極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)方程

極坐標(biāo)系及極坐標(biāo)方程一、根底知識(shí)歸納總結(jié)：1．伸縮變換：設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換的作用下，點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換。2.極坐標(biāo)系的概念：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)Ｏ，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)Ｏ引一條射線Ｏｘ叫做極軸；再選定一個(gè)長度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。3．點(diǎn)M的極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)Ｏ與點(diǎn)M的距離叫做點(diǎn)M的極徑，記為；以極軸Ｏx為始邊，射線OM為終邊的∠XOM叫做點(diǎn)M的極角，記為。有序數(shù)對(duì)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M.極坐標(biāo)與表示同一個(gè)點(diǎn)。極點(diǎn)O的坐標(biāo)為.4.假設(shè),那么,規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱，即與表示同一點(diǎn)。如果規(guī)定，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)表示的點(diǎn)也是唯一確定的。5.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化：6.直線的極坐標(biāo)方程：極坐標(biāo)系中，表示以極點(diǎn)為起點(diǎn)的一條射線；表示過極點(diǎn)的一條直線.在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)，且垂直于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程是.在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)，且垂直于直線OA的直線l的極坐標(biāo)方程是.在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)，且與極軸成角的直線的極坐標(biāo)方程是.7.圓的極坐標(biāo)方程：在極坐標(biāo)系中，以極點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是；在極坐標(biāo)系中，以為圓心，為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是；在極坐標(biāo)系中，以為圓心，為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是；在極坐標(biāo)系中，以為圓心，為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是；8.圓錐曲線方程：〔1〕表示離心率為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離為的圓錐曲線方程。當(dāng)時(shí)，表示極點(diǎn)在拋物線的焦點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，極點(diǎn)在雙曲線的右焦點(diǎn)；表示雙曲線，表示雙曲線右支；當(dāng)時(shí)，表示極點(diǎn)在橢圓的左焦點(diǎn)〔2〕當(dāng)極點(diǎn)與直角坐標(biāo)原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合時(shí)，圓錐曲線方程只需要利用互化公式轉(zhuǎn)化即可。9．參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上，那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。10．圓的參數(shù)方程可表示為.橢圓(a>b>0)的參數(shù)方程可表示為.拋物線的參數(shù)方程可表示為.經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程可表示為〔t為參數(shù)〕。11．在建立曲線的參數(shù)方程時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致.例1.在平面直角坐標(biāo)系中，方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形所對(duì)應(yīng)的方程是_________________.練習(xí)1.在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€，那么曲線C的方程是_________________.練習(xí)2.在同一平面直角坐標(biāo)系中，使曲線變?yōu)榍€的伸縮變換是___________.練習(xí)3.將橢圓變?yōu)閳A的伸縮變換為。例2．〔1〕點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，那么點(diǎn)的極坐標(biāo)為?！?〕在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)，并且和極軸平行的直線的極坐標(biāo)方程是___________________.練習(xí)1.極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程是_______________________.練習(xí)2.直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程是_________________________.練習(xí)3.在極坐標(biāo)系中，圓心在，半徑為1的圓的極坐標(biāo)方程是_______________________.例3.在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)到直線的距離是____________.練習(xí)1．極坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上的動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)的最近距離等于____________.練習(xí)2.〔2007廣州一模文、理〕在極坐標(biāo)系中，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是_____．例4.曲線繞極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，新曲線的極坐標(biāo)方程為.練習(xí)1.曲線與曲線C關(guān)于直線對(duì)稱，那么曲線C的方程為。練習(xí)2.橢圓上兩點(diǎn)A、B滿足，其中O為極點(diǎn)，那么|AB|=。練習(xí)3.橢圓，F(xiàn)為其左焦點(diǎn)，過F作兩直線分別交橢圓于P、Q和M、N且，求四邊形PMQN的最大值和最小值。例5.參數(shù)方程化為普通方程是_________________________.練習(xí)1.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_________________________.練習(xí)2.雙曲線的離心率是_________________________.練習(xí)3.曲線上的點(diǎn)與定點(diǎn)A〔-1，-1〕距離的最小值是_____________.練習(xí)4.，那么的最小值是_________________.練習(xí)5.點(diǎn)M〔x,y〕在橢圓上，那么點(diǎn)M到直線的最大距離為________,此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是_____________.三、高考、模擬考試題選編：1．〔2005福建理〕設(shè)的最小值是〔〕A．B．C．－3D．2.〔2004春招北京理〕在極坐標(biāo)系中，圓心在且過極點(diǎn)的圓的方程為〔〕A.B.C.D.3.〔2002廣東、河南、江蘇〕極坐標(biāo)方程ρ＝cosθ與ρcosθ＝EQ\f(1,2)的圖形是()0EQ\f(1,2)0EQ\f(1,2)x0EQ\f(1,2)x0EQ\f(1,2)x0EQ\f(1,2)x0EQ\f(1,2)x4.〔2001廣東〕極坐標(biāo)方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲線是〔〕A．兩條相交直線B．圓C．橢圓D．雙曲線5．(2007廣東文)在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為ρsinθ=3，那么點(diǎn)(2，π/6)到直線l的距離為．6．〔2002全國理〕點(diǎn)到曲線〔其中參數(shù)〕上的點(diǎn)的最短距離為〔〕〔A〕0〔B〕1〔C〕〔D〕27.(2007廣東理)在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，圓的參數(shù)方程為，那么圓的圓心坐標(biāo)為，圓心到直線的距離為.8．(2007海南、寧夏文、理)⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為．(Ⅰ)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)求經(jīng)過⊙O1，⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程．9．〔2007深圳一模理〕在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)〔1，〕和,那么、兩點(diǎn)間的距離是．10．(2007韶關(guān)二模文、理)將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方