2021年江西中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)題型專題突破3-特殊圖形的計(jì)算與證明

中考重點(diǎn)題型專題突破卷3特殊圖形的計(jì)算與證明(選擇題、填空題共8小題，每小題3分；解答題共10小題)eq\a\vs4\al(類型1特殊三角形的計(jì)算與證明)1．如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點(diǎn)．分別過點(diǎn)E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長(zhǎng)是____．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在線段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3eq\r(3)，則BD的長(zhǎng)度為____．3．已知△ABC是等邊三角形，且AB＝4，△ACD是一個(gè)含30°角的直角三角形，現(xiàn)將△ABC和△ACD拼成一個(gè)凸四邊形ABCD，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)為____．4．將兩條鄰邊長(zhǎng)分別為eq\r(2)，1的矩形紙片剪成四個(gè)等腰三角形紙片(無余紙片)，各種剪法剪出的等腰三角形中，其中一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)可以是____．5．(8分)問題：如圖，在△ABD中，BA＝BD，在BD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度數(shù)．思考：(1)如果把以上“問題”中的條件“∠B＝45°”去掉，其余條件不變，那么∠DAC的度數(shù)會(huì)改變嗎？說明理由；(2)如果把以上“問題”中的條件“∠B＝45°”去掉，再將“∠BAE＝90°”改為“∠BAE＝n°”，其余條件不變，求∠DAC的度數(shù)．.6．(9分)若△ABC和△AED均為等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°.(1)如圖1，點(diǎn)B是DE的中點(diǎn)，判定四邊形BEAC的形狀，并說明理由；(2)如圖2，若點(diǎn)G是EC的中點(diǎn)，連接GB并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使CF＝CD.求證：①EB＝DC；②∠EBG＝∠BFC.eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))eq\a\vs4\al(類型2特殊四邊形的計(jì)算與證明)7．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，∠EFD＝60°.若將四邊形EBCF沿EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上，則BE的長(zhǎng)度為()A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第7題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第8題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第9題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第10題圖）))8．如圖，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3eq\r(10)，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，CE＝2BE，點(diǎn)M，N在線段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，則MN＝____．9．如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，點(diǎn)E在邊AD上，且AE＝2.若直線l經(jīng)過點(diǎn)E，將該菱形的面積平分，并與菱形的另一邊交于點(diǎn)F，則線段EF的長(zhǎng)為____．10．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段BO上，連接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，則線段AE的長(zhǎng)為____．11．(8分)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線BD的垂直平分線與邊AD，BC分別相交于點(diǎn)M，N.(1)求證：四邊形BNDM是菱形；(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周長(zhǎng)．12．(8分)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，點(diǎn)E為邊CD上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)C，D重合)，四邊形ABCE關(guān)于直線AE的對(duì)稱圖形為四邊形ANME，延長(zhǎng)ME交AB于點(diǎn)P，記四邊形PADE的面積為S.(1)若DE＝eq\f(\r(3),3)，求S的值；(2)設(shè)DE＝x，求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．eq\a\vs4\al(類型3與切線有關(guān)的計(jì)算與證明)13．(9分)如圖，在?ABCD中，∠D＝60°，對(duì)角線AC⊥BC，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，B，與AC交于點(diǎn)M，連接AO并延長(zhǎng)與⊙O交于點(diǎn)F，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AB＝EB.(1)求證：EC是⊙O的切線；(2)若AD＝2eq\r(3)，求eq\x\to(AM)的長(zhǎng)(結(jié)果保留π)．14．(8分)如圖，在△ABC中，BA＝BC，以AB為直徑的半圓O分別交AC，BC于點(diǎn)D，F(xiàn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，連接OD，OF.(1)求證：DE是半圓O的切線；(2)若AB＝4，且F是eq\x\to(BD)的中點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)．15．(8分)如圖，⊙O的直徑AB＝10cm，弦BC＝6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PC＝PE.(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)求AC，AD的長(zhǎng)．16．(9分)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，連接BE.(1)求證：EH＝EC；(2)若BC＝4，sinA＝eq\f(2,3)，求AD的長(zhǎng)．17．(8分)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的直線EF交AC于點(diǎn)F，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且∠BAC＝2∠BDE.(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)當(dāng)CF＝2，BE＝3時(shí)，求AF的長(zhǎng)．18．(9分)已知AB是⊙O的直徑，AM和BN是⊙O的兩條切線，DC與⊙O相切于點(diǎn)E，分別交AM，BN于D，C兩點(diǎn)．(1)如圖1，求證：AB2＝4AD·BC；(2)如圖2，連接OE并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)F，連接CF.若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求圖中陰影部分的面積．答案中考重點(diǎn)題型專題突破卷3特殊圖形的計(jì)算與證明(選擇題、填空題共8小題，每小題3分；解答題共10小題)eq\a\vs4\al(類型1特殊三角形的計(jì)算與證明)1．如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點(diǎn)．分別過點(diǎn)E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長(zhǎng)是__6__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在線段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3eq\r(3)，則BD的長(zhǎng)度為__2eq\r(3)__．3．已知△ABC是等邊三角形，且AB＝4，△ACD是一個(gè)含30°角的直角三角形，現(xiàn)將△ABC和△ACD拼成一個(gè)凸四邊形ABCD，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)為__2eq\r(7)，4eq\r(7)或eq\f(4\r(21),3)__．4．將兩條鄰邊長(zhǎng)分別為eq\r(2)，1的矩形紙片剪成四個(gè)等腰三角形紙片(無余紙片)，各種剪法剪出的等腰三角形中，其中一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)可以是__eq\r(2)或1或eq\r(2)－1或eq\f(\r(3),2)__．5．(8分)問題：如圖，在△ABD中，BA＝BD，在BD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度數(shù)．答案：∠DAC＝45°.思考：(1)如果把以上“問題”中的條件“∠B＝45°”去掉，其余條件不變，那么∠DAC的度數(shù)會(huì)改變嗎？說明理由；(2)如果把以上“問題”中的條件“∠B＝45°”去掉，再將“∠BAE＝90°”改為“∠BAE＝n°”，其余條件不變，求∠DAC的度數(shù)．解：(1)∠DAC的度數(shù)不會(huì)改變．理由：∵EA＝EC，∴∠CAE＝∠C，∠AED＝2∠C.∵∠BAE＝90°，BA＝BD，∴∠BAD＝eq\f(1,2)[180°－(90°－2∠C)]＝45°＋∠C.∴∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－(45°＋∠C)＝45°－∠C.∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝45°；(2)設(shè)∠ABC＝m°.∵BA＝BD，∴∠BAD＝eq\f(1,2)(180°－m°)＝90°－eq\f(1,2)m°，∠AEB＝180°－n°－m°.∴∠DAE＝n°－∠BAD＝n°－90°＋eq\f(1,2)m°.∵EA＝EC，∴∠CAE＝eq\f(1,2)∠AEB＝90°－eq\f(1,2)n°－eq\f(1,2)m°.∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝n°－90°＋eq\f(1,2)m°＋90°－eq\f(1,2)n°－eq\f(1,2)m°＝eq\f(1,2)n°.6．(9分)若△ABC和△AED均為等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°.(1)如圖1，點(diǎn)B是DE的中點(diǎn)，判定四邊形BEAC的形狀，并說明理由；(2)如圖2，若點(diǎn)G是EC的中點(diǎn)，連接GB并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使CF＝CD.求證：①EB＝DC；②∠EBG＝∠BFC.eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))(1)解：四邊形BEAC是平行四邊形．理由：∵△EAD是等腰三角形，∠EAD＝90°，點(diǎn)B是DE的中點(diǎn)，∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°.∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°.∴BC∥AE，AC∥BE.∴四邊形BEAC是平行四邊形；(2)證明：①∵△ABC和△AED均為等腰三角形，∴AE＝AD，AB＝AC.∵∠EAD＝∠BAC＝90°，∴∠EAD＋∠DAB＝∠BAC＋∠DAB，即∠EAB＝∠DAC.∴△AEB≌△ADC(SAS).∴EB＝DC；②圖2中，延長(zhǎng)FG至點(diǎn)H，使HG＝FG.∵點(diǎn)G是EC的中點(diǎn)，∴EG＝CG.又∵∠EGH＝∠CGF，∴△EHG≌△CFG(SAS).∴∠BFC＝∠H，EH＝CF.∵CF＝CD，∴BE＝CF.∴BE＝EH.∴∠EBG＝∠H.∴∠EBG＝∠BFC.eq\a\vs4\al(類型2特殊四邊形的計(jì)算與證明)7．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，∠EFD＝60°.若將四邊形EBCF沿EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上，則BE的長(zhǎng)度為(D)A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第7題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第8題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第9題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第10題圖）))8．如圖，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3eq\r(10)，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，CE＝2BE，點(diǎn)M，N在線段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，則MN＝__6或eq\f(15,8)__．9．如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，點(diǎn)E在邊AD上，且AE＝2.若直線l經(jīng)過點(diǎn)E，將該菱形的面積平分，并與菱形的另一邊交于點(diǎn)F，則線段EF的長(zhǎng)為__2eq\r(7)__．10．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段BO上，連接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，則線段AE的長(zhǎng)為__2eq\r(2)__．11．(8分)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線BD的垂直平分線與邊AD，BC分別相交于點(diǎn)M，N.(1)求證：四邊形BNDM是菱形；(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周長(zhǎng)．(1)證明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO.∵M(jìn)N是對(duì)角線BD的垂直平分線，∴OB＝OD，MN⊥BD.又∠MOD＝∠NOB，∴△MOD≌△NOB(AAS).∴OM＝ON.∵OB＝OD，∴四邊形BNDM是平行四邊形．又MN⊥BD，∴四邊形BNDM是菱形；(2)解：∵四邊形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝eq\f(1,2)BD＝12，OM＝eq\f(1,2)MN＝5.在Rt△BOM中，由勾股定理得BM＝eq\r(OM2＋OB2)＝eq\r(52＋122)＝13.∴菱形BNDM的周長(zhǎng)為4BM＝4×13＝52.12．(8分)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，點(diǎn)E為邊CD上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)C，D重合)，四邊形ABCE關(guān)于直線AE的對(duì)稱圖形為四邊形ANME，延長(zhǎng)ME交AB于點(diǎn)P，記四邊形PADE的面積為S.(1)若DE＝eq\f(\r(3),3)，求S的值；(2)設(shè)DE＝x，求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．解：(1)∵DE＝eq\f(\r(3),3)，AD＝1，∴tan∠AED＝eq\r(3)，AE＝eq\f(2\r(3),3).∴∠AED＝60°.∵AB∥CD，∴∠BAE＝60°.∵四邊形ABCE關(guān)于直線AE的對(duì)稱圖形為四邊形ANME，∴∠AEC＝∠AEM.∵∠PEC＝∠DEM，∴∠AEP＝∠AED＝60°.∴△APE為等邊三角形．∴S＝eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),3)×1＝eq\f(\r(3),2)；(2)過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F.由(1)可知，∠AEP＝∠AED＝∠PAE.∴AP＝PE.設(shè)AP＝PE＝a.又AF＝DE＝x，則PF＝a－x，EF＝AD＝1.在Rt△PEF中，PF2＋EF2＝PE2，即(a－x)2＋1＝a2，解得a＝eq\f(x2＋1,2x).∴S＝eq\f(1,2)x×1＋eq\f(1,2)×eq\f(x2＋1,2x)×1＝eq\f(1,2)x＋eq\f(x2＋1,4x).eq\a\vs4\al(類型3與切線有關(guān)的計(jì)算與證明)13．(9分)如圖，在?ABCD中，∠D＝60°，對(duì)角線AC⊥BC，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，B，與AC交于點(diǎn)M，連接AO并延長(zhǎng)與⊙O交于點(diǎn)F，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AB＝EB.(1)求證：EC是⊙O的切線；(2)若AD＝2eq\r(3)，求eq\x\to(AM)的長(zhǎng)(結(jié)果保留π)．(1)證明：連接OB.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠D＝60°.∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＝30°.∵BE＝AB，∴∠E＝∠BAE.∵∠ABC＝∠E＋∠BAE＝60°，∴∠E＝∠BAE＝30°.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝30°.∴∠OBC＝∠OBA＋∠ABC＝30°＋60°＝90°.∴OB⊥CE.∵OB是⊙O的半徑，∴EC是⊙O的切線；(2)解：過點(diǎn)O作OH⊥AM于點(diǎn)H，連接OM，則四邊形OBCH是矩形．∴OH＝BC.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝2eq\r(3).∴OH＝BC＝2eq\r(3).∴OA＝eq\f(OH,sin60°)＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°.∴eq\x\to(AM)的長(zhǎng)為eq\f(60π×4,180)＝eq\f(4π,3).14．(8分)如圖，在△ABC中，BA＝BC，以AB為直徑的半圓O分別交AC，BC于點(diǎn)D，F(xiàn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，連接OD，OF.(1)求證：DE是半圓O的切線；(2)若AB＝4，且F是eq\x\to(BD)的中點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)．(1)證明：∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠C.∵OA＝OD，∴∠BAC＝∠ODA.∴∠ODA＝∠C.∴OD∥BC.∵DE⊥BC，∴DE⊥半徑OD，即DE是⊙O的切線；(2)解：連接DF.由(1)知OD∥BC，∴∠DOF＝∠BFO.∵F是eq\x\to(BD)的中點(diǎn)，∴∠DOF＝∠BOF.∵OB＝OF，∴∠BOF＝∠BFO＝∠OBF.∴△BOF是等邊三角形．∴∠BFO＝60°，BF＝OB＝eq\f(1,2)AB＝2.易證△DOF和△ABC也為等邊三角形．∴∠C＝∠DFO＝60°，BC＝AB＝4.∴∠CFD＝180°－60°－60°＝60°，CF＝4－2＝2.∴△DCF是等邊三角形．∵DE⊥BC，∴EF＝eq\f(1,2)CF＝1.15．(8分)如圖，⊙O的直徑AB＝10cm，弦BC＝6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PC＝PE.(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)求AC，AD的長(zhǎng)．(1)證明：連接OC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.∵∠PEC＝∠EAC＋∠ACE＝∠EAC＋45°，∠EAC＝90°－∠ABC，∠ABC＝∠OCB，∴∠PCE＝90°－∠OCB＋45°＝90°－(∠OCE＋45°)＋45°＝90°－∠OCE.∴∠OCE＋∠PCE＝90°，即∠PCO＝90°.∴PC⊥半徑OC，即PC為⊙O的切線；(2)解：連接BD.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(102－62)＝8(cm).∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∵∠ACD＝∠BCD，∴eq\x\to(AD)＝eq\x\to(BD).∴AD＝BD.∴∠DAB＝∠DBA＝45°.∴△ADB為等腰直角三角形．∴AD＝eq\f(\r(2),2)AB＝5eq\r(2)(cm).16．(9分)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，連接BE.(1)求證：EH＝EC；(2)若BC＝4，sinA＝eq\f(2,3)，求AD的長(zhǎng)．(1)證明：連接OE.∵AC與⊙O相切，∴OE⊥AC.又BC⊥AC，∴OE∥BC.∴∠CBE＝∠OEB.∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB.∴∠CBE＝∠OBE.又EH⊥AB，EC⊥BC，∴EH＝EC；(2)解：在Rt△ABC中，BC＝4，sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(2,3)，∴AB＝6.由sinA＝eq\f(2,3)＝eq\f(OE,AO)，設(shè)OE＝2a，AO＝3a(a≠0)，則OB＝2a，BD＝4a.∵AB＝AO＋OB＝3a＋2a＝6，∴a＝eq\f(6,5).∵AD＝AB－BD＝6－4a，∴AD＝eq\f(6,5).17．(8分)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的直線EF交AC于點(diǎn)F，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且∠BAC＝2∠BDE.(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)當(dāng)CF＝2，BE＝3時(shí)，求AF的長(zhǎng)．(1)證明：連接OD，AD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BC.∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠BAD.∵∠BAC＝2∠BDE，∴∠BDE＝∠BAD.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO.∴∠BDE＝∠ADO.∵∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠BDE＋∠ODB＝90°.∴∠ODE＝90°，即DF⊥OD.又∵OD是⊙O的半徑，∴DF是⊙O的切線；(2)解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD.∵OB＝OA，∴OD∥AC.∴△EOD∽△EAF.∴eq\f(OD,AF)＝eq\f(OE,AE).設(shè)OD＝x.∵CF＝2，BE＝3，∴OA＝OB＝x