B.2種C.3種D.4種3.菱形的周長為100cm，一條對角線長為14cm，它的面積是（）A.168cm2B.336cm2C.672cm2D.84cm24.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A.四條邊相等B.對角線互相垂直平分C.對角線平分一組對角D.對角線相等設(shè)計意圖：本組課前檢測主要檢查對于菱形概念和性質(zhì)與判定的掌握情況，最后一題檢查學(xué)生對于正方形概念理解的程度，可為本節(jié)課作鋪墊.教學(xué)探究11.教學(xué)目標1：能說出正方形的定義，知道正方形具有矩形和菱形的所有性質(zhì).教學(xué)過程1.小學(xué)里我們就已經(jīng)認識了正方形，正方形是我們熟悉的幾何圖形，它的四條邊都相等，四個角都是直角.中學(xué)正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.問題1：通過前兩節(jié)課的學(xué)習(xí)已經(jīng)知道，將平行四邊形特殊化可以得到矩形或菱形，請回顧已有知識.師生互動設(shè)計：教師分析：如果平行四邊形有一個角是直角，這時的平行四邊形是矩形；如果平行四邊形有一組鄰邊相等，這時的平行四邊形是菱形.追問：接下來我們研究正方形是如何通過將平行四邊形特殊化所得到的.引導(dǎo)學(xué)生推測：有一個角是直角，有一組鄰邊相等，這時的平行四邊形是正方形.實驗驗證：用度量、實驗等方式推測圖形的形狀.結(jié)論：1.正方形既是矩形又是菱形；2.將矩形特殊化得正方形：有一組鄰邊相等的矩形是正方形；3.將菱形特殊化得正方形：有一個角是直角的菱形是正方形；4.正方形和矩形、菱形的關(guān)系可以用下圖直觀表示.設(shè)計意圖：了解正方形的概念，知道正方形既是矩形又是菱形，從集合的視角初步體會一般和特殊之間的關(guān)系.【測評1】1.下列說法正確的是（）A.菱形是正方形B.矩形是正方形C.平行四邊形是正方形D.正方形既是矩形也是菱形設(shè)計意圖：概念辨析，通過此題檢驗學(xué)生對概念內(nèi)涵與外延的理解，為下一步的教學(xué)決策提供依據(jù)，大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)學(xué)會，才能進入下一段的學(xué)習(xí).一旦發(fā)現(xiàn)沒有學(xué)會的學(xué)生較多，就必須對原來的設(shè)計作出調(diào)整，生成新的教學(xué)流程，幫助學(xué)生達成學(xué)習(xí)目標.教學(xué)探究2教學(xué)探究32.教學(xué)目標2：能從正方形的定義出發(fā)，利用平行四邊形的性質(zhì)定理，推出正方形的性質(zhì).教學(xué)目標3.能用正方形的性質(zhì)解決問題.教學(xué)過程2.正方形的軸對稱性問題2：觀察正方形，它是軸對稱圖形嗎？如果是對稱軸在哪里？你能找到嗎？師生互動設(shè)計：正方形既是矩形又是菱形，因此矩形和菱形所具有的軸對稱性正方形仍舊具有.矩形兩組對邊中點所在的直線是對稱軸，正方形仍然具有.菱形兩條對角線所在的直線是對稱軸，正方形仍然具有.因此，正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸.正方形的軸對稱性：正方形是軸對稱圖形，它有四條對稱軸，分別是對邊中點的連線以及兩條對角線所在的直線.設(shè)計意圖：通過正方形對稱軸的研究，為了解正方形的幾何性質(zhì)提供了直觀的依據(jù).教學(xué)探究33.教學(xué)過程3：正方形的性質(zhì)問題3：通過以上實驗可以發(fā)現(xiàn)正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形，你能總結(jié)其中蘊含了正方形的哪些性質(zhì)嗎？（給學(xué)生提供思考、探究的時間）.分析：正方形性質(zhì)為矩形和菱形性質(zhì)的總和.①正方形具有平行四邊形的所有性質(zhì).②與邊有關(guān)的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等.③與角有關(guān)的性質(zhì)：正方形的四個角都是直角.④與對角線有關(guān)的性質(zhì)：對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角.設(shè)計意圖：知道正方形是菱形（矩形），所以所有菱形（矩形）的性質(zhì)都適用于正方形，并能分門別類的列舉這些性質(zhì).追問：將正方形的性質(zhì)歸納梳理，用幾何語言描述：設(shè)計意圖：1.通過度量、實驗操作、幾何畫板演示等方式，通過合情推理，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，形成猜想，運用演繹推理證明猜想.把合情推理和演繹推理有機結(jié)合起來.2.用幾何語言規(guī)范表述正方形的性質(zhì).【測評2】1.如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊△CDE，連接AE，BE，則∠AEB的度數(shù)為________.解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=DC，∵△CDE是等邊三角形，∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，DE=DC=CE，∴∠ADE=∠BCE=90°+60°=150°，AD=DE=BC=CE，∴∠DEA=∠CEB=×（180°﹣150°）=15°，∴∠AEB=60°﹣15°﹣15°=30°；故∠AEB的度數(shù)為30°.設(shè)計意圖：檢驗對正方形性質(zhì)的理解，大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)學(xué)會，才能進入下一段的學(xué)習(xí).一旦發(fā)現(xiàn)沒有學(xué)會的學(xué)生較多，就必須對原來的設(shè)計作出調(diào)整，生成新的教學(xué)流程，幫助學(xué)生達成學(xué)習(xí)目標.教學(xué)探究44.教學(xué)目標4：能利用性質(zhì)與判定的關(guān)系，猜想并證明正方形的判定定理.教學(xué)過程4.正方形的判定問題4：通過前面的實驗已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，將矩形和菱形特殊化可以得到正方形，由此得到正方形的判定定理.師生互動設(shè)計：教師指出，有一組鄰邊相等的矩形是正方形；有一個角是直角的菱形是正方形.追問：還有沒有其它判定方法呢？與其它特殊平行四邊形的研究方法類似，我們研究正方形性質(zhì)定理的逆命題，看看他們是否成立.

（給學(xué)生提供思考、探究的時間）.歸納梳理：1.

有一組鄰邊相等的矩形是正方形.2.

對角線互相垂直的矩形是正方形.3.

有一個角是直角的菱形是正方形.4.

對角線相等的菱形是正方形.判定方法整理設(shè)計意圖：1.在四邊形的基礎(chǔ)上，先證明這個四邊形是矩形，再證明它是菱形，從而說明它是正方形；或者先證明這個四邊形是菱形，再證明它是矩形，從而說明它是正方形.2.從數(shù)學(xué)本身提出問題，通過正方形性質(zhì)定理的逆命題，提出問題，通過運用演繹推理證明這些命題的真?zhèn)?，得出正方形的判定定理，進一步說明正方形的性質(zhì)定理與判定定理之間的關(guān)系.【測評3】1.關(guān)于正方形的判定，下列說法錯誤的是（）A.一組鄰邊相等的矩形B.一個角是直角的菱形C.對角線互相垂直的矩形D.有一組對邊平行并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形設(shè)計意圖：通過此題檢驗學(xué)生對概念內(nèi)涵與外延的理解，為下一步的教學(xué)決策提供依據(jù)，大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)學(xué)會，才能進入下一段的學(xué)習(xí).一旦發(fā)現(xiàn)沒有學(xué)會的學(xué)生較多，就必須對原來的設(shè)計作出調(diào)整，生成新的教學(xué)流程，幫助學(xué)生達成學(xué)習(xí)目標.典例精析5.教學(xué)目標5：能運用正方形的判定定理解決問題.教學(xué)過程5.例題分析【例題5】求證：正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC，BD相交于點O.求證：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.師生互動設(shè)計：先由學(xué)生自主進行問題解決方案的討論，利用師生交互平臺，請學(xué)生展示解題思路，然后定出具體的解題過程，教師點評后板書解題過程.證明：∵四邊ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD.∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.追問：圖中共有多少個等腰直角三角形？結(jié)論：8個.設(shè)計意圖：1.利用正方形的性質(zhì)解決問題.2.通過此題進一步培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力和演繹推理能力.【測評4】1.已知，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，如果添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個條件可以是（）A.∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD設(shè)計意圖：此題主要考查對正方形判定定理的掌握情況，為下一步的教學(xué)決策提供依據(jù)，大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)學(xué)會，才能進入下一段的學(xué)習(xí).一旦發(fā)現(xiàn)沒有學(xué)會的學(xué)生較多，就必須對原來的設(shè)計作出調(diào)整，生成新的教學(xué)流程，幫助學(xué)生達成學(xué)習(xí)目標.歸納總結(jié)1.正方形與矩形和菱形有什么關(guān)系？2.正方形的性質(zhì)有哪些？3.怎樣證明一個四邊形是正方形？目標檢測設(shè)計一、選擇題1.下列說法錯誤的是（）A.正方形是平行四邊形B.正方形是菱形C.正方形是矩形D.菱形和矩形都是正方形2.圓，正方形，長方形，等腰梯形中有唯一條對稱軸的是（）A.圓B.正方形C.長方形D.等腰梯形3.在?ABCD中，AB=10，BC=14，E，F(xiàn)分別為邊