專題11 四邊形壓軸題綜合（解析版）

專題11四邊形壓軸題綜合目錄熱點(diǎn)題型歸納 1題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換 1題型02三角形與翻折變換 17題型03三角形類比探究問題 31中考練場 37題型01四邊形與旋轉(zhuǎn)變換【解題策略】三角形全等和三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法?！镜淅治觥坷?（2023·浙江衢州·中考真題）如圖1，點(diǎn)為矩形的對稱中心，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，四邊形與關(guān)于所在直線成軸對稱，線段交邊于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)當(dāng)時，求的長；(3)令，．①求證：；②如圖2，連接，，分別交，于點(diǎn)，.記四邊形的面積為，的面積為.當(dāng)時，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)①見解析；②【分析】（1）根據(jù)軸對稱和矩形的性質(zhì)，證明，即可解答；（2）過點(diǎn)作于，設(shè)，則，求得，再利用勾股定理，列方程即可解答；（3）①過點(diǎn)作于，連接，證明，可得，得到，即可解答；②連接，證明，進(jìn)而證明，進(jìn)而證明，可得，再證明，得到，再得到，最后根據(jù)①中結(jié)論，即可解答．【詳解】（1）證明：四邊形為矩形，，，四邊形與關(guān)于所在直線成軸對稱，，，；（2）解：如圖，過點(diǎn)作于，設(shè)設(shè)，則，，，四邊形為矩形，，點(diǎn)為矩形的對稱中心，，，在中，，可得方程，解得（此時，故舍去0），；

（3）解：①證明：過點(diǎn)作于，連接，點(diǎn)為矩形的對稱中心，，，，，，，，，即，，，；

②如圖，連接，由題意可得,點(diǎn)為矩形的對稱中心，，同理可得，由（1）知，，即，，，，，，，，即，，，，，，，，，，，，，當(dāng)時，由①可得，解得，，，．

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合應(yīng)用，涉及軸對稱變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．【變式演練】1．（2023·遼寧盤錦·二模）如圖，已知正方形和正方形．(1)在圖1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊，，上，求出的值．(2)將正方形繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，連接，，請問（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？并加以證明；(3)如果正方形的邊長為5，正方形的邊長為3．當(dāng)正方形繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線時，請直接寫出的長．【答案】(1)；(2)不發(fā)生變化，證明見解析；(3)或．【分析】（1）本題根據(jù)正方形性質(zhì)和勾股定理得到，再由利用平行線分線段成比例，得到，推出，即可解題．（2）本題連接，得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，得到，即可證明（1）中的結(jié)論不變．（3）本題根據(jù)正方形繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，利用勾股定理算出，點(diǎn)E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在點(diǎn)B的左側(cè)時，作于點(diǎn)N，作于點(diǎn)M，②當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在點(diǎn)B的右側(cè)時，作交的延長線于點(diǎn)，作交于點(diǎn)P，對以上兩種情況結(jié)合輔助線構(gòu)造以為斜邊的直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求解，即可解題．【詳解】（1）解：四邊形和都是正方形，，，，，，，，故答案為：；（2）解：不變，理由如下：連接，四邊形和都是正方形，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，（1）中的結(jié)論不變．（3）解：當(dāng)正方形繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線時，分以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在點(diǎn)B的左側(cè)時，如下圖所示，作于點(diǎn)N，作于點(diǎn)M，正方形的邊長為5，正方形的邊長為3．，，，，，，，，，，，，，，，，，；②當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在點(diǎn)B的右側(cè)時，如下圖所示，作交的延長線于點(diǎn)，作交于點(diǎn)P，，，，，，，，，，，由題易知，四邊形為矩形，，，，；綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、解直角三角形、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023·遼寧阜新·一模）如圖，四邊形和四邊形都是正方形，且，交于點(diǎn)A，正方形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接，．(1)如圖1，求證：，；(2)如圖2，將繞點(diǎn)F逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．①求證：四邊形是平行四邊形；②連接，若，，直接寫出在正方形旋轉(zhuǎn)的過程中，線段長度的最大值．【答案】(1)詳見解析(2)①詳見解析；②最大值為【分析】（1）由題意易得，，，然后可證，則有，進(jìn)而問題可求證；（2）①由（1）可得，，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及平行四邊形的判定定理可求證；②連接，由題意易證，則有，要使的值最大，即為的值最大，當(dāng)點(diǎn)D、A、E三點(diǎn)共線時，的值最大，進(jìn)而問題可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，，，∴，∴，∴．設(shè)與相交于點(diǎn)P，與相交于點(diǎn)Q．在和中，，∵，，∴．∴．（2）①證明：由（1）可知：，由旋轉(zhuǎn)可知：，∴，∴四邊形是平行四邊形．②解：連接，如圖所示：∵，∴，∴，∴，要使的值最大，即為的值最大，當(dāng)點(diǎn)D、A、E三點(diǎn)共線時，的值最大；∵，∴，∴的最大值為，∴最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023廣東深圳·模擬預(yù)測）【綜合探究】在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動課上，興趣小組的同學(xué)用兩個完全相同的長方形紙片展開探究活動，這兩張長方形紙片的長為，寬為．(1)【實(shí)踐探究】小紅將兩個完全相同的長方形紙片和擺成圖1的形狀，點(diǎn)A與點(diǎn)重合，邊與邊重合，邊，在同一直線上．請判斷：的形狀為_____________；(2)【解決問題】如圖2，在（1）的條件下，小明將長方形繞點(diǎn)A順時針轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動角度小于），即，邊與邊交于點(diǎn)，連接，平分，交于點(diǎn)，，求的度數(shù)；(3)【拓展研究】從圖2開始，小亮將長方形繞點(diǎn)A順時針轉(zhuǎn)動一周，若邊所在的直線恰好經(jīng)過線段的中點(diǎn)時，連接，，請直接寫出的面積．【答案】(1)等腰直角三角形(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，可證明，得到，，再利用直角三角形的性質(zhì)，可推得，即得答案；（2）過點(diǎn)A作于，先證明，得到，可進(jìn)一步證明，，從而可得答案；（3）分旋轉(zhuǎn)角小于和大于兩種情形，分別畫出圖形，根據(jù)三角形全等和勾股定理可逐步求得答案．【詳解】（1）長方形紙片和完全相同，，，，，，，，，，是等腰直角三角形；故答案為：等腰直角三角形．（2）如圖2，過點(diǎn)A作于，，，，，，，，，在中，，，平分，；（3）情況一，如圖，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于時，過作于點(diǎn)，，為中點(diǎn)，，，，，，在中，，，，，，，情況二：如圖，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角大于時，過作于，同情況一得，，，在中，，，，，綜上所述，為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．題型02四邊形與翻折變換【解題策略】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊幾何性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論．【典例分析】例．．（2023·湖南·中考真題）問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動：在正方形的邊上任意取一點(diǎn)G，以為邊長向外作正方形，將正方形繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)．

特例感知：（1）當(dāng)在上時，連接相交于點(diǎn)P，小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P恰為的中點(diǎn)，如圖①．針對小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請給出證明；（2）小紅繼續(xù)連接，并延長與相交，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是中點(diǎn)P，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請判斷的形狀，并說明理由；規(guī)律探究：（3）如圖③，將正方形繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接，，，的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）是等腰直角三角形，理由見解析；（3）的形狀不改變，見解析【分析】（1）連接，，，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，證明，推出，再利用余角的性質(zhì)求出，推出即可；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)直接得到，推出，得到是等腰直角三角形；（3）延長至點(diǎn)M，使，連接，證明，得到，推出，設(shè)交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)N，得到，由得到，推出，進(jìn)而得到，再證明，得到，，證得，再由，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)求出，即可證得是等腰直角三角形．【詳解】（1）證明：連接，，，如圖，

∵四邊形，都是正方形，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即點(diǎn)P恰為的中點(diǎn)；（2）是等腰直角三角形，理由如下：∵四邊形，都是正方形，∴∴，∴是等腰直角三角形；（3）的形狀不改變，延長至點(diǎn)M，使，連接，

∵四邊形、四邊形都是正方形，∴，，∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，設(shè)交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)N，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，（3）中作輔助線利用中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的難點(diǎn)，熟練掌握各性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式演練】1.（2023·浙江金華·三模）如圖，平行四邊形中，，，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，連結(jié)，以為對稱軸作的軸對稱圖形．(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)正好落在邊上時，判斷四邊形的形狀并說明理由；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)且時，求的長；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時，恰有，求的長．【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)折疊得出，，證明三角形是等腰三角形，進(jìn)一步得出結(jié)果；（2）解等腰三角形，作于，解斜三角形，從而求出結(jié)果；（3）證明，，從而求得和，進(jìn)一步求得．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：由折疊可得，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是菱形；（2）如圖，作于，作于，，，，，，，，，，，設(shè)，，，在中，，，，∴，∴(舍去)，，，；（3），，即：，四邊形是平行四邊形，，由折疊可得，，，，，，，，，，同理可得，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．2．（2023·貴州銅仁·三模）閱讀材料：如圖，在矩形中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上動點(diǎn)，將沿翻折得，連接并延長交邊于點(diǎn)M，連接．【發(fā)現(xiàn)問題】（1）如圖①，判斷的形狀是________三角形．【探究發(fā)現(xiàn)】（2）如圖②，當(dāng)E、F、C三點(diǎn)在一條直線上時，求證：M為邊中點(diǎn)【拓展遷移】（3）如圖③，延長交射線于點(diǎn)N，當(dāng)，，時，求的長．【答案】（1）直角（2）見解析（3）【分析】（1）由沿翻折得，得，，，繼而證得，得到，從而得到，繼而證得，即可得出結(jié)論；（2）連接，證明，得，然后由矩形的性質(zhì)與點(diǎn)O是的中點(diǎn)，可得出結(jié)論；（3）由矩形性質(zhì)和勾股定理，求得，再由翻折性質(zhì)得，，，設(shè)，則，然后由勾股定理，得，解方程即可求解．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，∵沿翻折得，∴，，，∴，∵∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴為直角三角形．（2）連接，∵矩形，∴，，，，∴，∵沿翻折得，∴，，∴，∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)E、F、C三點(diǎn)在一條直線上時，∴，在與中，，∴∴，∴∴，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴∴點(diǎn)M是的中點(diǎn)．（3）∵矩形，∴，，∴，∵∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，由勾股定理，得，∵沿翻折得，∴，，，∴，，設(shè)，則，由勾股定理，得，解得：，即．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河南洛陽·二模）綜合與實(shí)踐

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，諸葛小組將正方形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)M處，折痕為，再將紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使與重合，折痕為，請寫出圖中的一個角：______．(2)【拓展探究】如圖2，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在折痕上的點(diǎn)N處，連接交于點(diǎn)P．①______度；②若，求線段的長．(3)【遷移應(yīng)用】如圖3，在矩形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，將矩形沿，折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)M處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，點(diǎn)A，M，G恰好在同一直線上，若點(diǎn)F為的三等分點(diǎn)，，，請直接寫出線段的長．【答案】(1)，見解析(2)①，見解析；，見解析；(3)線段的長為或2；【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得；（2）①由折疊性質(zhì)可得，，，結(jié)合可得，即可求解；②根據(jù)是等腰直角三角形，可證，設(shè)，根據(jù)，即可求解；（3）在上取一點(diǎn)J，使得，過點(diǎn)J作，交于點(diǎn)K，連接，可得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：；∵四邊形是正方形，，由折疊性質(zhì)可得：，，，即；（2）解：①∵四邊形是正方形，，由折疊性質(zhì)可得：，，，，由操作一得：，是等腰直角三角形，，，，，；②∵是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，解得：，，；（3）解：如圖，在上取一點(diǎn)J，使得，過點(diǎn)J作，交于點(diǎn)K，連接，

當(dāng)時，，，，，，由（1）可知，，設(shè)，則，，，，當(dāng)時，同理可得，綜上所述，線段的長為或2；【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)，證出是解題的關(guān)鍵．題型03類比探究問題【解題策略】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論?！镜淅治觥坷?023·江蘇鹽城·中考真題）綜合與實(shí)踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片先沿對角線折疊，展開后再折疊，使點(diǎn)落在對角線上，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)記為，折痕與邊，分別交于點(diǎn)，.【活動猜想】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，四邊形是哪種特殊的四邊形？答：_________.【問題解決】（2）如圖3，當(dāng)，，時，求證：點(diǎn)，，在同一條直線上.【深入探究】（3）如圖4，當(dāng)與滿足什么關(guān)系時，始終有與對角線平行？請說明理由.（4）在（3）的情形下，設(shè)與，分別交于點(diǎn)，，試探究三條線段，，之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）菱形；（2）證明見解答；（3），證明見解析；（4），理由見解析【分析】（1）由折疊可得：，，再證得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，利用勾股定理可得，再證明，可求得，進(jìn)而可得，再由，可求得，，，運(yùn)用勾股定理可得，運(yùn)用勾股定理逆定理可得，進(jìn)而可得，即可證得結(jié)論；（3）設(shè)，則，利用折疊的性質(zhì)和平行線性質(zhì)可得：，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案；（4）過點(diǎn)作于，設(shè)交于，設(shè)，，利用解直角三角形可得，，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，四邊形是菱形．理由：設(shè)與交于點(diǎn)，如圖，由折疊得：，，，四邊形是矩形，，，，，四邊形是菱形．故答案為：菱形．（2）證明：四邊形是矩形，，，，，，，，，如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，由折疊得：，，，，，，，即，，，，，，，即，，，，，，，，，，點(diǎn)，，在同一條直線上．（3）當(dāng)時，始終有與對角線平行．理由：如圖，設(shè)、交于點(diǎn)，四邊形是矩形，，，，設(shè)，則，由折疊得：，，，，，，，，，即，，，，；（4），理由如下：如圖，過點(diǎn)作于，設(shè)交于，由折疊得：，，，設(shè)，，由（3）得：，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，涉及知識點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度較大．【變式演練】1．（2023·海南?？凇ざ＃?）【證明推斷】如圖，在正方形中，點(diǎn)E是對角線上的動點(diǎn)（與點(diǎn)B、D不重合），連接，過點(diǎn)E作，，分別交直線于點(diǎn)F、G．①求證：；②求的值；（2）【類比探究】如圖，將（1）中的“正方形”改為“矩形”，其他條件均不變．①若，，求的值；②若，直接寫出的值（用含m的代數(shù)式表示）；（3）【拓展運(yùn)用】如圖，在矩形中，點(diǎn)E是對角線上一點(diǎn)（與點(diǎn)B、D不重合），連接，過點(diǎn)E作，，分別交直線于點(diǎn)F、G，連接，當(dāng)，，時，求的長．【答案】（1）①證明見解析；②；（2）①；②；（3）【分析】（1）①由“”可證；②由全等三角形的性質(zhì)可得，即可求解；（2）①根據(jù)（1），可證，可得，通過證明，即可求解；②根據(jù)（1），可證△ABE∽△FGE，可得，通過證明，即可求解；（3）由銳角三角函數(shù)和等腰三角形的性質(zhì)可求的長，由相似三角形的性質(zhì)可求和的長，由勾股定理可求的長，即可求解．【詳解】（1）①證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴；②由①知：△ABE≌△FGE，∴AE=EF，故答案為：1；（2）①四邊形是矩形，∴，由（1）得，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②∵四邊形是矩形，∴，由（1）得，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）如圖，過點(diǎn)C作于H，過點(diǎn)E作于Q，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，由（2）可知：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．2．（2023·山東泰安·三模）【例題探究】數(shù)學(xué)課上，老師給出一道例題，如圖，點(diǎn)在的延長線上，且，若求證：；請用你所學(xué)的知識進(jìn)行證明．【拓展訓(xùn)練】如圖，點(diǎn)在的延長線上，且，若，，，則的值為______；（直接寫出）【知識遷移】將此模型遷移到平行四邊形中，如圖，在平行四邊形中，為邊上的一點(diǎn)，為邊上的一點(diǎn)若求證：．【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析【分析】（1）由，，推出，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）在上截取，連接，可證得，從而，進(jìn)而得出；（3）以為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)，可得出，從而，進(jìn)一步得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，，，；（2）解：如圖，在上截取，連接，，是等邊三角形，，，，，，由（1）知：，，，故答案為：；（3）證明：如圖，以為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，由（1）知：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造“一線三等角”．1．（2023·山西·中考真題）問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和，其中．將和按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)與點(diǎn)重合（標(biāo)記為點(diǎn)）．當(dāng)時，延長交于點(diǎn)．試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

(1)數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問題；(2)深入探究：老師將圖2中的繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問題．

①“善思小組”提出問題：如圖3，當(dāng)時，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)與交于點(diǎn)．試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4，當(dāng)時，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，求的長．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．

【答案】(1)正方形，見解析(2)，見解析；②【分析】（1）先證明四邊形是矩形，再由可得，從而得四邊形是正方形；（2）①由已知可得，再由等積方法，再結(jié)合已知即可證明結(jié)論；②設(shè)的交點(diǎn)為M，過M作于G，則易得，點(diǎn)G是的中點(diǎn)；利用三角函數(shù)知識可求得的長，進(jìn)而求得的長，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：四邊形為正方形．理由如下：∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴四邊形為矩形．∵，∴．∴矩形為正方形．（2）：①．證明：∵，∴．∵，∴．∵，即，∴．∵，∴．由（1）得，∴．②解：如圖：設(shè)的交點(diǎn)為M，過M作于G，∵，∴，，∴；∵，∴，∴，∵，∴點(diǎn)G是的中點(diǎn)；由勾股定理得，∴；∵，∴，即；∴；∵，，∴，∴，∴，即的長為．

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識點(diǎn)，適當(dāng)添加的輔助線、構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·遼寧阜新·中考真題）已知，四邊形是正方形，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（），，，連接，．(1)如圖，求證：≌；(2)直線與相交于點(diǎn)．如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：四邊形是正方形；如圖，連接，若，，直接寫出在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段長度的最小值．【答案】(1)見解析(2)①見解析②【分析】根據(jù)證明三角形全等即可；根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形證明即可；作交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，．，．，，在和中，≌；（2）證明：如圖中，設(shè)與相交于點(diǎn)．，．≌，．，．，，，四邊形是矩形，．四邊形是正方形，，．．又，≌．．矩形是正方形；解：作交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，∵∴≌．．，，最大時，最小，．．由可知，是等腰直角三角形，．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．3．（2023·山東淄博·中考真題）在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動．(1)操作判斷小紅將兩個完全相同的矩形紙片和拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：的形狀為________．

(2)深入探究小紅在保持矩形不動的條件下，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，若，．探究一：當(dāng)點(diǎn)恰好落在的延長線上時，設(shè)與相交于點(diǎn)，如圖②．求的面積．探究二：連接，取的中點(diǎn)，連接，如圖③．求線段長度的最大值和最小值．

【答案】(1)等腰直角三角形(2)探究一：；探究二：線段長度的最大值為，最小值為【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推導(dǎo)出，即可判斷出是等腰直角三角形，（2）探究一：證明，可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面積；探究二：連接，取的中點(diǎn)，連接，取、的中點(diǎn)為、，連接，，，分別得出四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，則，可知點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，，即可得出的最大值與最小值．【詳解】（1）解：兩個完全相同的矩形紙片和，，是等腰三角形，，．，，，∵，∴，∴，，，，是等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形；（2）探究一：，，，，，，，，，，，在中，，，解得，，的面積；探究二：連接，取的中點(diǎn)，連接，，取、的中點(diǎn)為、，連接，，，

是的中點(diǎn)，，且，，，，，且，四邊形是平行四邊形，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，，的最大值為，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，能夠確定H點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．4．（2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）已知點(diǎn)在正方形的對角線上，正方形與正方形有公共點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上，在上，求的值為多少；(2)將正方形繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，求：的值為多少；(3)，，將正方形繞逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，請直接寫出的長度．【答案】(1)2(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)平行線分線段成比例即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）分兩種情況畫出圖形，證明△ADG∽△ACE，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得出答案．【詳解】（1）解：正方形與正方形有公共點(diǎn)，點(diǎn)在上，在上，四邊形是正方形（2）解：如圖，連接，正方形繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，，（3）解：①如圖，，，,,，三點(diǎn)共線，中，，，由（2）可知，

，．②如圖：由（2）知△ADG∽△ACE，∴，∴DG=CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC=8，AC=，∵AG=AD，∴AG=AD=8，∵四邊形AFEG是正方形，∴∠AGE=90°，GE=AG=8，∵C，G，E三點(diǎn)共線．∴∠AGC=90°∴CG=，∴CE=CG+EG=8+8，∴DG=CE=．綜上，當(dāng)C，G，E三點(diǎn)共線時，DG的長度為或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．5．（2022·四川樂山·中考真題）華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第121頁習(xí)題19.3第2小題及參考答案．2．如圖，在正方形ABCD中，．求證：．證明：設(shè)CE與DF交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上解答后，決定對該問題進(jìn)一步探究(1)【問題探究】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．試猜想的值，并證明你的猜想．(2)【知識遷移】如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．則______．(3)【拓展應(yīng)用】如圖，在四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，且．求的值．【答案】(1)1；證明見解析(2)(3)【分析】（1）過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD的延長線于點(diǎn)N，利用正方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求證△ABM≌△ADN即可．（2）過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EC交CD的延長線于點(diǎn)N，利用在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，求證△ABM∽△ADN．再根據(jù)其對應(yīng)邊成比例，將已知數(shù)值代入即可．（3）先證是等邊三角形，設(shè)，過點(diǎn)，垂足為，交于點(diǎn)，則，在中，利用勾股定理求得的長，然后證，利用相似三角形的對應(yīng)邊對應(yīng)成比例即可求解．【詳解】（1），理由為：過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD的延長線于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形AMFH是平行四邊形，四邊形AEGN是平行四邊形，∴AM＝HF，AN＝EG，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN∴△ABM≌△ADN∴AM＝AN，即EG＝FH，∴；（2）解：過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EC交CD的延長線于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形AMFH是平行四邊形，四邊形AEGN是平行四邊形，∴AM＝HF，AN＝EG，在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN．∴△ABM∽△ADN，∴，∵，，AM＝HF，AN＝EG，∴，∴；故答案為：（3）解：∵，，∴是等邊三角形，∴設(shè)，過點(diǎn)，垂足為，交于點(diǎn)，則，在中，，∵，，∴，，又∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合性較強(qiáng)，難度較大，是一道難題．6．（2023·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實(shí)踐【思考嘗試】（1）數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，，，．試猜想四邊形的形狀，并說明理由；【實(shí)踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形中，E是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，可以用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形中，E是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)H，點(diǎn)M在上，且，連接，，可以用等式表示線段，的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題．

【答案】（1）四邊形是正方形，證明見解析；（2）；（3），證明見解析；【分析】（1）證明，可得，從而可得結(jié)論；（2）證明四邊形是矩形，可得，同理可得：，證明，，，證明四邊形是正方形，可得，從而可得結(jié)論；（3）如圖，連接，證明，，，，可得，再證明，可得，證明，可得，從而可得答案．【詳解】解：（1）∵，，，∴，，∵矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴矩形是正方形．（2）∵，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，同理可得：，∵正方形，∴，∴，∴，，∴四邊形是正方形，∴，∴．（3）如圖，連接，∵，正方形，∴，，，∵，∴，∴，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定