巧用三射線定理求解空間角度問題

巧用“三射線定理”求解空間角度問題PAGEPAGE6巧用“三射線定理”求解空間角度問題湖北黃岡中學(xué) 王憲生20090401立體幾何試卷中常遇有空間角度計(jì)算問題：求異面直線所成的角、求直線與平面所成的角、求平面與平面所成的角等，這是學(xué)生們普遍感覺較為困難的一類問題．這類問題有兩種常用的求解方法：一是通過作圖，找出并證明問題所涉及到的對應(yīng)角，然后利用平面幾何知識或三角函數(shù)知識求出這一角度的值；二是通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算去求角．本文不打算在這兩種固定不變的思路上做文章，而是意圖通過介紹一個(gè)定理，利用數(shù)道例題，來給出用于求解空間角度問題的另外一種手段，以期能幫助激發(fā)同學(xué)們的求異與創(chuàng)新思維．1．三射線定理及其證明 從空間一點(diǎn)P任意引三條不共面的射線PA、PB、PC，設(shè)BPC，CPA，APB，且二面角A—PC—B為，則．圖1PAB圖1PABC不妨設(shè)BC⊥PC于C，AC⊥PC，則ACB即為二面角A—PC—B的平面角，∴ACB，設(shè)PA，PB，PC，AC，BC，AB，在RtBPC中，有，，同理在RtCPA中，有，，而在APB中，有，在ACB中，有，∴，而，∴，代入上式即得，證畢．中學(xué)數(shù)學(xué)教材沒有直接介紹三射線定理，而僅僅介紹了三射線定理的特例：如圖2，已知AP是平面M的斜線，P是斜足，AC垂直于平面M，C為垂足，設(shè)PB是平面M內(nèi)的任意一條直線，且BC⊥PB，垂足為B，若PB與PC所成的角為，PA與PC所成的角為，而PA與PB所成的角為，則有．PCMA圖2B此時(shí)的三射線還是PA、PB、PC，但是附加有條件平面PAC⊥平面PBC，∴二面角A—PC—B的大小，將代入三射線定理PCMA圖2B為敘述方便起見，在下文中，我們將把由三條射線兩兩形成的三個(gè)角都稱之為做對應(yīng)于的某條射線的“面角”．如圖1中的BPC我們將其稱之為對應(yīng)于射線PA的一個(gè)“面角”；圖2中的APB我們將其稱為對應(yīng)于射線PC的一個(gè)“面角”等．因此，三射線定理也被稱為三面角的余弦定理，常被記為的形式。2．三射線定理的應(yīng)用圖3ABPDA/B/C/D/圖3ABPDA/B/C/D/C（Ⅰ）求DP與所成角的大??；（Ⅱ）求DP與平面所成角的大?。甗分析]本題可以用建立空間直角坐標(biāo)系的方法求解，若注意到條件涉及到從一點(diǎn)出發(fā)的三條射線，同時(shí)又是求角問題，因此可以嘗試運(yùn)用三射線定理求解．[解答]如圖4，（Ⅰ）連結(jié)PA，連結(jié)BD，∵DD///CC/，∴所求的角即為PDD/，則得到三條射線DP、PA和DB，由PDD/與PDB互為余角，∴只需求出PDB，注意到二面角A—DB—P是直角，圖4AB圖4ABPDA/B/C/D/QC∴，即，∴，∴銳角PDB，∴直線DP與CC/所成的角為；（Ⅱ）連結(jié)AD/，作PQ⊥AD/于Q，連結(jié)DQ，∵AB⊥AD/，∴PQ//BA，而BA⊥平面ADD/A/，∴PQ⊥平面ADD/A/，∴PDQ即為直線DP與平面AA/D/D所成的角，且平面PDQ⊥平面ADD/，設(shè)二面角A—DQ—P的大小為，則，其棱DQ對應(yīng)的面角是PDA，∴……①同理……②注意到QDA與QDD/互為余角，設(shè)QDA=，則①②分別為和，即和，兩式兩邊平方相加得，∴，∵PDQ為銳角，∴，∴所求的角為．本例若采用常規(guī)的幾何方法或者是向量運(yùn)算的方法都存在一個(gè)解題難點(diǎn)，那就是如何確定出P點(diǎn)的位置．而本解法中的兩次求角都不用顧及點(diǎn)P的位置，用到的也只是三射線定理的特例，其解法關(guān)鍵是找到從一點(diǎn)出發(fā)的對應(yīng)的三條射線．本例中這樣的三條射線所具有的主要特征是由這三條射線所確定的三個(gè)平面中總有兩個(gè)平面相交成直角，而這樣的條件在一些常見的幾何體中隨處可見．[例2]（黃岡中學(xué)2010屆高二年級三月份月考試題）如圖5，已知正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是邊CD上的一點(diǎn)，將AED沿AE折起到AED/的位置時(shí)有平面ACD/平面ABCE，且BD/D/C．D/DED/DECOAB 圖5 （Ⅱ）求點(diǎn)D/到平面ABCE的距離． [分析]由已知CD/BD且CD/BD/，可知CD/平面BDD/，∴CD/DD/，從而由ED=ED/可得E為CD邊上的中點(diǎn)．由于點(diǎn)D/在底面ABCE上的射影必在AC上，注意到AD/=AD=4已知，因此為求出點(diǎn)D/到平面ABCE的距離，只需求出D/AC的某一三角函數(shù)值來，為此考慮利用三射線定理． [解答]（Ⅰ）由以上分析可知E為CD邊上的中點(diǎn)； （Ⅱ）注意到平面D/AC⊥平面ABCE，利用從A點(diǎn)出發(fā)的三條射線AC、AE、AD/，注意到直二面角D/—AC—E的棱AC所對的面角是D/AE，∴有， 其中D/AE=DAE，EACDAE， ∵，∴，， ∴，即，∴， ∴點(diǎn)D/到平面ABCE的距離．表面看，本題的目標(biāo)不是求角，其實(shí)空間求距離問題一般都會化為解三角形問題，常常需要求出對應(yīng)的角或求出對應(yīng)角的某一個(gè)三角函數(shù)值．一旦我們進(jìn)一步熟悉了三射線定理，那么，“在求距離問題中，先考慮利用定義找出對應(yīng)線段，然后再計(jì)算”的慣性思維就會被突破，我們完全可以在“心中想有這樣的一段垂線段存在，而不用把它具體地作出來”的條件下去求出對應(yīng)的距離．ABCDA1B1C1圖6D1FE[例3]（2009年中原部分省級示范高中第一次聯(lián)考試題文科第19題）如圖6，在長方體ABCD—AABCDA1B1C1圖6D1FE （Ⅰ）求證：AF//平面A1EC； （Ⅱ）求A1C與底面ABCD所成的正切值； （Ⅲ）求二面角A1—EC—D的大?。?[分析]服務(wù)于本文，我們只給出第（Ⅲ）問的解答．想要利用“三射線定理”，首先要設(shè)法找出一個(gè)點(diǎn)，使得EC就是一條從該點(diǎn)出發(fā)的射線，并以此為基礎(chǔ)找到便于解決問題的另外兩條射線．注意到本題中的已知條件和圖形特征，可以考慮選取CE、CD、CA1這三條射線來實(shí)施我們的方法． [解答]（Ⅲ）二面角A1—EC—D的大小為，注意從點(diǎn)C出發(fā)的三條射線CD、CA1和CE，其中二面角A1—EC—D的棱EC所對的面角為A1CD，由三射線定理有，易知A1DC是以A1DC為直角的Rt，DCEBCE，A1CE中A1E=EC，∴，，，∴，，∴有，∴，故所求的二面角的大小為．采用“三射線定理”求解本題，既不用為如何作出對應(yīng)二面角的一個(gè)平面角而煞費(fèi)苦心，又避免了去逐一求出兩個(gè)平面的法向量的繁復(fù)運(yùn)算，需要的主要是解三角形的知識．其關(guān)鍵是找準(zhǔn)二面角的棱，以棱所在的射線為基礎(chǔ)找另外的兩條射線，求出其解的保證是對應(yīng)的三個(gè)“面角”都能求出．其實(shí)本題若采用面積射影關(guān)系去解更為簡捷，介紹本方法的作用在于拓展思路，放飛思維．ABCA1B1C1圖7D[例4]如圖7，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BAC，AB，AC=2，AAABCA1B1C1圖7D （Ⅰ）證明：無論為任何正數(shù)，均有BD⊥A1C； （Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，二面角B—A1D—B1=？ [分析]我們僅求解本題的第（Ⅱ）問．解題時(shí)可以專注于從A1點(diǎn)引出的三條射線A1B1、A1B和A1D，希望利用它們建立起關(guān)于的一個(gè)方程或方程組．[解答]（Ⅱ）由于平面A1B1C1⊥平面AA1B1B，∴二面角D—A1B1—B是直二面角， ∴， 在RtBB1A1中，有， 作DD1⊥A1B1于D1，則在RtDD1A1中，由D1D//A1C1，且D1DA1C1，易得 ， ∴， ∴， ， 若二面角B—A1D—B1的平面角為，當(dāng)且僅當(dāng) 成立， 也即， ∴，即， ∴，，又， ∴當(dāng)且僅時(shí)，二面角B—A1D—B1的平面角為．本題求解中兩次使用到三射線定理，其中一次利用到它的特例情況，另一次用到它的一般情形．其思維特點(diǎn)是從不同的視角對從同一點(diǎn)出發(fā)的三條射線去分析，挖掘并利用它們的相互依存關(guān)系，以尋求問題的解法．從以上數(shù)例不難看出，相對于空間向量方法，用“三射線定理”解題還是過于偏重技巧，有時(shí)還會導(dǎo)致較為復(fù)雜的運(yùn)算，但這是一種具有創(chuàng)新思維的技巧，是值得我們?nèi)W(xué)習(xí)和掌握的．雖然讓學(xué)生去掌握各種獨(dú)特的解題方法技巧不是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)，但是培養(yǎng)學(xué)生的求異思維和創(chuàng)新思維卻始終應(yīng)該成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)，也是本文的一個(gè)寫作目的．作為本文的結(jié)束，下面再給出一例，以幫助同學(xué)們進(jìn)一步體驗(yàn)本文所介紹方法的妙用：[例5]（2008年江西高考理科試題）圖8ABCOA11B11C11EFD如圖8，正三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩垂直，且長度均為2．、分別是、的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過作平面與側(cè)棱、、或其延長線分別相交于、、，已知．圖8ABCOA11B11C11EFD