高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)選考部分不等式選講2證明不等式的基本方法文市賽課公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省名師獲獎(jiǎng)?wù)n件

第二節(jié)證實(shí)不等式基本方法1/642/64【教材基礎(chǔ)回顧】1.比較法a>ba<ba=ba>ba<b3/642.綜正當(dāng)普通地,從_________出發(fā),利用_____、公理、_____、性質(zhì)等,經(jīng)過(guò)一系列_____、_____而得出命題成立,這種證實(shí)方法叫做綜正當(dāng).綜正當(dāng)又叫_________或由因?qū)Ч?已知條件定義定理推理論證順推證法4/643.分析法證實(shí)命題時(shí),從___________出發(fā),逐步尋求使它成立_________,直至所需條件為_(kāi)________或____________________(定義、公理或已證實(shí)定理、性質(zhì)等),從而得出要證命題成立,這種證實(shí)方法叫做分析法,這是一個(gè)執(zhí)果索因思索和證實(shí)方法.要證結(jié)論充分條件已知條件一個(gè)顯著成立事實(shí)5/64【金榜狀元筆記】1.證實(shí)不等式基本方法(1)比較法:作差(商)比較法.(2)綜正當(dāng):由因?qū)Ч?(3)分析法:執(zhí)果索因法.6/642.常見(jiàn)結(jié)論(1)a2≥0(a∈R).(2)(a-b)2≥0(a,b∈R),其變形有a2+b2≥2ab,≥ab,a2+b2≥(a+b)2.(3)若a,b為正實(shí)數(shù),則尤其地,≥2.(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca.7/64【教材母題變式】1.已知a,b∈R+且a≠b,求證:a5+b5>a3b2+a2b3.【證實(shí)】因?yàn)閍5+b5-(a3b2+a2b3)=a5-a2b3+b5-a3b2=a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)2(a2+ab+b2)(a+b),8/64又因?yàn)閍≠b,所以(a-b)2>0,又a,b∈R+,所以a2+ab+b2>0,a+b>0,故(a-b)2(a2+ab+b2)(a+b)>0,即a5+b5>a3b2+a2b3.9/642.已知a>0,b>0,c>0,且a,b,c不全相等,求證:10/64【證實(shí)】因?yàn)閍,b,c∈(0,+∞),所以

同理

因?yàn)閍,b,c不全相等,所以上述三個(gè)不等式中最少有一個(gè)等號(hào)不成立,三式相加,得>2(a+b+c),即>a+b+c.11/643.求證:【證實(shí)】

故原不等式成立.12/644.已知a>0且a≠1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),試比較P,Q大小.【解析】P-Q=loga(a3+1)-loga(a2+1)=當(dāng)0<a<1時(shí),0<a3+1<a2+1,0<<1,所以

即P-Q>0,所以P>Q.13/64當(dāng)a>1時(shí),a3+1>a2+1>0,>1,所以

即P-Q>0,所以P>Q.所以,總而言之,P>Q.14/64【母題變式溯源】題號(hào)知識(shí)點(diǎn)源自教材1作差法比較大小P21·例12綜正當(dāng)P23·例13分析法P24·例34作差法比較大小P26·習(xí)題2.2T715/64考向一綜正當(dāng)證實(shí)不等式【典例1】(·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d.證實(shí): (1)若ab>cd,則(2)是|a-b|<|c-d|充要條件.16/64【證實(shí)】(1)因?yàn)橛深}設(shè)a+b=c+d,ab>cd得所以17/64(2)(i)若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因?yàn)閍+b=c+d,a,b,c,d均為正數(shù),所以ab>cd.由(1)得18/64(ii)若則即因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.19/64所以|a-b|<|c-d|.綜上,是|a-b|<|c-d|充要條件.20/64【一題多變】1.題中條件改為:a+b=c+d=1,證實(shí):ab+cd≤21/64【證實(shí)】因?yàn)閍,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d=1,所以所以ab+cd≤22/642.題中條件改為:a+b+c+d=1,證實(shí):23/64【證實(shí)】

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d=時(shí)等號(hào)成立.24/64【技法點(diǎn)撥】綜正當(dāng)證實(shí)不等式方法(1)綜正當(dāng)證實(shí)不等式,要著力分析已知與求證之間,不等式左右兩端之間差異與聯(lián)絡(luò).合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換,恰當(dāng)選擇已知不等式,這是證實(shí)關(guān)鍵.25/64(2)在用綜正當(dāng)證實(shí)不等式時(shí),不等式性質(zhì)和基本不等式是最慣用.在利用這些性質(zhì)時(shí),要注意性質(zhì)成立前提條件.26/64【同源異考·金榜原創(chuàng)】1.已知a>0,b>0,a3+b3=2,證實(shí):(1)(a+b)(a5+b5)≥4.(2)a+b≤2.27/64【證實(shí)】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)所以(a+b)3≤8,所以a+b≤2.28/642.已知△ABC中角A,B,C所正確邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且其中任意兩邊長(zhǎng)均不相等.若a,b,c成等差數(shù)列.求證:0<B≤29/64【證實(shí)】因?yàn)椤鰽BC三邊a,b,c成等差數(shù)列,所以2b=a+c,再依據(jù)所以B∈所以0<B≤30/64考向二分析法證實(shí)不等式【典例2】已知a>0,b>0,2c>a+b,求證:31/64【證實(shí)】要證

只要證

即要證|a-c|<即要證(a-c)2<c2-ab,即要證a2-2ac<-ab.32/64因?yàn)閍>0,所以即要證a-2c<-b,即要證a+b<2c,這即為已知.所以原不等式成立.33/64【技法點(diǎn)撥】分析法證實(shí)不等式應(yīng)注意問(wèn)題(1)注意依據(jù)是不等式基本性質(zhì)、已知主要不等式和邏輯推理基本理論.34/64(2)注意從要證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立充分條件,最終得到充分條件是已知(或已證)不等式.(3)注意恰當(dāng)?shù)赜煤梅赐品?hào)“?”或“要證實(shí)”“只需證實(shí)”“即證實(shí)”等詞語(yǔ).35/64【同源異考·金榜原創(chuàng)】1.已知m>0,a,b∈R,求證:36/64【證實(shí)】因?yàn)閙>0,所以1+m>0.欲證成立.只需證實(shí)(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),即證m(a2-2ab+b2)≥0,只要證實(shí)a2-2ab+b2≥0,37/64又a2-2ab+b2=(a-b)2≥0顯然成立,故38/642.已知a≠b,求證:【證實(shí)】要證只需證:

<(a-b)2,即1+a2-+1+b2<a2-2ab+b2,化簡(jiǎn)1+ab<39/64當(dāng)1+ab<0時(shí),顯然成立,當(dāng)1+ab≥0時(shí),只需證(1+ab)2<(1+a2)(1+b2),即1+2ab+a2b2<1+a2+b2+a2b2,化簡(jiǎn)得a2+b2>2ab,即只需證a2+b2>2ab即可,40/64又a≠b,所以a2+b2>2ab,綜上可知,當(dāng)a≠b時(shí),成立.41/64考向三比較法證實(shí)不等式?高頻考點(diǎn)42/64【典例3】(1)當(dāng)p,q都是正數(shù)且p+q=1時(shí),試比較(px+qy)2與px2+qy2大小.(2)已知a,b∈R+,求證:aabb≥43/64【解析】(1)(px+qy)2-(px2+qy2)=p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因?yàn)閜+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.44/64因?yàn)閜,q為正數(shù),所以-pq(x-y)2≤0,所以(px+qy)2≤px2+qy2.當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),不等式中等號(hào)成立.45/64(2)當(dāng)a=b時(shí),當(dāng)a>b時(shí),由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知46/64當(dāng)a<b時(shí),由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知所以aabb≥47/64【一題多變】本例(2)小題條件不變,求證:abba≤48/64【證實(shí)】

當(dāng)a=b時(shí),當(dāng)a>b>0時(shí),49/64當(dāng)b>a>0時(shí),所以≤1,即abba≤50/64【技法點(diǎn)撥】比較法證實(shí)不等式步驟1.作差比較法(1)作差比較法證實(shí)不等式普通步驟:①作差:將不等式左右兩邊式子看作一個(gè)整體作差;51/64②變形:將差式進(jìn)行變形,化簡(jiǎn)為一個(gè)常數(shù),或通分,因式分解變形為若干個(gè)因式積,或配方變形為一個(gè)或幾個(gè)平方和等;③判號(hào):依據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果,判斷不等式兩邊差正負(fù)號(hào);④結(jié)論:必定不等式成立結(jié)論.52/64(2)作差比較法應(yīng)用范圍:當(dāng)被證不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí),普通使用作差比較法.53/642.作商比較法(1)作商比較法證實(shí)不等式普通步驟:①作商:將不等式左右兩邊式子作商;②變形:將商式分子放(縮),分母不變,或分子不變,分母放(縮),或分子放(縮),分母縮(放),從而化簡(jiǎn)商式為輕易和1比較大小形式;54/64③判斷:判斷商與1大小關(guān)系,就是判斷商大于1或小于1或等于1;④結(jié)論.(2)作商比較法應(yīng)用范圍:當(dāng)被證不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時(shí),普通使用作商比較法.55/64【同源異考·金榜原創(chuàng)】命題點(diǎn)1作差法證實(shí)不等式1.已知a,b為正實(shí)數(shù).(1)求證:≥a+b.(2)利用(1)結(jié)論求函數(shù)y=(0<x<1)最小值.56/64【解析】(1)因?yàn)橛忠驗(yàn)閍>0,b>0,所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.所以≥a+b.57/64(2)因?yàn)?<x<1,所以1-x>0,由(1)結(jié)論,函數(shù)y=≥(1-x)+x=1.當(dāng)且僅當(dāng)1-x=x即x=時(shí)等號(hào)成立.所以函數(shù)y=(0<x<1)最小值為1.58/64命題點(diǎn)2作商法證實(shí)不等式2.已知a≥1,利用作商比較法,求證:59/64【證實(shí)】

又所以原不等式成立.60/64關(guān)鍵素養(yǎng)系列（六十三）邏輯推理——證實(shí)不等式中關(guān)鍵素養(yǎng)依據(jù)絕對(duì)值代數(shù)意義去絕對(duì)值號(hào),然后分類(lèi)討論解不等式組