易錯壓軸01 二次函數(shù)（十大易錯壓軸題型、舉一反三、易錯題通關）（原卷版）

2/2易錯壓軸01二次函數(shù)易錯壓軸一：二次函數(shù)的圖象與性質例1．已知二次函數(shù)，當且時，的最小值為，最大值為，則的值為（

）A．2 B． C．3 D．例2．已知的直角頂點與原點重合，點，都落在拋物線上，則與軸的交點為；若于點，則點到點的最大距離為．練習1．定義：把二次函數(shù)與（，、是常數(shù)）稱作互為“旋轉函數(shù)”，如果二次函數(shù)與（、是常數(shù)）互為“旋轉函數(shù)”，則下列選項中正確的是（

）A．； B．；C．當時，； D．不論取何值，練習2．若關于x的方程的一個實數(shù)根，另一個實數(shù)根，則關于x的二次函數(shù)圖象的頂點到x軸距離h的取值范圍是．練習3．已知二次函數(shù)、b是常數(shù)，(1)若在該二次函數(shù)的圖象上，當時，試判斷代數(shù)式的正負性；(2)已知對于任意的常數(shù)a、，二次函數(shù)的圖象始終過定點P，求證：一次函數(shù)圖象上所有的點都高于點1．已知二次函數(shù)圖象上的兩點和，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知拋物線，當時，自變量的取值范圍是或，若點在對稱軸左側的拋物線上，則的取值范圍是．3．已知二次函數(shù)．(1)將寫成的形式，并寫出它的頂點坐標；(2)當時，直接寫出函數(shù)值y的取值范圍；(3)該二次函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，，若，直接寫出n的取值范圍．易錯壓軸二：二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系例1．對于二次函數(shù)，定義函數(shù)是它的相關函數(shù)．若一次函數(shù)與二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖象恰好兩個公共點，則的值可能是（

）A． B． C． D．例2．拋物線的對稱軸是直線，且過點，頂點位于第二象限，其部分圖象如圖所示，給出以下判斷；①且；②；③；④直線與拋物線兩個交點的橫坐標分別為，則．其中結論正確的是．練習1．如圖，拋物線的圖象與x軸交于，，其中．有下列五個結論：①；②；③；④；⑤若m，為關于x的一元二次方程的兩個根，則．其中正確結論的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1練習2．如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點，對稱軸為直線，下列結論∶①；②；③；④拋物線上有兩點和，若，且，則，其中正確的是．

(只填寫序號)練習3．已知二次函數(shù)，圖象經過點，，．(1)當時．①求二次函數(shù)的表達式；②寫出一個符合條件的的取值范圍，使得隨的增大而增大；(2)若在，，這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，求證：．1．已知二次函數(shù)（）與x軸的一個交點為，其對稱軸為直線，其部分圖象如圖所示，有下列5個結論：①；②；③；④；⑤若關于x的方程有兩個實數(shù)根，且滿足，則，．其中正確結論的個數(shù)為（

）A．5 B．4 C．3 D．22．已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列論中∶①；②若點均在該二次函數(shù)圖象上，則；③若為任意實數(shù)，則；④方程的兩實數(shù)根為，且，則．正確結論的序號為．3．在平面直角坐標系中，設二次函數(shù)（a，b是常數(shù)，）．(1)若時，圖象經過點，求二次函數(shù)的表達式．(2)寫出一組a，b的值，使函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點，并求此二次函數(shù)的頂點坐標．(3)已知，二次函數(shù)的圖象和直線都經過點，求證：．易錯壓軸三：根據二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值例1．如圖，拋物線與拋物線相交于點，過點P作x軸的平行線，與兩條拋物線分別交于點M，N，若點M是的中點，則的值是（

）A． B．2 C． D．3例2．已知二次函數(shù)的圖像過點和．（1）若此拋物線的對稱軸是直線，點C與點P關于直線對稱，則點P的坐標是．（2）若此拋物線的頂點在第一象限，設，則t的取值范圍是．練習1．設二次函數(shù)（k，c為實數(shù)）的圖象過點，，三點，且，，，下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則練習2．已知和時，多項式的值相等，則當時，多項式的值為.練習3．自變量的函數(shù)值我們通常記作，表示自變量時，函數(shù)的函數(shù)值，已知函數(shù)，其中為常數(shù)．(1)若，求的值；(2)若存在唯一一個自變量的值，使得另一個函數(shù)，，試求滿足條件的的值；(3)若存在實數(shù)且，使得，試求實數(shù)的取值范圍．1．設函數(shù)對一切實數(shù)不均滿足，且方程恰好有6個不同的實根，則這6個實根的和為（

）A．10 B．12 C．18 D．302．已知關于直線對稱的拋物線經過，兩點，且點，分別位于拋物線對稱軸的兩側，則位于對稱軸左側的點是（填或），若此時，則的取值范圍是．3．設二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象為f．【特例感悟】（1）當，時，二次函數(shù)（m為常數(shù)）的最小值是______、最大值是______；【類比探索】（2）當直線與圖象f在第一象限內交A、B兩點（點A在點B的左邊），A點橫坐標a，點B的橫坐標b，，求在范圍內二次函數(shù)（m為常數(shù)）的最大值與最小值的差；【縱深拓展】（3）①不論m為何實數(shù)時，圖象f一定會經過一個定點，求出這個定點坐標；②當時，二次函數(shù)（m為常數(shù)）的最大值為9，那么圖象f的對稱軸與x軸的交點橫坐標會大于0小于2嗎？試說明你的理由，并指出滿足條件的對稱軸與定點之間的距離．易錯壓軸四：二次函數(shù)的最值問題例1．已知：，，，則下列說法中正確的是（

）A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值例2．已知二次函數(shù)（，為常數(shù)且），當時，隨的增大而增大，則的最大值為．練習1．4．已知二次函數(shù)，當時，則（

）A．若時，函數(shù)有最小值 B．若時，函數(shù)有最小值C．若時，函數(shù)有最小值 D．若時，函數(shù)有最小值練習2．已知拋物線：，把繞點旋轉，得到拋物線，則的解析式為；在和構成的封閉區(qū)域內作直線軸，分別交和與點M，N，則的最大值為．練習3．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經過點，點．(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)當時，求二次函數(shù)的最大值和最小值；(3)點為此函數(shù)圖象上任意一點，其僙坐標為，過點作軸，點的橫坐標為．已知點與點不重合，且線段的長度隨的增大而減?。偾蟮娜≈捣秶虎诋敃r，直接寫出線段與二次函數(shù)的圖象只有1個交點時的取值范圍．1．如圖，矩形中，，E為邊上一個動點，連接，取的中點G，點G繞點E逆時針旋轉得到點F，連接，則面積的最小值是（）A．4 B． C．3 D．2．若點在拋物線上過y軸上點E作兩條相互垂直的直線與拋物線分別交于A，B，C，D，且M，N分別是線段的中點，面積的最小值為．3．設二次函數(shù)（a，c是常數(shù)）的圖象與x軸有交點．(1)若圖象與x軸交于A，B兩點的坐標分別為，求函數(shù)的表達式，并寫出函數(shù)圖象的頂點坐標．(2)若圖象與x軸只有一個交點，且過，求此時a，c的值．(3)已知，若函數(shù)的表達式還可以寫成（m，n為常數(shù)，且），設二次函數(shù)，求的最小值．易錯壓軸五：二次函數(shù)的平移問題例1．若拋物線向上平移個單位后，在范圍內與x軸只有一個交點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．如圖①是杭州亞運會的徽標中的錢江潮頭，可近似地看成是頂點在y軸上的二次函數(shù)，如圖②所示，已知，．當潮頭以2個單位每秒的速度向x軸正方向移動的過程中，若記潮頭起始位置所在的二次函數(shù)圖象與坐標軸三個交點圍成的面積為，則經過秒后，潮頭所在的拋物線與坐標軸的三個交點圍成的面積恰好為面積的一半．練習1．已知，二次函數(shù)是常數(shù)，且的圖象經過，三個點中的兩個點，平移該函數(shù)的圖象，使其頂點始終在直線上，則平移后所得拋物線與軸交點的縱坐標（

）A．有最大值為1 B．有最大值為C．有最小值為1 D．有最小值為練習2．對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)，對于任意的函數(shù)值，都滿足，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．將函數(shù)的圖象向上平移個單位，得到的函數(shù)的邊界值滿足是時，則的取值范圍是．

練習3．已知二次函數(shù)的圖像L過點，頂點坐標為．(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)L與x軸相交于A，B兩點（點A在點B左側），求A，B兩點坐標；(3)將L向上平移個單位長度，與x軸相交于，兩點，若點在線段上，求k的取值范圍．1．如圖，拋物線與直線交于A、B兩點，與直線交于點P，將拋物線沿著射線平移個單位，在整個平移過程中，點P經過的路程為（

）

A．6 B． C． D．2．如圖，拋物線與x軸交于點A、B，把拋物線在x軸及其上方的部分記作，將向右平移得，與x軸交于點B、D．若直線與、共有2個不同的交點，則m的取值范圍是．3．在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點，．(1)求拋物線的表達式．(2)若拋物線，當時，有最大值，求的值．(3)若將拋物線平移得到新拋物線，當時，新拋物線與直線有且只有一個公共點，直接寫出的取值范圍．易錯壓軸六：二次函數(shù)與一元二次方程例1．將拋物線中軸上方的部分沿軸翻折到軸下方，圖像的其余部分不變，得到的新圖像與直線有個交點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．已知點，，在二次函數(shù)的圖象上，則方程的解為練習1．如圖，拋物線與直線有兩個交點，這兩個交點的縱坐標分別為m、n．雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．或練習2．規(guī)定：如果兩個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，那么稱這兩個函數(shù)互為“Y函數(shù)”．例如：函數(shù)與互為“Y函數(shù)”．若函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，則它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標為；練習3．小明、小紅和小亮三位同學對問題“關于的方程有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍”提出了自己的解題思路：［辨析與解答]小明說：“只需分類討論，將方程中的絕對值去掉，討論關于的一元二次方程根的情況．”小紅說：“用函數(shù)思想，設，只須在的取值范圍內．”小亮說：“可以數(shù)形結合，把方程兩邊分別看成關于的函數(shù)，利用函數(shù)圖像解決．”結合上述解題思路綜合考量，你認為他們所討論的問題的正確結論，即實數(shù)的取值范圍是______．請寫出你的解題過程．［應用與拓展]（1）如果關于的方程有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是______．（2）如果關于的方程有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是______．1．若a，b（）是關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且，則關于a，b的關系正確的是（

）A． B． C． D．2．如圖，拋物線與軸交于點，頂點坐標，與軸的交點在，之間（包含端點），則下列結論：；；對于任意實數(shù)，總成立；關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確結論為（只填序號）3．二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據圖象回答下列問題：

(1)點B的坐標為______；(2)方程的兩個根為______；(3)當時，自變量x的取值范圍為______．易錯壓軸七：實際問題與二次函數(shù)例1．2020年6月中旬以來，北京市新冠肺炎疫情出現(xiàn)反彈，北京市民對防疫物資需求量激增．某廠商計劃投資產銷一種消毒液，設每天產銷量為x瓶，每日產銷這種消毒液的有關信息如下表：（產銷量指生產并銷售的數(shù)量，生產多少就銷售多少，不考慮滯銷和脫銷）若該消毒液的單日產銷利潤y元，當銷量x為多少時，該消毒液的單日產銷利潤最大．（

）消毒液每瓶售價（元）每瓶成本（元）每日其他費用（元）每日最大產銷量（瓶）30181200＋0.02x2250A．250 B．300 C．200 D．550例2．一個玻璃杯豎直放置時的縱向截面如圖1所示，其左右輪廓線，為同一拋物線的一部分，，都與水平地面平行，當杯子裝滿水后，，液體高度，將杯子繞傾斜倒出部分液體，當傾斜角時停止轉動．如圖2所示，此時液面寬度為cm，液面到點所在水平地面的距離是cm練習1．如圖1，已知的邊長為，，于點E．現(xiàn)將沿方向以每秒1個單位的速度勻速運動，運動的與重疊部分的面積S與運動時間t的函數(shù)圖象如圖2，則當t為9時，S的值是（

）

A． B． C． D．練習2．公園要建造圓形的噴水池如圖①，水面中心O處垂直于水面安裝一個柱子，柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線落下．安裝師傅調試發(fā)現(xiàn)，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．如圖②，噴頭高時，水柱落點距O點；噴頭高時，水柱落點距O點．現(xiàn)要使水柱落點距O點，則噴頭高應調整為．

練習3．電商小李在抖音平臺上對一款成本單價為10元的商品進行直播銷售，規(guī)定銷售單價不低于成本價，且不高于成本價的3倍．通過前幾天的銷售發(fā)現(xiàn)，當銷售定價為15元時，每天可售出700件，銷售單價每上漲10元，每天銷售量就減少200件，設此商品銷售單價為x（元），每天的銷售量為y（件）．(1)求y關于x之間的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；(2)若銷售該商品每天的利潤為7500元，求該商品的銷售單價；(3)小李熱心公益事業(yè)，決定每銷售一件該商品就捐款m元（）給希望工程，當每天銷售最大利潤為6000元時，求m的值．1．如圖1，在中，．點從出發(fā)，沿運動到點停止，過點作，垂足為連接．設點的運動路徑長為，的面積為，若與的對應關系如圖2所示，則的值為（

）A． B． C． D．2．如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內側曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為米，高度為米．則離地面米處的水平寬度（即的長）為．3．某商場經銷一種兒童玩具，該種玩具的進價是每個元，經過一段時間的銷售發(fā)現(xiàn)，該種玩具每天的銷售量y（個）與每個的售價x（元）之間的函數(shù)關系如圖所示．

(1)求y關于x的函數(shù)關系式，并求出當某天的銷售量為個時，該玩具的銷售利潤；(2)每天的銷售量不低于個的情況下，若要每天獲得的銷售利潤最大，求該玩具每個的售價是多少？最大利潤是多少？(3)根據物價部門規(guī)定，這種玩具的售價每個不能高于元．該商場決定每銷售一個這種玩具就捐款n元（），捐款后發(fā)現(xiàn)，該商場每天銷售這種玩具所獲利潤隨售價的增大而增大，求n的取值范圍．易錯壓軸八：二次函數(shù)的存在性問題例1．定義：函數(shù)圖象上到兩坐標軸的距離都不大于n（）的點叫做這個函數(shù)圖象的“n階方點”．例如，點與點都是函數(shù)圖象的“3階方點”．若y關于x的二次函數(shù)的圖象存在“n階方點”，則n的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．定義：若x，y滿足：，（k為常數(shù)）且，則稱點為“好點”．（1）若是“好點”，則．（2）在的范圍內，若二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“好點”，則c的取值范圍為．練習1．若一個點的縱坐標是橫坐標的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：等都是“三倍點”．在的范圍內，若二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“三倍點”，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習2．定義：平面直角坐標系中，點，點，若，，其中為常數(shù)，且，則稱點是點的“級變換點”．例如，點，是點，的“級變換點”．(1)若函數(shù)的圖象上存在點，的“級變換點”，則的值為；(2)若關于的二次函數(shù)()的圖象上恰有兩個點，這兩個點的“1級變換點”都在直線上，則的取值范圍是．練習3．綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過，兩點且與軸的正半軸交于點．(1)求的值及拋物線的解析式．(2)如圖①，若點為直線上方拋物線上一動點，當時，求點的坐標；(3)如圖②，若是線段的上一個動點，過點作直線垂直于軸交直線和拋物線分別于點、，連接．設點的橫坐標為．①當為何值時，線段有最大值，并寫出最大值為多少；②是否存在以，，為頂點的三角形與相似，若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．1．平面上有一個圖形與圖形外一點，當時，的坐標為，當時，的坐標為，若點在圖形上，則稱是“點與圖形的聯(lián)系點”，設拋物線：（為常數(shù)）頂點為，點關于軸的對稱點為，若拋物線上存在點是點與圖形的聯(lián)系點，則所有可能的的和為（

）A．3 B．2 C．1 D．02．若一個點縱坐標是橫坐標的兩倍，則稱這個點為“三倍點”．若在的范圍內，二次函數(shù)的圖像上存在兩個“三倍點，則的取值范圍為．3．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（為常數(shù)，且）與軸交于點和點，與軸交于點，且．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)連接，點是拋物線的對稱軸上的動點，點是平面內的點，是否存在以點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．易錯壓軸九：二次函數(shù)與相似三角形例1．拋物線，設該拋物線與軸的交點為和，與軸的交點為C，若，則的值為（）A． B． C． D．例2．已知過點的拋物線與兩坐標軸交于點A，C，如圖所示，連接，第一象限內有一動點M在拋物線上運動，過點M作交y軸于點P．當點P在點A上方，且與相似時，點M的坐標為．練習1．如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，連接、，若平分，則的值為(

）A． B． C． D．練習2．如圖，已知點P是二次函數(shù)圖像在y軸右側部分上的一個動點，將直線沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于A、B兩點．若以為直角邊的與相似，請求出點P的坐標．

練習3．如圖，二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于，B兩點，與y軸交于點C，已知，．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)點M為拋物線對稱軸上一動點，是否存在點M使得有最大值，若存在，請直接寫出其最大值及此時點M坐標，若不存在，請說明理由．(3)連接，P為第一象限內拋物線上一點，過點P作軸，垂足為D，連接，若與相似，請求出滿足條件的P點坐標：若沒有滿足條件的P點，請說明理由．1．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，頂點為，連結，．在軸上是否存在點，使以，，為頂點的三角形與相似，則滿足條件的所有點的坐標為（）A．， B．，C．，， D．，2．如圖，拋物線的頂點為，直線與拋物線交于，兩點．是拋物線上一點，過作軸，垂足為．如果以，，為頂點的三角形與相似，那么點的坐標是．3．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接．(1)求拋物線