考研數學三(微積分)模擬試卷80(題后含答案及解析)

考研數學三（微積分）模擬試卷80(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．設y(x)是微分方程y”+(x一1)y’+x2y=ex滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=1的解，則()．A．等于1B．等于2C．等于0D．不存在正確答案：A解析：微分方程有y”+(x一1)y’+x2y=ex中，令x=0，則y”(0)=2，于是=1，選(A)．知識模塊：微積分2．二階常系數非齊次線性微分方程y”一2y’一3y一(2x+1)e一x的特解形式為()．A．(ax+6)e一xB．x2e一xC．x2(ax+b)e一xD．x(ax+b)e一x正確答案：D解析：方程y”一2y’一3y=(2x+1)e一x的特征方程為λ2一2λ一3=0，特征值為λ1=一1，λ2一3，故方程y”一2y’一3y=(2x+1)e一x的特解形式為x(ax+b)e一x，選(D)．知識模塊：微積分填空題3．設y=y(x)滿足△y=+o(△x)，且有y(1)=1，則∫02y(x)dx=________．正確答案：解析：知識模塊：微積分4．微分方程y’一xe一y+=0的通解為________．正確答案：解析：知識模塊：微積分5．微分方程yy”一2(y’)2=0的通解為________．正確答案：C1x+C2．解析：知識模塊：微積分6．微分方程xy’=+y(x＞0)的通解為________．正確答案：lnx+C．解析：知識模塊：微積分7．以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)為特解的三階常系數齊次線性微分方程為________．正確答案：0解析：特征值為λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程為(λ一1)(λ一1+i)(λ一1一i)=0，即λ3一3λ2+4λ一2=0，所求方程為y”‘一3y”+4y’—2y=0．知識模塊：微積分8．設y(x)為微分方程y”一4y’+4y=0滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=2的特解，則∫01y(x)dx=________．正確答案：(e2一1)．解析：y”一4y’+4y=0的通解為y=(C1+C1x)e2x，由初始條件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，則y=e2x，于是知識模塊：微積分9．差分方程yt+1一2yt=3×2t的通解為y(t)=________．正確答案：C×2t+×2t．解析：yt+1一2yt=0的通解為y(t)=C×2t，f(t)=3×2t，因為2為特征值，所以設特解為yt*=at×2t，代入原方程得a=，故原方程的通解為y(t)=C×2t+×2t．知識模塊：微積分解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。10．對常數p，討論冪級數的收斂域．正確答案：由=1，得冪級數的收斂半徑為R=1．(1)當p＜0時，記q=一p，則有=+∞，因而當x=±1時，發(fā)散，此時冪級數的收斂域為(一1，1)；(2)當0＜p＜1時，對=+∞，所以x=1時，級數發(fā)散，當x=一1時，顯然收斂，此時冪級數的收斂域為[一1，1)；(3)當p＞1時，對收斂，當x=一1時，顯然絕對收斂，此時冪級數的收斂域為[一1，1]．涉及知識點：微積分11．設f(x)在區(qū)間[a，b]上滿足a≤f(x)≤b，且有|f’(x)|≤q＜1，令un=f(un一1)(n=1，2，…)，u0∈[a，b]，證明：級數(un+1一un)絕對收斂．正確答案：由|un+1一un|=|f(un)一f(un一1)|=|f’(ξ1)||un一un一1|≤q|un一un一1≤q2|un一1一un一2|≤…≤qn|u1一u0|且qn|un+1一un|收斂，于是(un+1一un)絕對收斂．涉及知識點：微積分12．設f(x)在(一∞，+∞)內一階連續(xù)可導，且=1．證明：收斂，而發(fā)散．正確答案：涉及知識點：微積分13．設f(x)在x=0的某鄰域內二階連續(xù)可導，且絕對收斂．正確答案：由=0，得f(0)=0，f’(0)=0．由泰勒公式得f(x)=f(0)+f’(0)x+其中ξ介于0與x之間．又f”(x)在x=0的某鄰域內連續(xù)，從而可以找到一個原點在其內部的閉區(qū)間，在此閉區(qū)間內有|f”(x)|≤M，其中M＞0為f”(x)在該閉區(qū)間上的界，所以對充分大的n，有因為絕對收斂．涉及知識點：微積分14．設y=y(x)滿足y’=x+y，且滿足y(0)=1，討論級數的斂散性．正確答案：由y’=x+y得y”=1+y’，再由y(0)=1得y’(0)=1，y”(0)=2，根據麥克勞林公式，有涉及知識點：微積分15．求冪級數的收斂域．正確答案：涉及知識點：微積分16．求函數f(x)=1n(1一x一2x2)的冪級數，并求出該冪級數的收斂域．正確答案：f(x)=1n(1一x一2x2)=1n(x+1)(1一2x)=1n(1+x)+ln(l一2x)，涉及知識點：微積分17．求冪級數的和函數．正確答案：級數的收斂半徑為R=+∞，收斂區(qū)間為(一∞，+∞)．涉及知識點：微積分18．求冪級數的和函數．正確答案：顯然該冪級數的收斂區(qū)間為[一1，1]，涉及知識點：微積分19．求冪級數正確答案：由=0，得收斂半徑R=+∞，該冪級數的收斂區(qū)間為(一∞，+∞)，涉及知識點：微積分20．求的和．正確答案：涉及知識點：微積分21．設f(x)的一個原函數為F(x)，且F(x)為方程xy’+y=ex的滿足y(x)=1的解．(1)求F(x)關于x的冪級數；(2)求的和．正確答案：(1)由xy’+y=ex得解得涉及知識點：微積分22．將函數f(x)=arctan展開成x的冪級數．正確答案：由逐項可積性得涉及知識點：微積分23．設f(x)=且a0=1，an+1=an+n(n=0，1，2，…)．(1)求f(x)滿足的微分方程；(2)求正確答案：涉及知識點：微積分24．設un＞0，且=q存在．證明：當q＞1時級數un收斂，當q＜1時級數un發(fā)散．正確答案：當q＞1時，取ε0=所以存在N＞0，當n＞N時，所以存在N＞0，當n＞N時，涉及知識點：微積分25．設級數(an一an一1)收斂，且bn絕對收斂．證明：anbn絕對收斂．正確答案：令Sn=(a1一a0)+(a2一a1)+…+(an一an一1)，則Sn=an=a0．因為級數(an一an一1)收斂，所以Sn存在，設Sn=S，則有an=S+a0，即an存在，于是存在M＞0，對一切的自然數n有|an|≤M．因為bn絕對收斂，所以正項級數|bn|收斂，又0≤|anbn|≤M|bn|，再由M|bn|收斂，根據正項級數的比較審斂法得{anbn|收斂，即級數anbn絕對收斂．涉及知識點：微積分26．設an=tannxdx，對任意的參數λ，討論級數的斂散性，并證明你的結論．正確答案：涉及知識點：微積分設函數f0(x)在(一∞，+∞)內連續(xù)，fn(x)=∫0xfn一1(t)dt(n=1，2，…)．證明：27．fn(x)=∫0xf0(t)(z一t)n一1dt(n=1，2，…)；正確答案：n=1時，f1(x)=∫01f0(t)dt，等式成立；涉及知識點：微積分28．fn(x)絕對收斂．正確答案：對任意的x∈(一∞，+∞)，f0(t)在[0，x]或[x，0]上連續(xù)，于是存在M＞0(M與x有關)，使得|f0(t)|≤M(t∈[0，x]或t∈[x，0])，于是因為|x|n收斂，根據比