易錯壓軸01 二次函數(shù)（十大易錯壓軸題型、舉一反三、易錯題通關(guān)）（原卷版）

2/2易錯壓軸01二次函數(shù)易錯壓軸一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1．已知二次函數(shù)，當(dāng)且時，的最小值為，最大值為，則的值為（

）A．2 B． C．3 D．例2．已知的直角頂點與原點重合，點，都落在拋物線上，則與軸的交點為；若于點，則點到點的最大距離為．練習(xí)1．定義：把二次函數(shù)與（，、是常數(shù)）稱作互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，如果二次函數(shù)與（、是常數(shù)）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則下列選項中正確的是（

）A．； B．；C．當(dāng)時，； D．不論取何值，練習(xí)2．若關(guān)于x的方程的一個實數(shù)根，另一個實數(shù)根，則關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的頂點到x軸距離h的取值范圍是．練習(xí)3．已知二次函數(shù)、b是常數(shù)，(1)若在該二次函數(shù)的圖象上，當(dāng)時，試判斷代數(shù)式的正負(fù)性；(2)已知對于任意的常數(shù)a、，二次函數(shù)的圖象始終過定點P，求證：一次函數(shù)圖象上所有的點都高于點1．已知二次函數(shù)圖象上的兩點和，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知拋物線，當(dāng)時，自變量的取值范圍是或，若點在對稱軸左側(cè)的拋物線上，則的取值范圍是．3．已知二次函數(shù)．(1)將寫成的形式，并寫出它的頂點坐標(biāo)；(2)當(dāng)時，直接寫出函數(shù)值y的取值范圍；(3)該二次函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，，若，直接寫出n的取值范圍．易錯壓軸二：二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系例1．對于二次函數(shù)，定義函數(shù)是它的相關(guān)函數(shù)．若一次函數(shù)與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象恰好兩個公共點，則的值可能是（

）A． B． C． D．例2．拋物線的對稱軸是直線，且過點，頂點位于第二象限，其部分圖象如圖所示，給出以下判斷；①且；②；③；④直線與拋物線兩個交點的橫坐標(biāo)分別為，則．其中結(jié)論正確的是．練習(xí)1．如圖，拋物線的圖象與x軸交于，，其中．有下列五個結(jié)論：①；②；③；④；⑤若m，為關(guān)于x的一元二次方程的兩個根，則．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1練習(xí)2．如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點，對稱軸為直線，下列結(jié)論∶①；②；③；④拋物線上有兩點和，若，且，則，其中正確的是．

(只填寫序號)練習(xí)3．已知二次函數(shù)，圖象經(jīng)過點，，．(1)當(dāng)時．①求二次函數(shù)的表達(dá)式；②寫出一個符合條件的的取值范圍，使得隨的增大而增大；(2)若在，，這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，求證：．1．已知二次函數(shù)（）與x軸的一個交點為，其對稱軸為直線，其部分圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①；②；③；④；⑤若關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，且滿足，則，．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．5 B．4 C．3 D．22．已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點坐標(biāo)為，對稱軸為直線，下列論中∶①；②若點均在該二次函數(shù)圖象上，則；③若為任意實數(shù)，則；④方程的兩實數(shù)根為，且，則．正確結(jié)論的序號為．3．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)（a，b是常數(shù)，）．(1)若時，圖象經(jīng)過點，求二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)寫出一組a，b的值，使函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點，并求此二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)．(3)已知，二次函數(shù)的圖象和直線都經(jīng)過點，求證：．易錯壓軸三：根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值例1．如圖，拋物線與拋物線相交于點，過點P作x軸的平行線，與兩條拋物線分別交于點M，N，若點M是的中點，則的值是（

）A． B．2 C． D．3例2．已知二次函數(shù)的圖像過點和．（1）若此拋物線的對稱軸是直線，點C與點P關(guān)于直線對稱，則點P的坐標(biāo)是．（2）若此拋物線的頂點在第一象限，設(shè)，則t的取值范圍是．練習(xí)1．設(shè)二次函數(shù)（k，c為實數(shù)）的圖象過點，，三點，且，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則練習(xí)2．已知和時，多項式的值相等，則當(dāng)時，多項式的值為.練習(xí)3．自變量的函數(shù)值我們通常記作，表示自變量時，函數(shù)的函數(shù)值，已知函數(shù)，其中為常數(shù)．(1)若，求的值；(2)若存在唯一一個自變量的值，使得另一個函數(shù)，，試求滿足條件的的值；(3)若存在實數(shù)且，使得，試求實數(shù)的取值范圍．1．設(shè)函數(shù)對一切實數(shù)不均滿足，且方程恰好有6個不同的實根，則這6個實根的和為（

）A．10 B．12 C．18 D．302．已知關(guān)于直線對稱的拋物線經(jīng)過，兩點，且點，分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，則位于對稱軸左側(cè)的點是（填或），若此時，則的取值范圍是．3．設(shè)二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象為f．【特例感悟】（1）當(dāng)，時，二次函數(shù)（m為常數(shù)）的最小值是______、最大值是______；【類比探索】（2）當(dāng)直線與圖象f在第一象限內(nèi)交A、B兩點（點A在點B的左邊），A點橫坐標(biāo)a，點B的橫坐標(biāo)b，，求在范圍內(nèi)二次函數(shù)（m為常數(shù)）的最大值與最小值的差；【縱深拓展】（3）①不論m為何實數(shù)時，圖象f一定會經(jīng)過一個定點，求出這個定點坐標(biāo)；②當(dāng)時，二次函數(shù)（m為常數(shù)）的最大值為9，那么圖象f的對稱軸與x軸的交點橫坐標(biāo)會大于0小于2嗎？試說明你的理由，并指出滿足條件的對稱軸與定點之間的距離．易錯壓軸四：二次函數(shù)的最值問題例1．已知：，，，則下列說法中正確的是（

）A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值例2．已知二次函數(shù)（，為常數(shù)且），當(dāng)時，隨的增大而增大，則的最大值為．練習(xí)1．4．已知二次函數(shù)，當(dāng)時，則（

）A．若時，函數(shù)有最小值 B．若時，函數(shù)有最小值C．若時，函數(shù)有最小值 D．若時，函數(shù)有最小值練習(xí)2．已知拋物線：，把繞點旋轉(zhuǎn)，得到拋物線，則的解析式為；在和構(gòu)成的封閉區(qū)域內(nèi)作直線軸，分別交和與點M，N，則的最大值為．練習(xí)3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點．(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時，求二次函數(shù)的最大值和最小值；(3)點為此函數(shù)圖象上任意一點，其僙坐標(biāo)為，過點作軸，點的橫坐標(biāo)為．已知點與點不重合，且線段的長度隨的增大而減?。偾蟮娜≈捣秶?；②當(dāng)時，直接寫出線段與二次函數(shù)的圖象只有1個交點時的取值范圍．1．如圖，矩形中，，E為邊上一個動點，連接，取的中點G，點G繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)得到點F，連接，則面積的最小值是（）A．4 B． C．3 D．2．若點在拋物線上過y軸上點E作兩條相互垂直的直線與拋物線分別交于A，B，C，D，且M，N分別是線段的中點，面積的最小值為．3．設(shè)二次函數(shù)（a，c是常數(shù)）的圖象與x軸有交點．(1)若圖象與x軸交于A，B兩點的坐標(biāo)分別為，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)．(2)若圖象與x軸只有一個交點，且過，求此時a，c的值．(3)已知，若函數(shù)的表達(dá)式還可以寫成（m，n為常數(shù)，且），設(shè)二次函數(shù)，求的最小值．易錯壓軸五：二次函數(shù)的平移問題例1．若拋物線向上平移個單位后，在范圍內(nèi)與x軸只有一個交點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．如圖①是杭州亞運會的徽標(biāo)中的錢江潮頭，可近似地看成是頂點在y軸上的二次函數(shù)，如圖②所示，已知，．當(dāng)潮頭以2個單位每秒的速度向x軸正方向移動的過程中，若記潮頭起始位置所在的二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸三個交點圍成的面積為，則經(jīng)過秒后，潮頭所在的拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點圍成的面積恰好為面積的一半．練習(xí)1．已知，二次函數(shù)是常數(shù)，且的圖象經(jīng)過，三個點中的兩個點，平移該函數(shù)的圖象，使其頂點始終在直線上，則平移后所得拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)（

）A．有最大值為1 B．有最大值為C．有最小值為1 D．有最小值為練習(xí)2．對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)，對于任意的函數(shù)值，都滿足，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．將函數(shù)的圖象向上平移個單位，得到的函數(shù)的邊界值滿足是時，則的取值范圍是．

練習(xí)3．已知二次函數(shù)的圖像L過點，頂點坐標(biāo)為．(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)L與x軸相交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），求A，B兩點坐標(biāo)；(3)將L向上平移個單位長度，與x軸相交于，兩點，若點在線段上，求k的取值范圍．1．如圖，拋物線與直線交于A、B兩點，與直線交于點P，將拋物線沿著射線平移個單位，在整個平移過程中，點P經(jīng)過的路程為（

）

A．6 B． C． D．2．如圖，拋物線與x軸交于點A、B，把拋物線在x軸及其上方的部分記作，將向右平移得，與x軸交于點B、D．若直線與、共有2個不同的交點，則m的取值范圍是．3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點，．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)若拋物線，當(dāng)時，有最大值，求的值．(3)若將拋物線平移得到新拋物線，當(dāng)時，新拋物線與直線有且只有一個公共點，直接寫出的取值范圍．易錯壓軸六：二次函數(shù)與一元二次方程例1．將拋物線中軸上方的部分沿軸翻折到軸下方，圖像的其余部分不變，得到的新圖像與直線有個交點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．已知點，，在二次函數(shù)的圖象上，則方程的解為練習(xí)1．如圖，拋物線與直線有兩個交點，這兩個交點的縱坐標(biāo)分別為m、n．雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．或練習(xí)2．規(guī)定：如果兩個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么稱這兩個函數(shù)互為“Y函數(shù)”．例如：函數(shù)與互為“Y函數(shù)”．若函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，則它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標(biāo)為；練習(xí)3．小明、小紅和小亮三位同學(xué)對問題“關(guān)于的方程有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍”提出了自己的解題思路：［辨析與解答]小明說：“只需分類討論，將方程中的絕對值去掉，討論關(guān)于的一元二次方程根的情況．”小紅說：“用函數(shù)思想，設(shè)，只須在的取值范圍內(nèi)．”小亮說：“可以數(shù)形結(jié)合，把方程兩邊分別看成關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)圖像解決．”結(jié)合上述解題思路綜合考量，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即實數(shù)的取值范圍是______．請寫出你的解題過程．［應(yīng)用與拓展]（1）如果關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是______．（2）如果關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是______．1．若a，b（）是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且，則關(guān)于a，b的關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．2．如圖，拋物線與軸交于點，頂點坐標(biāo)，與軸的交點在，之間（包含端點），則下列結(jié)論：；；對于任意實數(shù)，總成立；關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確結(jié)論為（只填序號）3．二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題：

(1)點B的坐標(biāo)為______；(2)方程的兩個根為______；(3)當(dāng)時，自變量x的取值范圍為______．易錯壓軸七：實際問題與二次函數(shù)例1．2020年6月中旬以來，北京市新冠肺炎疫情出現(xiàn)反彈，北京市民對防疫物資需求量激增．某廠商計劃投資產(chǎn)銷一種消毒液，設(shè)每天產(chǎn)銷量為x瓶，每日產(chǎn)銷這種消毒液的有關(guān)信息如下表：（產(chǎn)銷量指生產(chǎn)并銷售的數(shù)量，生產(chǎn)多少就銷售多少，不考慮滯銷和脫銷）若該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤y元，當(dāng)銷量x為多少時，該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤最大．（

）消毒液每瓶售價（元）每瓶成本（元）每日其他費用（元）每日最大產(chǎn)銷量（瓶）30181200＋0.02x2250A．250 B．300 C．200 D．550例2．一個玻璃杯豎直放置時的縱向截面如圖1所示，其左右輪廓線，為同一拋物線的一部分，，都與水平地面平行，當(dāng)杯子裝滿水后，，液體高度，將杯子繞傾斜倒出部分液體，當(dāng)傾斜角時停止轉(zhuǎn)動．如圖2所示，此時液面寬度為cm，液面到點所在水平地面的距離是cm練習(xí)1．如圖1，已知的邊長為，，于點E．現(xiàn)將沿方向以每秒1個單位的速度勻速運動，運動的與重疊部分的面積S與運動時間t的函數(shù)圖象如圖2，則當(dāng)t為9時，S的值是（

）

A． B． C． D．練習(xí)2．公園要建造圓形的噴水池如圖①，水面中心O處垂直于水面安裝一個柱子，柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線落下．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．如圖②，噴頭高時，水柱落點距O點；噴頭高時，水柱落點距O點．現(xiàn)要使水柱落點距O點，則噴頭高應(yīng)調(diào)整為．

練習(xí)3．電商小李在抖音平臺上對一款成本單價為10元的商品進(jìn)行直播銷售，規(guī)定銷售單價不低于成本價，且不高于成本價的3倍．通過前幾天的銷售發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售定價為15元時，每天可售出700件，銷售單價每上漲10元，每天銷售量就減少200件，設(shè)此商品銷售單價為x（元），每天的銷售量為y（件）．(1)求y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(2)若銷售該商品每天的利潤為7500元，求該商品的銷售單價；(3)小李熱心公益事業(yè)，決定每銷售一件該商品就捐款m元（）給希望工程，當(dāng)每天銷售最大利潤為6000元時，求m的值．1．如圖1，在中，．點從出發(fā)，沿運動到點停止，過點作，垂足為連接．設(shè)點的運動路徑長為，的面積為，若與的對應(yīng)關(guān)系如圖2所示，則的值為（

）A． B． C． D．2．如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為米，高度為米．則離地面米處的水平寬度（即的長）為．3．某商場經(jīng)銷一種兒童玩具，該種玩具的進(jìn)價是每個元，經(jīng)過一段時間的銷售發(fā)現(xiàn)，該種玩具每天的銷售量y（個）與每個的售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)某天的銷售量為個時，該玩具的銷售利潤；(2)每天的銷售量不低于個的情況下，若要每天獲得的銷售利潤最大，求該玩具每個的售價是多少？最大利潤是多少？(3)根據(jù)物價部門規(guī)定，這種玩具的售價每個不能高于元．該商場決定每銷售一個這種玩具就捐款n元（），捐款后發(fā)現(xiàn)，該商場每天銷售這種玩具所獲利潤隨售價的增大而增大，求n的取值范圍．易錯壓軸八：二次函數(shù)的存在性問題例1．定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n（）的點叫做這個函數(shù)圖象的“n階方點”．例如，點與點都是函數(shù)圖象的“3階方點”．若y關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象存在“n階方點”，則n的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．定義：若x，y滿足：，（k為常數(shù)）且，則稱點為“好點”．（1）若是“好點”，則．（2）在的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“好點”，則c的取值范圍為．練習(xí)1．若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：等都是“三倍點”．在的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“三倍點”，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習(xí)2．定義：平面直角坐標(biāo)系中，點，點，若，，其中為常數(shù)，且，則稱點是點的“級變換點”．例如，點，是點，的“級變換點”．(1)若函數(shù)的圖象上存在點，的“級變換點”，則的值為；(2)若關(guān)于的二次函數(shù)()的圖象上恰有兩個點，這兩個點的“1級變換點”都在直線上，則的取值范圍是．練習(xí)3．綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過，兩點且與軸的正半軸交于點．(1)求的值及拋物線的解析式．(2)如圖①，若點為直線上方拋物線上一動點，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；(3)如圖②，若是線段的上一個動點，過點作直線垂直于軸交直線和拋物線分別于點、，連接．設(shè)點的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)為何值時，線段有最大值，并寫出最大值為多少；②是否存在以，，為頂點的三角形與相似，若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．1．平面上有一個圖形與圖形外一點，當(dāng)時，的坐標(biāo)為，當(dāng)時，的坐標(biāo)為，若點在圖形上，則稱是“點與圖形的聯(lián)系點”，設(shè)拋物線：（為常數(shù)）頂點為，點關(guān)于軸的對稱點為，若拋物線上存在點是點與圖形的聯(lián)系點，則所有可能的的和為（

）A．3 B．2 C．1 D．02．若一個點縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的兩倍，則稱這個點為“三倍點”．若在的范圍內(nèi)，二次函數(shù)的圖像上存在兩個“三倍點，則的取值范圍為．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（為常數(shù)，且）與軸交于點和點，與軸交于點，且．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接，點是拋物線的對稱軸上的動點，點是平面內(nèi)的點，是否存在以點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．易錯壓軸九：二次函數(shù)與相似三角形例1．拋物線，設(shè)該拋物線與軸的交點為和，與軸的交點為C，若，則的值為（）A． B． C． D．例2．已知過點的拋物線與兩坐標(biāo)軸交于點A，C，如圖所示，連接，第一象限內(nèi)有一動點M在拋物線上運動，過點M作交y軸于點P．當(dāng)點P在點A上方，且與相似時，點M的坐標(biāo)為．練習(xí)1．如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，連接、，若平分，則的值為(

）A． B． C． D．練習(xí)2．如圖，已知點P是二次函數(shù)圖像在y軸右側(cè)部分上的一個動點，將直線沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于A、B兩點．若以為直角邊的與相似，請求出點P的坐標(biāo)．

練習(xí)3．如圖，二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于，B兩點，與y軸交于點C，已知，．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點M為拋物線對稱軸上一動點，是否存在點M使得有最大值，若存在，請直接寫出其最大值及此時點M坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．(3)連接，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點，過點P作軸，垂足為D，連接，若與相似，請求出滿足條件的P點坐標(biāo)：若沒有滿足條件的P點，請說明理由．1．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，頂點為，連結(jié)，．在軸上是否存在點，使以，，為頂點的三角形與相似，則滿足條件的所有點的坐標(biāo)為（）A．， B．，C．，， D．，2．如圖，拋物線的頂點為，直線與拋物線交于，兩點．是拋物線上一點，過作軸，垂足為．如果以，，為頂點的三角形與相似，那么點的坐標(biāo)是．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接．(1)求拋物線