中學(xué)高二12月月考數(shù)學(xué)試卷

中學(xué)高二12月月考數(shù)學(xué)試卷

姓名:年級(jí):學(xué)號(hào):

題型選擇題填空題解答題判斷題計(jì)算題附加題總分

得分

評(píng)卷人得分

一、填空題(共12題，共60分)

1、已知函數(shù)"")一，一磔+了，而°{總表示。，b中的最小值，若函數(shù)

A(x)=nnn{/(x),g(x)}㈠>。)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是.

【考點(diǎn)】

但a

【答案】卬行

I

【解析】'-'f(x)=x3-mx+4,

.'.fz(x)=3x2-tn,

若m,0,則它(x)，。恒成立，函數(shù)f(x)=x3+mx+Z至多有一個(gè)零點(diǎn),

此時(shí)h(x)不可能有3個(gè)零點(diǎn)，故m<0,

令f'(x)=0,貝x=±

-.-g(1)=0,

mm

..?若h(x)有3個(gè)零點(diǎn)，則43<1,f(1)>0,f(V3)<0,

-3<m<0

—+m>0

4

2m'-m,1_

—+-<o

即334

f君

解得：mG14

IM

故答案為：144jo

2、三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上的三角形稱為橢圓的內(nèi)解三角形.已知/為橢圓3+/丁=〃2(a>l)的上頂

點(diǎn)，若以/為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形A1BC有且只有三解，則橢圓的離心率的取值范圍是—I化為:

a2(k2-k)=k3-1,

當(dāng)k=1時(shí)是其中一個(gè)根.

-2+-+I￡

當(dāng)k豐1時(shí)，a2=k=k+*+1>3,

晨XPF若存在實(shí)數(shù)玉，包

(€為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)))="-2,

使得/國)=晨、)=°,且X-司41,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【考點(diǎn)】

一T4+I2后黑里

【答案】235

【解析】函數(shù)f(x)=ex-1+x-2的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=ex-1+1>0,

f(x)在R上遞增，由f(1)=0,可得f(x1)=0,解得x1=1,

存在實(shí)數(shù)x1,x2,使得f(x1)=g(x2)=0.且|x1-x2|W1,

即為g(x2)=0且|1-x2|W1,

即x2-ax-a+3=0在0WxW2有解，

—=xJ-x-l=A(x)A,(x)=3x2-l=O=^x=±—

a在0WxW2有解，3

函數(shù)的值域?yàn)?/p>

-9-2^3_=-9-2百_.v節(jié)磐或嶺

一9一，5”—，5

4、已知等差數(shù)列中，有1。-30,則在此等比數(shù)列色：中，利用類比

推理有類似的結(jié)論：.

【考點(diǎn)】

【答案】嘀島…%=物曲…4

【解析】等差數(shù)列與等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)關(guān)系有：等差數(shù)列中的加法對(duì)應(yīng)等比數(shù)列中的乘法，

等差數(shù)列中除法對(duì)應(yīng)等比數(shù)列中的開方，故此我們可以類比得到結(jié)論：啊島7電…％.

故答案為：婀1%…%=噌曲…%.

a

5、已知函數(shù)f(x)=，+6'+版-4-7〃在*=1處取得極小值10,則g的值為.

【考點(diǎn)】

【答案】-2

【解析】'.'f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a,

.'.f7(x)=3x2+2ax+b,

又f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極小值10,

.,.fz(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b-a2-7a=10,

.'.a2+8a+12=0,

.,.a=-2,b=1或a=-6,b=9.

當(dāng)a=-2,b=1時(shí)，f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),

1

當(dāng)3<x<1時(shí)，(x)<0,當(dāng)x>1時(shí)，(x)>0,

???f(x)在x=1處取得極小值，與題意符合；

當(dāng)a=-6,b=9時(shí)，千'(X)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)

當(dāng)xV1時(shí)，fz(x)>0,當(dāng)1VxV3時(shí)，fz(x)<0,

(x)在x=1處取得極大值，與題意不符；

a

b--2,

故答案為：-2.

131151117

14—T,14—-H—<x14—-4—?H—x<T

6、觀察下列式子：222,223-3,223-424,…，根據(jù)以上式子可以猜想

111

1+齊+正+…+赤丁.

【考點(diǎn)】

4029

【答案】2015

131151117

1+/V力1++方+三+方〈了

【解析】試題分析：由已知中的式子2，2223，32-32424,…

1112n-l1114029

1+尹+/+…+荔所以1+脾+豆+“?+?于〈風(fēng)

7、設(shè)Al5c是等腰三角形，ZABC=120°,則以/、2?為焦點(diǎn)且過點(diǎn)C的雙曲線的離心率為

【考點(diǎn)】

1+后

【答案】

【解析】由題意2c=|AB|,所以3c由雙曲線的定義，有

2a=\AC\-照=2版-左na=（若力

_c_1_后+1

??8=——----------

a5^—12

1+后

故答案為：2.

8、用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，應(yīng)假設(shè)為.

【考點(diǎn)】

【答案】三角形的內(nèi)角至少有兩個(gè)鈍角

【解析】反證法證明時(shí)，需要假設(shè)反面成立，即原條件的否定。故應(yīng)假設(shè)為：三角形的內(nèi)角至少有兩個(gè)鈍

角。

故答案為：三角形的內(nèi)角至少有兩個(gè)鈍角。

巨+力=1

9、在平面直角坐標(biāo)系xQv中，已知橢圓95上一點(diǎn)F到其左焦點(diǎn)的距離為4,則點(diǎn)F到右準(zhǔn)線的

距離為.

【考點(diǎn)】

【答案】3

【解析】根據(jù)題意，設(shè)橢圓95的右焦點(diǎn)為F，,點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d,

3=1f-

橢圓95中a=3,b=45,

則c=2,

2

則其離心率e=5,

若P在橢圓上，且P到左焦點(diǎn)F的距離為4,則|PF'|=2a-2=2,

2

又由橢圓的離心率e=3,

I尸尸12

則有e=d=3,解可得d=3,

即點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為3；

故答案為：3.

1。、雙曲線24-的漸近線方程為.

【考點(diǎn)】

一近

【答案】2

亡-二=1±乜=+旦

［解析］雙曲線24,漸近線方程為：a,/=12/=4,故得到方程為：了__2x

.y/2

y=±——x

故答案為：20

11、曲線尸=2/在x=0處的切線方程是.

【考點(diǎn)】

［答案］2x-y+2=Q

【解析】‘乂=2/=2當(dāng)自變量等于。時(shí)，函數(shù)值為2,故得到切線方程為：2x-y+2=Qa

故答案為：2x-y+2=Qo

12、命題“若一=1,則X=l”的否命題為.

【考點(diǎn)】

【答案】若丁則xwl

【解析】根據(jù)逆否命題的寫法：將條件和結(jié)論互換，既否條件又否結(jié)論，原命題的逆否命題為若3,1,

則XK1.

故答案為：若.#1,則XW1.

二、解答題（共6題，共30分）

7

/(x)=lnx--x+1

13、已知a（。為常數(shù)）.

（D當(dāng)［=2時(shí)，求函數(shù)/（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)a＞2時(shí)，求證：，（「）＜。；

（3）試討論函數(shù)/（X）零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【考點(diǎn)】

【答案】⑴/㈤在（。,1）上單調(diào)遞增，在（L時(shí)上單調(diào)遞減（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）將參數(shù)值代入得到函數(shù)表達(dá)式，求導(dǎo)研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可；（2）記

由題意即證，當(dāng)a＞2時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究單調(diào)性求最值即可;

（3）直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的變化趨勢(shì)，結(jié)合圖像討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解析：

(1)解當(dāng)<2=2時(shí)，/(x)=lnx-x+l所以/④一彳-(x>0),

當(dāng)時(shí)，當(dāng)xe（L+a））時(shí)/,?＜0；

故〃x）在上單調(diào)遞增，在（L+ao）上單調(diào)遞減.

⑵證明：記/1）=晨力“一（"

由題意即證，當(dāng)口＞2時(shí)，gS）＜°.

又Wa3（。＞2）,

a4

iBA（a）=a-2（a-l）?則*（a）=2a（lT）＜0

所以g'g）＜°在⑵珂上恒成立，則以“）在⑵對(duì)上單調(diào)遞減,

g（a）＜g⑵=37＜0,即證

(3)由題意,

①若。<0,則/(x)>°,故〃x)在(。,+8)上單調(diào)遞增,

/川，1/<。7

/(1)=1-->0

又因?yàn)镮J八)

,且a

由零點(diǎn)存在性定理知，/(X)在(史8°)上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

/1(x)>0則小)在卜用

xe

②若a>0,當(dāng)上單調(diào)遞增;

當(dāng)叫5巧,則上)在I上單調(diào)遞減，

所以，”=5是〃x)在(。,+?)上的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn),/㈤.務(wù)%

(i)當(dāng)<2<,即0vav2,〃x)<°恒成立，則〃x)在(9*8)上無零點(diǎn);

烏=]

(ii)當(dāng)廠，即a=2,〃x)x=。，則/(x)在上有一個(gè)零點(diǎn);

->1③〃x)=ln->0

(iii)當(dāng)2,即a>2,'&2

a-4<1<—<etfH(a\=a——/Z'(a)=etf——>0

而當(dāng)a>2時(shí)，有2,理由如下：令''2(a>2),則'/2,

a

所以及㈤在⑵網(wǎng)上單調(diào)遞增，“(“)>碼2)=即2c,

/(」)=(lr)-尹<0由⑵知小)<0而小卜吟。,

由/(x)在(0,+00)上的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理可知，/(x)分別在I切和15,1上各有一個(gè)零

點(diǎn)，即〃x)在(°*)上有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)，<0或煤=2時(shí)，/（X）在（。,+00）上有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)a>2時(shí)，/㈤在（史8°）上有兩個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)Ova<2時(shí),/㈤在（。,+00）上沒有零點(diǎn)

=W=i1

14、在平面直角坐標(biāo)系x，中，橢圓C：a1b1（a>i>0）的離心率為2,連接橢圓C的四個(gè)頂

點(diǎn)所形成的四邊形面積為

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓C上點(diǎn)N到定點(diǎn).（科0）（0<m<2）的距離的最小值為1,求m的值及點(diǎn)N的坐標(biāo);

（3）如圖，過橢圓C的下頂點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓C于點(diǎn)M,",設(shè)直線的

*2-1

y=-------x▲

斜率為上,直線八k分別與直線和交于點(diǎn)尸，Q.記A4MM,A4PQ的面積分別為

邑=竺

5，”,是否存在直線］,使得565?若存在，求出所有直線/的方程；若不存在，說明理由.

【考點(diǎn)】

立+Jl=—x=2電

【答案】（1）43—（2）m的值為2,點(diǎn)"的坐標(biāo)為（Z°）（3）"―33

協(xié)=1

{-a=2*J=Z

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意列出式子7ab=4瓜解得〃=從而得到橢圓方程；（2）根

MNi=—x2-2/nx+mJ+3

據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距公式得到4,研究這個(gè)函數(shù)的最值即可；（3）聯(lián)立直線和橢圓得到二

-AMAN

品-APAQ沖卜㈤

次方程，2,將面積比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比代入即可。

解析：

22

Va-b=1

{-a=2"{"=2

(1)由題意得：必必=4疽解得6=百，

史+區(qū)=1

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為43.

(2)設(shè)M"),由定點(diǎn)"(見°),考慮距離的平方:

MN2=(x-wi)3+)2=(x-ffi)J+31-—j=yx2-Imx+m2+3

則4/4

二次函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為x=4附,

由橢圓方程知一2《*42,

由題設(shè)知0<4附<8,

I

①當(dāng)0v4附42,即<加5時(shí)，在x=4用時(shí)有相二=一3，+3=1

21

mr2=—>—

解得34,不符合題意，舍去;

②當(dāng)4附>2,即5Vm<2時(shí)，由單調(diào)性知：在為=2時(shí)有％/=析2_巾+4=1

解得附=1或附=3(舍).

綜上可得：用的值為2,點(diǎn)N的坐標(biāo)為僅°).

(3)由(1)知，"(°'一道)，則直線⑷/的方程為)=%-后,

y=b-5,

y18

聯(lián)立4消去y并整理得(3+4爐)--8、%=0,解得X“一3+軟】；

1C-8顯

-y=—x-凸=——-—

直線加的方程為k,同理可得3上1+4.

y=ht-H?

｛-*3-1=_更

聯(lián)立y―一解得與＜=屜，同理可得“一k,

1,8SQ8V3*

._5_除卜|*_3+4/r/+4________竺

邑^APAQ-岳至（3+40物+4）65

所以2k

/=-

即業(yè)，-1。爐+3=0,解得/=3或3,

.2-12620

所以上一3或3,

2026

.v=----xv=----X

故存在直線L3,3滿足題意.

=9-血

15、已知數(shù)列｛蝠滿足4=1,14-%（"為正整數(shù)）.

（1）求，，％,4并猜想出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的結(jié)論.

【考點(diǎn)】

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）寫出數(shù)列中的幾項(xiàng)，通過觀察找出規(guī)律，歸納出通項(xiàng)；（2）根據(jù)數(shù)序歸納法的

步驟，①當(dāng)"=1時(shí)，猜想成立，②假設(shè)當(dāng)〃=上QwN"）時(shí)，猜想成立；證明即可。

解析：

9一%…1

aa￥1=------=2+-----

（1）由4-，4-4,

⑵設(shè)/㈤的導(dǎo)函數(shù)是,'（X）,在⑴的條件下，若m「e[一L1],求/⑹+尸⑺

同理可求｛I

的最小值.

【考點(diǎn)】

【答案】(1)a=2(2)-11.

_/"'(1)=tan—=1

【解析】試題分析：(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到4，，-3+%=1,即a=2；(2)

根據(jù)題意寫出和/'(切的表達(dá)式，分別求兩者的最值即可。

解析：

(1)/'(x)=Tf+2ax，據(jù)題意，/°)-由彳一).?.-3+方=1,即a=2.

(2)由(1)知/㈤—+以一則1(X)=-3/+4X.

.對(duì)于/㈣最小值為〃°)=T

=2

...1(x)=-3x?+4x的對(duì)稱軸為X-§,且開口向下，

x€[-L1]時(shí)，最小值為/'(-1)與/'①中較小的.

.?/,(1)=17(-1)7.當(dāng)xe[-Ll]時(shí)，/'(x)的最小值為-7.

.當(dāng)”e[-U]時(shí)/'㈤的最小值為-7,

.小)+/'("的最小值為TL

17、試用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笞C下列命題：

(1)求證：*-2右＞百-Y于；

11

(2)求證：1,、粒，后不可能是同一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng).

【考點(diǎn)】

【答案】(1)見解析(2)見解析

1

【解析】試題分析：(1)分析法入手，從要證的結(jié)果入手，兩邊移項(xiàng)平方即可；(2)反證法假設(shè)1,&,

1

指是同一個(gè)等差數(shù)列4=w+g(p*°)中的尢'加'再三項(xiàng)，最后推出矛盾即可。

解析:

（1）要證明-2^2》后一6