特色題型專練06 最值問題-四邊形（解析版）（江蘇專用）

中考特色題型專練之最值問題——四邊形題型一、將軍飲馬(最小值)1．如圖，菱形中，是的中點，是對角線上的一個動點，若的最小值是，則長為（

）A．2 B．1 C． D．3【答案】A【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，軸對稱最短路徑問題，連接，由菱形的性質(zhì)得到，垂直平分，則，故當三點共線時，最小，即此時最小，則；證明是等邊三角形，得到，，求出，則．【詳解】解：如圖所示，連接，由菱形的性質(zhì)可得，垂直平分，∴，∴，∴當三點共線時，最小，即此時最小，∴，∵，∴是等邊三角形，∵是的中點，∴，，∴，∴，故選；A．2．如圖，在邊長為2的正方形中，點Q是的中點，點P是對角線上一動點，連接，，則周長的最小值是（

）

A．5 B． C．8 D．【答案】D【分析】本題考查了正方形的對稱性，線段和最小，勾股定理，根據(jù)正方形性質(zhì)，得到點B與點D是對稱點，連接，交于點P，此時周長最小，結合邊長為2的正方形中，點Q是的中點，得到，根據(jù)勾股定理計算即可．．【詳解】∵邊長為2的正方形中，點Q是的中點，∴，點B與點D是對稱點，

連接，交于點P，此時周長最小，∴，∴周長的最小值是，故選D．3．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點在線段上，則的最小值是．【答案】5【分析】先求出，，，過點B、C分別作x軸、y軸的垂線，兩線交于點T，連接，證明四邊形是正方形，且，即有點O與點T關于直線對稱，則有，當A、P、T三點共線時最小，即最小，最小值為，問題隨之得解．【詳解】解：在中，當時，，∴，∴；當時，，解得：，，∴，，∴，；過點B、C分別作x軸、y軸的垂線，兩線交于點T，連接，如圖，∴，，∵，，∴四邊形是正方形，且，∴點O與點T關于直線對稱，∴，∴，∴當A、P、T三點共線時最小，即最小，最小值為，∵，，∴的最小值，故答案為：5．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何綜合，考查了二次函數(shù)與坐標軸交點的問題，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)等知識，證明四邊形是正方形，且，得出點O與點T關于直線對稱，是解題的關鍵．4．如圖，在正方形中，是上一點，，，則，若是上一動點，則的最小值是．【答案】810【分析】首先根據(jù)題意解得、的值，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求得的值；連接，交于，連接，則此時的值最小，由題意易知關于對稱，進而可得，所以，利用勾股定理解得的值，即可獲得答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵四邊形為正方形，∴；如下圖，連接，交于，連接，則此時的值最小，∵四邊形是正方形，∴關于對稱，∴，∴，∵，，∴，故的最小值是10．故答案為：8，10．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、最短路徑問題、軸對稱對稱的性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作出輔助線是解題關鍵．題型二、中位線最值1．如圖，在菱形中，E，F(xiàn)分別是邊，上的動點，連結，，G，H分別為，的中點，連結．若，，則的最小值為（）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】連接，利用三角形中位線定理，可知，求出的最小值即可解決問題．【詳解】解：連接，如圖所示：四邊形是菱形，，，分別為，的中點，是的中位線，，當時，最小，得到最小值，則，，，，即的最小值為，故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、勾股定理、垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線．2．如圖，在菱形中，E，F(xiàn)分別是邊CD，上的動點，連接，，G，H分別為，的中點，連接．若，，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，利用三角形中位線定理，可知，求出的最小值即可解決問題．【詳解】解：連接，如圖所示：∵四邊形是菱形，，，分別為，的中點，是的中位線，，當時，最小，得到最小值，則，，是等腰直角三角形，，，即的最小值為，故選：D．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．3．如圖，在中，，，點，分別是邊，上的動點，連接，，點為的中點，點為的中點，連接，則的最大值與最小值的差為.【答案】【分析】連接，過A作于M；由題意得，則可求得的長，從而由勾股定理求得；由三角形中位線定理得，當G與C重合時，最長；當G與M重合時，最短，從而可求得的最大值與最小值的差．【詳解】解：如圖，連接，過A作于M；則；∵四邊形是平行四邊形，且，∴，∴；∴；∵，∴，∴，由勾股定理得：，∴，由勾股定理得；∵點為的中點，點為的中點，∴；當G與C重合時，最長且為，此時；當G與M重合時，最短且為，此時；∴的最大值與最小值的差為．故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，三角形中位線定理．連接利用三角形中位線定理是關鍵．4．如圖，在菱形中，，，E，F(xiàn)分別是過，上的動點，連接，，G，H分別為，的中點，連接，則的最小值為．【答案】【分析】連接，利用三角形中位線定理，可知，求出的最小值，當時，根據(jù)垂線段最短，即可解決問題．【詳解】解：連接，如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，∵G，H分別為，的中點，∴是的中位線，∴，當時，最小，得到最小值，則，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，即的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．題型三、兩動一定1．已知矩形中，，M，N分別是上的動點，則的最小值為（）A．6 B． C．9 D．12【答案】C【分析】作點關于的對稱點，交于點，連接，先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)兩點之間線段最短、垂線段最短可得當時，取得最小值，取得最小值，然后根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，交于點，連接，

由軸對稱的性質(zhì)得：，，由兩點之間線段最短得：當點共線時，取最小值，最小值為，由垂線段最短得：當時，取得最小值，在矩形中，，，∴，∴，，在中，，，又，，故的最小值為9．故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)等知識點，利用兩點之間線段最短和垂線段最短得出當時，取得最小值是解題關鍵．2．如上圖所示，矩形，，，點是邊上的一個動點，點是對角線上一個動點，連接，，則的最小值是（

）

A．6 B． C．12 D．【答案】B【分析】作點關于的對稱點，過點作于點，交于點，即可得到的最小值為，再解直角三角形即可解答．【詳解】解：作點關于的對稱點，過點作于點，交于點，如圖：

由對稱性可得，，當，，三點共線，且時，即點在點處，點在點處時，的值最小．，，，，，，，．故選：B．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)和線段和最小值問題，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵在于作出適當?shù)妮o助線．3．如圖，在矩形中，，，點E、F分別為、邊上的點，且的長為4，點G為的中點，點P為上一動點，則的最小值為．【答案】/【分析】本題考查了利用軸對稱求最短路徑，解題關鍵利用軸對稱和直角三角形的性質(zhì)確定最短路徑．作點A關于的對稱點H，連接，，，可知當H、P、G、D共線時，最小，求出、長即可．【詳解】解：作點A關于的對稱點H，連接，，，如圖所示：∵，∴當H、P、G、D共線時，最小，∵，，∴，，∵的長為4，點為的中點，∴，∴，故答案為：．4．如圖，在正方形中，點E在邊上，，點P、Q分別是直線上的兩個動點，將沿翻折，使點A落在點F處，連接，若正方形的邊長是6，則的最小值是．【答案】【分析】此題考查了翻折變換、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是利用軸對稱，根據(jù)兩點之間線段最短解決最短問題．作點D關于的對稱點，連接，由軸對稱可知，，，又，即可推出當共線時，定值最小，最小值為．【詳解】解：如圖，作點D關于的對稱點，連接，在中，∵，，∴，由軸對稱可知，，∴，∵，當共線時，定值最小，最小值為，∴的最小值是，故答案為：題型四、兩定一定長1．如圖，，，為中點，長為1的線段（點在點的下方）在直線上移動，連接，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，作點關于的對稱點，作，使得，連接交于，在的延長線上，取點，使得，連接．，此時的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，作點關于的對稱點，作，使得，連接交于，在的延長線上，取點，使得，連接．，此時的值最?。?，，四邊形是平行四邊形，，，關于對稱，，，，此時的值最小，最小值，故選：B．【點睛】本題考查軸對稱最短問題，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱添加輔助線，構造特殊四邊形解決最短問題，屬于中考常考題型．2．如圖，在邊長為10的正方形對角線上有E，F(xiàn)兩個動點，且，點P是中點，連接，則最小值為（

）

A． B． C． D．10【答案】A【分析】取的中點Q，連接，，證明四邊形為平行四邊形，求出，最后用勾股定理求出最小值.【詳解】解：取的中點Q，連接，，如下圖所示：

∵正方形的邊長為10，∴,，∵是正方形的對角線，∴，∵是的角平分線，∴，∵，，∴，∴，∵，即，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴當A、E、Q三點共線時，的值最小，最小值就是的長，∵點Q時的中點，∴，由勾股定理得，，故選：A．【點睛】本題考查三角形中位線，勾股定理的知識，掌握性質(zhì)是解題的關鍵.3．如圖，在矩形中，，，點分別是上的點，，垂足為點，連接，則的最小值為．【答案】/【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的三邊關系，勾股定理，分別以為邊作平行四邊形，連接，過點作交于點，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可，根據(jù)題意正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：分別以為邊作平行四邊形，連接，過點作交于點，則，，∵，，∴，∵，，，∴∵，∴，∴，即，解得，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴的最小值為，故答案為：．4．如圖，在矩形中，，，點在邊上，，若點、分別為邊與上兩個動點，線段始終滿足與垂直且垂足為，則的最小值為．【答案】【分析】過點作于點．利用相似三角形的性質(zhì)求出，設，則，，，求的最小值，相當于在軸上找一點，使得點到，的距離和最小，作點關于軸的對稱點，連接，則，由，可得結論．【詳解】解：如圖，過點作于點．四邊形是矩形，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，設，則，，，欲求的最小值，相當于在軸上找一點，使得點到，的距離和最小，如圖1中，作點關于軸的對稱點，連接，，，，，的最小值為，的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，軸對稱最短問題，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．題型五、兩點最值1．如圖，矩形中，，，點E在邊上，且，F(xiàn)為邊上的一個動點，連接，過點E作交直線于點G，連接，若P是的中點，則的最小值為（

）

A． B．6 C．5 D．【答案】A【分析】先找出P點的運動軌跡.作于，連接交于點O，作交的延長線于.當F點與A點重合時，G點與點重合，此時P點與O點重合.當F點與B點重合時，G點與點重合，此時P點與C點重合，因此P點的運動軌跡就是線段當時，的值最小.由,列比例式求出的長即可.【詳解】

解：∵四邊形是矩形，且當點F與點A重合時，作于則四邊形是矩形.連接交于點O，則O點是的中點，也是的中點，此時，P點與O點重合.當F點與B點重合時，作交的延長線于，，.又，，.

，，解得.設的中點為,則，∴點與C點重合，∴P點的運動軌跡是線段.當時，的值最小.∵O點是的中點，C點是的中點，∴是的中位線．∴，，.，，，.

，

.，解得.故選：A.【點睛】本題是一道矩形中的動點問題，難度較大.主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強.解題的關鍵是要找出P點的運動軌跡.2．如圖，在矩形ABCD中，，P是對角線AC上的動點，連接DP，將直線DP繞點P順時針旋轉，使旋轉角等于，且，即．連接CG，則CG最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作于H，連接HG延長HG交CD于F，作于H，證明，得=定值，則點G在射線HF上運動，故當時，CG的值最小，再證，可知，利用等積法求出HE的長即可．【詳解】解：如圖，作于H，連接HG延長HG交CD于F，作于E，∵四邊形ABCD為矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴=定值，∴點G在射線HF上運動，∴當時，CG的值最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，在中，∵，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴CG的最小值為．故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、旋轉的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，作輔助線構造相似三角形得出點G的運動路徑是解題的關鍵．3．如圖，在矩形中，，．點E是上的動點，點F是線段上的點，且，，相交于點P，則的最大值為，最小值為．【答案】【分析】設，可得，，由矩形性質(zhì)可得，推出，求得，由勾股定理可得，推出，令，則，得出，即可求得答案．【詳解】解：設，∵，∴，∴，∵四邊形是矩形，，，∴，，，，∴，，即，∴，在中，，∴，令，則，∴，∵，即，∴，∴，即，∴當時，即時，取得最大值，最大值為：；當時，即時，取得最小值，最小值為：；故答案為：，．【點睛】本題考查了矩形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)等，熟練運用相似三角形性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵．4．如圖，正方形的邊長為4，E是邊上的一點，連接，過B點作于點F，點G與F關于對稱，H為的中點，則的最小值為．

【答案】/【分析】將正方形沿著翻折得正方形，連接，，以為直徑作，連接并延長至，使，連接，根據(jù)三角形中位線定理可得，當最小時，的值最小．由點G在以為直徑的上運動，當且僅當三點共線時，的值最小，過點O作，過點M作的平行線交于，延長交于K，可證得，四邊形是矩形，可得，再運用勾股定理即可求得答案．【詳解】解：將正方形沿著翻折得正方形，連接，，以為直徑作，連接并延長至，使，連接，如圖，

∵點為的中點，A點為的中點，∴，當最小時，的值最?。撸cG與F關于對稱，∴，即，∴點G在以為直徑的上運動，當且僅當三點共線時，的值最小，過點O作，過點M作的平行線交于，延長交于K，則，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴?！喙蚀鸢笧椋骸军c睛】本題是正方形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì)等，涉及知識點較多，綜合性較強，屬于填空壓軸題．題型六、平行線之間距離最短1．如圖，在中，，，，點在上，以為對角線的所有中，對角線的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由平行四邊形的對角線互相平分、垂線段最短知，當時，取最小值，則是的中位線，得出，即可得出答案．【詳解】解：在中，，．四邊形是平行四邊形，，．當時，線段最短，，是的中位線，，．故選：．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理以及垂線段最短．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理是解題的關鍵．2．如圖，在中，，，，點D在上，以為對角線的所有平行四邊形中，的最小值是（

）A．3 B．6 C．8 D．【答案】A【分析】根據(jù)點到直線垂線段最短及平行線間距離處處相等，結合勾股定理即可得到答案．【詳解】解：∵，，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴當時，最小，∵，∴四邊形是矩形，∴，故選A．【點睛】本題考查矩形判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理及點到直線垂線段最短，解題的關鍵是掌握點到直線垂線段最短．3．如圖，在中，，，，點是線段上一動點，以，為鄰邊作，則對角線的最小值是【答案】【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理；平行四邊形的對角線的交點是的中點，當時，最小，即最小，根據(jù)三角形中位線定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，設交于點，∵平行四邊形的對角線的交點是的中點，∴當時，最小，即最小．在中，，，，，，又，是的中位線，，．故答案為．4．如圖，三角形材料，，，，點D在邊上，添加一塊三角形材料，加工成的材料，則的對角線的最小值是．

【答案】3【分析】根據(jù)勾股定理求出，易得，則當時，取最小值，根據(jù)平行線間的距離處處相等，即可得出．【詳解】解：∵，，，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴當時，取最小值，∵，∴，故答案為：3．【點睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，平行線間的距離處處相等，解題的關鍵是掌握直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方；平行四邊形對邊互相平行；平行線間的距離處處相等．題型七、斜中定值最值1．如圖，在平面直角坐標系中，正方形的兩個頂點A、B是坐標軸上的動點，若正方形的邊長為4，則線段長的最大值是()

A． B． C． D．8【答案】B【分析】取的中點E，連接，則，根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理得出，，結合圖形得出當點E在線段上時，線段的長最大，即可求解．【詳解】解：如圖，取的中點E，連接，則，

∵四邊形是正方形，邊長為4，∴，則，在中，，由勾股定理，得，∵在中，，點E是斜邊的中點，∴，由圖可知：，當點E在線段上時，線段的長最大，最大值是，故選B．【點睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，勾股定理解三角形及三角形三邊關系，理解題意，熟練掌握運用這些知識點是解題關鍵．2．如圖，已知，線段長為6，兩端分別在、上滑動，以為邊作正方形，對角線、相交于點，連接．則的最大值為（）

A． B．8 C． D．9【答案】C【分析】取的中點，連接、，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可求得，再根據(jù)勾股定理求得，即可根據(jù)“兩點之間線段最短”得，則的最大值為，于是得到問題的答案．【詳解】解：取的中點，連接、，

，線段長為6，，四邊形是正方形，，，，，，的最大值為，故選：C．【點睛】此題重點考查正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．3．如圖，，矩形的頂點，分別是兩邊上的動點，已知，點，之間距離的最大值是．

【答案】【分析】如圖所示，取的中點，連接，，利用勾股定理求出的長，再確定最大時的條件，即可求出答案．【詳解】如圖所示，取的中點，連接，，

∵四邊形是矩形，∴，∵是的中點，∴，∴，∵，是的中點，∴，∵，∴當點，，三點共線時，有最大值，∴最大值，故答案為：．【點睛】此題考查了矩形性質(zhì)及三角形的三邊性質(zhì)，確定最值條件是解題的關鍵．4．如圖，已知，線段長為6，兩端分別在、上滑動，以為邊作正方形，對角線、相交于點，連接，則的最大值為．【答案】/【分析】取中點，連接，，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出，根據(jù)，可得，，三點共線時，取最大值，最大值為．【詳解】解：取中點，連接，，正方形，，點是中點，，，，，，點是中點，，，當，，三點共線時，取最大值，最大值為．故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，利用三角形三邊關系求線段的最值等，解題的關鍵是正確作出輔助線．題型八、矩形對角線最值1．如圖，中，，，，是上的動點，過點作于點，于點，連接，則線段的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，連接，可證四邊形是矩形，可得，當時，的值最小，即線段有最小值，在中，可求出的值，根據(jù)等面積法即可求出的值，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，

∵，，，∴四邊形是矩形，∴，當時，的值最小，即線段有最小值，在中，，，，∴，∵，∴是斜邊的高，∴，∴，∴線段的最小值是，故選：．【點睛】本題主要考查線段最小值的計算，等面積法求三角形的高，掌握矩形的判定和性質(zhì)，線段最小值的轉換方法，等面積法求高是解題的關鍵．2．如圖，在中，，，，M為斜邊上一動點，過M作于點D，過M作于點E，則線段的最小值為（

）

A． B．5 C． D．2.5【答案】A【分析】連接，先證明四邊形是矩形，得出，再由三角形的面積關系求出的最小值，即可得出結果．【詳解】解：連接，如圖所示：

∵，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，，，∴，當時，最短，此時的面積，∴的最小值，∴線段的最小值為，故選：A．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形面積的計算方法；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵．3．如圖，在中，，且，，點是斜邊上的一個動點，過點分別作于點，于點，連接，則線段的最小值為．【答案】/【分析】連接，由勾股定理求出的長，再證明四邊形是矩形，可得，根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問題．【詳解】解：連接，如圖，，且，，，，，，四邊形是矩形，，當時，的值最小，此時，的面積，，的最小值為；故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．4．如圖，在正方形中，點E在對角線上，于點F，于點G，連接，若，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，點到直線垂線段最短，勾股定理，連接，根據(jù)，結合正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)垂線段最短，可知當時，最小，得出是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，∵四邊形是正方形，∴．又于點F，，∴四邊形是矩形．∴．當最小時，就最?。鶕?jù)垂線段最短，可知當時，最小．當時，在正方形中，是等腰直角三角形，在中，根據(jù)勾股定理可得，解得．故答案為：．題型九、費馬點1．如圖，矩形ABCD中，，BC＝3，P為矩形內(nèi)一點，連接PA，PB，PC，則PA＋PB＋PC的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將△BPC繞點C逆時針旋轉60°，得到△EFC，連接PF、AE、AC，則AE的長即為所求．【詳解】解：將△BPC繞點C逆時針旋轉60°，得到△EFC，連接PF、AE、AC，則AE的長即為所求．由旋轉的性質(zhì)可知：△PFC是等邊三角形，∴PC=PF，∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴當A、P、F、E共線時，PA+PB+PC的值最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴，∴AC=2AB，∴∠ACB=30°，，∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴，故選：D．【點睛】本題考查利用旋轉變換解決最短路徑問題，兩點之間線段最短、矩形的性質(zhì)、旋轉變換等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．2．如圖，在矩形中，，，為矩形內(nèi)一點，連接，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將△BPC繞點C逆時針旋轉60°，得到△EFC，連接PF、AE、AC，則AE的長即為所求．【詳解】解：如圖，將△BPC繞點C逆時針旋轉60°，得到△EFC，連接PF、AE、AC，則AE的長即為所求．由旋轉的性質(zhì)可知：△PFC是等邊三角形，∴PC=PF，∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴當A、P、F、E共線時，PA+PB+PC的值最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴tan∠ACB=，∴∠ACB=30°，AC=2AB=，∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴AE=．故選A．【點睛】本題考查軸對稱?最短問題、矩形的性質(zhì)、旋轉變換等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．3．如圖，在菱形中，點P為對角線上的動點（不與端點重合）．過點P作于點M，于點N，連接，已知，，則的最小值等于．【答案】/【分析】過點P作，垂足為，過點D作，垂足為，交于點，連接，交于點，連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到，，由，，結合，推出點三點共線，即是定值，當點三點共線時，即點G，M重合，有最小值，最小值為的長，進而得到有最小，最小值為，根據(jù)，，求出，利用菱形的面積公式即可求出，由菱形的性質(zhì)，易證，利用三角形的性質(zhì)得到，即可求解．【詳解】解：過點P作，垂足為，過點作，垂足為，交于點，，連接，交于點，是菱形，，，，，，，，三點共線，即是定值，當點三點共線時，即點G，M重合，有最小值，最小值為的長，有最小，最小值為，，，，，，，，菱形的面積為：，，，，，，，，，即，，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，對稱的性質(zhì)，正確做出輔助線證明三角形相似是解題的關鍵．4．如圖，設是邊長為1的正方形內(nèi)的兩個點，則的最小值為．【答案】/【分析】將繞點A順時針旋轉至，將繞點D逆時針旋轉至，則和是正三角形，進而可證當六點共線時的值最小．連接，則和是等邊三角形，然后分別求出的值即可．【詳解】解：將繞點A順時針旋轉至；將繞點D逆時針旋轉至，∴，，，，∴和都是等邊三角形，∴，，，∴，∴當六點共線時的值最?。B接，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴在的垂直平分線上，同理可證，∴在的垂直平分線上，∵四邊形是正方形，∴，∴垂直平分，∴，四邊形是矩形，∴，，∴，同理可求，∴，即的值最小為．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．題型十、隱直線A1．如圖，在矩形中，，動點滿足，則點P到兩點距離之和的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過P點作，交于M，交于N，作A點關于的對稱點，連接交于點P，即為所求，由面積關系可得，在中求出即可．【詳解】解：過P點作，交于M，交于N，作A點關于的對稱點，連接交于點P，

∴，此時的值最小，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，在中，．故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點．2．如圖，在長方形中，，，動點P滿足，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查矩形性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)題意先求出的面積，再利用作對稱分析線段相加最小值后用勾股定理即可求出本題答案．【詳解】解：設中邊上的高是，∵在長方形中，，，∴，∵，∴，∴，即，∴動點P在與平行且與的距離是2的直線上，如圖，作關于直線的對稱點，連接，則即為最短距離，

，在中，∵，，∴，∴的最小值為，故選：A．3．如圖，是長方形內(nèi)部的動點，，的面積等于9，則點到兩點距離之和的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)三角形的面積，計算出三角形BPC的高，由此得出P點的運動軌跡是平行于BC的線段MN上，找到C點關于MN的對稱點E，連接BE，BE的長度即為，此時線段最短.【詳解】解：∵的面積等于9,BC=6，∴PE=9×2÷6=3，即△BPC得高為3，P點在長方形內(nèi)部且平行于BC的線段MN上，CM=3，延長CD到E使ME=MC，此時PC=PE連接BE交MN與點P此時最短，且=BE在Rt△BCE,所以BE=故答案為【點睛】本題考查了特殊平行四邊形動點問題，求線段最值，解決本題的關鍵是熟練掌握最短路徑問題模型，根據(jù)題意找到切入點，能夠正確運用勾股定理計算直角三角形中的邊長問題.4．如圖，動點P在矩形內(nèi)運動，，，且滿足，的最小值是．

【答案】【分析】首先由，得出動點P在與平行且與的距離是3的直線上，作關于直線的對稱點E，連接，連接，則的長就是所求的最短距離，然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值．【詳解】設中邊上的高是h，則，解得，∴動點P在與平行且與的距離是3的直線上，作關于直線的對稱點E，連接，連接，則的長就是所求的最短距離，如圖：

在中，，，∴，即的最小值是；故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短的性質(zhì)．得出動點P所在的位置是解題的關鍵．題型十一、折疊圓1．如圖，在矩形中，，，點為邊上的動點，將沿折疊到，則在點的運動過程中，的最小值是（）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】先判斷出時，最小，最后用勾股定理即可得出結論．【詳解】解：如圖，由折疊知，，，當時，最小，即，∵，∴，∴點，，在同一條直線上時，最小，由折疊知，，在中，，，∴，∴．故選：A．【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟記折疊的性質(zhì)是解題的關鍵．2．如圖，在平行四邊形中，，，，是邊的中點，是線段上的動點，將沿所在直線折疊得到，連接，則的最小值是（

）

A． B．6 C．4 D．【答案】D【分析】如圖，的運動軌跡是以E為圓心，以的長為半徑的圓．所以，當點落在DE上時，取得最小值．過點D作交延長線于G，解,得，，進一步求得，從而解得．【詳解】解：如圖，的運動軌跡是以E為圓心，以的長為半徑的圓．所以，當點落在DE上時，取得最小值．

過點D作交延長線于G，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴∴，∵E是的中點，，∴，∴∴由折疊的性質(zhì)可知∴．故選D．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、兩點之間線段最短的綜合運用，確定點在何位置時，的值最小，是解決問題的關鍵．3．如圖，在矩形中，，P是邊上的一點，且，E是線段上的一個動點，把沿折疊，點C的對應點為F．當點E與點D重合時，點F恰好落在邊上，則的最小值是．【答案】/【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，圓外一點到圓的最小距離等，當點E與點D重合時，點F恰好落在邊上，畫出圖形，由勾股定理解，求出的長，再根據(jù)，點P為定點，可知點F和點C在以點P為圓心，5為半徑的圓上，連接，與交點即為所求點F．【詳解】解：矩形中，，，，，．當點E與點D重合時，點F恰好落在邊上，如下圖所示：設，由折疊的性質(zhì)可知：，，在中，由勾股定理得，，，在中，由勾股定理得，，解得，．，點P為定點，點F和點C在以點P為圓心，5為半徑的圓上，如圖，連接，與交點即為所求點F，，，，，故答案為：．4．如圖，矩形中，，，是邊上一點，將沿折疊，使點落在點處，連接．則的最小值為．【答案】/【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、以及勾股定理，利用折疊的性質(zhì)即可知道長度不變，當、、在同一直線上時，的值最小，再根據(jù)勾股定理求得的值，即可求得的最小值．【詳解】解：由折疊知，點在以點為圓心，為半徑的圓弧上，所以當、、在同一直線上時，的值最小，矩形中，，，,在中，由勾股定理可得：，的最小值為：，故答案為：．題型十二、直角圓1．如圖，為正方形的邊上一動點，，連接，過作交于，交于，連接，當為最小值時，的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和相似三角形的性質(zhì)與判定等知識，靈活運用這些知識是解題的關鍵．以AB為直徑畫圓，G在圓O上，當O、G、C共線時，CG為最小值，然后運用勾股定理和相似三角形的知識解答即可．【詳解】解：如圖：以AB為直徑畫圓，G在圓O上，∵∠AGB=90°，∴當O，G，C共線時，CG有最小值，∵CG=又∵∠CGH=∠AGO=∠OAG=∠CBF，∴∠CBF=∠CGH，又∵∠BCD=∠BCD，∴△CGH∽△CBG，∴∴故答案為C．

2．如圖，正方形的邊長為4，點E是邊上的一動點，點F是邊上的一動點，且，與相交于點P，連接，在F運動的過程中，的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定性質(zhì)，利用證明，確定點P在以的中點O為圓心，以為半徑的正方形內(nèi)部的圓弧上，根據(jù)圓的性質(zhì)確定最值，利用勾股定理計算即可．【詳解】如圖，∵正方形的邊長為4，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點P在以的中點O為圓心，以為半徑的正方形內(nèi)部的圓弧上，連接，交弧于點G，當點P與點G重合時，取得最小值，∵∴，故選：A．3．如圖，在邊長為1的正方形中，點，分別是邊，上的動點，且，連接，，交于點．（1）連接，則線段的最小值是；（2）取的中點，連接，則線段的最小值是．【答案】【分析】以所在的直線為對稱軸，作正方形的對稱正方形，可得，證明可得°，即點在以為直徑的圓上，從而可得最短時點在上，利用勾股定理求得，繼而求出和，的值．【詳解】解：以所在的直線為對稱軸，作正方形的對稱正方形，連接，∴，，，∵為的中點，∴為的中位線，∴，∴當最短時，最短，∵四邊形是正方形，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴點在以為直徑的圓上，∴當點在上時，最短，，∴，∴，∴，在中，，在中，，∵，∴的最小值為．故答案為：；．【點睛】本題考查對稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三