湖南省邵陽(yáng)市新寧縣靖位鄉(xiāng)聯(lián)校高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖南省邵陽(yáng)市新寧縣靖位鄉(xiāng)聯(lián)校高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量，且，則的最小值為

（

）

A．

B．

C．1

D．參考答案：D略2.已知復(fù)數(shù)z滿足為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為 （

）A．第一象限

B．第二象限

C．

第三象限

D．第四象限參考答案：A略3.若非零向量,滿足，則與的夾角為(

)A．30°

B．60°

C．120°

D．150°參考答案：C4.兩個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移后能夠重合，稱這兩個(gè)函數(shù)為“同形”函數(shù)，給出四個(gè)函數(shù)：，則“同形”函數(shù)是A.與

B.與C.與

D.與參考答案：A因?yàn)?所以,沿著軸先向右平移兩個(gè)單位得到的圖象，然后再沿著軸向上平移1個(gè)單位可得到，根據(jù)“同形”的定義可知選A.5.如圖所示，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若，則等于（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算，將用和表示，可得出和的值，由此可計(jì)算出的值.【詳解】為的中點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，所以，，，，.因此，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加減法法則，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.6.(4)

（04年全國(guó)卷III文）等比數(shù)列中，

，則的前4項(xiàng)和為（

）A.

81

B.

120

C.

D.

192參考答案：答案：B7.已知三點(diǎn)在球心為的球面上，，，球心到平面的距離為，則球的表面積為_(kāi)________．【題文】如圖，在中，，是邊上一點(diǎn)，，則=_________．參考答案：8.若k∈R，則“k＞3”是“方程﹣=1表示雙曲線”的(

) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：壓軸題．分析：根據(jù)雙曲線定義可知，要使方程表示雙曲線k﹣3和k+3同號(hào)，進(jìn)而求得k的范圍即可判斷是什么條件．解答： 解：依題意：“方程﹣=1表示雙曲線”可知（k﹣3）（k+3）＞0，求得k＞3或k＜﹣3，則“k＞3”是“方程﹣=1表示雙曲線”的充分不必要條件．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解題時(shí)要注意討論焦點(diǎn)在x軸和y軸兩種情況．9.設(shè)雙曲線的中心為點(diǎn)，若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)、所成的角為的直線和，使，其中、和、分別是這對(duì)直線與雙曲線的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.曲線，（為參數(shù)）的對(duì)稱中心（）A.在直線上 B.在直線上C.在直線上 D.在直線上參考答案：B試題分析：參數(shù)方程所表示的曲線為圓心在，半徑為1的圓，其對(duì)稱中心為，逐個(gè)代入選項(xiàng)可知，點(diǎn)滿足，故選B.考點(diǎn)：圓的參數(shù)方程，圓的對(duì)稱性，點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，容易題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)，則直線與圓有公共點(diǎn)的概率為_(kāi)______．參考答案：依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種，其中滿足直線與圓有公共點(diǎn)，即，的數(shù)組有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，……，(6,6)，共種，因此所求的概率等于．12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為＿＿＿＿＿＿＿.參考答案：13.已知，，，。根據(jù)以上等式，可猜想出的一般結(jié)論是

；參考答案：，14.不等式的解集為

。參考答案：（2,3]略15.已知函數(shù)，那么=

．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】根據(jù)所求關(guān)系式的形式可先求f（），然后求出f（x）+f（）為定值，最后即可求出所求．【解答】解：∵，∴f（）=∴f（x）+f（）=1∴f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，f（4）+f（）=1，f（1）=∴=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的值的求解，找出規(guī)律進(jìn)行解題可簡(jiǎn)化計(jì)算，當(dāng)項(xiàng)數(shù)較少時(shí)也可逐一進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題．16.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

。

參考答案：略17.已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F的一條傾斜角為30°的直線與C在第一象限交于點(diǎn)A，且|OF|＝|OA|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為_(kāi)____．參考答案：【分析】利用已知條件求出|AF|＝c，|A|＝c，利用雙曲線定義求解即可．【詳解】過(guò)F的一條傾斜角為30°的直線與C在第一象限交于點(diǎn)A，且|OF|＝|OA|＝c，令右焦點(diǎn)為E，可知焦點(diǎn)三角形AFE為直角三角形，∴∠AOx＝60°，且|AF|＝c，|A|＝c由雙曲線的定義可得|AF|﹣|A|=2，∴，即e．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，主要是離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)，，，其中，且.⑴當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；⑵求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑶設(shè)函數(shù)若對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，存在非零實(shí)數(shù)（），使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案：解⑴

（2），（）∴當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)。綜上得，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，增區(qū)間，減區(qū)間

⑶當(dāng)，在上是減函數(shù)，此時(shí)的取值集合；當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，在上是增函數(shù)，此時(shí)的取值集合；若時(shí)，在上是減函數(shù)，此時(shí)的取值集合。對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，①當(dāng)時(shí)，∵在上是減函數(shù)，則在上不存在實(shí)數(shù)（），使得，則，要在上存在非零實(shí)數(shù)（），使得成立，必定有，∴；②當(dāng)時(shí)，在時(shí)是單調(diào)函數(shù)，則，要在上存在非零實(shí)數(shù)（），使得成立，必定有，∴。綜上得，實(shí)數(shù)的取值范圍為。

略19.（本題滿分12分）已知：在直角坐標(biāo)系中，曲線Ｃ的參數(shù)方程為：為參數(shù)），以原點(diǎn)Ｏ為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．求曲線Ｃ的極坐標(biāo)方程．參考答案：由，得，兩式相除，得代入得，20.已知△ABC的面積為S，且?=S．（Ⅰ）求tan2B的值；（Ⅱ）若cosA=，且|﹣|=2，求BC邊中線AD的長(zhǎng)．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（Ⅰ）根據(jù)△ABC的面積，結(jié)合平面向量的數(shù)量積求出tanB的值，再求tan2B的值；（Ⅱ）根據(jù)tanB的值，求出sinB、cosB，再由cosA的值求出sinA，從而求出sinC=sinB，判斷△ABC是等腰三角形，求出底邊上的中線AD的長(zhǎng)．【解答】解：（Ⅰ）△ABC的面積為S，且?=S；∴accosB=acsinB，解得tanB=2；∴tan2B==﹣；（Ⅱ）∵|﹣|=2，∴||=2，又tanB==2，sin2B+cos2B=1∴sinB=，cosB=；又cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=；∵sinB=sinC，∴B=C，∴AB=AC=2，∴中線AD也是BC邊上的高，∴AD=ABsinB=2×=．21.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a＜1時(shí)，證明：對(duì)任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；分析法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類求解原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用分析法證明，把要證的不等式轉(zhuǎn)化為證明成立，即證．令g（x）=，h（x）=x﹣lnx，由導(dǎo)數(shù)求出g（x）的最大值和h（x）的最小值，由g（x）的最大值小于h（x）的最小值得答案．【解答】（1）解：由f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x，得f′（x）=（x＞0），當(dāng)a=﹣1時(shí)，f′（x）=，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，﹣2（1+a）＞0，﹣2（1+a）x2﹣x+1≥0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，﹣2（1+a）＞0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有兩根，，當(dāng)x∈（0，x1），x∈（x2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)a＞﹣1時(shí)，﹣2（1+a）＜0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有兩根，，，當(dāng)x∈（0，x2）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．（2）證明：要證f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即證lnx﹣（1+a）x2﹣x＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即，∵a＜1，∴1﹣a＞0，也就是證，即證．令g（x）=，則g′（x）=，當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，∴；令h（x）=x﹣lnx，h′（x）=1﹣，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，∴h（x）min=h（1）=1，∴成立，故對(duì)任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬難題．22.已知函數(shù)，其中m為大于零的常數(shù)（Ⅰ）討論的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況分類討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間;（Ⅱ）先根據(jù)參變分離法轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題，再根據(jù)極值點(diǎn)條件化函數(shù)為一元函數(shù)，最后利用導(dǎo)