二次函數(shù)綜合題課件

專題五二次函數(shù)綜合題類型四特殊四邊形存在性問題(8年2考)二階

綜合訓練1.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2－2ax＋c與x軸交于點A(－1，0)和點B，與y軸交于點C(0，3)，D為平面內一動點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；第1題圖解：(1)∵拋物線y＝ax2－2ax＋c與x軸交于點A(－1，0)和點B，與y軸交于點C(0，3)，∴

解得

∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝－x2＋2x＋3；第1題圖(2)如圖①，若點D的坐標為(2，0)，E，F(xiàn)為拋物線上兩點，以C，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，設點E的橫坐標為e，求e的值；第1題圖(2)∵E的橫坐標為e，∴E(e，－e2＋2e＋3)，設F(f，－f2＋2f＋3)，而C(0，3)，D(2，0)，①若EF，CD為對角線，則EF，CD的中點重合，∴

解得e＝

或e＝

；②若EC，F(xiàn)D為對角線，則

解得e＝

；③若ED，F(xiàn)C為對角線，則

解得e＝

；綜上所述，e的值為

或

或

或

；第1題圖(3)如圖②，若D為拋物線第一象限內的一個動點，直線AD，BD分別與y軸交于點E，F(xiàn)，則

是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．第1題圖(3)

是定值，設D(m，－m2＋2m＋3)，設直線AD的表達式為y＝kx＋b(k≠0)，∴

解得

∴直線AD的表達式為y＝－(m－3)x＋3－m，∴點E的坐標為(0，3－m)，同理可得，點F的坐標為(0，3m＋3)，∴FC＝3m＋3－3＝3m，EC＝3－3＋m＝m，∴

＝

＝3.第1題圖平行四邊形存在性問題平行四邊形存在性問題平行四邊形存在性問題2.(2016成都B卷28題12分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝a(x＋1)2－3與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C(0，－

)，頂點為D，對稱軸與x軸交于點H，過點H的直線l交拋物線于P，Q兩點，點Q在y軸的右側．(1)求a的值及點A，B的坐標；第2題圖備用圖解：(1)將點C(0，－

)代入y＝a(x＋1)2－3中，得－

＝a－3，解得a＝

，∴y＝

(x＋1)2－3，當y＝0時，即

(x＋1)2－3＝0，解得x1＝2，x2＝－4，∵點A在點B的左側，∴點A(－4，0)，點B(2，0)；第2題圖直線l有兩種可能情況：分別為l1和l2，設直線l1與BC交于點E，直線l2與AD交于點F，當x＝－1時，y＝－3，∴D(－1，－3)，∴DH＝3，(2)當直線l將四邊形ABCD分為面積比為3∶7的兩部分時，求直線l的函數(shù)表達式；第2題圖(2)如解圖①，連接CH.第2題解圖①∴S四邊形ABCD＝S△AHD＋S△HCD＋S△BHC＝

×3×3＋

×3×1＋

×3×

＝10，則S△BHE＝S△AHF＝

S四邊形ABCD＝3.∵AH＝BH＝3，∴點E，F(xiàn)的縱坐標為－2，由B(2，0)，C(0，－

)可得直線BC的函數(shù)表達式為y＝

x－

，令

x－

＝－2，解得x＝

，∴E(

，－2)，第2題解圖①同理，由A(－4，0)，D(－1，－3)可得直線AD的函數(shù)表達式為y＝－x－4，令－x－4＝－2，解得x＝－2，∴F(－2，－2).設直線l1的函數(shù)表達式為y＝ax＋b，將H(－1，0)，E(

，－2)代入，得解得

∴l(xiāng)1的函數(shù)表達式為＝－

x－

，同理l2的函數(shù)表達式為y＝2x＋2.綜上所述，直線l的函數(shù)表達式為y＝

x－

或y＝2x＋2；第2題解圖①

解題關鍵點分直線l與BC相交和直線l與AD相交兩種情況求解；(3)當點P位于第二象限時，設PQ的中點為M，點N在拋物線上，則以DP為對角線的四邊形DMPN能否成為菱形？若能，求出點N的坐標；若不能，請說明理由．第2題圖(3)以DP為對角線的四邊形DMPN能成為菱形．如解圖②，設lPQ：y＝kx＋k(k<0)，P(x1，

(x1＋1)2－3)，Q(x2，

(x2＋1)2－3)，聯(lián)立

整理得

x2＋(

－k)x－k－

＝0，第2題解圖②由根與系數(shù)的關系得x1＋x2＝3k－2，x1x2＝－3k－8，設點M的坐標為(x，y)，∴x＝

＝

－1，y＝＝

k2，∴M(

－1，

k2).∵ND∥PQ，∴設lDN：y＝kx＋k－3，聯(lián)立

解得

(舍去)或

∴N(3k－1，3k2－3).第2題解圖②∵四邊形DMPN是以DP為對角線的菱形，∴由菱形的性質得xP－xN＝xM－xD，即xP＝xM＋xN－xD＝

－1＋3k－1－(－1)＝

k－1，同理yP＝y(tǒng)M＋yN－yD＝

k2，代入二次函數(shù)表達式得

k2＝

(

k－1＋1)2－3，解得k＝－

或k＝

(舍去)，將k＝－

代入N(3k－1，3k2－3)中，得點N的坐標為(－2－1，1).第2題解圖②

解題關鍵點利用菱形的性質表示出點P，Q的橫、縱坐標是解題的關鍵．菱形存在性問題3.(2023雙流區(qū)二診)如圖，對稱軸為直線x＝3的拋物線y＝x2＋bx＋c與y軸交于點A(0，7)，P是拋物線上x軸上方的任意一點(不與點A重合)，點P的橫坐標為m，拋物線上點A與點P之間的部分(包含端點)記為圖象C.(1)求拋物線的表達式；第3題圖備用圖解：(1)∵拋物線的對稱軸為直線x＝3，∴－

＝3，∴b＝－6，∴拋物線表達式為y＝x2－6x＋c.將點A(0，7)代入拋物線表達式中，得7＝c，∴拋物線的表達式為y＝x2－6x＋7；(2)當m符合什么條件時，圖象C的最大值與最小值的差為9?第3題圖備用圖(2)∵y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，∴拋物線的頂點坐標為(3，－2)，當y＝7時，x2－6x＋7＝7，∴x＝0或x＝6.當m≥6時，圖象C的最小值為－2，最大值為m2－6m＋7，∴m2－6m＋7－(－2)＝9，解得m＝0(舍去)或m＝6，∴當m＝6時，圖象C的最大值與最小值的差為9；當3≤m<6時，圖象C的最小值為－2，最大值為7，∴圖象C的最大值與最小值的差為9；當0≤m＜3時，圖象C的最大值為7，最小值為m2－6m＋7，∴7－(m2－6m＋7)＝9，解得m＝3(舍去)；當m＜0時，圖象C的最小值為7，最大值為m2－6m＋7，∴m2－6m＋7－7＝9，解得m＝3－3或m＝3＋3(舍去)；綜上所述，當3≤m≤6或m＝3－3時，圖象C的最大值與最小值的差為9；第3題圖(3)如果一個四邊形的一條對角線把四邊形分割成兩個三角形，且這兩個三角形相似，我們就把這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形，已知M為直線y＝

x上的動點，過點P作PN⊥y軸于點N，連接OP，若四邊形ONPM是以OP為和諧線的和諧四邊形，求此時點M的坐標．第3題圖備用圖(3)如解圖，當四邊形ONPM是以OP為和諧線的和諧四邊形時，必然有∠OM1P＝90°或∠OPM2＝90°，且OP為∠NOM的平分線，連接NM1交OP于點B，過點M1作M1E⊥x軸于點E，過點M2作M2F⊥x軸于點F.第3題解圖點M1在直線y＝

x上，設點M1的坐標為(4a，3a)，則OM1＝5a.∵OP為∠NOM的平分線，∴PN＝PM1，ON＝OM1＝5a，設P(m，5a)，第3題解圖∵P＝(3a－5a)2＋(4a－m)2，∴(3a－5a)2＋(4a－m)2＝m2，解得m＝

a，∴點P(

a，5a)，∴直線OP的表達式為y＝2x，聯(lián)立方程組

解得或

∴點P的坐標為(1，2)或(7，14)，①當點P的坐標為(1，2)時，由

a＝1，解得a＝

，∴點M1的坐標為(

，

).根據(jù)對稱性，則OP⊥NM1，又∵PM1⊥OM1，∴△OBM1∽△OM1P，∴＝

＝

，∵OP＝，OM1＝2，PM1＝1，∴BM1＝

＝

，∴OB＝

，∵OP⊥BM1，OP⊥PM2，∴BM1∥PM2，∴＝

，∴OM2＝

.第3題解圖∵點M2在直線y＝

x上，∴點M2的坐標為(2，

)；②當點P的坐標為(7，14)時，由

a＝7，解得a＝

，∴M1(

，

)，方法同①求得點M2的坐標為(14，

)，綜上所述，點M的坐標為(

，)或(2，

)或(

，

)或(14，

).第3題解圖4.(2017成都B卷28題12分)如圖①，在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y＝ax2＋bx＋c與x軸相交于A，B兩點，頂點為D(0，4)，AB＝

，設點F(m，0)是x軸的正半軸上一點，將拋物線C繞點F旋轉180°，得到新的拋物線C′.(1)求拋物線C的函數(shù)表達式；第4題圖解：(1)∵AB＝4，且頂點D(0，4)在y軸上，∴A，B兩點關于原點對稱，∴A(－2，0)，B(2，0).設拋物線的函數(shù)表達式為y＝ax2＋4，將A(－2，0)代入，得0＝8a＋4，解得a＝－

.∴拋物線C的函數(shù)表達式為y＝－

x2＋4；第4題圖(2)若拋物線C′與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，求m的取值范圍；第4題圖(2)∵拋物線C繞點F(m，0)旋轉180°得到拋物線C′，則拋物線C′的頂點為D′(2m，－4)，開口大小不變，開口方向改變，∴二次項系數(shù)為

，∴拋物線C′的函數(shù)表達式為y＝

(x－2m)2－4；聯(lián)立

整理得x2－2mx＋2m2－8＝0，∵兩拋物線在y軸的右側有兩個不同的交點，∴b2－4ac>0，即4m2－4(2m2－8)>0，解得－2<m<2.∵

即

解得m>2，∴2＜m＜2，∴滿足條件的m的取值范圍為2<m<2；第4題圖(3)如圖②，P是第一象限內拋物線C上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點P在拋物線C′上的對應點為P′，設M是C上的動點，N是C′上的動點，試探究四邊形PMP′N能否成為正方形，若能，求出m的值；若不