新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)90分講義第13講基本不等式(原卷版+解析)

第13講基本不等式【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】1.幾個(gè)重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“”).特例：同號(hào)）.（3）其他變形：①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號(hào)成立的條件).2.均值定理已知.（1）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即“和為定值，積有最大值”.（2）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即積為定值，和有最小值”.【典型例題】例1．（2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（）A． B．C． D．例2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．例3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知a，b，c均為正數(shù)，且abc＝4(a＋b)，則a＋b＋c的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8例4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若，，，則的取值范圍是（）A．， B． C．， D．例5．（2021·山西大同·高三階段練習(xí)（理））已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為（）A．2 B． C． D．4例6．（2021·四川·樂(lè)山市教育科學(xué)研究所一模（文））已知，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．例7．（2021·貴州遵義·高三階段練習(xí)（文））已知a，b為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．例8．（2021·重慶·西南大學(xué)附中高三階段練習(xí)）已知，則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4例9．（2021·江西·高三階段練習(xí)（理））已知、，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知函數(shù)在時(shí)取得最小值，則等于（）A．6 B．8 C．16 D．362．（2021·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））三國(guó)時(shí)期趙爽所制的弦圖由四個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成，該圖可用來(lái)解釋下列哪個(gè)不等式（）A．如果，那么；B．如果，那么；C．對(duì)任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；D．如果，，那么．3．（2020·廣東·普寧市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（）A．3 B．2 C．1 D．-15．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若，則有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值26．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥87．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知非負(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是（）A．3 B．4 C．10 D．168．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A．8 B．16 C．9 D．69．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（）A． B． C． D．10．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若對(duì)滿(mǎn)足的任意正數(shù)及任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．二、多選題12．（2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且，則下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．三、填空題13．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是________（填序號(hào)）.①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.14．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若，則的最大值是_______15．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若正數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值是________．16．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中，，則mn的最大值為_(kāi)__________.17．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，的最小值為_(kāi)_____．18．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)________19．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為_(kāi)_____．20．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，且，則的最小值為_(kāi)__________.21．（2022·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）若，則的最小值為_(kāi)___________．22．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的最小值是________．23．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，，為正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值是__________．24．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域是_______．25．（2021·四川·成都七中一模（文））已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)__________.26．（2020·遼寧·開(kāi)原市第二高級(jí)中學(xué)三模）如圖，將一矩形花壇擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇，要求點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且對(duì)角線過(guò)點(diǎn)，已知，，那么當(dāng)_______時(shí)，矩形花壇的面積最小，最小面積為_(kāi)_____.第13講基本不等式【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】1.幾個(gè)重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“”).特例：同號(hào)）.（3）其他變形：①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號(hào)成立的條件).2.均值定理已知.（1）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即“和為定值，積有最大值”.（2）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即積為定值，和有最小值”.【典型例題】例1．（2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，可得圓的半徑為，又由，在直角中，可得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：D.例2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，又，，令，則，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，的取值范圍是，．故選：A．例3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知a，b，c均為正數(shù)，且abc＝4(a＋b)，則a＋b＋c的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【詳解】由a，b，c均為正數(shù)，abc＝4(a＋b)，得c＝，代入得a＋b＋c＝a＋b＋＝＋≥2＋2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)，等號(hào)成立，所以a＋b＋c的最小值為8.故選：D例4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若，，，則的取值范圍是（）A．， B． C．， D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，所以的取值范圍是，.故選：A.例5．（2021·山西大同·高三階段練習(xí)（理））已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為（）A．2 B． C． D．4【答案】C【詳解】∵點(diǎn)在直線上，∴，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立故選：C.例6．（2021·四川·樂(lè)山市教育科學(xué)研究所一模（文））已知，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題可知，乘“”得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，則的最小值為.故選：A例7．（2021·貴州遵義·高三階段練習(xí)（文））已知a，b為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【詳解】由，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立．故選：C．例8．（2021·重慶·西南大學(xué)附中高三階段練習(xí)）已知，則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，則，所以，又，所以，所以最大為3.故選：C.例9．（2021·江西·高三階段練習(xí)（理））已知、，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椤?，由已知可得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D．【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知函數(shù)在時(shí)取得最小值，則等于（）A．6 B．8 C．16 D．36【答案】D【分析】利用基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可【詳解】因?yàn)?，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故故選：D【點(diǎn)睛】均值不等式：一正：，二定：為定值，三相等：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立2．（2021·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））三國(guó)時(shí)期趙爽所制的弦圖由四個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成，該圖可用來(lái)解釋下列哪個(gè)不等式（）A．如果，那么；B．如果，那么；C．對(duì)任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；D．如果，，那么．【答案】C【分析】設(shè)圖中直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為，則斜邊長(zhǎng)為，進(jìn)而可表示出陰影面積以及外圍正方形的面積，由圖可得結(jié)果.【詳解】設(shè)圖中全等的直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為，則斜邊長(zhǎng)為.圖中四個(gè)直角三角形的面積和為，外圍正方形的面積為.由圖可知，四個(gè)直角三角形的面積之和不超過(guò)外圍正方形的面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.3．（2020·廣東·普寧市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用特殊值法，即可判斷A、B、D的正誤，作差法有，即可確定C的正誤.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，有，故不等式不一定成立；B：當(dāng)，即時(shí)，有，故不等式不一定成立；C：恒成立；D：當(dāng)時(shí)，有，故不等式不一定成立；故選：C4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】D【分析】將函數(shù)的解析式進(jìn)行變形，再利用基本不等式，即可得答案；【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng),即等號(hào)成立.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意等號(hào)成立的條件.5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若，則有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【分析】構(gòu)造基本不等式即可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即有最小值2.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查通過(guò)構(gòu)造基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.6．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8【答案】A【分析】由題意可得（x+2y）（）4≥4+28，不等式m2+7m成立?m2+7m＜（）min，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，∴（x+2y）（）4≥4+28．（當(dāng)，即x＝2y時(shí)取等號(hào)），∵不等式m2+7m成立，∴m2+7m≤8，求得﹣8≤m≤1．故選：A．7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知非負(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是（）A．3 B．4 C．10 D．16【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合“1”的妙用即可得解.【詳解】由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故選：B8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A．8 B．16 C．9 D．6【答案】A【分析】根據(jù)題中條件，將所求式子化為，展開(kāi)后，再利用基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).因此的最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.9．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將已知條件化簡(jiǎn)得到，然后將變換成，然后化簡(jiǎn)整理結(jié)合均值不等式求解即可.【詳解】由，有，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.10．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若對(duì)滿(mǎn)足的任意正數(shù)及任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問(wèn)題，利用判別式求得實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】∵正數(shù)滿(mǎn)足，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，∴，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，∴，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由得，再利用基本等式“1”的代換進(jìn)行求解.【詳解】由得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選：D.【點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．二、多選題12．（2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且，則下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用基本不等式逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD三、填空題13．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是________（填序號(hào)）.①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.【答案】④【分析】結(jié)合基本不等式進(jìn)行逐個(gè)判定，①③直接利用基本不等式可判定正誤，②④通過(guò)變形可得正誤.【詳解】因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立），即≤2，ab≤4，，故①③不成立；，故②不成立；故④成立.故答案為：④.14．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若，則的最大值是_______【答案】【分析】即可求得最值.【詳解】，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”，故答案為：.15．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若正數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值是________．【答案】2【分析】利用基本不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得解.【詳解】由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，即，∴的最大值為．故答案為：216．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中，，則mn的最大值為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)求出A點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，利用均值不等式即可求解.【詳解】解：函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，，點(diǎn)A在直線上，，又，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以mn的最大值為，故答案為：.17．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】將所求代數(shù)式變形為，利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故答案為：.18．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)________【答案】【分析】將展開(kāi)利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.19．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】18【分析】等式變形為，則根據(jù)基本不等式即可得到答案．【詳解】解：已知，，且．，即：．則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為18．故答案為：18．20．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，且，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到，再利用基本不等式求解即可.【詳解】由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故答案為：21．（2022·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）若，則的最小值為_(kāi)___________．【答案】【分析】?jī)纱卫没静坏仁郊纯汕蟪?【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.22．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的最小值是________．【答案】【分析】將函數(shù)的解析式變形為，然后利用基本不等式可求得該函數(shù)的最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，函數(shù)的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求解函數(shù)