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文檔簡介
山西省鹽湖五中2023-2024學(xué)年高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,將兩個(gè)全等等腰直角三角形拼成一個(gè)平行四邊形,將平行四邊形沿對(duì)角線折起,使平面平面,則直線與所成角余弦值為()A. B. C. D.2.存在點(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)M在第一象限,使得過點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線垂直的直線經(jīng)過點(diǎn),則橢圓離心率的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知m為實(shí)數(shù),直線:,:,則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4.已知是邊長為的正三角形,若,則A. B.C. D.5.i是虛數(shù)單位,若,則乘積的值是()A.-15 B.-3 C.3 D.156.已知數(shù)列,,,…,是首項(xiàng)為8,公比為得等比數(shù)列,則等于()A.64 B.32 C.2 D.47.如圖,雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.8.已知斜率為k的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為,則斜率k的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知集合A,B=,則A∩B=A. B. C. D.10.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則()A. B.6 C.4 D.511.下列函數(shù)中,值域?yàn)榈呐己瘮?shù)是()A. B. C. D.12.已知的面積是,,,則()A.5 B.或1 C.5或1 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,,若,則______.14.的展開式中的系數(shù)為________.15.已知圓C:經(jīng)過拋物線E:的焦點(diǎn),則拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得弦長是__________.16.在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,若,,則的取值范圍是_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,且滿足,證明:.18.(12分)已知直線的參數(shù)方程:(為參數(shù))和圓的極坐標(biāo)方程:(1)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)已知點(diǎn),直線與圓相交于、兩點(diǎn),求的值.19.(12分)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn),且與直線相切,動(dòng)圓圓心的軌跡為,過作斜率為的直線與交于兩點(diǎn),過分別作的切線,兩切線的交點(diǎn)為,直線與交于兩點(diǎn).(1)證明:點(diǎn)始終在直線上且;(2)求四邊形的面積的最小值.20.(12分)如圖,在斜三棱柱中,側(cè)面與側(cè)面都是菱形,,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.21.(12分)某大型公司為了切實(shí)保障員工的健康安全,貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求,決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次普查,為此需要抽驗(yàn)1000人的血樣進(jìn)行化驗(yàn),由于人數(shù)較多,檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①:將每個(gè)人的血分別化驗(yàn),這時(shí)需要驗(yàn)1000次.方案②:按個(gè)人一組進(jìn)行隨機(jī)分組,把從每組個(gè)人抽來的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn),如果每個(gè)人的血均為陰性,則驗(yàn)出的結(jié)果呈陰性,這個(gè)人的血只需檢驗(yàn)一次(這時(shí)認(rèn)為每個(gè)人的血化驗(yàn)次);否則,若呈陽性,則需對(duì)這個(gè)人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗(yàn),這樣,該組個(gè)人的血總共需要化驗(yàn)次.假設(shè)此次普查中每個(gè)人的血樣化驗(yàn)呈陽性的概率為,且這些人之間的試驗(yàn)反應(yīng)相互獨(dú)立.(1)設(shè)方案②中,某組個(gè)人的每個(gè)人的血化驗(yàn)次數(shù)為,求的分布列;(2)設(shè),試比較方案②中,分別取2,3,4時(shí),各需化驗(yàn)的平均總次數(shù);并指出在這三種分組情況下,相比方案①,化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少多少次?(最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù))22.(10分)如圖,正方形所在平面外一點(diǎn)滿足,其中分別是與的中點(diǎn).(1)求證:;(2)若,且二面角的平面角的余弦值為,求與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
利用建系,假設(shè)長度,表示向量與,利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】由平面平面,平面平面,平面所以平面,又平面所以,又所以作軸//,建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè),所以則所以所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值,一般采用這兩種方法:(1)將兩條異面直線作輔助線放到同一個(gè)平面,然后利用解三角形知識(shí)求解;(2)建系,利用空間向量,屬基礎(chǔ)題.2、D【解析】
根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問題,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
根據(jù)直線平行的等價(jià)條件,求出m的值,結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)m=1時(shí),兩直線方程分別為直線l1:x+y﹣1=0,l2:x+y﹣2=0滿足l1∥l2,即充分性成立,當(dāng)m=0時(shí),兩直線方程分別為y﹣1=0,和﹣2x﹣2=0,不滿足條件.當(dāng)m≠0時(shí),則l1∥l2?,由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2,由得m≠2,則m=1,即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件,故答案為:A【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查充要條件的判斷,考查兩直線平行的等價(jià)條件,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答,直線和直線平行,則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗(yàn)看兩直線是否重合.4、A【解析】
由可得,因?yàn)槭沁呴L為的正三角形,所以,故選A.5、B【解析】,∴,選B.6、A【解析】
根據(jù)題意依次計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)題意知:,,故,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列值的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7、A【解析】
易得,過B作x軸的垂線,垂足為T,在中,利用即可得到的方程.【詳解】由已知,得,過B作x軸的垂線,垂足為T,故,又所以,即,所以雙曲線的離心率.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率問題,在作雙曲線離心率問題時(shí),最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式,本題屬于容易題.8、C【解析】
設(shè),,,,設(shè)直線的方程為:,與拋物線方程聯(lián)立,由△得,利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件得,,代入上式即可求出的取值范圍.【詳解】設(shè)直線的方程為:,,,,,聯(lián)立方程,消去得:,△,,且,,,線段的中點(diǎn)為,,,,,,,,把代入,得,,,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用,屬于中檔題.9、A【解析】
先解A、B集合,再取交集?!驹斀狻?所以B集合與A集合的交集為,故選A【點(diǎn)睛】一般地,把不等式組放在數(shù)軸中得出解集。10、D【解析】
由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.【詳解】由題意.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.11、C【解析】試題分析:A中,函數(shù)為偶函數(shù),但,不滿足條件;B中,函數(shù)為奇函數(shù),不滿足條件;C中,函數(shù)為偶函數(shù)且,滿足條件;D中,函數(shù)為偶函數(shù),但,不滿足條件,故選C.考點(diǎn):1、函數(shù)的奇偶性;2、函數(shù)的值域.12、B【解析】∵,,∴①若為鈍角,則,由余弦定理得,解得;②若為銳角,則,同理得.故選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-1【解析】
由向量垂直得向量的數(shù)量積為0,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)論.【詳解】由已知,∵,∴,.故答案為:-1.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算.掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵.14、80.【解析】
只需找到展開式中的項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)為,令,則,故的展開式中的系數(shù)為80.故答案為:80.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,涉及到展開式中的特殊項(xiàng)系數(shù),考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道容易題.15、【解析】
求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),代入圓的方程,求出的值,再求出準(zhǔn)線方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式,求出弦心距,利用勾股定理可以求出弦長的一半,進(jìn)而求出弦長.【詳解】拋物線E:的準(zhǔn)線為,焦點(diǎn)為(0,1),把焦點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中,得,所以圓心的坐標(biāo)為,半徑為5,則圓心到準(zhǔn)線的距離為1,所以弦長.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的準(zhǔn)線、圓的弦長公式.16、【解析】
計(jì)算出角的取值范圍,結(jié)合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】,則,所以,,由正弦定理,.因此,的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,正弦函數(shù)圖象和性質(zhì),考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析【解析】
將化簡可得,由柯西不等式可得證明.【詳解】解:因?yàn)椋?,所以,又,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用,相對(duì)不難,注意已知條件的化簡及柯西不等式的靈活運(yùn)用.18、(1):,:;(2)【解析】
(1)消去參數(shù)求得直線的普通方程,將兩邊同乘以,化簡求得圓的直角坐標(biāo)方程.(2)求得直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程,代入圓的直角坐標(biāo)方程,化簡后寫出韋達(dá)定理,根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義,求得的值.【詳解】(1)消去參數(shù),得直線的普通方程為,將兩邊同乘以得,,∴圓的直角坐標(biāo)方程為;(2)經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)在直線上,可轉(zhuǎn)化為①,將①式代入圓的直角坐標(biāo)方程為得,化簡得,設(shè)是方程的兩根,則,,∵,∴與同號(hào),由的幾何意義得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,考查利用直線參數(shù)的幾何意義求解距離問題,屬于中檔題.19、(1)見解析(2)最小值為1.【解析】
(1)根據(jù)拋物線的定義,判斷出的軌跡為拋物線,并由此求得軌跡的方程.設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程,由此求得點(diǎn)的坐標(biāo).寫出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和曲線的方程,根據(jù)韋達(dá)定理求得點(diǎn)的坐標(biāo),并由此判斷出始終在直線上,且.(2)設(shè)直線的傾斜角為,求得的表達(dá)式,求得的表達(dá)式,由此求得四邊形的面積的表達(dá)式進(jìn)而求得四邊形的面積的最小值.【詳解】(1)∵動(dòng)圓過定點(diǎn),且與直線相切,∴動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)和定直線的距離相等,∴動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線,∴軌跡的方程為:,設(shè),∴直線的方程為:,即:①,同理,直線的方程為:②,由①②可得:,直線方程為:,聯(lián)立可得:,,∴點(diǎn)始終在直線上且;(2)設(shè)直線的傾斜角為,由(1)可得:,,∴四邊形的面積為:,當(dāng)且僅當(dāng)或,即時(shí)取等號(hào),∴四邊形的面積的最小值為1.【點(diǎn)睛】本小題主要考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法,考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查拋物線中四邊形面積的最值的計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.20、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)取中點(diǎn),連,,由等邊三角形三邊合一可知,,即證.(2)以,,為正方向建立空間直角坐標(biāo)系,由向量法可求得平面與平面所成的銳二面角的余弦值.試題解析:(Ⅰ)證明:連,,則和皆為正三角形.取中點(diǎn),連,,則,,則平面,則(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,又,所以.如圖所示,分別以,,為正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè)平面的法向量為,因?yàn)?,,所以取面的法向量取,則,平面與平面所成的銳二面角的余弦值.21、(1)分布列見解析;(2)406.【解析】
(1)計(jì)算個(gè)人的血混合后呈陰性反應(yīng)的概率為,呈陽性反應(yīng)的概率為,得到分布列.(2)計(jì)算,代入數(shù)據(jù)計(jì)算比較大小得到答案.【詳解】(1)設(shè)每個(gè)人的血呈陰性反應(yīng)的概率為,則.所以個(gè)人的血混合后呈陰性反應(yīng)的概率為,呈陽性反應(yīng)的概率為.依題意可知,,所以的分布列為:(2)方案②中.結(jié)合(1)知每個(gè)人的平均化驗(yàn)次數(shù)為:時(shí),,此時(shí)1000人需要化驗(yàn)的總次數(shù)為690次,時(shí),,此時(shí)1000人需要化驗(yàn)的總次數(shù)為604次,時(shí),,此時(shí)1000人需要化驗(yàn)的次數(shù)總為594次,即時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最多,時(shí)次數(shù)居中,時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最少,而采用方案①則需化驗(yàn)1000次,故在這三種分組情況下,相比方案①,當(dāng)時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少次.【點(diǎn)睛】本題考查了分布列,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和
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