專題05 圓的證明與計(jì)算（解析版）

2/2專題05圓的證明與計(jì)算目錄熱點(diǎn)題型歸納 1題型01隱圓模型 1題型02圓與相似 11題型03圓與全等 20題型04圓的計(jì)算 27中考練場 38題型01隱圓模型【解題策略】定點(diǎn)定長的隱圓定弦定角的隱圓對角互補(bǔ)的隱圓點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動點(diǎn)，且AB長度固定則點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的圓。若線段AB的長度及其所對的∠ACB的大小不變，則點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是以AB為弦的圓。若四邊形ABCD對角互補(bǔ)則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。【典例分析】例1．（2023·浙江·中考真題）如圖，在四邊形中，，以為腰作等腰直角三角形，頂點(diǎn)恰好落在邊上，若，則的長是（

）

A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，，再判斷出點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上，連接，根據(jù)圓周角定理可得，，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：是以為腰的等腰直角三角形，，，，，，，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上，如圖，連接，

由圓周角定理得：，，，，，在和中，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，正確判斷出點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上是解題關(guān)鍵．例2．（2023·山東泰安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；中，，連接，點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接．將以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是（

）

A．3 B． C． D．2【答案】A【分析】如圖所示，延長到E，使得，連接，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為得到，再證明是的中位線，得到；解得到，進(jìn)一步求出點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，半徑為4的圓上運(yùn)動，則當(dāng)點(diǎn)M在線段上時，有最小值，即此時有最小值，據(jù)此求出的最小值，即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，延長到E，使得，連接，∵的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∵點(diǎn)M為中點(diǎn)，點(diǎn)A為中點(diǎn)，∴是的中位線，∴；在中，，∴，∵將以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，∴點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，半徑為4的圓上運(yùn)動，∴當(dāng)點(diǎn)M在線段上時，有最小值，即此時有最小值，∵，∴的最小值為，∴的最小值為3，故選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問題，勾股定理，三角形中位線定理，坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式演練】1．（23-24九年級上·湖北武漢·模擬訓(xùn)練）如圖，已知等邊的邊長為10，點(diǎn)P是邊上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．直線l是經(jīng)過點(diǎn)P的一條直線，把沿直線l折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)．當(dāng)時，在直線l變化過程中，則面積的最大值為．【答案】/【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的特征、圓與三角形綜合問題，過點(diǎn)作，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑長為8的圓上運(yùn)動，利用等邊三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而可得，可得，進(jìn)而可得，再利用三角形的面積公式即可求解，找準(zhǔn)當(dāng)?shù)难娱L線交圓于點(diǎn)時面積最大是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作，如圖：由題意得，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑長為8的圓上運(yùn)動，當(dāng)?shù)难娱L線交圓于點(diǎn)時面積最大，在中，，，，是等邊三角形，，，，，，的最大值為：，故答案為：．2．（2022·湖北武漢·三模）在中，，，點(diǎn)為上一動點(diǎn)，，則的最小值是．

【答案】【分析】作的外接圓，連接，，，作，根據(jù)圓周角定理求出，過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)等腰三角形三線合一求出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形邊長關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作的外接圓，連接，，，作，

，，過點(diǎn)作，垂足為，

，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形最值得求解，三角形函數(shù)求值，勾股定理，三角形邊長關(guān)系，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·陜西咸陽·一模）如圖，在中，，點(diǎn)P在內(nèi)運(yùn)動，連接，若，則的最大值為．

【答案】【分析】連接，作的外接圓，證明四邊形是菱形，由及證得是等邊三角形，則，，在上取，連接，證明是等邊三角形，則，再證明，則，得到，則當(dāng)為的直徑時，的值最大，即的值最大，解直角三角形求出的值即可得到的最大值．【詳解】解：連接，作的外接圓，

在中，，∴四邊形是菱形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，在上取，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，當(dāng)為的直徑時，的值最大，即的值最大，此時，，∴，即的最大值為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、三角形的外接圓、圓周角定理等知識，作的外接圓是解題的關(guān)鍵．4．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，，為邊上一動點(diǎn)，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則的最小值為．

【答案】/【分析】連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半可得，推得，則，根據(jù)圓周角定理可知：點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動，取的中點(diǎn)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，的值最小，由此可解答．【詳解】解：如圖1，連接，

四邊形是矩形，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動，取的中點(diǎn)，連接，如圖2：

當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，的值最小，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造動點(diǎn)的軌跡來解決問題．題型02圓與相似【解題策略】對于圓與相似相結(jié)合的綜合問題，解題時要注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形【典例分析】例．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，為的直徑，和相交于點(diǎn)F，平分，點(diǎn)C在上，且，交于點(diǎn)P．

(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)已知，求的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接，由等腰三角形的性質(zhì)得，再證，則，然后證，即可得出結(jié)論；（2）由圓周角定理得，再證，然后證，得，即可得出結(jié)論；（3）過P作于點(diǎn)E，證，再證，得，則，進(jìn)而得，然后由角平分線的性質(zhì)和三角形面積即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，

∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切線；（2）證明：∵為的直徑，∴，∵平分，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）如圖2，過P作于點(diǎn)E，由（2）可知，，∵，∴，∵，∴，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及三角形面積等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握圓周角定理和切線的判定，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．【變式演練】1．（2023·湖南湘西·二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，平分，交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：．(2)當(dāng)，且時，求線段的長．(3)點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且平分，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，與圓周角定理得，進(jìn)而結(jié)合公共角便可證明；（2）由，得出與的數(shù)量關(guān)系，再由勾股定理求得、，過作于，在中由勾股定理求得、、，進(jìn)而求得，再證，由相似比求得結(jié)果；（3）由平分，平分，得，進(jìn)而求得、的長度，由求得，再由便可求得結(jié)果．【詳解】（1）證明：平分，，，，，；（2）解：為直徑，，，，設(shè)，則，，，解得，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：

平分，，，，，，設(shè)，則，，，解得，，，，，，，，即，；（3）解：平分，平分，，，，，，，，即，則，，，，，即，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵在于運(yùn)用相似三角形解決問題．2．（2024·陜西西安·一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)在直徑上（與不重合），且，連接，與交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使與相切．(1)求證：；(2)若是的中點(diǎn)，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）本題連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，由直角三角形性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到，推出，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可證明；（2）連接，利用圓周角定理，證明，推出，再根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，以及勾股定理求出、，將、的值代入中求解，即可解題．【詳解】（1）解：連接，與相切，，，，，，，，；（2）解：連接，是的直徑，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)和判定、相似三角形性質(zhì)和判定、圓周角定理、線段中點(diǎn)的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用，即可解題．題型03圓與全等【解題策略】對于圓與全等相結(jié)合的綜合問題，解題時要注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形【典例分析】例．（2023·湖北襄陽·中考真題）如圖，在中，，是的中點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，是的直徑，弦的延長線交于點(diǎn)，且．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得為的平分線，再根據(jù)與相切于點(diǎn)，是的直徑得，進(jìn)而根據(jù)切線的判定可得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證得到，進(jìn)而得到，再證得到，然而在中利用三角函數(shù)可求出，進(jìn)而得為等邊三角形，據(jù)此得，，則，最后得到弧長公式即可得到答案．【詳解】（1）證明：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，為的平分線，與相切于點(diǎn)，是的直徑，為的半徑，，又，，即為的半徑，是的切線；（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)為的圓心，，在和中，，，，，，，，是的中點(diǎn)，，又，，，，在和中，，，，在中，，，，，，又，為等邊三角形，，，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長的計(jì)算公式，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式演練】1．（2023·廣東汕頭·一模）如圖，內(nèi)接于．是直徑，過點(diǎn)作直線，且是的切線．(1)求證：．(2)設(shè)是弧的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．①求證：．②若，，試求的長．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②1【分析】（1）由直徑所對的圓周角等于得出，由切線的性質(zhì)定理得出，即可得出結(jié)論；（2）①由等弧所對的圓周角相等得出，由直角所對的圓周角為90°得出，由垂直的定義得出，等量代換得出，即可得出結(jié)論；②連接、，作，交的延長線于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)得出，由全等三角形的判定得出和，得出，，代入計(jì)算即可求出的值．【詳解】（1）證明：是直徑，，；是的切線；∴，，∴；（2）解：①是弧的中點(diǎn)，，是直徑，，∵，，，，．②連接、，作，交的延長線于點(diǎn)．，，，，在與中，，，，是弧的中點(diǎn)，，在與中，，．．，即，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022·安徽·模擬預(yù)測）如圖，中兩條弦，互相垂直，垂足為，為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）本題根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半，得到，推出，利用同弧所對的圓周角相等推出，對頂角相等得到，最后進(jìn)行等量代換，即可解題．（2）本題過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，，．利用圓周角定理和等腰三角形性質(zhì)推出，，利用角的等量代換得到，證明，最后結(jié)合全等三角形性質(zhì)和垂徑定理，即可解題．【詳解】（1）解：，為的中點(diǎn)，，，，，，．（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，，．，，．同理得．，．，．又，，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半、等腰三角形性質(zhì)、同弧所對的圓周角相等、對頂角性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、垂徑定理，解題的關(guān)鍵在于作輔助線構(gòu)造等腰三角形和全等三角形．題型04圓的計(jì)算【解題策略】對于圓的計(jì)算的綜合問題，解題時要注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形【典例分析】例．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，已知是的直徑，是的弦，點(diǎn)P是外的一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)C，與相交于點(diǎn)E，連接，且，延長交的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，得出，進(jìn)而得出，易得，根據(jù)，得出，則，即可求證是的切線；（2）易得，則，根據(jù)，求出，，則，根據(jù)勾股定理求出，，進(jìn)而求出，最后根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，則，∴，即，∴是的切線；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵是的切線，∴，則，∴，∴，根據(jù)勾股定理可得：，，∴，∴，∴根據(jù)勾股定理可得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，解題直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，以及解直角三角形的方法和步驟．【變式演練】1．（2023·天津河?xùn)|·一模）如圖，為的切線，為切點(diǎn)，是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)．

(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，連接并延長交于點(diǎn)，連接，，若，的半徑為，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)證出，由圓周角定理得出答案；（2）連接，，證出是等邊三角形，得出，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得出答案．【詳解】（1）解：連接，

與相切于點(diǎn)，，，，，，；（2）解：連接，，

，，，，為的切線，為切點(diǎn)，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，半徑為5，，是的直徑，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理及等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握切線的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，為的直徑，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作切線交延長線于點(diǎn)C，平分，交于F．(1)求證：；(2)若半徑為2，，求的長度．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由直徑所對的圓周角是直角得到，則，由切線的性質(zhì)得到，則，由角平分線的定義得到，據(jù)此可證明，則；（2）過點(diǎn)E作于H，由角平分線的性質(zhì)得到，解得到，設(shè)，由勾股定理得，解得（負(fù)值舍去），則，根據(jù)，求出，解得到，則．【詳解】（1）證明：∵為的直徑，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∵平分，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解；如圖所示，過點(diǎn)E作于H，∵平分，，∴，∵半徑為2，∴，在中，，設(shè)，由勾股定理得，∴，解得（負(fù)值舍去），∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，等角對等邊等等，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2024·陜西西安·一模）如圖，是的直徑，弦與交于點(diǎn)F，過點(diǎn)A的切線交的延長線于點(diǎn)D，點(diǎn)B是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若的半徑為4，，求．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由切線性質(zhì)可知，，即，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，可知，進(jìn)而可知，由可知，即可證得結(jié)論；（2）連接，則，由（1）可知，，則，可得，進(jìn)而可知，，由，，得，同時推導(dǎo)出，利用勾股定理代入數(shù)據(jù)解答即可．【詳解】（1）證明：是的切線，，即，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，；（2）解：連接，則，由（1）可知，，則，，，，，，，，，，，，半徑的長為4，，，由勾股定理可知：，即：，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握并運(yùn)用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)，的反向延長線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，的半徑為10，求的長度．【答案】(1)見解析(2)12【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，一元二次方程的解法．（1）根據(jù)切線性質(zhì)，得到；結(jié)合，得到，，得到，繼而得到，從而判定，可得結(jié)論．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)G，根據(jù)垂徑定理，得到,判定四邊形是矩形，繼而得到，結(jié)合，得到即，設(shè)，利用勾股定理，得到計(jì)算即可．【詳解】（1）∵過點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)，的反向延長線交于點(diǎn)，∴；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)G，則,∵，，的半徑為10，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴即，設(shè)，∵∴，解得（舍去），∴．1．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，點(diǎn)為平面內(nèi)一動點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)線段取最大值時，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，連接，分別過、作，，垂足為、，先證，得，從而當(dāng)取得最大值時，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時，取得最大值，然后分別證，，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)為平面內(nèi)一動點(diǎn)，，∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，連接，分別過、作，，垂足為、，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)取得最大值時，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時，取得最大值，∵，，∴，∴，∵，∴，∵軸軸，，∴，∵，∴，∴即，解得，同理可得，，∴即，解得，∴，∴當(dāng)線段取最大值時，點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的一般概念以及坐標(biāo)與圖形，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把以為中心順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)為射線、的交點(diǎn)．若，．以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，；④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段最短時，的面積為．其中正確結(jié)論有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】證明即可判斷①，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出②，證明得出，即可判斷③；以為圓心，為半徑畫圓，當(dāng)在的下方與相切時，的值最小，可得四邊形是正方形，在中，然后根據(jù)三角形的面積公式即可判斷④．【詳解】解：∵和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，，故①正確；設(shè)，∴,∴，∴，故②正確；當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，如圖所示

∵，，∴∴∵，．∴，∴∴，故③正確；④如圖所示，以為圓心，為半徑畫圓，

∵，∴當(dāng)在的下方與相切時，的值最小，∴四邊形是矩形，又，∴四邊形是正方形，∴，∵，∴，在中，∴取得最小值時，∴故④正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，是⊙的直徑，為⊙上的一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)的直線垂直于的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：為⊙的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)可得，進(jìn)而證，從而得證即可；（2）解法一：連接交于，根據(jù)及勾股定理求出，再證明，從而得到，即可求出的值；解法二：過點(diǎn)作于點(diǎn)，按照解法一步驟求出，然后證明四邊形是矩形，再證明，求得，進(jìn)而求出的值．【詳解】（1）證明：連接，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，，是半徑，是的切線；（2）解法一：連接交于，，，，，，在中，，或（不符合題意，舍去），點(diǎn)是的中點(diǎn)，是半徑，垂直平分，，是的中位線，，是直徑，，，，，；解法二：過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，在中，，，或（不符合題意，舍去），，四邊形是矩形，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，圓的相關(guān)性質(zhì)，勾股定理，平行線間線段成比例，相似三角形的的判定與性質(zhì)，掌握并理解相關(guān)性質(zhì)定理并能綜合應(yīng)用是關(guān)鍵．4．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，為的直徑，D，E是上的兩點(diǎn)，延長至點(diǎn)C，連接，．

(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)的半徑為．【分析】（1）利用兩角對應(yīng)相等兩個三角形相似，得出結(jié)論；（2）連接，由圓周角定理得出，證出，由切線的判定可得出結(jié)論；（3）由相似三角形的性質(zhì)得出，由比例線段求出和的長，可求出的長，則可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴；（2）證明：連接，

∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（3）解：∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，，∴．∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，連接，，．

(1)求證：是切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可推出，利用已知條件進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換即可求出，最后利用可證明，從而證明是切線．（2）根據(jù)互余的兩個角相等，利用可求出，設(shè)參數(shù)表示出和，再根據(jù)勾股定理用參數(shù)表示出和，最后利用即可求出參數(shù)的值，從而求出長度，即可求的長．【詳解】（1）解：連接，，如圖所示，

，為的直徑，，，，，，，，，，，是切線．（2）解：連接，如圖所示，

由（1）得，，，，．，．設(shè)則，在中，，．在中，．，，．．，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)和勾股定理，解題的關(guān)鍵在于利用參數(shù)表達(dá)線段長度．6．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，為的直徑，E為上一點(diǎn)，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)D，延長交的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：是的切