邏輯代數(shù)與邏輯函數(shù)

邏輯代數(shù)與邏輯函數(shù)2.1布爾代數(shù)的基本概念

從本章開始，以下各章均是討論邏輯運(yùn)算問題。邏輯運(yùn)算是邏輯思維和邏輯推理的數(shù)學(xué)描述。1847年，英國數(shù)學(xué)家喬治·布爾（GeorgeBoole）提出了描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法——布爾代數(shù)。由于布爾代數(shù)被廣泛的應(yīng)用于解決開關(guān)電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)上，所以布爾代數(shù)也稱為開關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)。第2頁,共102頁，2024年2月25日，星期天

邏輯問題的前提是二值性問題，即一個(gè)問題只有二種答案，不是“真”就是“假”，不存在第三種似是而非的答案。這樣邏輯問題也可用二種代碼表示，一般用“1”和“0”表示二種答案。此處的“1”和“0”僅表示一個(gè)問題的二種結(jié)果，不表示數(shù),無大小之分?！?”和“0”稱邏輯常量。布爾代數(shù)（邏輯代數(shù)）中也是用字母表示變量，這種變量稱為布爾（邏輯）變量。在二值邏輯中，每個(gè)邏輯變量的取值只有“1”和“0”兩種可能。第3頁,共102頁，2024年2月25日，星期天與邏輯（與運(yùn)算、邏輯乘）或邏輯（或運(yùn)算、邏輯加）非邏輯（非運(yùn)算、邏輯反）布爾代數(shù)中的三種基本運(yùn)算

實(shí)際的邏輯關(guān)系是千變?nèi)f化的，但它們都是由與、或、非三種基本運(yùn)算組成的，都可以通過這三種基本運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)第4頁,共102頁，2024年2月25日，星期天2.1.1與邏輯（與運(yùn)算、邏輯乘）只有前提均具備了，結(jié)果才發(fā)生，這種關(guān)系稱為“與”邏輯。下面我們用開關(guān)A、B串聯(lián)控制燈F的亮與滅，說明與邏輯的功能。定義：開關(guān)合上為“1”，斷開為“0”。燈亮為“1”，燈滅為“0”。BAFREBAFRE第5頁,共102頁，2024年2月25日，星期天描述邏輯功能的多種手段一、真值表將AB各種可能的情況與燈F的關(guān)系列表表示如下圖：111010001000FAB真值表BAFREBAFRE第6頁,共102頁，2024年2月25日，星期天二、布爾（邏輯）函數(shù)表達(dá)式

F=

A·B將邏輯常量代入：0·0=00·1=01·0=01·1=1A為邏輯變量,它的取值只能為0或者1。則：0·A=01·A=AA·A=A第7頁,共102頁，2024年2月25日，星期天三、邏輯符號(hào)目前存在三種符號(hào)表示，逐漸應(yīng)統(tǒng)一到國際標(biāo)準(zhǔn)。&（c）國際標(biāo)準(zhǔn)（b）國外流行ABFBAFFAB（a）國家標(biāo)準(zhǔn)＆第8頁,共102頁，2024年2月25日，星期天四、波形關(guān)系高電平為“1”，低電平為“0”（正邏輯）AFB第9頁,共102頁，2024年2月25日，星期天2.1.2或邏輯（或運(yùn)算、邏輯加）只要具備了一個(gè)前提，結(jié)果就發(fā)生，這種關(guān)系稱為“或”邏輯。下面我們用開關(guān)A、B并聯(lián)控制燈F的亮與滅，說明“或”邏輯的功能。定義：開關(guān)A或B合上為“1”，斷開為“0”。燈亮為“1”，燈滅為“0”。FREAB第10頁,共102頁，2024年2月25日，星期天一、真值表將AB各種可能的情況與燈F的關(guān)系列表表示如下圖：111110101000FAB真值表FREAB第11頁,共102頁，2024年2月25日，星期天二、邏輯函數(shù)表達(dá)式

F=

A+B將邏輯常量代入：0+0=00+1=11+0=11+1=1A為邏輯變量,它的取值只能為0或者1。則：A+0=AA+1=1A+A=A第12頁,共102頁，2024年2月25日，星期天三、邏輯符號(hào)FFFABABAB+≥1（a）（b）（c）AFB四、波形關(guān)系高電平為“1”，低電平為“0”第13頁,共102頁，2024年2月25日，星期天2.1.3非邏輯（非運(yùn)算、邏輯反）前提與結(jié)果相反；前提為真，結(jié)果為假。這種關(guān)系稱為“非”邏輯。下面我們用開關(guān)A控制燈F的亮與滅，說明“非”邏輯的功能。定義：開關(guān)合上為“1”，斷開為“0”。燈亮為“1”，燈滅為“0”。EARF第14頁,共102頁，2024年2月25日，星期天一、真值表將AB各種可能的情況與燈F的關(guān)系列表表示如下圖：0110FA真值表EARF第15頁,共102頁，2024年2月25日，星期天二、邏輯函數(shù)表達(dá)式

F=

A將邏輯常量代入：

0=11=0A·A=0A+A=1A=A第16頁,共102頁，2024年2月25日，星期天三、邏輯符號(hào)四、波形關(guān)系高電平為“1”，低電平為“0”AF第17頁,共102頁，2024年2月25日，星期天三種基本邏輯運(yùn)算的運(yùn)算順序非與或例第18頁,共102頁，2024年2月25日，星期天2.1.4其他復(fù)合邏輯運(yùn)算及描述

將基本邏輯運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)單的組合—組合成如下常用復(fù)合邏輯。“與非邏輯”“或非邏輯”“與或非”邏輯“異或”“同或”邏輯

第19頁,共102頁，2024年2月25日，星期天“與”邏輯和“非”邏輯的組合。先“與”再“非”。＆BAAB11FABA&F=ABB＆1.“與非邏輯”第20頁,共102頁，2024年2月25日，星期天AFB波形圖011110101100FAB真值表見0得1全1得0第21頁,共102頁，2024年2月25日，星期天

“或”邏輯和“非”邏輯的組合。先“或”再“非”?！?BAA+B11FA+BAF=A+BB≥1

2.“或非邏輯”第22頁,共102頁，2024年2月25日，星期天波形關(guān)系A(chǔ)FB011010001100FAB真值表全0得1見1得0第23頁,共102頁，2024年2月25日，星期天“與”邏輯、“或”邏輯、“非”邏輯的組合。先“與”后“或”最后再“非”。ABCDF=AB+CD＆≥1＆≥11F=AB+CD11AB+CD≥1≥1CDAB＆BA＆DC

3.“與或非”邏輯第24頁,共102頁，2024年2月25日，星期天真值表輸入二變量相異為“0”，相同為“1”，稱為“同或”F2。輸入二變量相異為“1”，相同為“0”，稱為“異或”F1。4.“異或”“同或”邏輯ABF1F20001011010101101異或同或第25頁,共102頁，2024年2月25日，星期天由真值表可得出下式：真值表ABF1F20001011010101101第26頁,共102頁，2024年2月25日，星期天異或邏輯符號(hào)同或邏輯符號(hào)

（a）（b）（c）

=1AFBABFAFB=1

（a）（b）（c）

BAAFBAFB=1F第27頁,共102頁，2024年2月25日，星期天“同或”運(yùn)算實(shí)例說明一個(gè)控制樓梯照明燈的電路。單刀雙擲開關(guān)A裝在樓下，B裝在樓上，這樣在樓下開燈后，可以在樓上關(guān)燈。同樣也可以在樓上開燈，而在樓下關(guān)燈。因?yàn)橹挥挟?dāng)兩個(gè)開關(guān)都向上扳時(shí)，燈才會(huì)亮。而一個(gè)向上扳，另一個(gè)向下扳，燈就滅。220VabCdABL上述電路功能可如下表述：設(shè)L表示燈的狀態(tài)，即L=1表示燈亮，L=0表示燈不亮。用A和B表示開關(guān)A和B的位置，用1表示向上扳，用0表示向下扳。則L與A、B的關(guān)系可用真值表表示ABL001010100111燈亮的邏輯表達(dá)式：L=AB+AB描述了從邏輯問題建立邏輯函數(shù)的過程第28頁,共102頁，2024年2月25日，星期天2.1.5布爾（邏輯）函數(shù)

在實(shí)際問題中，通常總是以這些基本邏輯運(yùn)算構(gòu)成各種復(fù)雜的邏輯關(guān)系式。概念：在數(shù)字系統(tǒng)的邏輯電路中，如果某一輸出量與一組輸入量存在一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，當(dāng)輸入變量取任意一組確定的值，輸出變量也就唯一的被確定，則這種關(guān)系為邏輯函數(shù)關(guān)系．設(shè)輸入變量為A1、A2，…An，輸出變量為F，則描述輸出變量和輸入變量的邏輯函數(shù)可表示為

F=f(A1,A2,…An)第29頁,共102頁，2024年2月25日，星期天邏輯函數(shù)自身的特點(diǎn)邏輯變量和邏輯函數(shù)的取值只有0和1兩種可能。邏輯函數(shù)和邏輯變量之間的關(guān)系是由“或”、“與”、“非”三種基本邏輯運(yùn)算決定的。邏輯代數(shù)的函數(shù)和普通代數(shù)的函數(shù)一樣，存在相等的問題。設(shè)有兩個(gè)邏輯函數(shù)：

F1=f1(A1,A2，…，An)F2=f2(A1,A2,…,An)若對(duì)應(yīng)于邏輯變量A1,A2,…,An的任何一組取值，F(xiàn)1和F2的值都相同，則稱函數(shù)F1和F2相等。記作F1=F2。第30頁,共102頁，2024年2月25日，星期天2.2布爾（邏輯）代數(shù)的基本公式、定理和規(guī)則

主要要求：

掌握布爾代數(shù)的基本公式和基本定理。熟悉布爾代數(shù)的重要規(guī)則。第31頁,共102頁，2024年2月25日，星期天2.2.1基本公式

布爾（邏輯）常量運(yùn)算公式

布爾（邏輯）變量與常量的運(yùn)算公式

0

·

0

=

00

·

1

=

01

·

0

=

01

·

1

=

10

+

0

=

00

+

1

=

11

+

0

=

11

+

1

=

10–1律重迭律

互補(bǔ)律

還原律

0+A=A1+A=11·A=A0·A=0A+A=AA·A=A

雙重否定律第32頁,共102頁，2024年2月25日，星期天2.2.2基本定理

(一)與普通代數(shù)相似的定律

交換律

A+B=B+AA·B=B·A結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C)(A·B)·C=A·(B·C)分配律

A(B+C)=AB+AC

A+BC=(A+B)(A+C)普通代數(shù)沒有！利用真值表邏輯等式的證明方法

利用基本公式和基本定理第33頁,共102頁，2024年2月25日，星期天111111111100[例]

證明等式A+BC=(A+B)(A+C)解：真值表法公式法右式=(A+B)(A+C)

用分配律展開

=AA+AC+BA+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A·1+BC=A+BC0000ABCA+BC(A+B)(A+C)000001010011100101110111第34頁,共102頁，2024年2月25日，星期天

(二)邏輯代數(shù)的特殊定理

吸收律A+AB=A

A+AB=A(1+B)=A

第35頁,共102頁，2024年2月25日，星期天0011111011011100A+BA·BA

B0011001000011100A·BA+BA

B

(二)邏輯代數(shù)的特殊定理

吸收律A+AB=A

推廣公式：思考：(1)若已知A+B=A+C，則B=C嗎？

(2)若已知AB=AC，則B=C嗎？

推廣公式：摩根定理

(又稱反演律)

第36頁,共102頁，2024年2月25日，星期天香農(nóng)（Shannon）定理任何函數(shù)的反函數(shù)（或稱補(bǔ)函數(shù)），可以通過對(duì)該函數(shù)的所有變量取反，并將常量1換成0,0換成1，運(yùn)算符“+”換成“·”,“·”換成“+”而得到。依據(jù)德·摩根定理得：利用香農(nóng)定理，可直接得：例：已知函數(shù)求其反函數(shù)第37頁,共102頁，2024年2月25日，星期天2.2.3重要規(guī)則

(一)代入規(guī)則

A

A

A

A均用代替A均用代替B均用C代替利用代入規(guī)則能擴(kuò)展基本定律的應(yīng)用。

將邏輯等式兩邊的某一變量均用同一個(gè)邏輯函數(shù)替代，等式仍然成立。第38頁,共102頁，2024年2月25日，星期天(二)對(duì)偶法則解：

按上述過程其對(duì)偶式為：L=(A+B)(A+C)則L’=A·B+AC第39頁,共102頁，2024年2月25日，星期天（三）反演法則（香農(nóng)定理）反演法則的目的是能夠較快的寫出函數(shù)的反函數(shù)（補(bǔ)函數(shù)），將原式按下述過程即可求得其反函數(shù)。例:L=AB+CD+0

L=(A+B)·(C+D)·1第40頁,共102頁，2024年2月25日，星期天上述過程要反復(fù)應(yīng)用求反律。而利用反演法則直接寫出結(jié)果。

FEDCBAF的反函數(shù)例：求++++=第41頁,共102頁，2024年2月25日，星期天求下列函數(shù)的反函數(shù)和對(duì)偶函數(shù)第42頁,共102頁，2024年2月25日，星期天基本公式應(yīng)用①等式的證明②邏輯函數(shù)不同形式的轉(zhuǎn)換由于與或形式物理意義明確，與真值表相對(duì)應(yīng)，且對(duì)應(yīng)的基本公式較為熟悉，故在一般情況下，函數(shù)均以“與或”形式給出。③

邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

用基本公式將邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)，稱為代數(shù)法化簡(jiǎn)。第43頁,共102頁，2024年2月25日，星期天主要要求：

了解邏輯函數(shù)式的常見形式及其相互轉(zhuǎn)換。

了解邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法。2.4邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法

理解最簡(jiǎn)與-或式和最簡(jiǎn)與非式的標(biāo)準(zhǔn)。

2.3邏輯函數(shù)表達(dá)式形式第44頁,共102頁，2024年2月25日，星期天邏輯式有多種形式，采用何種形式視需要而定。各種形式間可以相互變換。一、邏輯函數(shù)式的幾種常見形式和變換

例如與或表達(dá)式

或與表達(dá)式與非-

與非表達(dá)式或非-

或非表達(dá)式與或非表達(dá)式轉(zhuǎn)換方法舉例

與或式與非式

用還原律

用摩根定律

或與式或非式與或非式

用還原律

用摩根定律

用摩根定律

第45頁,共102頁，2024年2月25日，星期天二、邏輯函數(shù)式化簡(jiǎn)的意義與標(biāo)準(zhǔn)

化簡(jiǎn)意義使邏輯式最簡(jiǎn)，它所表示的邏輯關(guān)系就越明顯，有利于設(shè)計(jì)出最簡(jiǎn)的邏輯電路，從而節(jié)省元器件、優(yōu)化生產(chǎn)工藝、降低成本和提高系統(tǒng)可靠性。不同形式邏輯式有不同的最簡(jiǎn)式，一般先求取最簡(jiǎn)與-或式，然后通過變換得到所需最簡(jiǎn)式。第46頁,共102頁，2024年2月25日，星期天最簡(jiǎn)與-或式標(biāo)準(zhǔn)(積之和表達(dá)式)(1)乘積項(xiàng)(即與項(xiàng))的個(gè)數(shù)最少(2)每個(gè)乘積項(xiàng)中的變量數(shù)最少用與門個(gè)數(shù)最少與門的輸入端數(shù)最少

最簡(jiǎn)與非式標(biāo)準(zhǔn)(1)非號(hào)個(gè)數(shù)最少(2)每個(gè)非號(hào)中的變量數(shù)最少用與非門個(gè)數(shù)最少與非門的輸入端數(shù)最少

第47頁,共102頁，2024年2月25日，星期天三、代數(shù)化簡(jiǎn)法

運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和公式對(duì)邏輯式進(jìn)行化簡(jiǎn)。并項(xiàng)法

運(yùn)用，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。Y=ABCD+ABCD=A第48頁,共102頁，2024年2月25日，星期天吸收法

運(yùn)用A+AB

=A和，消去多余的與項(xiàng)。第49頁,共102頁，2024年2月25日，星期天消去法

運(yùn)用吸收律

，消去多余因子。第50頁,共102頁，2024年2月25日，星期天配項(xiàng)法通過乘或加入零項(xiàng)進(jìn)行配項(xiàng)，然后再化簡(jiǎn)。第51頁,共102頁，2024年2月25日，星期天綜合靈活運(yùn)用上述方法

[例]化簡(jiǎn)邏輯式解：

應(yīng)用[例]化簡(jiǎn)邏輯式解：

應(yīng)用應(yīng)用AB第52頁,共102頁，2024年2月25日，星期天[例]化簡(jiǎn)邏輯式解：

應(yīng)用用摩根定律第53頁,共102頁，2024年2月25日，星期天1.無統(tǒng)一的固定模式2.需記大量的公式3.需要一定的技巧

4.難于判斷結(jié)果是否最簡(jiǎn)為此出現(xiàn)一種既簡(jiǎn)便又直觀的化簡(jiǎn)方法—

圖形法化簡(jiǎn)，即卡諾圖化簡(jiǎn)法。通過以上各例可看出代數(shù)法化簡(jiǎn)存在如下問題：第54頁,共102頁，2024年2月25日，星期天代數(shù)化簡(jiǎn)法

優(yōu)點(diǎn)：對(duì)變量個(gè)數(shù)沒有限制。缺點(diǎn)：需技巧，不易判斷是否最簡(jiǎn)式。

卡諾圖化簡(jiǎn)法

優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單、直觀，有一定的步驟和方法容易判斷結(jié)果是否最簡(jiǎn)。

缺點(diǎn)：適合變量個(gè)數(shù)較少的情況。一般用于四變量以下函數(shù)的化簡(jiǎn)。

第55頁,共102頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)的“積之和”與“和之積”表示形式

所謂“積之和”即：“與或式”，是指一個(gè)函數(shù)表達(dá)式中包含若干個(gè)“積”項(xiàng)，其中每個(gè)“積”項(xiàng)可有一個(gè)或者多個(gè)以原變量或反變量形式出現(xiàn)的字母，這些“積”項(xiàng)的“和”就表示了一個(gè)函數(shù)。

所謂“和之積”即：“或與式”，是指一個(gè)函數(shù)表達(dá)式中包含若干個(gè)“和”項(xiàng)，其中每個(gè)“和”項(xiàng)可有一個(gè)或者多個(gè)以原變量或反變量形式出現(xiàn)的字母，這些“和”項(xiàng)的“積”就表示了一個(gè)函數(shù)。第56頁,共102頁，2024年2月25日，星期天邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式1.最小項(xiàng)和最大項(xiàng)

什么是最小項(xiàng)？

n個(gè)邏輯變量組成的“與”項(xiàng)中，所有變量必須以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。例：對(duì)于2個(gè)邏輯變量，共可寫出4個(gè)最小項(xiàng)：第57頁,共102頁，2024年2月25日，星期天

用mi表示最小項(xiàng)例：用二進(jìn)制數(shù)0表示反變量,1表示原變量;改用十進(jìn)制數(shù)表示;此十進(jìn)制數(shù)就是mi的下標(biāo).第58頁,共102頁，2024年2月25日，星期天

最小項(xiàng)的性質(zhì)性質(zhì)1：輸入變量的每一組取值都使一個(gè)對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)的值等于1。性質(zhì)2：任意兩個(gè)最小項(xiàng)相與,結(jié)果為0。性質(zhì)3：全部最小項(xiàng)相或,結(jié)果為1。即：性質(zhì)4兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)相加可合并為一項(xiàng)，消去互反變量，化簡(jiǎn)為相同變量相與。若兩個(gè)最小項(xiàng)僅有一個(gè)因子不同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)具有相鄰性。例：和，這兩個(gè)最小項(xiàng)相加時(shí)能合并，并可消去1個(gè)因子。第59頁,共102頁，2024年2月25日，星期天第60頁,共102頁，2024年2月25日，星期天

用最小項(xiàng)表達(dá)邏輯函數(shù)

——“標(biāo)準(zhǔn)積之和”

例：互補(bǔ)律分配律重疊律0,2,3,4一個(gè)函數(shù)可以用最小項(xiàng)之和的形式來表示，稱之為函數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)積之和”形式。第61頁,共102頁，2024年2月25日，星期天最大項(xiàng)

什么是最大項(xiàng)？

n

個(gè)邏輯變量組成的“或”項(xiàng)中，所有變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。例：對(duì)于2個(gè)邏輯變量，共可寫出4個(gè)最大項(xiàng)：第62頁,共102頁，2024年2月25日，星期天

用Mi最大項(xiàng)例：用二進(jìn)制數(shù)1表示反變量,0表示原變量;改用十進(jìn)制數(shù)表示;此十進(jìn)制數(shù)就是Mi的下標(biāo).第63頁,共102頁，2024年2月25日，星期天

最大項(xiàng)的性質(zhì)性質(zhì)1任取一組值,僅有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0。性質(zhì)2任意兩個(gè)最大項(xiàng)相或,結(jié)果1。性質(zhì)3全部最大項(xiàng)相與,結(jié)果為0。即：性質(zhì)4只有一個(gè)變量不同的兩個(gè)最大項(xiàng)的乘積等于各相同變量之和。(A+B+C)?(A+B+C)=A+B第64頁,共102頁，2024年2月25日，星期天第65頁,共102頁，2024年2月25日，星期天

用最大項(xiàng)表達(dá)邏輯函數(shù)——“標(biāo)準(zhǔn)和之積”

例：

互補(bǔ)律，0-1律分配律重疊律A+BC=(A+B)(A+C)一個(gè)函數(shù)可以用最大項(xiàng)之積的形式表示，把這種形式稱為函數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)和之積”形式。第66頁,共102頁，2024年2月25日，星期天例：

ABC

F00010011010101111000101011001111使F=1的最小項(xiàng)構(gòu)成函數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)積之和”形式使F=0的最大項(xiàng)構(gòu)成函數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)和之積”形式

最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的關(guān)系

第67頁,共102頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)摩根定律

所以，只要能寫出函數(shù)的最小項(xiàng)之和的形式，根據(jù)上述方法就可得到最大項(xiàng)之積的形式結(jié)論：同一函數(shù)既可以表示成“標(biāo)準(zhǔn)積之和”的形式，也可以表示成“標(biāo)準(zhǔn)和之積”的形式。同一函數(shù)的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)互斥的，即如果真值表中的某一行作為函數(shù)的最小項(xiàng)，那么它就不可能是同一函數(shù)的最大項(xiàng)。第68頁,共102頁，2024年2月25日，星期天變量取0的代以反變量取1的代以原變量AB二變量卡諾圖0101000110110001AB0101m0m1m2m30123ABAAB

BABABABAB三變量卡諾圖ABC01000111

10

m6

m7

m4

m2

m3000

m0

m5001

m16

7

5

4

2

310以循環(huán)碼排列以保證相鄰性1.最小項(xiàng)的卡諾圖表示

將n變量的2n個(gè)最小項(xiàng)用2n個(gè)小方格表示，

并且使相鄰最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰且循環(huán)相鄰，這樣排列得到的方格圖稱為n變量最小項(xiàng)卡諾圖，

簡(jiǎn)稱為變量卡諾圖。2.5.1邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法第69頁,共102頁，2024年2月25日，星期天四變量卡諾圖01

3

245

7

61213

15

14891110ABCD00011110000111

10第70頁,共102頁，2024年2月25日，星期天變量取0的代以反變量取1的代以原變量ABCD00011110000111

1001

3

245

7

61213

15

14891110ABCD相鄰項(xiàng)在幾何位置上也相鄰卡諾圖特點(diǎn)：循環(huán)相鄰性同一列最上與最下方格相鄰?fù)恍凶钭笈c最右方格相鄰第71頁,共102頁，2024年2月25日，星期天卡諾圖的特點(diǎn)各小方格對(duì)應(yīng)于各變量不同的組合，而且上下左右在幾何上相鄰的方格內(nèi)只有一個(gè)因子有差別，這個(gè)重要特點(diǎn)成為卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的主要依據(jù)?？ㄖZ圖水平方向同一行里，最左和最右端的方格、垂直方向同一列里最上端和最下端兩個(gè)方格是相鄰的，這是因?yàn)槎贾挥幸粋€(gè)因子有差別——即卡諾圖呈現(xiàn)循環(huán)鄰接的特性。第72頁,共102頁，2024年2月25日，星期天如何寫出卡諾圖方格對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)？

已知最小項(xiàng)如何找相應(yīng)小方格？

例如

原變量取1，反變量取0。1001？ABCD0001111000011110

第73頁,共102頁，2024年2月25日，星期天為了用卡諾圖表示邏輯函數(shù)，通常需要先求得真值表或者標(biāo)準(zhǔn)與-或式或者與-或表達(dá)式。因此，下面先介紹標(biāo)準(zhǔn)與-或式。任何形式的邏輯式都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)與-或式，而且邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與

-

或式是唯一的。

邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與

-

或式2.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)每一個(gè)與項(xiàng)都是最小項(xiàng)的“與

-

或”邏輯式稱為標(biāo)準(zhǔn)與

-

或式，又稱最小項(xiàng)表達(dá)式。

第74頁,共102頁，2024年2月25日，星期天如何將邏輯式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)與-或式呢

？

[例]將邏輯式化為標(biāo)準(zhǔn)與或式。解：(1)

利用摩根定律和分配律把邏輯函數(shù)式展開為與或式。AB+(2)

利用配項(xiàng)法化為標(biāo)準(zhǔn)與或式。第75頁,共102頁，2024年2月25日，星期天(3)利用A+A=A，合并掉相同的最小項(xiàng)。0000m00001m11100m121101m131111m15=m0+m1+m12+m13+m15=∑m(0,1,12,13,15)第76頁,共102頁，2024年2月25日，星期天用卡諾圖表示邏輯函數(shù)舉例

已知標(biāo)準(zhǔn)與或式畫函數(shù)卡諾圖[例]

試畫出函數(shù)Y=∑m(0,1,12,13,15)的卡諾圖解：(1)畫出四變量卡諾圖(2)填圖邏輯式中的最小項(xiàng)m0、m1、m12、m13、m15

對(duì)應(yīng)的方格填1，其余不填。ABCD0001111000011110

0

1324576

12

13

151489

11

10

11

111

第77頁,共102頁，2024年2月25日，星期天已知一般表達(dá)式畫函數(shù)卡諾圖解：(1)將邏輯式轉(zhuǎn)化為與或式(2)作變量卡諾圖找出各與項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)方格填1，其余不填。

[例]已知，試畫出Y的卡諾圖。AB+ABCD0001111000011110(3)根據(jù)與或式填圖

11111111

1

1

AB對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)為同時(shí)滿足A=1，

B=1的方格。BCD對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)為同時(shí)滿足B=1，C=0，D=1的方格AD對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)為同時(shí)滿足A=0，D=1的方格。第78頁,共102頁，2024年2月25日，星期天2.同一最小項(xiàng)可以重復(fù)使用多次（A+A=A）。1.2m個(gè)最小項(xiàng)可合并成一項(xiàng)，并消去m個(gè)因子(m<n)，應(yīng)使m盡可能大。3.每一個(gè)最小項(xiàng)至少被使用一次。4.每次合并至少有一個(gè)最小項(xiàng)以前未用過?；?jiǎn)規(guī)則2.5.2用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)第79頁,共102頁，2024年2月25日，星期天1.二個(gè)相鄰項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去一個(gè)取值不同的變量，保留相同變量。如圖（a）所示1111CDAB0001111000011110(a)第80頁,共102頁，2024年2月25日，星期天11111111CDAB000111100001111011111111CDAB0001111000011110(b)2.

四個(gè)相鄰項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去二個(gè)取值不同的變量，保留相同的變量，如圖（b）所示。1111第81頁,共102頁，2024年2月25日，星期天111111111111CDAB0001111000011110(C)3.

八個(gè)相鄰項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去三個(gè)取值不同的變量，保留相同變量，如圖（c）所示。一定是2n

個(gè)最小項(xiàng)，且相鄰關(guān)系是封閉的（圖形上是方形）才可合并。第82頁,共102頁，2024年2月25日，星期天2.卡諾圖化簡(jiǎn)法的步驟

ABCD+ABCD+ABCD+ABCD畫函數(shù)卡諾圖將各圈分別化簡(jiǎn)

對(duì)填1的相鄰最小項(xiàng)方格畫包圍圈

將各圈化簡(jiǎn)結(jié)果邏輯加

第83頁,共102頁，2024年2月25日，星期天m15

m9

m7

m6

m5

m4

m2

m0解：(1)畫變量卡諾圖[例]用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000011110(2)填卡諾圖11111111(3)畫包圍圈abcd(4)將各圖分別化簡(jiǎn)圈2個(gè)可消去

1個(gè)變量，化簡(jiǎn)為3個(gè)相同變量相與。Yb=BCD圈4個(gè)可消去

2個(gè)變量，化簡(jiǎn)為2個(gè)相同變量相與。孤立項(xiàng)Ya=ABCDYc=

AB循環(huán)相鄰

Yd=

AD(5)將各圖化簡(jiǎn)結(jié)果邏輯加，得最簡(jiǎn)與或式第84頁,共102頁，2024年2月25日，星期天解：(1)畫變量卡諾圖[例]用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000011110(2)填卡諾圖11111111(4)求最簡(jiǎn)與或式

Y=1消1個(gè)剩3個(gè)(3)畫圈消2個(gè)剩2個(gè)4個(gè)角上的最小項(xiàng)循環(huán)相鄰第85頁,共102頁，2024年2月25日，星期天找

AB

=11,C

=

1

的公共區(qū)域找

A

=

1,

CD

=

01

的公共區(qū)域找

B

=

1,

D

=

1

的公共區(qū)域解：(1)畫變量卡諾圖ABCD0001111000011110(2)填圖11(4)化簡(jiǎn)(3)畫圈[例]用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)0011m30100m411111111要畫嗎？Y=第86頁,共102頁，2024年2月25日，星期天[例]已知某邏輯函數(shù)的卡諾圖如下所示，試寫出其最簡(jiǎn)與或式。ABCD000111100001111011111111110011

11解：0方格很少且為相鄰項(xiàng)，故用圈0法先求Y的最簡(jiǎn)與或式。1111111111第87頁,共102頁，2024年2月25日，星期天[例]已知函數(shù)真值表如下，試用卡諾圖法求其最簡(jiǎn)與或式。ABCY00010011010001111001101011011111注意：該卡諾圖還有其他畫圈法可見，最簡(jiǎn)結(jié)果未必唯一。解：(1)畫函數(shù)卡諾圖ABC01000111

101

1

1

111(3)化簡(jiǎn)(2)畫圈Y=1

1

1

111ABC0100011110第88頁,共102頁，2024年2月25日，星期天約束項(xiàng)和隨意項(xiàng)都不會(huì)在邏輯函數(shù)中出現(xiàn)，所對(duì)應(yīng)函數(shù)值視為1或0都可以，故稱無關(guān)項(xiàng)。

不允許出現(xiàn)的無關(guān)項(xiàng)又稱約束項(xiàng)；客觀上不會(huì)出現(xiàn)的無關(guān)項(xiàng)又稱隨意項(xiàng)。

2.6具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

1.無關(guān)項(xiàng)的概念與表示

無關(guān)項(xiàng)是特殊的最小項(xiàng)，這種最小項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的變量取值組合或者不允許出現(xiàn)或者根本不會(huì)出現(xiàn)。

例如8421碼中，1010~1111這6種代碼是不允許出現(xiàn)的。例如A、B

為連動(dòng)互鎖開關(guān)，設(shè)開為

1

,

關(guān)為

0,

則

AB

只能取值

01

或

10

,

不會(huì)出現(xiàn)

00

或11。第89頁,共102頁，2024年2月25日，星期天合理利用無關(guān)項(xiàng)可使邏輯式更簡(jiǎn)單

無關(guān)項(xiàng)在卡諾圖和真值表中用“

”“

”來標(biāo)記，在邏輯式中則用字母d和相應(yīng)的編號(hào)表示。

2.利用無關(guān)項(xiàng)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

無關(guān)項(xiàng)的取值對(duì)邏輯函數(shù)值沒有影響?；?jiǎn)時(shí)應(yīng)視需要將無關(guān)項(xiàng)方格看作1或0，使包圍圈最少而且最大，從而使結(jié)果最簡(jiǎn)。第90頁,共102頁，2024年2月25日，星期天將d10看成0,其余×看成1

將×看成0

ABCD00011110000111

10111111×××××××顯然左圖化簡(jiǎn)結(jié)果最簡(jiǎn)

解：(1)畫變量卡諾圖[例]用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)

Y=∑m(0,1,4,6,9,13)+∑d(2,3,5,7,10,11,15)ABCD00011110000111

10(2)填圖11111(4)寫出最簡(jiǎn)與

-

或式最小項(xiàng)(3)畫包圍圈無關(guān)項(xiàng)1×××××××0×第91頁,共102頁，2024年2月25日，星期天解：(1)畫變量卡諾圖ABCD0001111000011110(2)填圖(4)求最簡(jiǎn)與-或式(3)畫包圍圈1111求最簡(jiǎn)與非式基本方法是：先求最簡(jiǎn)與或式，再利用還原律和摩根定律變換為最簡(jiǎn)與非式。[例]求函數(shù)的最簡(jiǎn)與非式11××××××××(5)求最簡(jiǎn)與非式分析題意稱約束條件，表明與項(xiàng)AB和AC對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)不允許出現(xiàn)，因此

AB和AC對(duì)應(yīng)的方格為無關(guān)項(xiàng)。第92頁,共102頁，2024年2月25日，星期天概念：蘊(yùn)含項(xiàng)在函數(shù)的任何與或表達(dá)式中，每個(gè)