金融工程課后題13-20習(xí)題解答renzhengliang(Lite)

Chl3

13.1不是可交易證券價格的變量的風(fēng)險價格是如何定義的？

解：不是可交換證券價格的變量的風(fēng)險市場價格是通過求可交換證券的風(fēng)險市

場價格而來，但必須滿足該可交換證券的價格與不是可交換證券價格的變量

瞬態(tài)完全正相關(guān)。

13.2假設(shè)黃金的風(fēng)險市場價格為零，如果貯存成本為每年1%,無風(fēng)險年利率為

6%,那么黃金價格的期望增長率為多少？

解：由公式m-2s=r-y+u,jfu2=0,r=0.06,y=0,u=0.01所以m=0.07.即期望增長率為

0.07o

13.3一個證券的價格與以下兩個變量正相關(guān)：銅的價格和日元兌美元的匯率，假

設(shè)這兩個變量的風(fēng)險市場價格分別為0.5和0.1。若銅的價格固定，則該證

券的波動率為每年8%；如果日元對美元的匯率固定，則該證券的波動率為

每年12%。無風(fēng)險利率為每年7%。證券的預(yù)期回報率為多少？如果兩個變

量彼此之間是不相關(guān)的，該證券的波動率為多少？

解（1）令u為證券的預(yù)期收益率，已知無風(fēng)險利率r=0.07,銅價和日圓兌美

圓匯率的風(fēng)險市場價格分別為幾1=0.5和42=0.1,銅價固定時匯率引起的

證券波動率為02=0.08,匯率固定時銅價引起的證券波動率為b1=0.12。因

此由公式u-r=2i<71+幾2<72可得u=0.138即證券的預(yù)期收益率為每年

0.138

（2）由cridzi+cr2dz2=V<7i2+（722dz3代入cri,cr2的值可得

而FlE*SrSoe（"心）xr為。」44即銅價和日圓兌美圓匯率不相關(guān)時證券的

波動率為0.144

13.4某個石油公司只是為了開發(fā)德克薩斯一個很小區(qū)域的石油。其價值主要依賴

于如下兩個隨機變量：石油的價格和以探明石油的儲存量。討論：這兩個變

量中的風(fēng)險市場價格為正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零？

解：第二個變量的風(fēng)險市場價格為0。這是因為這種風(fēng)險是非系統(tǒng)的，它與經(jīng)濟

社會的其他風(fēng)險完全不相關(guān)，投資者不能因為承擔(dān)這種不可轉(zhuǎn)換的風(fēng)險而要

求更高的回報。

13.5通過兩個無紅利支付的交易證券和兩個依賴于這兩個無紅利支付交易證券

價格的衍生工具構(gòu)成一個無風(fēng)險組合，推導(dǎo)出這個衍生工具的微分方程。證

明此微分方程和13B.11所給的微分方程一樣。

解：假定兩個無紅利支付交易證券的價格分別為Si和S2,而依賴于它們的衍生

工具的價格為f，可以得到如下等式：

dSi=U]Sidt+criSjdzj;dS2=U2S2dt+cr2s2dz2

乂根據(jù)It。定理可得式：

",cWcdfdf1222fl2存于

J55.dS.dt2aS?255?

dSidS2oS1dS2

n=r/+rSi+r———S2dt

ldS：

由

H+-S?總+%駕+所6d-f

dtdS,dS.2aS.22dS?”dS、dSz

可得d口=-df+亞dS,+或-dS,

dS>dSz

一(”金+〃噌+…")力

dt2as』2as』"65,as/

所以，根據(jù)無風(fēng)險組合特性：dH^rUdt

我們可以得到等式:

盞+P6G黑和+符,+需2

因此

.dxa（x。一無）山+與屋.駕+〃2%+小6粵

rf=—

x62dSr2dS?dS,dSz

乂由13B.11知道〃2i-A,i（yi—till—A,2（y：-r

所以這個衍生工具的微分方程和13B.11所給的微分方程一樣。

13.6一個遠期合約在T時刻盈虧狀態(tài)為（ST—K）日元，其中ST是T時刻黃金

的價格，K是以美元計的交割價格。假設(shè)儲存成本為零，若有必要可定義其

他變量，計算遠期價格。

解：假設(shè)￡是從日圓投資者來看的風(fēng)險中性世界中的期望值，。，是T時刻用日

圓表示的一美圓的價值，八/7分別是美圓和日圓的無風(fēng)險利率，q是指數(shù)

的紅利收益率，P是S和。的瞬時相關(guān)系數(shù)，小和c是S和Q的波動率，F(xiàn)

是遠期價格

由本章可得如下等式：F=￡涓"、昂?！篯=。,e（〃f）（J）

以及耳SrQ]=S,。虺⑵rT+35）g）

所以，遠期價格尸=5"〃-4+"5"-'）

13.7豆油的便利收益是年率5%,年貯存成本為1%,無風(fēng)險利率為年率6%。豆

油價格期望增長率為0。那么6個月的期貨價格和6個月的期望價格之間有

何聯(lián)系？

解：y=r+u-m+2s，已矢口y=0.05.r=0.06,u=0.01,m=0,可求得2s=-0.02

因為F=E*(ST)=S。/〃?一詞",E(ST)=5OemT

所以F=E(Sr)e-"sxT=E(Sr)e002x0-5=1.01E(5r)

即六個月的期貨價格比六個月的期望價格高出百分之一。

13.8銅的風(fēng)險市場價格為0.5,銅的年波動率為20%,即期價格為每磅80美分,

6個月期貨價格為每磅75美分。問在下6個月中預(yù)期銅價的相應(yīng)增長率為

多少？

解:由上題知道F=E(Sr)eTs"。而4=0.5,s=0.2,5。=0由,F=0.75和T=0.5

可求得E(*)=0.7885又因為So=0.8,E(ST)=SOemT,所以m=-0.03

即期望增長率為負(fù)百分之三。

13.9假設(shè)一利率x遵循如下過程：

dx=a(x?-x)dt+c>[xdz

其中a、x。、和。是正常數(shù)。假設(shè)x的風(fēng)險市場價格是4。當(dāng)用擴展后的風(fēng)

險中性原理估計一個衍生工具時，漂移率是如何被調(diào)整的？

解：題中等式可改寫為：蟲=gf)dJ十二dz,其中“(乂一幻是利率的期望

XXy/xX

增長率，。是它的干擾項，那么在風(fēng)險中性世界期望增長率為

y/X

Q（Xo-X）

X

a（x（）-x）.cl,c,

因此,過程變?yōu)榻z=------力+〒廢,

XXy/x]yJX

所以，漂移率調(diào)整為

13.10一個證券在T時刻的盈虧狀態(tài)為S1S2,其中Si是標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的水平,

S2是石油的價格。假設(shè)$和S2都遵循幾何布朗運動且不相關(guān)。若有必要，

可定義其他變量，計算T時刻該證券的價值。

解：假設(shè)外〃分別是標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)和石油價格增長率，，是無風(fēng)險利率

由公式13.14：f=e~r(T-,}E[fi],以及考慮本題有方=SS

而根據(jù)布朗運動知道耳SS]=

r_《(q+/2+p(y\(y2)(r-z)

所以,T時刻該證券的價值為/—e

m2-42s2

13.11應(yīng)用風(fēng)險中性定價原理證明：6個月后以一股IBM股票兌兩股柯達股票的

期權(quán)價格與利率無關(guān)。

解：由題意可假設(shè)現(xiàn)時刻一股IBM股票剛好可兌換兩股柯達股票，那么六個月

后一股IBM股票兌兩股柯達股票的期權(quán)價格即是后者與前者的遠期價格之

差，令Si。、S20分別是IBM股票和柯達股票的現(xiàn)時刻價格,即SIO=2S2O；再

令n、m2分別是兩股票的預(yù)期增長率，根據(jù)風(fēng)險中性定價原理，在風(fēng)險中

性世界中兩者的預(yù)期增長率為/Is、九s-IBM股票和柯達股票

22

六個月的遠期價格為Si。e、S2()e所以在風(fēng)險中性世界中

一(m2-Qs2)

2

期權(quán)價格為2s2。e-Sl02,即與利率無關(guān)，根據(jù)風(fēng)險中

性定價原理將其應(yīng)用到風(fēng)險世界中同樣成立

13.12假設(shè)有一商品，其波動率o■為一常數(shù)，無風(fēng)險收益率也為常數(shù)。證明在風(fēng)

險中性的世界中：InSr①InF-J(TT),cr6：

2

其中Sr為T時刻商品的價值，F(xiàn)是到期日T時刻期貨合約的價格。

2-

解：由第11章我們可得InSr①lnS+("——，而尸=5年小77,

即In尸=InS+〃(T—f)

所以，InSr①InF--(T-t),b近一t

2

14.1?個看漲期權(quán)的delta值為0.7意味著什么？若每個期權(quán)的delta均為0.7,

如何使一個1000個看漲期權(quán)的空頭變成delta中性？

解：Delta為0.7意味著：當(dāng)股票價格上漲一個小量△S時，期權(quán)價格上漲70%△

So反之亦然。1000個看漲期權(quán)空頭其Delta是-700,可以購買700股使之

變成Delta中性。

14.2無風(fēng)險年利率為10%,股票價格的年波動率為25除計算標(biāo)的物為不分紅股

票,6個月期兩平期權(quán)歐式看漲期權(quán)的delta值。

S0=X,r=0.1,o=0.25,T=0.5

g/X)+(0.尸/2)0.5=037]2

0.25V(15

看漲期權(quán)delta為N(di)或0.64

14.3若以年計，一個期權(quán)頭寸的theta值為-0.1意味著什么？若一個交易者認(rèn)

為股票價格和隱含波動率都不會變，那么期權(quán)頭寸是什么類型？

解：Theta為-0.1意味著：如果At年后，股票價格和波動率都不變，期權(quán)價

值下降0.1At。如果交易者認(rèn)為股票價格和隱含波動率都不會變，期權(quán)頭

寸會選擇一個盡可能高的theta值，相對來說，短期平價期權(quán)具有最高的

theta值。

14.4期權(quán)頭寸的gamma是代表什么？當(dāng)一個期權(quán)空頭頭寸的gamma為很大的負(fù)

值時，并且delta為零，其風(fēng)險是什么？

解：Gamma代表某種標(biāo)的資產(chǎn)的衍生證券組合的delta變化相對于標(biāo)的資產(chǎn)價格

變化的比率。當(dāng)一個期權(quán)空頭頭寸的gamma為很大負(fù)值，而delta為0,風(fēng)

險在于：如果資產(chǎn)價格有大的變化(上升或下降)，該交易者會遭受巨大損

14.5“構(gòu)造一個合成期權(quán)頭寸的過程就是對沖該期權(quán)頭寸的逆過程?！闭埬憬忉?/p>

這句話的意思。

解：要為一個期權(quán)套期保值，必須構(gòu)造一個數(shù)量相同、頭寸方向相反的合成期

權(quán)。比如說，要為一個看跌期權(quán)多頭套期保值，就必須構(gòu)造一個合成看跌

期權(quán)的空頭。這就是說：構(gòu)造一個合成期權(quán)頭寸的過程就是對沖該期權(quán)頭

寸的逆過程。

14.6為什么在1987年10月19日證券組合的保險方式失效了？

解：如果指數(shù)波動率變化迅速或者股票指數(shù)產(chǎn)生很大的跳躍，那么構(gòu)造基于指

數(shù)的合成看跌期權(quán)不是很有效的辦法。因為他們無法足夠快的賣出股票或

者指數(shù)期貨以保護原頭寸免遭損失。1987年10月19日，市場下跌的太快,

以至于證券組合不能及時做出反應(yīng)。

14.8一個執(zhí)行價格為$40的處于虛值狀態(tài)的看漲期權(quán)，其black-scholes公式的

價格為$4.00。一個出售了該期權(quán)合約的交易商計劃使用第14.3節(jié)中的止虧

17

策略。交易商計劃以$40-買入，以$39—賣出。估計股票被買入或賣出的

88

預(yù)期次數(shù)。

解：在該策略中，交易者每次買賣股票要花費$1/8,預(yù)期總成本是$4,意味著:

股票買賣次數(shù)大約為32次。買和賣的次數(shù)分別大約為16次。

14.9利用看漲-看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系推導(dǎo)不分紅股票的如下二者之間的關(guān)

系：

(a)一個歐式看漲期權(quán)的delta值和一個歐式看跌期權(quán)的delta值

(b)■—個歐式看漲期權(quán)的gamma值和一個歐式看跌期權(quán)的gamma值

(c)一個歐式看漲期權(quán)的vega值和一個歐式看跌期權(quán)的vega值

(d)一個歐式看漲期權(quán)的theta值和一個歐式看跌期權(quán)的theta值

解：對于不分紅股票，根據(jù)看漲-看跌平價關(guān)系有：在t時刻，

p+S=c+X"g)

(a)對S求偏導(dǎo)

生+「如或者羽=生_1

dsdsdsds

這表示，歐式看跌期權(quán)的delta值等于對應(yīng)的歐式看漲期權(quán)的delta值減去

lo

(b)再次對S求二階偏導(dǎo)

d2p_d2c

ds2ds2

表示：歐式看跌期權(quán)的gamma值與對應(yīng)的歐式看漲期權(quán)的gamma值相等。

(c)對。求偏導(dǎo)

dp_de

dada

表示：歐式看漲期權(quán)的vega值與對應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的vega值相等。

(d)對T求偏導(dǎo)

史」Xe-g)+生

dtdt

歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的theta值存在以上關(guān)系。

14.10假設(shè)一股票現(xiàn)價為$20,假象一個執(zhí)行價格為25的看漲期權(quán)，由頻繁變

化的股票頭寸合成的?？紤]下面兩種情況：

(a)在期權(quán)有效期內(nèi)，股票價格由$20穩(wěn)定增長至$35

(b)股票價格波動劇烈，最終價格為$35

請解釋哪種方案使合成的期權(quán)更值錢？解釋你的答案。

解：該策略為買高賣低。第一種情況，股票價格穩(wěn)定增長，因此，一直都是買

進；第二種情況則是不斷的買進、賣出、買進、賣出……最終股票價格一

樣。顯然后者比前者花費更高。

14.111000個白銀期貨的歐式看漲期權(quán)的空頭頭寸的delta值為多少？該期權(quán)有

效期為8個月，期權(quán)的標(biāo)的期貨合約有效期為9個月。當(dāng)前9個月期的白銀

期貨價格為每盎司$8.00,期權(quán)執(zhí)行價格為每盎司$8.00,無風(fēng)險年利率為

12%,白銀價格的年波動率為18%o

解：期貨的歐式看漲期權(quán)的delta值是期權(quán)價格變化和期貨價格的比率。是

本題中，F(xiàn)o=8,X=8,r=0.12,o=0.18,T=0.6667

ln(8/8)+(0.182/(2l5667

a,=---------------/-----------=U.U/33

0.1840.6667

N(di)=0.5293,所以delta值為e-°’2*°"67x0.5293=0.4886

因此，1000個白銀期貨的歐式看漲期權(quán)的空頭頭寸的delta值為-488.6

14.12在習(xí)題14.11中，若進行delta套期保值，白銀期貨的初始頭寸至少應(yīng)為

多少？如果使用白銀本身，初始頭寸為多少？如果是一年期期貨，初始頭

寸應(yīng)為多少？假設(shè)沒有儲存費用。

解：前者指的是期貨delta值，后者指的是現(xiàn)貨delta值。對于前者，從上題

的答案得出，要進行delta套期保值，必須持有488.6盎司的有效期為9

個月的白銀期貨多頭頭寸。對于后者，delta值為e°g°75=L094(無儲存

費用)。因此,期貨頭寸的當(dāng)前delta值為-488.6XI.094=-534的,所以

須持有534.6盎司多頭頭寸來套期保值。

若使用一年期期貨，當(dāng)前delta值為e""=1.1275,所以，初始頭寸應(yīng)為

012

e-x534.6=474.1盎司。

14.13--家公司打算對一個貨幣的看漲看跌期權(quán)組成的多頭頭寸組合進行

delta套期保值。請解釋下面哪種情況結(jié)果最佳？

解：無論是看跌期權(quán)還是看漲期權(quán)，多頭頭寸都有正的gamma值，意味著，對

于套期保值者，股票價格大幅波動比穩(wěn)定的效果要好。因此（b）的結(jié)果

最佳。

14.14一家金融機構(gòu)擁有一種貨幣的看漲看跌期權(quán)組成的空頭頭寸組合，請重新

分析習(xí)題14.13o

解：無論是看跌期權(quán)還是看漲期權(quán)，空頭頭寸都有負(fù)的gamma值，意味著，對

于套期保值者，股票價格大幅波動比穩(wěn)定的效果要差。因此（a）的結(jié)果

最佳。

14.15一個金融機構(gòu)剛剛賣出一些日元的7個月期歐式看漲期權(quán)。假設(shè)即期匯率

為0.8美分/日元，執(zhí)行價格為0.81美分/日元，美元的無風(fēng)險年利率為8%,

日元的無風(fēng)險年利率為5%,日元的年波動率為15%o計算并解釋說明期

權(quán)的delta,vega,theta和rho。

解：本題中，50=0.80,%=0.81^=0.08,?7=0.05,CT=0.15,7=0.5833

,ln(0.80/0.81)+(0.08-0.05+0.152/2)x0.5833…

d.=--------------------7---------------=0.10

0.1540.5833

4=4-0.15V0.5833=-0.0130

N(4)=0.5405;TV(J2)=0.4998

看漲期權(quán)的delta值為

/RN(4)=e?33X0.5405=0.5250

N⑷=一=6々"2==03969

所以看漲期權(quán)的gamma值為

N\d.)e~r/T0.3969x0.9713

ScrVF_0.80x0.15x70.5833-

看漲期權(quán)的vega值為

S°VFN'(4=O.8OVO.5833x0.3969x0.9713=0.2355

看漲期權(quán)的theta值為

rT

_回譽二fS°#N@)eR-rXe-N(d2)

27T

0.8x0.3969x0.15x0.9713

240.5833

+0.05X0.8X0.5405X0.9713-0.08X0.81X0.9544X0.4948

=—0.0399

看漲期權(quán)的rho為

rT

XTe^N(d2)

=0.81X0.5833X0.9544X0.4948

=0.2231

解釋：delta表示，現(xiàn)價上升一個小量，期權(quán)價值上升0.525倍該小量；vega

表示，當(dāng)波動率上升一個小量，期權(quán)價值上升0.2355倍該小量；theta表

示，時間過去一個小量，期權(quán)價值下降0.0399倍該小量；rh。表示，利率

上升一個小量，期權(quán)價值上升0.2231倍該小量。

14.19某個基金經(jīng)理擁有一個風(fēng)險分散的組合，該組合的狀況可由S&P500來反

映，價值$9000萬。S&P500的點數(shù)為300,該組合的經(jīng)理打算購買保險,

防止在隨后的6個月中組合價值下跌超過5%o無風(fēng)險年利率為6%o該

組合以及S&P500的紅利率為3%,指數(shù)的年波動率為30%o

(a)如果基金經(jīng)理購買可交易歐式看跌期權(quán)，保險費為多少？

(b)詳細(xì)解釋包括可交易歐式看漲期權(quán)在內(nèi)的幾種策略，并說明他們?nèi)绾?/p>

得到相同的結(jié)果。

(c)如果基金經(jīng)理決定通過部分無風(fēng)險證券組合來提供保險，初始頭寸應(yīng)

該為多少？

(d)如果基金經(jīng)理決定通過使用9個月期指數(shù)期貨來提供保險，初始頭寸

應(yīng)該為多少？

解：

(a)

N(4)=0.6622;N@)=0.5818

N(—4)=03378;'(―4)=0.4182

一份看跌期權(quán)價值為

1140e"-'W(—d2)T200eFJ>N(—dj

=285e"06mx0.4182-3OOe-°O3x0-5x0.3378

=63.40

因此總的保險費為300,000X63.40=$19,020,000

(b)由看漲-看跌平價關(guān)系S0e-"+p=c+Xe-"

表明一份看跌期權(quán)可以這樣構(gòu)造：賣空的指數(shù)，買一份看漲期權(quán)，剩

下的投資于無風(fēng)險資產(chǎn)。應(yīng)用到本題情況，該基金經(jīng)理應(yīng)該：

1)賣出360e4°34=$354,640,000的股票

2)買入300,000份S&P500看漲期權(quán)，執(zhí)行價1140,期限為6個月

3)投資剩余現(xiàn)金到無風(fēng)險資產(chǎn)獲得每年6%的無風(fēng)險利率。

該策略和直接買進看跌期權(quán)有同樣的效果。

(c)一份看跌期權(quán)的delta值為

=e-。"(06622-1)

=-0.3327

表示，初始頭寸為，賣出資產(chǎn)組合的33.27%(即$119,770,000)并投資

于無風(fēng)險證券。

(d)9個月期指數(shù)期貨合約的delta值為

=”3皿5=1.023

當(dāng)前空頭頭寸必須為I、'77°，00°=99,808除以指數(shù),所以，空頭頭寸為:

300

99,808

=390份期貨合約。

1.023x250

14.20假設(shè)某證券組合的beta為1.5,年紅利率為4%,重復(fù)習(xí)題14.19的幾個問

題。

解：6個月內(nèi)，證券組合價值下跌5%,證券組合的總回報，包括分紅，為：一

5+2=3%

即每年6虬比無風(fēng)險年利率少了12隊既然證券組合的beta值為1.5,那

么可以預(yù)測，市場回報率比無風(fēng)險利率少8臨即為一2機瞬紅利率為3%,

可以預(yù)測市場指數(shù)每年下降5%,即6個月下降2.5臨市場預(yù)計會下降到

1170o因此需要總計450,000=(1.5X300,000)份S&P500看跌期權(quán),

執(zhí)行價1170,執(zhí)行時間為6個月。

(a)So—1200,X-1170,r=0.06,cr=0.3,T=0.5,q=0.03

所以

,ln(l200/1170)+(0.06-0.03+0.09/2)x0.5，

a.=-----------------------------------------------------=0.2961

0.3V(X5

4=4-0.3757=0.0840

N?)=0.6164;N(d?)=0.5335

N(—4)=0.3836;N(—4)=0.4665

看跌期權(quán)價值為：

rTqT

Xe-N(-d2)-Soe-N(-di)

=1170e-006x0-5x0.4665—1200e?°3、°5x0.3836

=76.28

所以，保險費總計為：450,000X76.28=$34,326,000

(b)策略1：賣出$354,640,000的股票；2：買進450,000S&P500看漲

期權(quán)，執(zhí)行價1170,執(zhí)行期6個月；3：投資剩余現(xiàn)金于無風(fēng)險資產(chǎn)。

(c)證券組合的波動率比S&P500高50%,以證券組合來提供保險，參數(shù)為：

So=36O,X=342,r=0.06,o=0.45,T=0.5,q=0.04

,ln(360/342)+(0.06-0.04+0.452/2)x0.5……

d.-------------------T=--------------=0.3517

0.45VO5

N(4)=0.6374

期權(quán)delta值為：

e[N(4)-1]

="0.03x0.5(06474—1)

=-0.355

這表明，證券組合中的35.5%(即$127,800,000)應(yīng)該被賣出并投資于

無風(fēng)險證券。

(d)此時，每份看跌期權(quán)的delta值為

=e《.03*。5(06164-1)

=-0.3779

看跌期權(quán)總頭寸的delta值為-450,000X0.3779=-170,000o9個月期

指數(shù)期貨的delta值為1.023o所以初始頭寸應(yīng)該為：

17°網(wǎng)°=665份指數(shù)期貨合約空頭。

1.023x250

14.21證明代入?,△,「和f,等式(14.4)在以下情況仍成立：

(a)不分紅股票的歐式看漲期權(quán)

(b)不分紅股票的歐式看漲期權(quán)

(c)任何不分紅股票的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的組合。

解(a)對于不分紅股票的歐式看漲期權(quán)

△=N(dJ

r=N'(4)

SQG?近

0=_SoNWa_rXeG(d,)

2y/T-

代入14.4,等式左邊等于：

rT

=-rXe-N(d2)+rS.N(d^+-oSa

2yjT2y]T

=「[5心(4)一乂""刈出)]

=rTI

(b)對于不分紅股票的歐式看跌期權(quán)

△=N(4)—1=—N(—4)

SQtJy/T

SoN'(d、)orT

+rXe~N(-d2)

2近

代入14.4,等式左邊等于:

=/”+rXe*Nf-%）一一S0N（—4）+gbS°

=r[Xe-"N（—力）一5。'（一4）]

=rTL

（C）對于期權(quán)組合，n,△,@和『是證券組合中的單個期權(quán)的價值的總

和，因此，14.4對于任何不分紅股票的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的組合成

乂。

14.22與等式（14.4）相對應(yīng)的一種貨幣衍生產(chǎn)品的組合的等式是怎樣的？

解：貨幣提供連續(xù)的分紅率口，這點和股票類似。貨幣衍生產(chǎn)品組合的微分等

式為：

a2n

=rll

因此：O+（r—o）SA+gcr2s2==「口

類似的，對于獨立于期貨價格的衍生產(chǎn)品組合，o+'b2s2「=「n

2

14.23假設(shè)要為$700億的權(quán)益資產(chǎn)組合做個保險計劃。假設(shè)此計劃可防止資產(chǎn)

價值在一年內(nèi)下跌不超過5%o做任何你認(rèn)為必要的估計，計算如果在一

天之內(nèi)市場下降23%,該組合保險計劃的管理者應(yīng)出售價值多少的股票或

期貨合約？

解：可以把所有資產(chǎn)組合保險頭寸看作一份單個的看跌期權(quán)。在下降23%之前,

三個已知參數(shù)為：So=7O,X=66.5,T=l0其他參數(shù)估計為r=0.06,。=0.25,

q=0.03□那么:

ln(70/66.5)+(0.06-0.03+0.25?/2)

=0.4502

4025

N（4）=0.6737

期權(quán)delta值為:

eqN（4）T

（0.6737-1）

=-0.3167

這表明，市場下降之前，必須賣出資產(chǎn)的31.67%或者$221.7億。

下降以后，S°=53.9,X=66.5/=0.06,cr=0.25,7=1,4=0.03

ln(53.9/66.5)+(0.06-0.03+0.252/2)…一

aJ.=-----------------------------------------------=0.5953

10.25

N(4)=0.2758

期權(quán)delta值下降為

=e-o.o3xo.5(o2758-l)

=-0.7028

這表明，總共必須賣出資產(chǎn)的70.28%或者$492億(以下跌前價格衡量)。

即，市場下降的結(jié)果導(dǎo)致大約270億的附加資產(chǎn)必須被賣出。

Chl5

15.1美式期權(quán)的Delta、Gamma、Vega>Theta和Rho參數(shù)，哪一個可以通過構(gòu)

造單一的二叉樹圖來估值？

解:就(15.8)、(15.9)和(15.10)及例15.2的計算知,Delta、Gamma和Theta

可以通過構(gòu)造單一的二叉樹圖直接估值；由Ve摯的定義知，可以通過對股

價波動率的微調(diào)，然后重新構(gòu)造一個二叉樹圖間接估值；由Rho的定義知，

可以通過對利率的微調(diào)，然后重新構(gòu)造一個二叉樹圖間接估值。

15.2某不分紅股票的美式看跌期權(quán)，有效期3個月，股票市價和執(zhí)行價格均為

60美元，無風(fēng)險利率為年率10%,波動率為45%o請構(gòu)造時間間隔為一個

月的期的二叉樹圖模型為該期權(quán)估值。

解：已知S=X=60,廠=0.1,cr=0.45,T=3/12=0.25,A/=1/12?0.0833，則

由(15.4)—(15.7)有:

u=e。而=e°-45?麗1.1387

d=-0.8782

U

a=eW=e°」x°°8331.0084

a-d1.0084-0.8782n,nno

P=一斤=1-co0.4998

u-a1.1387-0.8782

l-p=1-0.4998=0.5002

計算二叉樹圖的結(jié)果如下:

由此可知，該期權(quán)的價格約為5.16美元。

15.3請解釋當(dāng)用樹圖法估計美式期權(quán)價值時，如何應(yīng)用控制變量技術(shù)。

解：當(dāng)用樹圖法估計美式期權(quán)價值時，控制變量技術(shù)主要有以下應(yīng)用：

（1）利用二叉樹圖中常用的的方式對美式期權(quán)定價。（記為?。?/p>

（2）使用與（1）中相同的二叉樹圖，并保持所有的參數(shù)不變，對相應(yīng)的歐式期

權(quán)定價。（記為先）

（3）使用B—S對歐式期權(quán)定價。（記為力s）

美式期權(quán)價格的估計值是fA+fBS-fE.

15.4某谷物期貨的美式看漲期權(quán)，有效期為9個月，期貨市價為198美分，執(zhí)

行價格為200美分，無風(fēng)險利率為年率8%,波動率為年率30%。請構(gòu)造時

間間隔為3個月的二叉樹圖模型為該期權(quán)估值。

解:已知尸=198,X=200/=0.08,。=0.3,7=0.75,4=3/12=0.25,則有：

"=”疝=心3厄1,1618

1_1

0.8607

廠1.1618

C_0.08x0.251

—匕—v1

_a-d_1-0.8607

y0.4626

'—"-「1.1618-0.8607

1-/7=0.5374

計算二叉樹圖的結(jié)果如下:

由此可知，該期權(quán)的價格約為20.34美元。

15.5試想一個期權(quán)，其最終收益為期權(quán)有效期期末的股票價格高出有效期期中最

低股價的部分。試問這■-期權(quán)能否用二叉樹圖方法定價？請解釋說明。

解：這一期權(quán)不能用二叉樹圖方法定價。原因如下：

此題中最終收益為期權(quán)有效期期末的股票價格高出有效期期中最低股價的

部分，即其最終收益不僅與股票在期末時的價格有關(guān)，而且決定于股票價格

的運動路徑，故我們不能使用二叉樹圖方法從后向前推算，從而不能使用二

叉樹圖方法對該期權(quán)定價。

15.6"對于支付紅利的股票，其股價的樹圖不重合，但從股價中減去將來的紅利

的現(xiàn)值之后，其樹圖重合?！闭埥忉屵@一論述。

解：假設(shè)在某時間段內(nèi)股票將支付價值為D的紅利，S為股票的初始價格，則

股票的在該時間段的期末價格將變?yōu)镾u—D或Sd—D,在下一個時間段的

期末價格將變?yōu)?Su—D)u、(Su-D)d、(Sd—D)u及(Sd—D)d中的某一個

值，由于u與d不相等，故(Su—D)d與(Sd—D)u是不可能相等的。這表明

對于支付紅利的股票，其股價的樹圖不重合。但是，當(dāng)開始時就將將來的

紅利的現(xiàn)值從股價中剔除后(即減去將來的紅利的現(xiàn)值后)，其樹圖必然重

合。

15.7請說明在腳注6所示的情況下，應(yīng)用Cox、Ross和Rubinstein的二叉樹圖

方法時，概率將出現(xiàn)負(fù)值。

解:在腳注6所示的情況下，cr<卜尸-即(r-g)VZF>-0■或(r-q)VZF<cr,

故有疝或底，止匕即:

a<d或a>w

則概率或l.p二胃＜0。

15.8當(dāng)股指美式期權(quán)的標(biāo)的股指的紅利收益率為時間的函數(shù)時，你如何用二叉

樹方法對該期權(quán)定價？

解：當(dāng)股指美式期權(quán)的標(biāo)的股指的紅利收益率q為時間t的函q(t)時，以下式子

仍然成立：

d=e。而

11=廠內(nèi)

a=e(r-g(，))A，

pa(t)-d

1u-d

由以上式子可知，“、d獨立于時間而a、p依賴于時間"當(dāng)用二叉

樹方法對期權(quán)定價時，二叉樹圖的形態(tài)僅依賴于〃、d,故標(biāo)的股指的紅

利收益率為時間的函數(shù)與其為常數(shù)所用的二叉樹圖的形態(tài)相同，不同的是

在計算每個不同時間對應(yīng)節(jié)點處的期權(quán)的價值時，p值應(yīng)該隨著時間作相

應(yīng)的調(diào)整，然后重復(fù)與收益率為常數(shù)時計算期權(quán)價值的程序。

15.9請解釋說明為什么蒙特卡羅模擬不適用于于美式衍生證券的定價。

解：由于在用蒙特卡羅模擬方法計算風(fēng)險中性世界中衍生證券的樣本價值時，依

賴于該衍生證券標(biāo)的變量的路徑的模擬，在每次的模擬中，標(biāo)的變量的價值

就首先在4時刻確定，然后在24時刻確定，然后3Af等等。這樣在時刻

(i=0,1,2…)就不可能決定提請執(zhí)行期權(quán)是最優(yōu)選擇，原因是iAr時刻

可能的路徑?jīng)]有被考察?？傊商乜_模擬是沿著時間從，到T順次進行

的，不適用于于美式衍生證券的定價。

15.10某個不付紅利股票的美式看跌期權(quán)，有效期為1年，執(zhí)行價格為18美元。

股票市價為20美元，無風(fēng)險利率為年率15%,股價的波動率為年率40%。

請將該有效期等分為四個時間段，每個時間段為期三個月。用樹圖方法對該

期權(quán)定價。請用控制變量技術(shù)對這一估計進行修正。

解：已知S=20,X=18/=0.15,cr=0.40,7=1,4=0.25,由此可計算二叉樹

的有關(guān)參數(shù)如下:

〃=e"=e（）.4庇1,2214

0.8187

廠1.2214

a=""=e°15x0.25La

_1.0382-0.8187

P=u-d=1.2214-0.81870.5450

1-/7=0.4550

(1)利用二叉樹法對該美式看跌期權(quán)定價如圖15.3所示，由此得該美式看跌

期權(quán)的價格約為1.29美元。

(2)利用二叉樹法對該看跌期權(quán)對應(yīng)的歐式期權(quán)定價如圖15.4所示，由此得

該看跌期權(quán)對應(yīng)的歐式期權(quán)價格約為1.14美元。

(3)用Black—Scholes公式對該看跌期權(quán)對應(yīng)的歐式期權(quán)定價如下：

,ln(S/X)+(r+o~2/2)Tln(20/18)+(0.15+04()2/2)xl

0.8384

1—o-VF-o.4oVI

,ln(5/X)+(r-o-2/2)Tln(20/18)+(0.15-0.402/2)x1

di—-------.-----=----------=------0.4384

N(—d。0.2009,N(—d2)0.3306

故該看跌期權(quán)對應(yīng)的歐式期權(quán)價格為：

Xe-rTN{-di)-Si)=1Se-0'5x'x0.3306-20x0.20091.10

故用控制變量法計算出的修正值為1.29+1.10-1.14=1.25美元。

注：保留小數(shù)點后四位有效數(shù)字。

注：保留小數(shù)點后四位有效數(shù)字。

圖15.4

15.11某個白銀金屬期貨的美式看漲期權(quán)，有效期為1年，執(zhí)行價格為9美元。

期貨合約的市價為8.50美元，無風(fēng)險利率為年率12%,期貨價格的波動率

為年率25%。請將該有效期等分為四個時間段，每個時間段為期三個月。用

樹圖方法對該期權(quán)定價。請用控制變量技術(shù)對這一估計進行修正。請估計該

期權(quán)的Delta參數(shù)。

解：已知T—1,X=9,f=0.85,r=0.12,b=0.25,4=3/13=0.25,由此得:

d=—0.8825

1-0.8825

0.4689

u-d~1.3331-0.8825

1—p=0.53U

(1)利用二叉樹法對該美式看漲期權(quán)定價如圖15.5所示，由此得該美式看漲

期權(quán)的價格約為力=0.60美元。

(2)利用二叉樹法對該看漲期權(quán)對應(yīng)的歐式期權(quán)定價如圖15.6所示，由此得

該看漲期權(quán)對應(yīng)的歐式期權(quán)價格約為%=0.59美元。

(3)用Black—Scholes公式對該看漲期權(quán)對應(yīng)的歐式期權(quán)定價如下：

,ln(F/X)+(cr2/2)7,ln(8.50/9)+(0.252/2)xl

(11=----------=--------=----------------0.103o

ay/r0.25*

ch=dLcrVr=-0.1038-0.25x&=-0.3538

N(di)=N(-0.1038)0.4587

N(d2)=N(—0.3538)0.3618

故該看漲期權(quán)對應(yīng)的歐式期權(quán)價格為：

fis=S-Xe-rTN(d2)=8.5x0.4587-9xe-0'25xlx0.36180.57

故用控制變量法計算出的修正值為：

力+加一%=0.60+0.57—0.59=0.58美元。

(4)對應(yīng)于(1)的Delta參數(shù)為：

1.1052-0.1802

'Su-Sd9.6314-7.5013'、'

對應(yīng)于(2)的Delta參數(shù)為：

A?,s=N(di)-0.4587

對應(yīng)于(3)的Delta參數(shù)為：

故用控制變量法計算出的Delta參數(shù)修正值為:

AA+ABS-AE0.47

注：保留小數(shù)點后四位有效數(shù)字。

圖15.5

注：保留小數(shù)點后四位有效數(shù)字。

15.12主要市場指數(shù)MMI的美式看跌期權(quán)，有效期為兩個月，執(zhí)行價格為480。

目前的指數(shù)水平為484,無風(fēng)險利率為年率10%,股票指數(shù)年紅利收益率為

3%,指數(shù)的波動率為年率25%o請將該有效期等分為四個時間段，每個時

間段為期半個月。用樹圖方法對該期權(quán)定價。

解：已知：

S=484,X=480,r=0.10,。=0.25,T=1,,q=0.03,T=2/120.1667,X=0.0417

由此可計算二叉樹的有關(guān)參數(shù)如下:

疝=於.25?171.0524

1_1

?=1.05240.9502

Ar-q)M_〃(0.10—0.03)x0.25

c-e1.0029

_?-6/_1.0029-0.9502

〃==1.0524-0.95020.5160

l-p=0.4840

計算二叉樹圖的結(jié)果如下:

由圖15.7知該期權(quán)價格約為14.93美元。

15.13某個股票的美式看漲期權(quán)，有效期為6個月，預(yù)計在第二個和第五個月的

月末將支付每股1美元的紅利。該股價的市價為30美元，執(zhí)行價格為34

美元,無風(fēng)險利率為年率10%,不支付紅利的股價部分的波動率為年率30%o

請將該有效期等分為6個時間段，每個時間段為期1個月。用樹圖方法對該

期權(quán)定價。并且將這一結(jié)果將Black近似方法得到的結(jié)果（參見第11.12節(jié)）

相比較。用該樹圖估計該期權(quán)的Delta和Theta參數(shù)。

解：（1）已知：

5=30,X=34,r=0.10,<T=0.30,7=6/12=0.50,A/=7/60.0833,

為=2/120.1667,T2=5/120.4167,D,=￡>：=1

由此可計算二叉樹的有關(guān)參數(shù)如下:

u=e。瓜=6。3。*加麗1,0904

,11

d———=--------?0.9171

U1.0904

C-0內(nèi)—,0.10x0.30

Ct一匕一V1.0084

p=0.5268

u-a

1-/9=0.4732

期權(quán)有效期內(nèi)紅利的現(xiàn)值為:

D=。/用=e-oio><oi667+e-o.ioxo.4i67美元。

所以S*=S-。=30—1.94=28.06美元。根據(jù)以上條件，可以模擬S*的

二圖如圖15.8,根據(jù)圖15.8得出S的二圖如圖15.9。由圖15.9,得出該

股票的美式看漲期權(quán)的價格約為0.91美元，并可估計Delta和Theta參

數(shù)分別如下：

1.54-0.22

△=--------=----------------u.z/

Su-Sd32.56-27.69

cf2、一foo0.42—0.91?

0=-———=----------2.92

2加2x0.0833

(2)Black近似方法計算該股票的美式看漲期權(quán)的價格:

由于

X(1—e-⑴-加)=34(l-e-°10x0-25)0.84<1

X(l-e-"F>)=34(1-e-°」°'°0833)0.28<1

故存在提前執(zhí)行的可能?，F(xiàn)比較在提前執(zhí)行期權(quán)預(yù)提前執(zhí)行期權(quán)的情

況下，該股票的美